2023年高考全国甲卷数学(文)真题

一、单选题
1.
已知公差不为零的等差数列
中，，且，，成等比数列，是数列的前项和，则
（ ）
A ．45
B ．42
C ．84
D ．135
2. 已知函数
，若关于x 的不等式
恰有1个整数解，则实数a 的最大值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．8
3. 已知偶函数
在
上单调递增，若
，则（ ）
A
．B
．C
．
D
．
4. 已知是虚数单位，是
的共轭复数，若
，则的虚部为
A
．B
．C
．D
．
5. 一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
6. 如图，正四棱台
中，点
分别是棱
的中点，则下列判断中，不正确的是（
）
A ．
共面B ．
平面
C
．
平面
D ．
平面
7. 若函数
存在平行于轴的切线，则实数取值范围是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
8. 已知
的展开式中含
的项的系数为
，则
（ ）
A
．
B
．
C
．D
．
9. 设集合
， 则选项正确的是（ ）
A
．B
．C
．
D
．
10. 函数
的反函数是（ ）
A
．B
．C
．
D
．
11.
已知函数
，若时，在
处取得最大值，则的取值范围为（ ）
A
．
B
．C
．D
．
12.
若
的展开式中项的系数为，则的最小值为
2023年高考全国甲卷数学(文)真题
二、多选题
三、填空题
四、填空题
五、解答题
A
．
B
．C
．D
．
13. 已知函数
的图象经过点
，且
在
上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是
（ ）
A
．B
．
C ．
在
上单调递增
D ．
在
上有3个极小值点
14.
关于函数下列结论正确的是（ ）
A ．图像关于轴对称
B ．图像关于原点对称
C ．在上单调递增
D
．恒大于0
15. 设直线l
：
，圆C
：
，若直线l 与圆C 恒有两个公共点A ，B ，则下列说法正确的是
（ ）
A ．r
的取值范围是
B ．若r 的值固定不变，则当时∠ACB 最小
C ．若r
的值固定不变，则
的面积的最大值为
D ．若
，则当
的面积最大时直线l 的斜率为1
或
16. 2022年我国对外经济进口总值累计增长率统计数据如图所示，则（
）
A ．2022年我国对外经济进口总值逐月下降
B ．2022年我国对外经济进口总值累计增长率在前6个月的方差大于后6个月的方差
C ．2022年我国对外经济进口总值累计增长率的中位数为5.5%
D ．2022年我国对外经济进口总值累计增长率的80%分位数为7.1%
17. 若公比为2
的等比数列
满足，则
的前7项和为__________．
18.
右图是某高三学生进入高中三年来第次到次的数学考试成绩茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为
_________.
19. 已知向量
，
满足
，
，且与的夹角为150°，则______．
20.
甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是
，三人都做对的概率是
，三人都做错的概率是，则乙、丙两人各自做对这
道题的概率分别为______，甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为______．
21. 用0，2，3，4，5五个数组成无重复数字的四位数，则不同的四位数共有______个，其中偶数共有______个．
六、解答题
七、解答题
22. 如图，两射线、均与直线l 垂直，垂足分别为D 、E 且.点A 在直线l 上，点B 、C 在射线上
.
(1)若F 为线段BC 的中点（未画出），求的最小值；
(2)若
为等边三角形，求
面积的范围.
23.
已知数列的前顶和为.且.
(1)求数列的通项公式；(2)
在数列
中，
，求数列的前项和
.
24. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调
查，将收集的数据分成
六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻
炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标
”.
(1)
请根据直方图中的数据填写下面的
列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有
关？
课外体育不达标
课外体育达标合计
男60
女110
合计
附加公式：
，
(2)在[0，10），[40，50）这两组中采取分层抽样，抽取6人，再从这6名学生中随机抽取2人参加体育知识问卷调查，求这2人中一人来自“课
外体育达标”和一人来自“课外体育不达标”的概率．
25.
如图，在直三棱柱中，D ，E 分别是棱AB
，
的中点，，．
八、解答题
(1)
求证：
平面；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线
与平面
所成的角的正弦值．
条件①：
；条件②：
；条件③：
到平面
的距离为1．
26. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 为PC 上一
点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=
．
（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
（2）若二面角M-BQ-C 为30°，设PM=MC ，试确定 的值.
27. 北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜
的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.
现在有
材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图
.
A 材
料
材料
合计
试验成功试验失败合计
(1)根据等高堆积条形图，填写如上列联表（单位：次），判断试验结果与材料是否有关？如果有关，你有多大把握认为它们相关？(2)研究人员得到石墨烯后．再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV 胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的
九、解答题
概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元.试问如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？ 附：
，其中
0.100.050.0250.0100.00
12.706
3.841
5.024
6.635
10.828
28. 如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，∠BAC ＝30°，BM ⊥AC 交AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，FC //EA ，AC ＝4，EA ＝3，FC ＝1．
（1）证明：EM ⊥BF ；
（2）求平面BEF 与平面ABC
所成的二面角的余弦值．。