天津市河西区2019-2020学年八年级上期中数学模拟试卷含解析

天津市河西区2019-2020学年八年级上期中数学模拟试卷含解
析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．下列说法：①能够完全重合的图形叫做全等形；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③全等三角形的周长相等、面积相等；④所有的等边三角形都全等；⑤面积相等的三角形全等．其中正确的说法有（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
3．在△ABC内一点P满足PA=PB=PC，则点P一定是△ABC（）
A．三条角平分线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点D．三条中线的交点
4．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（）
A．30°B．80°或20°C．80°或50°D．20°
5．如图，把△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上点E处，那么折痕AD是△ABC的（）
A．角平分线B．中线C．高线D．角平分线
6．如图，∠CBD、∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD=70°，∠ADE=149°，则∠A的度数是（）
A．28°B．31°C．39°D．42°
7．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F 的度数为（）
A．62°B．152°C．208°D．236°
8．如图，∠x的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x为（）
A．α﹣βB．β﹣αC．180°﹣α+βD．180°﹣α﹣β
9．如图，△ABD≌△ACE，∠AEC=110°，则∠DAE的度数为（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
10．如图所示，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS中（）
A．全部正确B．仅①和③正确C．仅①正确D．仅①和②正确
11．如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则（）
A．∠1=∠EFD B．BE=EC C．BF=DF=CD D．FD∥BC
12．为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）
A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处
二、填空题：
13．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF= 度．
14．如图，若△ABC≌△ADE，且∠B=65°，则∠BAD= ．
15．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是．
16．如图：
（1）在△ABC中，BC边上的高是；
（2）在△AEC中，AE边上的高是；
（3）在△FEC中，EC边上的高是；
（4）若AB=CD=2cm，AE=3cm，则S
= ，CE= ，BE= ．
△ACE
17．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点，若PD=2，则PQ的取值范围为．
18．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为64和42，则△EDF的面积为．
19．如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是．
20．如图，已知AB=A
1B，A
1
C=A
1
A
2
，A
2
D=A
2
A
3
，A
3
E=A
3
A
4
，…，以此类推，若∠B=20°，则∠
A= ．
三、综合题：
21．如图，∠AOB=30°，OA表示草地边，OB表示河边，点P表示家且在∠AOB内．某人要从家里出发先到草地边给马喂草，然后到河边喂水，最后回到家里．
（1）请用尺规在图上画出此人行走的最短路线图（保留作图痕迹，不写作法和理由）．（2）若OP=30米，求此人行走的最短路线的长度．
22．如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数．
23．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=∠BCD，点E是线段BD上一点，且BE=AD．证明：△ADB≌△EBC．
24．如图，△ABC 中，AD 平分∠CAB ，BD ⊥AD ，DE ∥AC ．求证：AE=BE ．
25．如图，OC 是∠AOB 平分线，点P 为OC 上一点，若∠PDO+∠PEO=180°，试判断PD 和PE 大小关系，并说明理由．
26．已知△ABC 中，∠A=50°．
（1）如图①，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则∠BOC= °．
（2）如图②，∠ABC 、∠ACB 的三等分线分别对应交于O 1、O 2，则∠BO 2C= °．
（3）如图③，∠ABC 、∠ACB 的n 等分线分别对应交于O 1、O 2…O n ﹣1（内部有n ﹣1个点），求∠BO n ﹣1C （用n 的代数式表示）．
（4）如图③，已知∠ABC 、∠ACB 的n 等分线分别对应交于O 1、O 2…O n ﹣1，若∠BO n ﹣1C=60°，求n 的值．
27．已知△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 的中点．
（1）如图，若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE=AF ．求证：△DEF 为等腰直角三角形；
（2）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE=AF ，其他条件不变，那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
28．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，BD与CE相交于O．（1）求证：BD=CE；
（2）OA平分∠BOE吗？说明理由．
-学年河八年级（上）期中数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．下列说法：①能够完全重合的图形叫做全等形；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③全等三角形的周长相等、面积相等；④所有的等边三角形都全等；⑤面积相等的三角形全等．其中正确的说法有（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】推理填空题．
【分析】理清全等形以及全等三角形的判定及性质，即可熟练求解此题．
【解答】解：①中能够完全重合的图形叫做全等形，正确；
②中全等三角形的对应边相等、对应角相等，正确；
③全等三角形的周长相等、面积相等，也正确；
④中所有的等边三角形角都是60°，但由于边不相等，所以不能说其全等，④错误；
⑤中面积相等的三角形并不一定是全等三角形，⑤中说法错误；
故题中①②③说法正确，④⑤说法错误，此题选C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，能够掌握并熟练运用．
3．在△ABC内一点P满足PA=PB=PC，则点P一定是△ABC（）
A．三条角平分线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点D．三条中线的交点
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由在△ABC内一点P满足PA=PB=PC，可判定点P在AB，BC，AC的垂直平分线上，则可求得答案．
【解答】解：∵在△ABC内一点P满足PA=PB=PC，
∴点P一定是△ABC三边垂直平分线的交点．
故选B．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
4．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（）
A．30°B．80°或20°C．80°或50°D．20°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．
【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．
5．如图，把△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上点E处，那么折痕AD是△ABC的（）
A．角平分线B．中线C．高线D．角平分线
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据折叠的性质即可得到结论．
【解答】解：∵把△ABC沿AD折叠得到△ADE，
∴△ACD≌△AED，
∴∠CAD=∠EAD，
∴AD是△ABC的角平分线．
故选A．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，正确理解折叠的性质是本题的关键．
6．如图，∠CBD、∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD=70°，∠ADE=149°，则∠A的度数是（）
A．28°B．31°C．39°D．42°
【考点】三角形的外角性质；对顶角、邻补角．
【专题】计算题．
【分析】根据平角的定义求出∠ABD，根据三角形的外角性质得出∠ADE=∠ABD+∠A，代入即可求出答案．
【解答】解：∵∠ABD+∠CBD=180°，∠CBD=70°，
∴∠AB D=110°，
∵∠ADE=∠ABD+∠A，∠ADE=149°，
∴∠A=39°．
故选C．
【点评】本题主要考查对三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能灵活运用三角形的外角性质进行计算是解此题的关键．
7．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F 的度数为（）
A．62°B．152°C．208°D．236°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】首先求出∠F+∠B=∠D+∠EGD，然后证明出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，最后结合题干∠D=28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数．
【解答】解：∵如图可知∠BED=∠F+∠B，∠CGE=∠C+∠A，
又∵∠BED=∠D+∠EGD，
∴∠F+∠B=∠D+∠EGD，
又∵∠CGE+∠EGD=180°，
∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，
又∵∠D=28°，
∴∠A+∠B+∠C+∠F=180°+28°=208°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的知识，解答本题的关键是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，此题难度不大．
8．如图，∠x的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x为（）
A．α﹣βB．β﹣αC．180°﹣α+βD．180°﹣α﹣β
【考点】三角形的外角性质．
【分析】根据β为角x和α的对顶角所在的三角形的外角，再根据三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．
【解答】解：如图，∵α=∠1，
∴β=x+∠1
整理得：x=β﹣α．
故选B．
【点评】本题主要利用三角形外角的性质求解，需要熟练掌握并灵活运用．
9．如图，△ABD≌△ACE，∠AEC=110°，则∠DAE的度数为（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据邻补角的定义求出∠AED，再根据全等三角形对应边相等可得AD=AE，然后利用等腰三角形的两底角相等列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠AEC=110°，
∴∠AED=180°﹣∠AEC=180°﹣110°=70°，
∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠DAE=180°﹣2×70°=180°﹣140°=40°．
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
10．如图所示，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：
①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS中（）
A．全部正确B．仅①和③正确C．仅①正确D．仅①和②正确
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】易证RT△APR≌RT△APS，可得AS=AR，∠BAP=∠1，再根据AQ=PQ，可得∠1=∠2，即可求得QP∥AB，即可解题．
【解答】解：如图，
在RT△APR和RT△APS中，
，
∴RT△APR≌RT△APS（HL），
∴∠AR=AS，①正确；
∠BAP=∠1，
∵AQ=PQ，
∴∠1=∠2，
∴∠BAP=∠2，
∴QP∥AB，②正确，
∵△BRP和△QSP中，只有一个条件PR=PS，再没有其余条件可以证明△BRP≌△QSP，故③错误．
故选：D．
【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定和性质求解．
11．如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则（）
A．∠1=∠EFD B．BE=EC C．BF=DF=CD D．FD∥BC
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据题中的条件可证明出△ADF≌△ABF，由全等三角形的性质可的∠ADF=∠ABF，再由条件证明出∠ABF=∠C，由角的传递性可得∠ADF=∠C，根据平行线的判定定理可证出FD∥BC．
【解答】解：在△AFD和△AFB中，
∵AF=AF，∠1=∠2，AD=AB，
∴△ADF≌△ABF，
∴∠ADF=∠ABF．
∵AB⊥BC，BE⊥AC，
即：∠BAC+∠C=∠BAC+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠C，
即：∠ADF=∠ABF=∠C，
∴FD∥BC，
故选D．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，涉及到的知识点还有平行线的判定定理，关键在于运用全等三角形的性质证明出角与角之间的关系．
12．为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）
A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处
【考点】角平分线的性质．
【专题】作图题．
【分析】利用角平分线性质定理：角的平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．又要求砂石场建在三条公路围成的一块平地上，所以是三个内角平分线的交点一个，外角的平分线的交点三个．
【解答】解：满足条件的点有一个，
三角形内部：三个内角平分线交点一个．
三角形外部，外角的角平分线三个（不合题意）．
故选A．
【点评】此题考查学生对角平分线的性质的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握角平分线性质定理．
二、填空题：
13．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF= 75 度．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．
【解答】解：∵∠A=40°，∠B=70°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=70°．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ACB=35°．
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA=90°，
∠ACD=180°﹣∠A﹣∠CDA=50°．
∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°．
∵DF⊥CE，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠DCF=75°．
故答案为：75．
【点评】本题考查了三角形的内角和等于180°以及角平分线的定义，是基础题，准确识别图形是解题的关键
14．如图，若△ABC≌△ADE，且∠B=65°，则∠BAD= 50°．
【考点】全等三角形的性质．
【分析】由全等三角形的性质可知AB=AD，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵∠B=65°，
∴∠BAD=180°﹣2×65°=50°，
故答案为50°．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质：对应角相等，仔细读图，利用图形上的关系做题时比较好的一种方法．
15．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是45°或135°．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余、角平分线的定义求较小的夹角，由邻补角定义即可求得较大夹角的度数．
【解答】解：直角三角形的两个锐角的平分线所交成的锐角是×90°=45°，
则直角三角形的两个锐角的平分线所交成的钝角是180°﹣45°=135°．
故答案为：45°或135°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，注意两条直线相交所成的角有两个不同度数的角．
16．如图：
（1）在△ABC中，BC边上的高是AB ；
（2）在△AEC中，AE边上的高是CD ；
（3）在△FEC中，EC边上的高是EF ；
= 3cm2，CE= 3cm ，BE= cm ．
（4）若AB=CD=2cm，AE=3cm，则S
△ACE
【考点】三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形高的定义和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图：
（1）在△ABC中，BC边上的高是AB；
（2）在△AEC中，AE边上的高是CD；
（3）在△FEC中，EC边上的高是EF；
（4）∵CD⊥AE，
=AE•CD=3×2=3cm2，
∴S
△ACE
在△ABE与△CDE中，，
∴△ABE≌△CDE，
∴CE=AE=3，
∴BE==，
故答案为：AB，CD，EF，3cm2，3cm， cm．
【点评】本题考查了三角形的中线，高，角平分线，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
17．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点，若PD=2，则PQ的取值范围为PQ≥2 ．
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PQ=PD．
【解答】解：由垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，
∴PQ=PD=2，
即线段PQ的最小值是2．
∴PQ的取值范围为PQ≥2，
故答案为PQ≥2．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短，熟记性质并判断出PN与OB垂直时PN的值最小是解题的关键．
18．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为64和42，则△EDF 的面积为 9 ．
【考点】角平分线的性质．
【分析】过点D 作DH ⊥AC 于H ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH ，再利用“HL”证明Rt △ADF 和Rt △ADH 全等，Rt △DEF 和Rt △DGH 全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D 作DH ⊥AC 于H ，
∵AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，
∴DF=DH ，
在Rt △ADF 和Rt △ADH 中，
，
∴Rt △ADF ≌Rt △ADH （HL ），
∴S Rt △ADF =S Rt △ADH ，
在Rt △DEF 和Rt △DGH 中，
， ∴Rt △DEF ≌Rt △DGH （HL ），
∴S Rt △DEF =S Rt △DGH ，
∵△ADG 和△AED 的面积分别为64和42，
∴42+S Rt △DEF =64﹣S Rt △DGH ，
∴S Rt △DEF =9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
19．如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．
【考点】坐标与图形性质；全等三角形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D在AB 的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．
【解答】解：△ABD与△ABC有一条公共边AB，
当点D在AB的下边时，点D有两种情况：①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣1，﹣1）；当点D在AB的上边时，坐标为（﹣1，3）；
点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．
【点评】本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，是综合性较强，难度较大的综合题，分情况进行讨论是解决本题的关键．
20．如图，已知AB=A
1B，A
1
C=A
1
A
2
，A
2
D=A
2
A
3
，A
3
E=A
3
A
4
，…，以此类推，若∠B=20°，则∠
A= ．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出∠A n 的度数．
【解答】解：∵在△ABA 1中，∠B=20°，AB=A 1B ，
∴∠BA 1A==80°，
∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，
∴∠CA 2A 1=
=40°；
同理可得，
∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，
∴∠A n =．
故答案为：．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．
三、综合题：
21．如图，∠AOB=30°，OA 表示草地边，OB 表示河边，点P 表示家且在∠AOB 内．某人要从家里出发先到草地边给马喂草，然后到河边喂水，最后回到家里．
（1）请用尺规在图上画出此人行走的最短路线图（保留作图痕迹，不写作法和理由）．
（2）若OP=30米，求此人行走的最短路线的长度．
【考点】作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题．
【分析】（1）利用轴对称最短路线求法得出P点关于OA，OB的对称点，进而得出行走路线；
（2）利用等边三角形的判定方法以及其性质得出此人行走的最短路线长为P′P″进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：此人行走的最短路线为：PC→CD→DP；
（2）连接OP′，OP″，
由题意可得：OP′=OP″，∠P′OP″=60°，
则△P′OP″是等边三角形，
∵OP=30米，
∴PC+CD+DP=P′P″=30（m），
答；此人行走的最短路线的长度为30m．
【点评】此题主要考查了利用轴对称求最值问题，得出最短行走路径是解题关键．
22．如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线的定义得出∠BAD的度数，根据三角形外角的性质求出∠ADE的度数，由两角互补的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠ABC=38°，∠ACB=100°（己知）
∴∠BAC=180°﹣38°﹣100°=42°（三角形内角和180°）．
又∵AD平分∠BAC（己知），
∴∠BAD=21°，
∴∠ADE=∠ABC+∠BAD=59°（三角形的外角性质）．
又∵AE是BC边上的高，即∠E=90°，
∴∠DAE=90°﹣59°=31°．
【点评】此题考查的是三角形的内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
23．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=∠BCD，点E是线段BD上一点，且BE=AD．证明：△ADB≌△EBC．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】利用平行线的性质得出∠ADB=∠CBE，进而利用等腰三角形的性质得出BD=BC，再利用SAS得出△ADB≌△EBC．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBE，
∵∠BDC=∠BCD，
∴BD=BC，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（SAS）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
24．如图，△ABC中，AD平分∠CAB，BD⊥AD，DE∥AC．求证：AE=BE．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】由AD平分∠CAB，DE∥AC可证得∠DAE=∠ADE，得到AE=DE，再结合BD⊥AD，可得∠EDB=∠EBD，得到ED=EB，从而可得出结论．
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=ED，
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠EDB=90°，∠DAB+∠ABD=90°，
又∠ADE=∠DAB，
∴∠EDB=∠ABD，
∴DE=BE，
∴AE=BE．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，利用DE作中介得到AE=DE，BE=DE是解题的关键．
25．如图，OC是∠AOB平分线，点P为OC上一点，若∠PDO+∠PEO=180°，试判断PD和PE大小关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】先过点P作PM⊥OA，PN⊥OE，证明△PMD≌△PNE，根据全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：PD=PE．
理由：如图，过点P作PM⊥OA，PN⊥OE；
∵OC平分∠AOB，
∴PM=PN；
∵∠OEP+∠ODP=180°，∠ODP+∠PDM=180°，
∴∠OEP=∠PDM，
在△PMD与△PNE中，
，
∴△PMD≌△PNE（AAS），
∴PD=PE．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及其性质等知识点的应用，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26．已知△ABC中，∠A=50°．
（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= 115 °．
（2）如图②，∠ABC 、∠ACB 的三等分线分别对应交于O 1、O 2，则∠BO 2C= °．
（3）如图③，∠ABC 、∠ACB 的n 等分线分别对应交于O 1、O 2…O n ﹣1（内部有n ﹣1个点），求∠BO n ﹣1C （用n 的代数式表示）．
（4）如图③，已知∠ABC 、∠ACB 的n 等分线分别对应交于O 1、O 2…O n ﹣1，若∠BO n ﹣1C=60°，求n 的值．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】（1）△ABC 中，已知∠A 即可得到∠ABC 与∠ACB 的和，而BO 、CO 是∠ABC ，∠ACB 的两条角平分线，即可求得∠OBC 与∠OCB 的度数，根据三角形的内角和定理即可求解；
（2）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB ，再根据三等分线的定义求得∠O 2BC+∠O 2CB ，即可求出∠BO 2C ；
（3）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB ，再根据n 等分线的定义求得∠O n ﹣1BC+∠O n ﹣1CB ，即可求出∠BO n ﹣1C ．
（4）依据（3）的结论即可求出n 的值．
【解答】解：（1）∵△ABC 中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°，BO 、CO 是∠ABC ，∠ACB 的两条角平分线．
∴∠OBC=∠ABC ，∠OCB=∠ACB ，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB ）=65°，
∴△OBC 中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB ）=115°．
故答案为：115°；
（2）∵点O 2是∠ABC 与∠ACB 的三等分线的交点，
∴∠O 2BC+∠O 2CB=（∠ABC+∠ACB ）=×130°=（）°，
∴∠BO 2C=180°﹣（）°=（）°．
故答案为：
； （3）∵点O n ﹣1是∠ABC 与∠ACB 的n 等分线的交点，
∴∠O n ﹣1BC+∠O n ﹣1CB=
（∠ABC+∠ACB ）=×130°，
∴∠BO n ﹣1C=180°﹣
×130°；
（4）∵∠BO n ﹣1C=60°，
∴180°﹣×130°=60°，解得n=13． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
27．已知△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 的中点．
（1）如图，若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE=AF ．求证：△DEF 为等腰直角三角形；
（2）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE=AF ，其他条件不变，那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
【考点】等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线．
【分析】1）题要通过构建全等三角形来求解．连接AD ，可通过证△ADF 和△BDE 全等来求本题的结论．
（2）与（1）题的思路和解法一样．
【解答】解：（1）证明：连接AD
∵AB=AC ，∠A=90°，D 为BC 中点
∴AD==BD=CD
且AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=45°
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（SAS）
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF
∵∠BDE+∠ADE=90°
∴∠ADF+∠ADE=90°
即：∠EDF=90°
∴△EDF为等腰直角三角形．
（2）解：仍为等腰直角三角形．
理由：∵△AFD≌△BED
∴DF=DE，∠ADF=∠BDE
∵∠ADF+∠FDB=90°
∴∠BDE+∠FDB=90°
即：∠EDF=90°
∴△EDF为等腰直角三角形．
【点评】本题综合考查了等腰三角形的性质及判定、全等三角形的判定和性质等知识，难度较大．
28．（秋•自贡期末）如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，BD与CE相交于O．
（1）求证：BD=CE；
（2）OA平分∠BOE吗？说明理由．
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，则易得∠BAD=∠CAE，根据“SAS”有△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质即可得到结论；
（2）作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，由△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质有AF=AG，再根据角平分线的判定定理即可得到OA平分∠BOE．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；
（2）OA平分∠BOE．理由如下：
作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，如图，
∵AF、AG恰好是两个全等三角形△BAD与△CAE对应边上的高，
∴AF=AG，
∴OA平分∠BOE．
【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三条边相等，三个角相等，都为60°；也考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定方法．
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