必修第二册三角函数之诱导公式化简题练习

诱导公式化简题
1. 设k 为整数，化简：sin(kπ−α)cos[(k−1)π−α]
sin[(k+1)π+α]cos(kπ+α)．
2. 已知角α的终边经过单位圆上的点P(4
5,−3
5). (1)求sin α的值; (2)求cos(2π−α)
sin(π+α)·
tan(π+α)
cos(3π−α)
的值．
3. 已知角α的终边经过点P(m,2√2)，sinα=2√2
3
且α为第二象限
角．
(1)求m 、cosα、tanα的值；
(2)若tanβ=√2，求sinαcosβ+3sin(π2
+α)sinβ
cos(π+α)cos(−β)−3sinαsinβ的值．
4. 已知f (α)=
sin (α−3π)cos (2π−α)sin(−α+
3π2
)cos (−π−α)sin (−π−α)
．
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos (α−3π
2
)=1
5，求f(α)的值； (3)若α=−31π3
，求f(α)的值．
5. 已知角α的终边经过点P(m,2√2)，sinα=2
√2
3
且α为第一象限角． (1)求m 的值；
(2)若tanβ=√2，求sinαcosβ+3sin(π2
+α)sinβ
cos(π+α)cos(−β)−3sinαcos(3π
2
+β)
的值．
6. 已知角α为第一象限角，且sinα=√5
5
．
(1)求cosα，tanα的值； (2)求3sin(π−α)−2cos(π+α)
cos(π2
−α)
的值．
7. (1)cos 2(α−
2π
3)+sin 2
(a +π
6
)−sin 2α (22cos40∘+cos 10∘(1+tan 60∘tan 10∘)
√1−cos 170°
cos 40°+sin 50°(1+√3tan 10°)
sin 70°√1+cos 40°
8. A 、B 是单位圆O 上的点，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 在第二象限.记∠AOB =θ且sinθ=4
5． (1)求B 点坐标； (2)求sin(π+θ)+2sin(π2
−θ)
2cos(π−θ)
的值．
9. 已知角α的终边过点P (45,−3
5)． (1)求sinα的值; (2)求式子sin(π2
−α)sin (α+π
)
⋅tan (α−π)
cos (3π−α)
的值．
10.已知f(α)=
sin 2 (π−α)⋅cos (2π−α)⋅tan (−π+α)
sin (−π+α)⋅tan (−α+3π)
．
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)=1
8，且π
4<α<π
2，求cos α−sin α的值
11.已知角α的终边过点A (−1,m )，且sinα=√5
5m(m ≠0)．
(1)求非零实数m 的值；
(2)当m >0，求sin(2π−α)+cos(π+α)
cos(α−π)−cos(3π2
−α)的值．
12.已知cos (π+α)=−1
2，且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π−α)； (2)sin [α+(2n+1)π]+sin [α−(2n+1)π]
sin (α+2nπ)cos (α−2nπ)
(n ∈Z )．
13.已知．
(1)化简f (a )；
(2)若α是第三象限角，且cos (α−3π
2
)=1
5，求f (a )的值．
14.已知f(α)=
sin(α−3π)cos(2π−α)sin(−α+
3π2
)cos(−π−α)sin(−π−α)
．
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos(α−3π
2)=1
5
，求f(α)的值； (3)若α=−31π3
，求f(α)的值．
15.已知sinα=−4
5，且α是第____象限角.从(1)一，(2)二，(3)三，(4)四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题： (1)求cosα,tanα的值； (2)化简求值：sin(π−α)cos(2π−α)sin(32
π+α)cos(2021π+α)tan(2021π−α)
−cos 2(π+α)．
16.证明：
17.已知cosα=−4
5，且α为第二象限角． (Ⅰ)求cos (π
2−2α)的值；
(Ⅱ)求tan (2α+π
4)的值．
18.已知sin (π−α)−cos (π+α)=√23(π
2
<α<π)，求
(1)sinα−cosα的值;
(2)sin 3(2π−α)+cos 3(2π−α)的值．
19.已知f(α)=
sin(π+α)⋅sin(π−α)+cos(2π+α)⋅cos(π2
−α)
tan(3π+α)⋅cos(2π−α)
(1)化简f(α)；
(2)若α的终边经过点P(−3,4)，求f(α)．
20.已知cos (π+α)=4
5，且tanα>0． (1)求tanα的值； (2)求2sin(π−α)+sin(π2−α)
cos(−α)+4cos(π
2
+α)
的值．
答案和解析1.【答案】解：方法一：
当k为偶数时，设k=2m(m∈Z)，则原式=sin(2mπ−α)cos[(2m−1)π−α]
sin[(2m+1)π+α]cos(2mπ+α)
=sin(−α)cos(π+α) sin(π+α)cosα
=−sinα(−cosα)−sinαcosα
=−1．
当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z)，同理可得原式=−1．
方法二：
由于kπ−α+kπ+α=2kπ，
(k+1)π+α+(k−1)π−α=2kπ，
故sin(kπ−α)=−sin(kπ+α)，
cos[(k−1)π−α]=cos[(k+1)π+α]=−cos(kπ+α)，
又sin[(k+1)π+α]=−sin(kπ+α).
所以原式=−sin(kπ+α)[−cos(kπ+α)]
−sin(kπ+α)cos(kπ+α)
=−1．
【解析】本题考查诱导公式的运用，考查三角函数的化简求值，属于中档题．
方法一：分k为偶数和奇数两种情况结合诱导公式进行求解即可；
2.【答案】解：(1)∵点P在单位圆上，∴由正弦的定义得sinα=−3
5
．
(2)原式=cosα
−sinα·tanα
−cosα
=sinα
sinα·cosα
=1
cosα
，
由余弦的定义得cosα=4
5
，
故原式=5
4
．
【解析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，属于基础题．
(1)利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．
(2)利用三角函数的诱导公式进行化简，再根据已知求出、
，代入即可求解．
3.【答案】解：(1)∵由题意，m<0，则sinα=2√2
√m2+8=2√2
3
，
解得m=−1．
∴cosα=−1
√(−1)2+(2√2)2=−1
3，tanα=−2√2；
(2)由(1)知，tanα=−2√2，又tanβ=√2，
∴sinαcosβ+3sin(π
2
+α)sinβ
cos(π+α)cos(−β)−3sinαsinβ=sinαcosβ+3cosαsinβ
−cosαcosβ−3sinαsinβ
=tanα+3tanβ
−1−3tanαtanβ
=
−2√2+3√2
−1−3×(−2√2)×√2=√2
11
．
【解析】(1)由题意，m<0，再由正弦函数的定义列式求得m，则cosα，tanα的值可求；
值，
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
4.【答案】解：(1)f(α)=(−sinα)cosα(−cosα)
(−cosα)sinα
=−cosα．
(2)∵cos(α−3π
2)=−sinα，∴sinα=−1
5
，
又α是第三象限的角，
∴cosα=−√1−(−1
5)
2
=−2√6
5
，∴f(α)=2√6
5
．
(3)f(−31π
3)=−cos(−31π
3
)=−cos(−6×2π+5π
3
)=−cos5π
3
=
−cosπ
3=−1
2
．
【解析】【试题解析】
本题考查了同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角函数的化简求值和证明的相关知识，试题难度一般．
(1)直接利用诱导公式化简即可；
(2)利用诱导公式可得sinα=−1
5
，然后利用同角三角函数关系求出结果；
(3)利用诱导公式求解即可．
5.【答案】解：(1)由三角函数定义可知sinα=2√2
3=√2
√m2+8
，
解得m=±1，
则m =1；
(2)由(1)知tanα=2√2，
sinαcosβ+3sin(π
2
+α)sinβ
cos(π+α)cos(−β)−3sinαcos(3π
2
+β)
=−sinαcosβ+3cosαsinβcosαcosβ+3sinαsinβ
=−tanα+3tanβ1+3tanαtanβ
=√2+3√21+3×2√2×√2
=−
5√2
13
．
【解析】本题考查了任意角的三角函数、诱导公式，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属中档题．
(1)由三角函数定义可知sinα=2√23
=
√2
√m 2+8
，从而得出结果；
(2)化简得
sinαcosβ+3sin(π2
+α)sinβ
cos(π+α)cos(−β)−3sinαcos(
3π
2
+β)=−
tanα+3tanβ1+tanαtanβ
，代入
tanα=2√2和tanβ=√2即可得出结果．
6.【答案】解：(1)∵角α为第一象限角，且sinα=√5
5，
∴cosα=√1−sin 2α=
2√55
，tanα=sinαcosα=1
2．
(2)3sin(π−α)−2cos(π+α)
cos(π2
−α)
=
3sinα+2cosα
sinα
=3+
2tanα
=3+
2
12
=7．
【解析】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． (1)由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解； (2)利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解． 7.【答案】(1)解：cos 2(α−
2π3
)+sin 2(a +π
6
)−sin 2α
=12(1−12cos2α−√32sin2α+1−12cos2α+√32
sin2α−1+cos2α)
=1
2×1=1
2． (2)解：
∘∘∘∘√1−cos 170°
=
2cos40∘+cos 10∘(1+√
3sin 10∘
cos10°)√1+cos 10°
=2cos40∘+√3sin 10∘+cos 10∘
√2cos5°
=2cos40∘+2sin 40∘
√2cos5°
=2√2sin 85∘√2cos5°
=
2√2cos 5∘√2cos5°
=2． (3)解：
√3tan 10°)
sin 70°√1+cos 40°
=cos 40°+sin 50°(1+√
3sin10°
cos10°) cos 20°·√2cos20°
=cos 40°+sin 50°(
cos10°+√3sin10°
cos10°)
√2cos220°
=cos 40°+
cos 40°×2sin40°
cos10°
√2cos220°
=cos 40°+
sin80°
cos10°√2×
1+cos40°
2
=cos 40°+
cos10°
cos10°√2
2×(1+cos40°)
=
cos 40°+1
√2
2×(1+cos40°)
=√2．
【解析】(1)本题主要考查的是三角函数化简求值问题，属于基础题．
可先利用倍角公式化倍角，再利用两角和差公式展开化简求值即可．
(2)本题主要考查的是三角函数化简求值问题，属于基础题．
可结合倍角公式对根式化简，同时对分子中的正切化弦，再结合辅助角公式化简求值即可．
(3)本题主要考查的是三角函数化简求值问题，属于基础题．
可结合倍角公式对根式化简，同时对分子中的正切化弦，再结合
辅助角公式化简求值即可．
8.【答案】解：(1)A 、B 是单位圆O 上的点，点B 在第二象限， sinθ=45，则cosθ=−3
5，
设B 点坐标为(x,y )， 则B (−35,4
5)；
=−45
+2(−35
)−2(−35)
=−5
3
．
【解析】本题考查任意角的三角函数三角函数以及用诱导公式化简三角函数式，属于基础题． (1)利用三角函数定义求出B (−35,4
5)；
(2)化简
，将sinθ=4
5，则cosθ=
−3
5
代入求值即可． 9.【答案】解：(1)∵角α的终边经过点P(4
5,−3
5)， ∴x =4
5，y =−3
5，r =|OP|=1，
由正弦函数的定义得sinα=
y r
=−3
5
．
(2)由(1)可得cosα=x
r =4
5，tanα=y
x =−3
4，
sin(π
2−α)sin(α+π)·
tan(α−π)
cos(3π−α) =cosα−sinα·
tanα
−cosα
=
1cosα
=5
4．
【解析】【试题解析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式的应用，属于中档题．
(1)利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值． (2)利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求得
sin(π2
−α)
sin(α+π)
·
tan(α−π)cos(3π−α)
=
1cosα
，再代入求解即可．
10.【答案】解：(1)f(α)=
sin 2α⋅cosα⋅tanα−sinα⋅(−tanα)
=sinαcosα=
12
sin2α．
(2)f(α)=sinαcosα=1
8
，
∴(cosα−sinα)2=cos 2α+sin 2α−2sinαcosα=1−2×1
8
=
34
，
∵
π4
<α<π
2
，
∴cosα−sinα<0． ∴cosα−sinα=−√3
2
．
【解析】本题考查了诱导公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． (1)利用诱导公式即可得出．
(2)f(α)=sinαcosα=1
8，由(cosα−sinα)2=cos 2α+sin 2α−
2sinαcosα，代入化简，根据π
4<α<π
2，可得cosα−sinα<0.即可得出．
11.【答案】解：(1)点A 到原点的距离r =√1+m 2，sinα=
y r
=
√1+m 2
=
√5
5
m(m ≠0)，
解得m =±2；
(2)由题可知，m 取2，α为第二象限角，
sinα=
2√5
5
，cosα=−√5
5
，tanα=−2， sin(2π−α)+cos(π+α)
cos(α−π)−cos(3π
2
−α)
=
−sinα−cosα−cosα+sinα
=
sinα+cosαcosα−sinα
=
tanα+11−tanα
=−1
3
．
【解析】本题考查三角函数的定义，诱导公式及同角三角函数的基本关系，考查了运算与求解能力，属于基础题． (1)根据三角函数的定义可得sinα=y r
=
m √1+m 2
=
√5
5
m ，解方程即可求出结果；
(2)由题可知，m 取2，α为第二象限角，求出
，利用诱导
公式积及同角三角函数的基本关系化简所求式子，即可求出结果．
12.【答案】解：∵cos (π+α)=−1
2，∴−cosα=−1
2，即cosα=
12
．
又∵α是第四象限角，∴sinα=−√1−cos 2α=−√3
2
．
(1)sin(2π−α)=sin[2π+(−α)]=sin(−α)=−sinα=
√3
2
． (2)
sin [α+(2n +1)π]+sin [α−(2n +1)π]
sin (α+2nπ)cos (α−2nπ)
=
sin (2nπ+π+α)+sin (−2nπ−π+α)
sin (2nπ+α)cos (−2nπ+α) =sin (π+α)+sin (−π+α)sinαcosα=
−sinα−sin (π−α)
sinαcosα
=−2sinαsinαcosα
=−
2cosα
=−4．
【解析】本题考查了同角三角函数的基本关系、诱导公式的相关知识，属于基础题.由诱导公式先求出cosα=1
2，利用α所在的象限，结合同角公式求出sinα的值． (1)利用诱导公式即可求出结果； (2)利用诱导公式化简即可求出结果． 13.【答案】解：
；
(2)∵cos(α−
3π2
)=cos(
3π2
−α)=−sinα=1
5
，
∴sinα=−1
5，
又α为第三象限角， ∴cosα=−√1−(−1
5)2=−
2√6
5
， ∴f(α)=2√6
5
．
【解析】本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．
(1)利用诱导公式化简；
(2)由诱导公式可得，再利用同角三角函数关系求出cosα
即可．
14.【答案】解：(1) f(α)=(−sinα)·cosα·(−cosα)
(−cosα)·sinα
=−cos α；
(2) ∵cos (α−
3π
2
)=−sin α，∴sin α=−1
5， ∵α是第三象限角，∴cos α=−√1−(−15)2
=−2 √65，
∴f(α)=2 √65
；
(3) ∵−31π3
=−6×2π+
5π3
，
∴f (−
31π3
)=−cos (−
31π
3
)=−cos (−6×2π+
5π
3
)=−cos 5π3
=
−cos π
3=−1
2，
∴f(α)=−1
2．
【解析】本题主要考查诱导公式，三角恒等变换，同角三角函数的基本关系，终边相同的角化简求值． (1)由诱导公式化简求解即可；
(2)化简得到sin α=−1
5，再根据同角三角函数的基本关系，得到
cos α=−√1−(−15)2
=−
2 √6
5
，即可解得最后结果； (3)根据终边相同的角，可得f (−31π3
)=−cos (−
31π3
)=
−cos (−6×2π+
5π
3
)=−cos 5π3
=−cos π
3=−1
2
，f(α)的值．
15.【答案】解：(1)因为sin α=−4
5，所以α为第三象限或第四象限角；
若选③，cos α=−√1−sin 2 α=−35,tan α=sin αcos α=4
3；
若选④，cos α=√1−sin 2 α=3
5,tan α=sin α
cos α=−4
3； (2)原式=
sin αcos α(−cos α)−cos αtan (−α)
−cos 2α
=−sin αcos αtan α
−cos 2α=−sin αcos αsin αcos α
−cos 2α
=−2cos 2 α=−2[1−(4
5)2]=−18
25．
【解析】本题考查三角函数的化简求值以及诱导公式和同角三角函数关系，属于基础题．
(1)根据同角三角函数关系求解即可； (2)利用诱导公式结合cos 2α求出结果． 16.【答案】证明：原式
−sin(5π−θ)cos(π−θ)⋅
sinθ−sin(3π−θ)
⋅
cosθ−sin(θ+4π)
=
−sinθ−cosθ
⋅
sinθ−sinθ
⋅
cosθ−sinθ
=1．
【解析】本题主要考查诱导公式的应用，属于简单题． 根据诱导公式化简计算即可．
17.【答案】解：(1)∴cosα=−4
5，且α为第二象限角， ∴sinα=3
5
∴cos(π2−2α)=sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425
(2)由(1)知，tanα=35−45
=−3
4
，
∴tan2α=
2×(−3
4)
1−916
=−24
7
，
．
【解析】本题考查了三角函数求值，涉及同角三角函数的基本关系，二倍角公式，诱导公式，两角和差的三角函数，属于基础题．
(1)由同角三角函数的基本关系求得sinα=3
5
，再利用诱导公式及二倍角公式求解即可．
(2)由同角三角函数的基本关系求得tanα=−3
4
，再利用二倍角公式及两角和的正切求解即可．
18.【答案】解：(1)∵sin(π−α)−cos(π+α)=sinα+cosα=√2
3
，
∴两边平方得：(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=2
9
，即
2sinαcosα=−7
9
，
，∴sinα>0，cosα<0，即sinα−cosα>0，
则．
(2)sin3(2π−α)+cos3(2π−α)=−sin3α+cos3α=(cosα−
sinα)(1+sinαcosα)=−4
3×(1−7
18
)=−22
27
．
【解析】(1)已知等式利用诱导公式化简，两边平方并利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出2sinαcosα的值，根据α的范围判断出sinα与cosα的正负，得到sinα−cosα的正负，利用完全平方公式及二次根式的性质即可求出sinα−cosα的值；
(2)原式利用诱导公式化简，再利用立方差公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
19.【答案】解：(1)f(α)=sin(π+α)⋅sin(π−α)+cos(2π+α)⋅cos(π2−α)tan(3π+α)⋅cos(2π−α)
=−sinα⋅sinα+cosα⋅sinαtanα⋅cosα
=sinα⋅(cosα−sinα)sinα
=cosα−sinα．
(2)因为α的终边经过点P(−3,4)，
所以sinα=45，cosα=−35，
所以f(α)=cosα−sinα=−75．
【解析】本题主要考查了诱导公式，任意角的三角函数的定义，考查了转化思想，属于基础题．
(1)利用诱导公式即可化简得解．
(2)利用任意角的三角函数的定义可求sinα，cosα的值，即可得解．
20.【答案】解：(1)由cos(π+α)=45，得cosα=−45<0， 又tanα>0，则α为第三象限角，所以sinα=−35，
所以tanα=sinαcosα=34．
(2)2sin(π−α)+sin(π2−α)cos(−α)+4cos(π2
+α)=2sinα+cosαcosα−4sinα =
2tanα+11−4tanα=2×34+11−4×34=−54．
【解析】本题考查了诱导公式和同角三角函数基本关系式，是基础题．
(1)先根据诱导公式得cosα=−4
，再根据同角三角函数关系求
5
tanα的值;
(2)先根据诱导公式化简得2sinα+cosα
，再利用同角三角函数关系
cosα−4sinα
，最后将(1)的数值代入化简得结果．
化切：2tanα+1
1−4tanα。