2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷（一）数学（理）试题（解析版）

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷（一）数学（理）
试题
一、单选题
1．已知集合{}{}
2
1,5,100A B x x mx =-=+-=，若{}5A
B =，则A B =（ ）
A ．{}1,3,5-
B ．{}1,2,5--
C ．{}1,2,5-
D ．{}1,3,5--
【答案】B
【解析】由题意，5是方程2100x mx +-=的解，可得3m =-，求出集合B ，即得
A B .
【详解】
{}5A B =，5∴是方程2100x mx +-=的解，
255100m ∴+-=，3m ∴=-.
解方程23100x x --=，得5x =或2x =-，{}5,2B ∴=-. 故{}1,2,5A B ⋃=--. 故选：B . 【点睛】
本题考查集合的运算，属于基础题.
2．若m 为实数，且复数()()325z m i i =-+为纯虚数，则m =（ ） A ．6
5
-
B ．
65
C ．152
-
D ．
152
【答案】C
【解析】根据复数的分类，实部为0，虚部不为0的复数是纯虚数，可得m 的值. 【详解】
依题意()()()()3252561521556z m i i m mi i m m i =-+=+-+=++-为纯虚数，
故2150560
m m +=⎧⎨-≠⎩，则152m =-.
故选：C. 【点睛】
本题考查复数的分类，属于基础题.
3．已知某地区在职特级教师、高级教师、中级教师分别有100人，900人，2000人，为了调查该地区不同职称的教师的工资情况，研究人员在该地区按照分层抽样的方法随机抽取了60人进行调查，则被抽取的高级教师有（ ） A ．2人 B ．18人
C ．40人
D ．36人
【答案】B
【解析】求出该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例，从而得到高级教师的比例，即可得答案； 【详解】
依题意，该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例为1:9:20， 则随机抽取60人，高级教师有9
601830
⨯=人. 故选：B. 【点睛】
本题考查分层抽样的特点，考查数据处理能力，属于基础题.
4．已知圆C 过点()()()4,6,2,2,5,5--，点,M N 在圆C 上，则CMN ∆面积的最大值为（ ） A ．100 B ．25
C ．50
D ．
252
【答案】D
【解析】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()()()4,6,2,2,5,5--代入，求出圆C 的方程，即可求出CMN ∆面积的最大值. 【详解】
设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()()()4,6,2,2,5,5--代入可得，
52460822050550D E F D E F D E F +++=⎧⎪
--+=⎨⎪+++=⎩
，解得2,4,20D E F =-=-=-. 故圆C 的一般方程为2
2
24200x y x y +---=，即()()22
1225x y -+-=，
故CMN ∆的面积
11125sin 55sin 5512222
S CM CN MCN MCN =
∠=⨯⨯∠≤⨯⨯⨯=. CMN ∴∆面积的最大值为
25
2
.
故选：D . 【点睛】
本题主要考查圆的一般方程，属于基础题.
5．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为256，则输出x 的值为（ ）
A ．8
B ．3
C ．2log 3
D ．()22log log 3
【答案】C
【解析】根据程序框图一步一步往下执行，即可得答案； 【详解】
运行该程序，第一次，8y =，2n =，8x =； 第二次，3y =，3n =，3x =；
第三次，2log 3y =，4n =，2log 3x =；
第四次，()22log log 3y =，5n =，()22log log 3x =； 第五次，()
22log log 322
log 3y ==，6n =，2log 3x =；
第六次，()22log log 3y =，7n =，()22log log 3x =； 第七次()
22log log 322
log 3y ==，8n =，2log 3x =，
此时输出x 的值为2log 3. 故选：C. 【点睛】
本题考查程序框图中的循环结构，考查运算求解能力，属于基础题.
6．《九章算术（卷第五）·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上
底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为（ ）（注：1丈10=尺.）
A ．45000立方尺
B ．52000立方尺
C ．63000立方尺
D ．72000立方尺
【答案】B
【解析】对几何体进行分割得到()
112A A MNE AMN DPQ D PQFD BCGH ADFE V V V V V ----=+++，再利用体积公式计算，即可得到答案. 【详解】
进行分割如图所示，面AEFD ⊥面1111A B C D ，AN EF ⊥，DQ EF ⊥，11AM A D ⊥，
11DP A D ⊥，连结,PQ MN ，面//AEFD 面BCGH ，
故()
112A A MNE AMN DPQ D PQFD BCGH ADFE V V V V V ----=+++
11(820)652156652651584032252000+⨯⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭
立方尺.
故选：B. 【点睛】
本题考查利用割补法求多面体的体积，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.
7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若954S =，45a =，则数列1n S n ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
前2019项的和为（ ） A ．
2018
2019
B ．
1009
1010
C ．
4036
2019
D ．
2019
1010
【答案】D
【解析】求出数列1n S n ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
的通项公式，再利用裂项相消法求和.
【详解】
由等差数列性质可知，95954S a ==，解得56a =；
而45a =，故1d =，则1432a a d =-=，故2(1)3222
n n n n n
S n -+=+=
， 2121
121n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭
， 设1n S n ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
的前n 项和为n T ，则11111
11122122334
111
21n n T n n n n ⎛⎫⎛
⎫=+-+-
+
-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-+， 故2019220192019
201911010
T ⨯==
+. 故选：D. 【点睛】
本题考查等差数列基本量运算、裂项相消法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 8．()5
2
11232x x x ⎛⎫+-- ⎪⎝
⎭
的展开式中2x 的系数为（ ） A ．296 B ．296-
C ．1864-
D ．1376-
【答案】C
【解析】写出二项式()5
32x -展开式的通项，即可求出2x 的系数. 【详解】
二项式()532x -展开式的通项为()
()
51532r
r
r
r T C x -+=-，
所以2x 的系数为
()()()3
5
2
3252355532221327206410801864C C C ⨯⨯-+⨯--⨯⨯⨯-=---=-.
故选：C . 【点睛】
本题考查二项式定理的通项公式，属于基础题.
9．如图，网格小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．1208286++
B ．12085+
C ．1208246++
D ．120162+
【答案】C
【解析】根据三视图，画出几何体的直观图，即可求表面积. 【详解】
在长方体中，沿平面ABD 和平面BCD 进行切割，得到该几何体的直观图为多面体
ABD BCD EFGH --，如图所示
则()1
4416,484242
EFGH ADEH S S =⨯==
⨯+⨯=, ()()11
46420,6842822
DEFC BCFG S S =⨯+⨯==⨯+⨯=,
18432,442822ABGH ABD S S ∆=⨯==⨯⨯=1
2243462
BCD S ∆=⨯=故所求表面积16242028328246S =+++++1208246=+. 故选：C . 【点睛】
本题考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于中档题.
10．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右顶点为M ，以M 为圆心作圆，圆M 与
直线0bx ay -=交于,A B 两点，若60,23AMB OB AB ∠=︒=，则双曲线C 的离心率为（ ）
A B C ．
32
D 【答案】B
【解析】由60,AMB AM BM ∠=︒=，得AMB ∆为正三角形. 设圆M 的半径为r ，
由23OB AB =，得
2r OA =.由勾股定理得2
22
+2r r a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，解得r =再根据点
(),0M a 到直线0bx ay -=
2
r =
，整理可求双曲线C 的离心率. 【详解】
因为60,AMB AM BM ∠=︒=，故AMB ∆为正三角形.
设圆M 的半径为r ，则圆心M 到直线AB 的距离2
d
=
. 由23OB AB =，得3OB OA =，故2
r OA =
.
因为OM a =，由勾股定理得2
22
+
r a ⎫=⎪⎪⎝⎭
，解得r =
又点(),0M a 到直线0bx ay -=
=
=
化简可得2
2
43b a =，故2
c e a ===
.
故选：B . 【点睛】
本题考查双曲线的离心率，属于中档题. 11．定义在R 上函数()f x 的导函数为'()f x ，且
'()
2()2
f x f x -<，若()01f =-，则不等式()22x
e
f x -<的解集为（ ）
A ．(),0-∞
B ．()0,∞+
C ．(),1-∞-
D ．()1,-+∞
【答案】A 【解析】令2()2
(),x
f x
g x x R e
+=
∈，可求函数()g x 在R 上单调递减. 由2()2x e f x -<，可得()1g x >，从而可求不等式()22x
e f x -<的解集.
【详解】
令2()2(),x f x g x x R e +=∈，则''
2()2()4()x
f x f x
g x e
--=， 由'()
2()2f x f x -<，得'()42()0f x f x --<，
'()0g x ∴<，∴函数()g x 在R 上单调递减.
由2()2x
e
f x -<，可得2()2x f x e +>，2()2
1x
f x e +∴
>， 即()()(0)(01,
1,)g x g g x g =∴>>，
又函数()g x 在R 上单调递减，0x ∴<. 故不等式2()2x
e f x -<的解集为(),0-∞.
故选：A . 【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，属于中档题. 12．已知数列{}n a n -的前n 项和为n S ，且2
1
1
(1)n
i i i i a
a n +=⎡⎤+-=⎣⎦∑，20181S =，
则1a =（ ） A ．
3
2
B ．
12
C ．
52
D ．2
【答案】A
【解析】依题意，22
1(1)(1)21n n n a a n n n ++-=--=-，对n 分奇数和偶数进行讨论，
利用数列的前n 项和公式可得关于1a 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】
依题意，22
1(1)(1)21n n n a a n n n ++-=--=-，
故当n 为奇数时，12121,
21,n n n n a a n a a n +++-=-⎧⎨
+=+⎩22n n a a ++=， 当n 为偶数时，121
21,
21,n n n n a a n a a n ++++=-⎧⎨
-=+⎩24n n a a n ++=， 2018122018(122018)1S a a a =++
+-++
+=，
即1220182018(12018)
11009201912
a a a ⨯+++⋅⋅⋅+=
+=⨯+，
又122018a a a ++⋅⋅⋅+()()13520172462018a a a a a a a a =+++++++++
(12504(1620164)2504)2a a ⨯+⨯⎛
⎫=+⨯++ ⎪⎝⎭
([]112504)1252(1620164)a a =+⨯+++⨯+⨯
11210082021a =++⨯，
所以，11009201911210082021a ⨯+=++⨯，
110092019100820212a ⨯-⨯=
10082019201910082021322
⨯+-⨯==.
故选：A. 【点睛】
本题考查数列递推关系的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解的关键是对关系2
1
1
(1)n
i i i i a
a n +=⎡⎤+-=⎣⎦
∑的灵活运用.
二、填空题
13．已知向量()()2,3,24,7m m n =-+=-，则,m n 夹角的余弦值为_________.
【答案】
65
【解析】求出,,n m n ，根据cos ,m n m n m n
=即得.
【详解】
()()2,3,24,7,13m m n m =-+=-=，
()(
)21,2,52
m n m n n +-∴==-=
，
2132865
cos ,135
m n m n m n
⨯+-⨯-∴=
=
=⨯. 故答案为：865
. 【点睛】
本题考查两向量的夹角公式，属于基础题.
14．已知实数,x y 满足1121x y x y x y +≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤+⎩
，则3z x y =+的最小值为_________.
【答案】1
【解析】画出可行域，根据目标函数的几何意义即求z 的最小值. 【详解】
作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示
由3z x y =+，可得3y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距.
平移直线3y x z =-+，当直线过可行域内的点()0,1A 时，3z x y =+最小，最小值为1. 故答案为：1. 【点睛】
本题考查简单的线性规划，属于基础题.
15．当120x x m <<<时，不等式2112x x x x <恒成立，则实数m 的最大值为_________. 【答案】e
【解析】设ln ()x f x x =，由2112ln ln x x x x <，得1212ln ln x x x x <，得函数ln ()x f x x
=在()0,m 上为增函数，即求m 的最大值.
【详解】
设
ln ()
x f x
x
=
，由2112
ln ln
x x x x
<，得12
12
ln ln
x x
x x
<，
即当12
0x x m
<<<时，都有()()
12
f x f x
<，
∴函数
ln
()
x
f x
x
=在()
0,m上为增函数，
'
2
1ln
()0
x
f x
x
-
∴=≥，0x e
∴<≤.
故m的最大值为e.
故答案为：e.
【点睛】
本题主要考查利用导数解决不等式恒成立问题，属于中档题.
16．已知函数()sin()
f x A x
ωϕ
=+（0
A>，0
>
ω）的部分图象如图所示，其中
,3
3
M
π⎛⎫
⎪
⎝⎭
是图象的一个最高点，
4
,0
3
N
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
是图象与x轴的交点，将函数()
f x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
12
后，再向右平移
4
π
个单位长度，得到函数()
g x的图象，则函数()
g x的单调递增区间为________.
【答案】
5
,
93183
k k
ππππ
⎡⎤
++
⎢⎥
⎣⎦
（k∈Z）
【解析】根据图像得到()
f x的解析式，再根据伸缩变换和平移变换得到()
g x的解析式，进而求出单调区间.
【详解】
依题意，3
A=，
4
433
Tππ
π
=-=，即4
Tπ
=，故
1
2
ω=，
1
()3sin
2
f x xϕ
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
；
将,33π⎛⎫
⎪⎝⎭
代入()f x 中，可知12232k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，
故23
k π
ϕπ=
+，k ∈Z ；
不妨设0k =，故函数1
()3sin 2
3f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭；
将函数()f x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
12
后， 得到3sin 63y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，再向右平移
4
π
个单位长度， 得到()3sin 643g x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦33sin 63cos 6233x x πππ⎛⎫⎛
⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 令26223
k x k π
ππππ+≤+
≤+（k ∈Z ），
解得593183
k k x ππππ
+≤≤+（k ∈Z ），
故函数()g x 的单调递增区间为5,9318
3k k ππππ⎡⎤
++⎢
⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 故答案为：5,93183k k ππππ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦
（k ∈Z ）. 【点睛】
本题考查三角函数的图像与性质、伸缩变换与平移变换、单调区间，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
三、解答题
17．在ABC ∆中，4
BAC π
∠=
，2AB =，2
BC =
，M 是线段AC 上的一点，且
tan AMB ∠=-
（1）求AM 的长度； （2）求BCM ∆的面积.
【答案】（1）1
2
AM =
（2 【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得sin AMB ∠，cos AMB ∠的值，再利用正弦定理求得AM 的长度；
（2）根据AMB CMB π∠+∠=可得sin CMB ∠，再利用正弦定理求得BM ，进一步
利用余弦定理求得CM ，最后代入三角形的面积公式，即可得答案； 【详解】
（1）因为sin tan cos AMB
AMB AMB
∠∠=
=-∠
且22sin cos 1AMB AMB ∠+∠=，
联立两式，解得sin 3
AMB ∠=
，1cos 3AMB ∠=-，
故sin sin()ABM AMB A ∠=∠+1432326
-=
-⨯=
， 由正弦定理
sin sin AM AB
ABM AMB =∠∠，
所以sin 1
sin 2
AB ABM AM AMB ⋅∠=
=∠. （2）因为AMB CMB π∠+∠=，
故1
cos cos()cos 3
CMB AMB AMB π∠=-∠=-∠=
，
所以sin 3
CMB ∠=
， 在ABM ∆中，由正弦定理sin sin BM AB
A AMB
=∠， 故sin 3
sin 2
AB A BM AMB ⋅=
=∠，
在BCM ∆中，由余弦定理2222cos BC BM CM BM CM CMB =+-⋅⋅∠， 得
21793124423
CM CM =+-⨯⨯⨯， 解得2CM =或1CM =-（舍去）.
所以BCM ∆的面积113sin 22223
S BM CM CMB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=【点睛】
本题考查三角形的内角和、诱导公式、正余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
18．如图所示，在三棱锥S BCD -中，平面SBD ⊥平面BCD ，A 是线段SD 上的点，
SBD ∆为等边三角形，30BCD ∠=︒，24CD DB ==.
（1）若SA AD =，求证：SD CA ⊥； （2）若直线BA 与平面SCD 所成角的正弦值为4195
65
，求AD 的长. 【答案】（1）见解析（2）12AD =
或32
. 【解析】（1）利用面面垂直性质定理可得BC ⊥平面SBD ，从而推出BC SD ⊥，再证明BA SD ⊥，进一步利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，即可得到线线垂直； （2）以B 为坐标原点，BC ，BD 所在直线为x 轴，y 轴，过点B 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设(0,3),(01)DA DS λλλλ==-≤≤，平面SCD 的一个法向量(1,3,1)m =，利用向量的夹角公式，即可得答案； 【详解】
（1）依题意，2BD =，
在BCD ∆中，4CD =，30BCD ∠=︒， 由余弦定理可求得，23BC = ∴222CD BD BC =+，即BC BD ⊥， 又平面SBD ⊥平面BCD ，平面SBD 平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，
∴BC ⊥平面SBD BC SD ⇒⊥， 等边SBD ∆中，SA AD =， 则BA SD ⊥，且BC
BA B =，
∴SD ⊥平面BCA ，∴SD CA ⊥.
（2）以B 为坐标原点，BC ，BD 所在直线为x 轴，y 轴，过点B 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出
则(0,0,0)B ，(23,0,0)C ，(0,2,0)D ，3)S ， 故(23,2,0)CD =-，(0,1,3)SD =， 设平面SCD 的一个法向量为(,,)m x y z =，
则0,0,m CD m SD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2320,
30,
x y y z ⎧-+=⎪⎨
=⎪⎩ 取1x =，则3y =
1z =，
所以(1,3,1)m =，
设(0,3),(01)DA DS λλλλ==-≤≤， 故(0,23)A λλ-，则(0,23)BA λλ=-，
故||sin cos ,||||
m BA m BA m BA θ⋅==⋅2223334195655(2)3λλλλ==⋅-+，
解得14λ=
或34，则12AD =或3
2
. 【点睛】
本题考查线面垂直判定定理、面面垂直性质定理的应用、已知线面角求线段长，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.
19．为了感谢消费者对超市的购物支持，超市老板决定对超市积分卡上积分超过10000分的消费者开展年终大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空.回馈活动设计了两种方案：
方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题； 方案二：消费者全部选择单选题进行回答；
其中单选题答对得2分，多选题答对得3分，无论单选题还是多选题答错得0分；每名参赛的消费者至多答题3次，答题过程中得到3分或3分以上立刻停止答题，得到超市回馈的奖品.为了调查消费者对方案的选择，研究人员在有资格参与回馈活动的500名
消费者中作出调研，所得结果如下所示：
（1）是否有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关；
（2）小明回答单选题的正确率为0.8，多选题的正确率为0.75.
（ⅰ）若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列以及期望；
（ⅱ）如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由.
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，n a b c d
=+++.
【答案】（1）没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关.
（2）（ⅰ）见解析，3.05（ⅱ）方案一，见解析
【解析】（1）直接根据卡方公式将数据代入计算，并与6.635比较大小，即可得到结论；（2）（ⅰ）X的所有可能取值为0，2，3，4，求出概率值，进而得到分布列和期望；（ⅱ）分别计算两种方案获得奖品的概率，即可得答案；
【详解】
（1）依题意，完善列联表如下所示：
2
2
500(150********) 4.831230270300200
6.635K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，
故没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关. （2）（ⅰ）X 的所有可能取值为0，2，3，4， 则1111
(0)455100P X ==
⨯⨯=， 1148
(2)2455100P X ==⨯⨯⨯=，
375
(3)4100
P X ===，
14416
(4)455100
P X ==⨯⨯=，
故X 的分布列为：
所以187516305()0234 3.05100100100100100E X =⨯
+⨯+⨯+⨯==. （ⅱ）小明选择方案一获得奖品的概率为
1751691
(3)0.91100100100
P P X =≥=
+==， 小明选择方案二获得奖品的概率为
214444112896(3)20.896555551251000
P P X =≥=⨯⨯⨯+⨯===，
因为21P P <，所以小明选择方案一更有可能获得奖品. 【点睛】
本题考查独立性检验思想的应用、卡方公式计算、随机变量的分布列和期望，考查阅读理解能力、运算求解能力.
20．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F .
（Ⅰ）若12
4PF PF +=，求点P 到点1,02M ⎛⎫
⎪⎝⎭
距离的最大值；
（Ⅱ）若过点()4,0且不与坐标轴垂直的直线与椭圆C 分别交于,E F 两点，点
()()0,,0,A B A y B y 分别在直线22,F E F F 上，比较22,F A F B 的大小关系，并说明理
由.
【答案】（Ⅰ）最大值
5
2
；（Ⅱ）22F A F B =，见解析. 【解析】（Ⅰ）根据122PF PF a +=，得点P 在椭圆C 上. 设点()00,P x y ，则
22
00
143
x y +=，可得[]220002,2113,44PM x x x =-+∈-，可求PM 最大值；
（Ⅱ）设直线EF 的方程为()4y k x =-，()()1122,,,E x y F x y （11x ≠且21x ≠）.把直线EF 的方程代入椭圆的方程，利用韦达定理证明220AF BF k k +=，可得
22OF A OF B ∠=∠，即得线段22,F A F B 的大小关系.
【详解】
（Ⅰ）依题意，点P 在椭圆C 上.
设点()00,P x y ，则22
00
143
x y +=，
故
()2
2
222
220000000011311319322444444PM x y x x x x x x ⎛⎫=-+=-++-=-+=-+ ⎪⎝
⎭，
其中[]02,2x ∈-， 故当02x =-时，2max
25
4
PM
=
， PM ∴的最大值为5
2
.
（Ⅱ）设直线EF 的方程为()4y k x =-，()()1122,,,E x y F x y （11x ≠且21x ≠）.
由()22414
3y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222433264120k x k x k +-+-=.
依题意(
)()()2
2223244364120k
k k ∆=--⨯+->，即21
04
k <<
，
则21222
1223243
641243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
. 因为2222121211
AF BF EF FF y y
k k k k x x +=+=
+-- ()()()()()
1212121212258441
111k x x x x k x k x x x x x -++⎡⎤--⎣
⎦=
+
=---- ()()
222
21264123225843430
11k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦
==-- 所以直线2AF 的倾斜角与直线2BF 的倾斜角互补，即22OF A OF B ∠=∠. 因为2OF AB ⊥，所以22F A F B =. 【点睛】
本题考查椭圆定义的应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于难题.
21
．已知函数2()f x x m =+
（Ⅰ）若12=-m ，证明：函数()f x 在区间()2,3上有且仅有1个零点；
（Ⅱ）若关于x 的不等式2
2()f x m ≥在[]1,2上恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ
）⎡⎣.
【解析】（Ⅰ）先判断函数()f x 在区间()2,3上的单调性，再根据零点存在定理即可证明；
（Ⅱ）令()2()g x f x =，由题意只需[]2
min )1,2(,g x m x ∈≥.对m 分类讨论即求.
【详解】
（Ⅰ）证明：函数()f x 的定义域为()0,∞+. 当12=-m 时，2
2()ln 6ln 2
m
f x x x x x =+=-， 则(
)(
'
2622
()23f x x x x x x x x
=-
=-=， 当()2,3x ∈时，'
()0f x >，∴函数()f x 在()2,3上单调递增，
又()()()()2346ln 296ln30f f =--<， 故函数()f x 在()2,3上有且仅有1个零点.
（Ⅱ）令2
()2()2ln g x f x x m x ==+，
则[]2'
4()4,1,2m x m
g x x x x x
+=+=∈；
当16m ≤-时，'
()0g x ≤对[]
1,2x ∈恒成立，()g x ∴在[]1,2上单调递减，
2min ()(2)8ln 2g x g m m ∴==+≥，又16m ≤-，不等式无解，m ∴∈∅；
当4m ≥-时，'
()0g x ≥对[]
1,2x ∈恒成立，()g x ∴在[]1,2上单调递增，
2min ()(1)2g x g m ∴==≥，又4m ≥-
，m ≤≤
当16m -<<-4时，令'
()0g x =
，得()1,22
x =
，
当12x <<
时，'()0g x <
；当22
x <<时，'
()0g x >， ()g x ∴
在⎛ ⎝⎭
上单调递减，在2⎫⎪⎪⎝⎭
上单调递增， (
)2
min ln 224m m m g x g m ⎛⎫∴==-+-≥ ⎪⎝⎭⎝⎭
，11ln 242m m ⎛⎫∴-+-≤ ⎪⎝⎭； 令4m t =-
()14t <<，则11
4ln 22
t t +≤， 易知1
4ln 2
y t t =+
在()1,4t ∈上单调递增， 则14ln 2t t +
4>，从而11
4ln 22
t t +≤不可能成立，舍去. 综上所述，实数m
的取值范围为⎡⎣.
【点睛】
本题考查零点存在定理，考查导数在函数中的应用，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为3x y θθ
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）.
以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为6cos ρα=.
（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线12,C C 交于,M N 两点，求直线MN 的极坐标方程以及,M N 的极坐标（要求写出的极径非负，极角在[)0,2π上）.
【答案】（Ⅰ）26sin 360ρρθ--=；2260x y x +-=；（Ⅱ）极坐标方程为
cos 4πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭,M N 的极坐标为()7,6,04M N π⎛⎫
⎪⎝⎭或()7
6,0,4M N π⎛⎫ ⎪⎝
⎭. 【解析】（Ⅰ）先把曲线1C 的参数方程化为普通方程，再把普通方程化为极坐标方程.
由6cos ρα=得26cos ρρα=，即得曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）由曲线12,C C 的直角坐标方程求出直线MN 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；先求出,M N 两点的直角坐标，再化为极坐标.
【详解】
（Ⅰ）依题意，曲线()2
21:345C x y +-=，故22636x y y +-= 即曲线1C 的极坐标方程为26sin 360ρρθ--=；
曲线2C :26cos ρρα=，即2260x y x +-=，
则曲线2C 的直角坐标方程为2260x y x +-=.
（Ⅱ）联立222263660
x y y x y x ⎧+-=⎨+-=⎩， 两式相减可得6-=x y ，
即cos sin 6ρθρθ-=cos 64θπ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，
即直线MN 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭ 联立22660
x y x y x -=⎧⎨+-=⎩故29180x x -+=，
解得33x y =⎧⎨=-⎩或60
x y =⎧⎨=⎩ 故,M N
的极坐标为()7,6,04M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭或(
)76,0,4M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，属于中档题.
23．已知函数()324f x x x =++-
（1）求不等式()8f x >的解集；
（2）若关于x 的不等式2()3f x m x x +>+-的解集为R ，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）()(),13,-∞-+∞；（2）()3,-+∞. 【解析】（1）根据零点分段讨论求解不等式的解集；
（2）分离参数等价转化为224m x x >---恒成立，求解2()24g x x x =---的值域即可得解.
【详解】
（1）依题意，3248x x ++->
当3x <-时，原式化为3428x x --+->， 故73
x <-，解得3x <-； 当32x -≤≤时，原式化为3248x x ++->
故3x >，解得3x >；
综上所述，不等式()8f x >的解集为()
(),13,-∞-+∞
（2）依题意，23243x x m x x ++-+>+- 即224m x x >--- 224m x x >---对x ∈R 恒成立 令2()24g x x x =---=()()222213,224,224,215,2
x x x x x x x x x x ⎧---≤⎧-+-≤⎪=⎨⎨--+>-++>⎩⎪⎩ max ()(1)3,3g x g m ∴==->-
故实数m 的取值范围是()3,-+∞
【点睛】
此题考查解绝对值不等式，根据不等式恒成立求参数取值范围，关键在于等价转化，通过求函数最值解决问题.。