河北省石家庄市2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试题

石家庄市20152016 学年度第一学期期末考试一试卷
高二数学（文科）
（时间 120 分钟，满分150 分）
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答第Ⅰ卷前，考生务势必自
己的姓名、准考据号、考试科目写在答题卡上.
第Ⅰ卷 ( 选择题，共60 分 )
一、选择题：共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的两个选项中，只有一项为哪一项
切合题目要求的 .
1．抛物线y28x的焦点坐标为
A. 0,2
B.0,4
C.2,0
D.4,0
2．若p q 为真命题，则以下结论不行能建立的是
A. p真q真
B.p 假 q 真
C.p 真 q 假
D.p 假 q 假
3. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30 名，高二年级有40 名，现从这70 人顶用
分层抽样的方法抽取一个容量为14 的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为
A. 6
B. 8
C.10
D. 12
4. 已知命题p :"x0,总有 2x1"，总有 y28x ，则p为
0,总有x1 B.总有x
x221
A.x 0,
C.x00,使得 2x0 1
D.x00,使得 2x01
5.设x, y R ，则 " x y0" 是 " x
1" 的y
A.充足不用要条件
B.必需不充足条件
C.充要条件
D. 既不充足也不用要条件
6.阅读右边程序框图，为使输出的数据为15，则①处应填的数字为
A.3
B.4
C.5
D.6
7.已知双曲线y
2
x21(a0, b0) 的离心率为 5 ，则该双曲线的渐近线方程为a2b2
A.y2x
B.y 1 x
C.y 1 x
D. y4x
24
8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采纳随机模拟的方法预计该运动员三
次投篮恰有两次命中的概率：先有计算机随机产生0 到 9之间取整数的随机数，指定1， ,,3,4表示命中， 5,6,7,8,9,0表示不命中，再以三个随机数为一组，代表三次投篮
的结果，经随机模拟产生了以下20 组随机数：
807 966 191 925 271 932 812 458 569 683
489 257 394 027 556 488 730 113 537 741
依据以上数据，预计该运动员三次投篮恰巧有两次命中的概率为
A.0.20
B.0.25
C.0.30
D.0.35
9. 函数 f (x)x ln x 的零点个数是
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
10. 已知函数 f (x)x2x 2, x1,6，若在其定义域内任取一数x0使得 f ( x0 )0 概
率是A.2
B.3
C.4
D.5 7777
11.
x2y2
1(a b0) 的左右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得已知 F1 ,F2是椭圆
b2
a2
PF1 PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是
A.
5
,1 B.
2
,1 C.0,5 D.0,
2
5252
12.半径不等的两定圆O1,O2无公共点( O1 ,O2是两个不一样的点) ，动圆 O 与圆O1,O2都内切，
则圆心 O的轨迹是
A. 双曲线的一支或椭圆C. 双曲线的一支或椭圆或圆
B.椭圆或圆
D.双曲线的一支
第Ⅱ卷（非选择题，共90 分)
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .
13. 曲线y ln x在点(1,0)处的切线的斜率是.
14.将参加数学比赛的 1000 名学生编号以下： 0001,0002,0003 ，，1000，若从中抽取一个容
量为50 的样本，依据系统抽样的方法分红50 个部分，假如第一部分编号为
0001,0002,0003 ，， 0020，第一部分随机抽取一个号码为0015 ，则抽取的第 3 个号码为.
15. 在两个袋内， 分别装着写有 0,1,2,3,4,5 六个数字的 6 张卡片（卡片大小形状均同样） ， 今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于
5 的概率为 .
16. 抛物线
x 2
1
y 上的点到直线 y
4x
5 的距离的最小值是
.
4
三、解答题：本大题共
6 小题，共
70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .
17. （本小题满分 10分）
求函数 f (x)
x 3 3x 2 1的单一区间 .
18. （本小题满分 12 分）
已知 A( 1,0), B(3,0) ，圆 C 以 AB 为直径 .
（Ⅰ）求圆 C 的方程；
（Ⅱ）求直线 l :3 x 4y 8
0 被圆 C 截得的弦长 .
19．（本小题满分 12 分）
从某校高二年级 800 名学生中随机抽取 100 名丈量 身高，获得频次散布直方图如图
.
（Ⅰ）求这 100 名学生中身高在 170 厘米以
下的人数；
（Ⅱ）依据频次散布直方图预计这 800 名学
生的均匀身高 .
20. (
本小题满分 12 分)
PM 2.5 是指空气中直径小于或等于
2.5 微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）
. 为了研究
车流量与
PM 2.5 的浓度能否有关，现收集到某城市周一至周五某一时间段车流量与
PM 2.5 得数据以下表：
时间
周一
周二
周三 周四
周五
车流量
x （万辆）
50 51
54 57 58 PM 2.5 的浓度
y （微克 / 立方米）
69
70
74
78
79
（Ⅰ）依据上表数据求出
y 与
x 的线性回归直线方程
y bx a ；
（Ⅱ） 若周六同一时间段车流量是 25 万辆，试依据 （Ⅰ） 中求出的线性回归方程展望此
时 PM 2.5 的浓度是多少？（保存整数）
n
n
( x i x)( y i y)
( x i y i ) nx y
参照公式： b
i 1
i 1
, y bx a
n
n
(x i x)2
x i
2
2
nx
i
1
i 1
21.( 本小题满分 12 分 )
已知抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点为F，抛物线上横坐标为1
的点到抛物线极点2
的距离与该点到抛物线准线的距离相等.
（Ⅰ）求抛物线 C 的方程；
（Ⅱ）设直线x my 6 0 与抛物线C交于A、B两点，若AFB 90 ，务实数 m的值 .
22.(本小题满分12 分 )
已知函数 f ( x) a ln x x
2 处获得极值.在 x
（Ⅰ）求 a 实数的值；
2
（Ⅱ）当 x 1 时， f ( x)k
0 恒建立，务实数k 的取值范围 . x
石家庄市 2015-2016 学年第一学期期末考试答案
高二数学（文）
一、：
1-5CDBDA6-10BACCA11-12BA
二、填空
13． 114． 005515．116．4 17
617
三、解答
17.解：由f ( x) x33x2 1 得 f (x)3x26 x 3x( x2)-----------------4分当 x0 或 x 2 , f (x)0 ；
当 0x2， f (x)0. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分
所以函数 f ( x) 的减区0,2，增区,0 , 2,---------10分
18. 解（Ⅰ）依意心(1,0),半径 2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∴ C 方程 (x-1)2+y2=4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
（Ⅱ）心(1,0)到直l : 3x 4y80 的距离d=1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分
直 l 被C截得的弦2r 2 d 2222123⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分
19.解（Ⅰ）前三的率
5 (0.008 0.01
6 0.04)0.32，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
高一年 100 名学生身高低于 170 厘米的人数
100 0.3232 （人）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
（Ⅱ） 157.50.04162.50.08167.50.2172.50.2177.50.3+
182.5 0.08 187.50.06192.5 0.04 174.1（ cm）
依据率散布直方估出800 名学生均匀身高174.1cm. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分
20.解（Ⅰ）Q x 5051545758
，
554
6970747879
74，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分y5
5
( x i x)( y i y)45 3 43 4 4 564 ，
i 1
5
( x i x) 2( 4)2( 3)2324250 ，
i 1
$ b 5
( x i x)( y i y)
i 164，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
5 1.28
250
(x i x)
i 1
$
74 1.28 54 4.88，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
a y bx
故 y 对于x的性回方程是：y? 1.28x 4.88 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分（Ⅱ）当 x25 ， y 1.2825 4.8836.8837
所以能够此PM2.5 的度 37 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分
21. （Ⅰ）由已知及抛物定可得抛物上横坐
1
的点到抛物点 O 的距离与其到2
焦点 F 的距离相等．故OF 中点横坐1
，可得焦点 F 坐1,0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分2
所以抛物的方程：y2 4 x ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
（Ⅱ）由y2 4 x可得， y24my 240 ，
x my6
A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，y1y24m ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7 分
y1 y224
因 AFB900，即FA FB0
可得： ( x11)( x21)y1 y20 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分
∴ ( x1 1)( x21)y1 y2(1m2 ) y1 y2 5m( y1 y2 )2524(1 m2 )20m225 0，
解得 : m 1
12 分
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
22. 解：（Ⅰ）∵f (x) a ln x x
，∴ f
a1
．2
( x)
2
x
∵函数 f ( x) 在 x 2 获得极∴ f (2)0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
解得 a1，足意4分
（Ⅱ）适当 x 1 ，f x k
0 恒建立，x
等价于 k
x2
6 分
xln x (x 1) ．⋯⋯⋯⋯⋯
2
x2
令 g x x ln x ， g x x 1 ln x ．2
令 h x x 1 ln x ，h x 11 x 1
．
x x
当 x 1 ，h x 0，函数 h x 在 1,上增，故 h x h 1 0 ．⋯⋯⋯8分进而，当 x1， g x0 ，即函数 g x 在 1,上增，
故 g x g 11
．⋯⋯⋯⋯ 10 分2
所以，当 x1， k x21
x ln x 恒建立， k
2 2
∴ k 的取范是(,1
]．12分
2。