北师版九年级上册数学第一章第二课时四边形证明讲义及习题含答案
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3.（1）证明略；
提示：由OE=DO，AO=BO得，四边形AEBD是平行四边形；又因为AB=AC，AD是△ABC的角平分线，所以AD⊥BC，进而得证四边形AEBD是矩形．
（2）当△ABC是等腰直角三角形，即AB=AC，∠BAC=90°时；四边形AEBD是正方形；理由略．
4.（1）证明略；
提示：先证AC∥EF，∠EAC=∠AEF，
（1）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请证明你的结论．
（2）在（1）的条件下，∠ACB的大小为多少时，四边形AECF为正方形（不要求说明理由）？
【参考答案】
课前预习
2.①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
四边形证明（讲义）
课前预习
1.我们在做几何证明题时，如果已知条件中有某个特殊的四边形，往往从其性质着手考虑．而如果要证明某个四边形是特殊的四边形，则需要考虑其判定方法．
例如：
在四边形ABCD中，若AB=CD，要证明四边形ABCD是平行四边形，我们考虑判定方法：对边平行且相等的四边形是平行四边形或两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
6.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且AE=AF．
（1）求证：BE=DF；
（2）连接AC，交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM，则四边形AEMF是什么特殊四边形？请证明你的结论．
7.如图，在△ABC中，O是AC边上的一动点（不与点A，C重合），过点O作直线MN∥BC，直线MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA（△ABC的外角）的平分线相交于点F．
（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；
（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形ABGD是矩形．
3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，O为AB的中点，连接DO并延长至点E，使OE=DO，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？请说明理由．
___________________________________．
知识点睛
精讲精练
1.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°．AG∥CD，交BC于点G，E，F分别为AG，CD的中点，连接DE，FG，DG．
（2）由（1）可得，AB=FC，因为AB∥FC，所以四边形ABFC是平行四边形．要证四边形ABFC为矩形，根据题目中已有的条件选择判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
由三角形外角定理和等角对等边得到AE=BE=CE，由定理“如果三角形的一边中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，得∠BAC=90°，故四边形ABFC为矩形．
∴∠AEC=∠1+∠5
∴∠1=∠5
∴AE=BE=CE
∴∠BAC=90°
∴四边形ABFC为矩形
巩固练习
8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F在边BC上，且AB∥DE，AF∥DC，四边形AEFD是平行四边形．
②要证明四边形ABCD是矩形，若条件与角有关，我们可以考虑：___________________________________________
或_________________________________________________；
若条件与对角线有关，我们可以考虑：________________
对角线相等明略；
提示：先证AB=AD=BC，再证四边形ABCD是平行四边形，
则四边形ABCD是菱形．
2.（1）证明略；
提示：先证四边形AGCD是平行四边形，得到AG=CD，
进而可得EG=DF，则四边形DEGF是平行四边形．
（2）证明略；
提示：先证明四边形ABGD是平行四边形，再结合∠B=90°，进而可得四边形ABGD是矩形．
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE上，且AF=CE=AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请说
明理由．
5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．若
【过程书写】
证明：如图，
（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠1=∠2
∵E是BC边的中点
∴BE=CE
∵∠3=∠4
∴△ABE≌△FCE（ASA）
（2）∵△ABE≌△FCE
∴AB=FC
∵AB∥FC
∴四边形ABFC为平行四边形
∴∠D=∠1
∵∠AEC=2∠D
∴∠AEC=2∠1
∵∠AEC是△ABE的一个外角
（2）90°．
四边形证明（习题）
例题示范
例1：如图，在□ABCD中，E是BC边的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE．
（2）连接AC，BF，若∠AEC=2∠D，
求证：四边形ABFC为矩形．
【思路分析】
①读题标注：
②梳理思路：
（1）在□ABCD中，AB∥CD，因为E是BC边的中点，平行夹中点结构，所以△ABE≌△FCE．
2.请结合下列情景，将你认为可能用到的判定方法填入相应的横线上：
①要证明□ABCD是菱形，若条件与边有关，我们可以考虑：______________________________________________；
若条件与对角线有关，我们可以考虑：________________
__________________________．
又AF=CE=AE，则∠EAF=∠AEC，AF∥CE，即证得四边形ACEF是平行四边形．
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形，理由略．
5.四边形ADCF是菱形，证明略．
6.（1）证明略．
提示：证明△ABE≌△ADF．
（2）四边形AEMF是菱形，证明略．
7.（1）当点O运动到AC的中点时，证明略；
提示：由OE=DO，AO=BO得，四边形AEBD是平行四边形；又因为AB=AC，AD是△ABC的角平分线，所以AD⊥BC，进而得证四边形AEBD是矩形．
（2）当△ABC是等腰直角三角形，即AB=AC，∠BAC=90°时；四边形AEBD是正方形；理由略．
4.（1）证明略；
提示：先证AC∥EF，∠EAC=∠AEF，
（1）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请证明你的结论．
（2）在（1）的条件下，∠ACB的大小为多少时，四边形AECF为正方形（不要求说明理由）？
【参考答案】
课前预习
2.①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
四边形证明（讲义）
课前预习
1.我们在做几何证明题时，如果已知条件中有某个特殊的四边形，往往从其性质着手考虑．而如果要证明某个四边形是特殊的四边形，则需要考虑其判定方法．
例如：
在四边形ABCD中，若AB=CD，要证明四边形ABCD是平行四边形，我们考虑判定方法：对边平行且相等的四边形是平行四边形或两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
6.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且AE=AF．
（1）求证：BE=DF；
（2）连接AC，交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM，则四边形AEMF是什么特殊四边形？请证明你的结论．
7.如图，在△ABC中，O是AC边上的一动点（不与点A，C重合），过点O作直线MN∥BC，直线MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA（△ABC的外角）的平分线相交于点F．
（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；
（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形ABGD是矩形．
3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，O为AB的中点，连接DO并延长至点E，使OE=DO，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？请说明理由．
___________________________________．
知识点睛
精讲精练
1.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°．AG∥CD，交BC于点G，E，F分别为AG，CD的中点，连接DE，FG，DG．
（2）由（1）可得，AB=FC，因为AB∥FC，所以四边形ABFC是平行四边形．要证四边形ABFC为矩形，根据题目中已有的条件选择判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
由三角形外角定理和等角对等边得到AE=BE=CE，由定理“如果三角形的一边中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，得∠BAC=90°，故四边形ABFC为矩形．
∴∠AEC=∠1+∠5
∴∠1=∠5
∴AE=BE=CE
∴∠BAC=90°
∴四边形ABFC为矩形
巩固练习
8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F在边BC上，且AB∥DE，AF∥DC，四边形AEFD是平行四边形．
②要证明四边形ABCD是矩形，若条件与角有关，我们可以考虑：___________________________________________
或_________________________________________________；
若条件与对角线有关，我们可以考虑：________________
对角线相等明略；
提示：先证AB=AD=BC，再证四边形ABCD是平行四边形，
则四边形ABCD是菱形．
2.（1）证明略；
提示：先证四边形AGCD是平行四边形，得到AG=CD，
进而可得EG=DF，则四边形DEGF是平行四边形．
（2）证明略；
提示：先证明四边形ABGD是平行四边形，再结合∠B=90°，进而可得四边形ABGD是矩形．
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE上，且AF=CE=AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请说
明理由．
5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．若
【过程书写】
证明：如图，
（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠1=∠2
∵E是BC边的中点
∴BE=CE
∵∠3=∠4
∴△ABE≌△FCE（ASA）
（2）∵△ABE≌△FCE
∴AB=FC
∵AB∥FC
∴四边形ABFC为平行四边形
∴∠D=∠1
∵∠AEC=2∠D
∴∠AEC=2∠1
∵∠AEC是△ABE的一个外角
（2）90°．
四边形证明（习题）
例题示范
例1：如图，在□ABCD中，E是BC边的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE．
（2）连接AC，BF，若∠AEC=2∠D，
求证：四边形ABFC为矩形．
【思路分析】
①读题标注：
②梳理思路：
（1）在□ABCD中，AB∥CD，因为E是BC边的中点，平行夹中点结构，所以△ABE≌△FCE．
2.请结合下列情景，将你认为可能用到的判定方法填入相应的横线上：
①要证明□ABCD是菱形，若条件与边有关，我们可以考虑：______________________________________________；
若条件与对角线有关，我们可以考虑：________________
__________________________．
又AF=CE=AE，则∠EAF=∠AEC，AF∥CE，即证得四边形ACEF是平行四边形．
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形，理由略．
5.四边形ADCF是菱形，证明略．
6.（1）证明略．
提示：证明△ABE≌△ADF．
（2）四边形AEMF是菱形，证明略．
7.（1）当点O运动到AC的中点时，证明略；