九年级数学锐角三角函数带答案

锐角三角函数及解直角三角形
【考纲要求】
1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决及直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；
2.命题的热点为依据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的学问解决问题.
【学问网络】
【考点梳理】
考点一、锐角三角函数的概念
如图所示，在△中，∠C ＝90°，∠A 所对的边记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边记为c ，叫做斜边．
锐角A 的对边及斜边的比叫做∠A 的正弦，记作，即；
锐角A 的邻边及斜边的比叫做∠A 的余弦，记作，即cos A b
A c ∠=
=的邻边斜边；
锐角A 的对边及邻边的比叫做∠A 的正切，记作，即tan A a
A A b
∠=
=∠的对边的邻边.
同理；cos B a
B c
∠=
=的邻边斜边；tan B b B B a ∠=
=∠的对边的邻边．
要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边及角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数改变时，比值也随之改变． (2)，，分别是一个完好的数学符号，是一个整体，不能写成
，
，
B a b c
，不能理解成及∠A，及∠A，及∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠)，其正切应写成“∠”，不能写成“”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°＜∠A＜90°之间改变时，，，＞0．
考点二、特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：
要点诠释：
(1)通过该表可以便利地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：假如知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
(2)细致探讨表中数值的规律会发觉：
sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、
、、、cos90︒的值的依次正好相反，、、的值依次
增大，其改变规律可以总结为：
当角度在0°＜∠A＜90°之间改变时，
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
考点三、锐角三角函数之间的关系
如图所示，在△中，∠90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
要点诠释：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
考点四、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在△中，∠90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a222(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠∠90°.
③边角之间的关系：
，，，
，，.
④，h为斜边上的高.
要点诠释：
(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.
(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清晰、直观地理解.
考点五、解直角三角形的常见类型及解法
已知条件解法步骤
△两
边
两直角边(a，b)
由求∠A，
∠90°－∠A，斜边，始终角边(如c，a)
由求∠A，
∠90°－∠A，
一
边
一
角
始终角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠90°－∠A，
，
要点诠释：
1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的依次进展计算.
2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出全部的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.
考点六、解直角三角形的应用
解直角三角形的学问应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，擅长将某些实际问题中的数
量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
解这类问题的一般过程是：
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后依据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)依据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
拓展：
在用直角三角形学问解决实际问题时，常常会用到以下概念：
(1)坡角：坡面及程度面的夹角叫做坡角，用字母表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和程度间隔的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.
(2)仰角、俯角：视线及程度线所成的角中，视线中程度线上方的叫做仰角，在程度线下方的叫做俯角，如图.
(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目的方向的程度角叫做方位角，如图①中，目的方向，，的方位角分别为是40°，135°，245°.
(4)方向角：指北或指南方向线及目的方向线所成的小于90°的程度角，叫做方向角，如图②中的目的方向线，，，的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特殊如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.
要点诠释：
1．解直角三角形实际是用三角学问，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.
2．非干脆解直角三角形的问题，要视察图形特点，恰当引协助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：
3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而依据条件选择适宜的方法求解.
【典型例题】
类型一、锐角三角函数的概念及性质
1．(1)如图所示，在△中，若∠C＝90°，∠B＝50°，＝10，则的长为( )．
A．10·50° B．10·50° C．10·50° D．
(2)如图所示，在△中，∠C＝90°，＝3
5
，求的值．
(3)如图所示的半圆中，是直径，且＝3，＝2，则的值等于．
【思路点拨】
(1)在直角三角形中，依据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边．
(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k表示各边．
(3)要求的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．
【答案及解析】
(1)选B．
(2)在△，∠C＝90°，．
设＝3k，则＝5k(k＞0)．
由勾股定理可得＝4k，
∴
4432 cos tan
5315
k k
A B
k k
+=+=．
(3)由已知，是半圆的直径，连接，可得∠＝90°∠B＝∠D，所以＝＝．
【总结升华】
已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：利用定义，依据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长；
(2)题求时，还可以干脆利用同角三角函数之间的关系式2 2
A ＝1，读者可自己尝试完成．
举一反三：
【变式】△中，∠90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，那么c 等于( ) (A) a cosA bsin B + (B) asin A bsin B + (C) (D) 【答案】 选B.
过点C 作⊥于D,在△中, ,所以,同理,所以,又∠∠90°,所以,所以.
类型二、特殊角的三角函数值
2．解答下列各题： (1)化简求值：
tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°
°°°°
；
(2)在△中，∠C ＝9012sin cos A A -
【思路点拨】
第(2)题可以先利用关系式2 2
A ＝1对根号内的式子进展变形，配成完全平方的形式． 【答案及解析】 解 (1)
tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°
°°°°
311331
112233
--=
-+=++
(2)12sin cos A A -22sin cos 2sin cos A A A A =+-2(sin cos )|sin cos |A A A A =-=-，
12sin cos A A -cos sin (045)
sin cos (4590)
A A A A A A -<⎧=⎨-<<⎩°≤°°°．
【总结升华】
由第(2)题可得到今后常用的一个关系式：1±2αα=(α±α)2
． 例如，若设αα＝t ，则． 举一反三： 【变式】若，cos sin βα=
，(2α，β为锐角)，求的值.
【答案】
∵，且2α为锐角，
∴2α＝60°，α＝30°． ∴12cos sin 22
βα=
=
=， ∴β＝45°． ∴23tan()tan 3033
β==°．
3． (1)如图所示，在△中，∠＝105°，∠A ＝30°，＝8，求和的长；
(2)在△中，∠＝135°，∠A ＝30°，＝8，如何求和的长? (3)在△中，＝17，＝26，锐角A 满意，如何求的长及△的面积？ 若＝3，其他条件不变呢?
【思路点拨】
第(1)题的条件是“两角一夹边”．由已知条件和三角形内角和定理，可知∠B ＝45°；过点C 作⊥于D ，则△是可解三角形，可求出的长，从而△可解，由此得解；第(2)题的条件是“两角一对边”；第(3)题的条件是“两边一夹角”，均可用类似的方法解决． 【答案及解析】
解： (1)过点C 作⊥于D ． ∵∠A ＝30°，∠＝105°， ∴∠B ＝45°．
∵·＝＝· B ， ∴sin 8sin 3042sin sin 45AC A BC B =
==°
°
∴＝＝··＝830°42°＝443+
(2)作⊥的延长线于D ，则＝434-，42BC = (3)作⊥于D ，则＝25，ABC S =△204． 当＝3时，∠为钝角，＝25，36ABC S =△．
【总结升华】
对一个斜三角形，通常可以作一条高，将它转化为两个直角三角形，并且要尽量使直角三角形中含有特殊的锐角(如30°、45°、60°的角)，然后通过解直角三角形得到原来斜三角形的边、角的大小．
类型三、解直角三角形及应用
4．如图所示，D 是上一点，且⊥于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，， ＝18，求的值和的长．
【思路点拨】
解题的根本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目的主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程． 【答案及解析】
解：作∥交于E ，则∠＝∠＝90°．
∵，
设＝4k(k ＞0)，则＝5k ，由勾股定理得＝3k ． ∵△和△在边上的高一样， ∴＝:2:3ACD CDB S S =△△． 即55
3533
AC DE k k =
=⨯=． ∴．
∵＝18， ∴54k ＝18，解得k ＝2． ∴2241241AD AC CD k =+==．
∴＝＝
3
2
＝541 【总结升华】
在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等．
专题总结及应用
一、学问性专题
专题1：锐角三角函数的定义
【专题解读】 锐角三角函数定义的考察多以选择题、填空题为主．
例1 如图28－123所示，在△中，∠＝90°，＝1，＝2，则下列结论正确的是 ( ) A ． A 3 B ． A ＝12
C 3
D ． B 3
分析 ＝
BC AB ＝12， A ＝BC AC ， B ＝BC
AB ＝12．故选D.
例2 在△中，∠C ＝90°，＝3
5
,则 A 等于 ( )
A ．3
5 B ．45 C ．34 D ．43
分析 在△中，设＝3k ，＝5k ，则＝4k ，由定义可知 A ＝44
33
BC k AC k ==．故选D.
分析 3，∴ A ＝35
BC AB =．故填3
5．
专题2 特殊角的三角函数值
【专题解读】 要熟记特殊角的三角函数值．
例4 计算|－3|＋2 45°－1)0．
分析 45°＝
2
．
解：原式＝3＋2－1＋2．
例5 计算－12⎛⎫
- ⎪⎝⎭＋(－1)2007－ 60°．
分析 60°＝1
2
．
解：原式＝
12＋3＋(－1)－1
2
＝3－1＝2．
例6 计算||＋( 60°－ 30°)0
分析 60°＝
1
2
， 30，∴ 60°－ 30°≠0，∴( 60°－ 30°)0＝1，
＋1十＋1． 例7 计算3
12-⎛⎫
⎪⎝⎭
－(π－3.14)0－|1－ 60°|－.
分析 60
解：原式＝8－112＝10.
专题3 锐角三角函数及相关学问的综合运用
【专题解读】 锐角三角函数常及其他学问综合起来运用，考察综合运用学问解决问题的实力. 例8 如图28－124所示，在△中，是边上的高，E 为边的中点，＝14，＝12， B ＝45
． (1)求线段的长； (2)求∠的值. 分析 在△中，由＝
AD
AB
，可求得，从而求得．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
得＝1
2
＝，则∠＝∠C，所以求∠可以转化为求C. 解：(1)∵是边上的高，∴⊥
在△中，B＝
AD
AB
．
∵＝12，B＝
4
5
，∴＝15，
9．∵＝14，∴＝5．
(2)在△中，∵＝，∴＝
1
2
＝，
∴∠＝∠C
∵C＝
AD
DC
＝
12
5
,∴∠＝C＝
12
5
．
例9 如图28－125所示，在△中，是边上的高，B＝∠.
(1)求证＝；
(2)若C＝12
13
，＝12，求的长．
分析(1)利用锐角三角函数的定义可得＝．(2)利用锐角三角函数及勾股定理可求得的长．证明：(1)∵是边上的高，∴⊥，
∴∠＝90°，∠＝90°．
在△和△中，
∵B＝AD
BD
，∠＝
AD
AC
，B＝∠，
∴AD
BD
＝
AD
AC
，∴＝.
解：(2)在△中，C＝12
13
，设＝12k，＝13k，
5k．
∵＝＋，＝，
∴＝13k＋5k＝18k．
由已知＝12，∴18k＝12，k＝2
3
，
∴＝12k＝12×2
3
＝8．
例10 如图28－126所示，在△中，∠B＝45°，∠C＝30°，＝30＋
分析过点A作⊥于D，把斜三角形转化为直角三角形，利用是两个直角三角形的公共边，设＝x，把，用含x的式子表示出来，再由＋＝这一等量关系列方程，求得，则可在△中求得．解：过点A作⊥于D，设＝x.
在△中，＝AD
BD
，∴＝
tan tan45
AD AD
B
=
︒
＝x，
在△中，C＝AD
CD
，∴＝
tan
AD
C
＝
tan30
AD
︒
．
又∵＋＝，＝30＋
∴x
＝30＋
,∴x＝30．
在△中，B＝AD AB
，
∴＝
30
sin sin45
AD
B
=
︒
.
专题4 用锐角三角函数解决实际问题
【专题解读】加强数学及实际生活的联络，进步数学的应用意识，培育应用数学的实力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，及解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要留意把握各类图形的特征及解法．
例13 如图28－131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学学问去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠＝30°，请你依据这些数据算出河宽是多少?(结果保存小数点后两位)
分析本题可作⊥，垂足为E，求出的长即为河宽．
解：如图28－131所示，过点C作⊥于E，则即为河宽，
设＝x(米)，则＝x＋60(米)．
在△中，30°＝CE
EB
＝
60
x
x+
,
解得x＝
1)≈81.96(米)．
答：河宽约为81．96米．
【解题策略】解本题的关键是设＝x，然后依据＝＋列方程求解．
例14 如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发觉海中的B点有人求救，便马上派三名救生员前去营救．1号救生员从A点干脆跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠＝45°，∠＝
60°，三名救生员同时从A点动身，请说明谁先到达营救地点B．(
1.4
1.7)
分析在△中，已知∠A＝45°和，可求，，在△中，可利用求出的和∠＝60°求出，然后依据计算出的数据推断谁先到达．
解：在△中，∠A＝45°，∠D＝90°，＝300，
∴＝＝
BD
AD
＝45°，即＝·45°＝300．
在△中，∠＝60°，∠D＝90°，
∴＝＝
tan60
BD
︒
＝
.
1号救生员到达B点所用的时间为＝
210(秒)，
2号救生员到达B点所用的时间为＝50＋≈192(秒)，
3号救生员到达B点所用的时间为300
6
＋
300
2
＝200(秒)．
∵192＜200＜210.∴2号求生员先到达营救地点B.
【解题策略】本题为阅读理解题，题目中的数据比拟多，正确分析题意是解题的关键．例15 如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C岛四周9海里的区域内有暗礁，若货船接着向正东方向航行，该货船有无触礁危急?试说明理由．
分析本题可作⊥于点D，在△中求出即可．
解：过点C作⊥，垂足为点D，
由题意得∠＝60°，∠＝30°,
∴∠＝30°，∠＝∠，
∴＝＝24×1
2
＝12(海里)．
在△中，＝×60°＝海里)．
∵9，∴货船接着向正东方向航行无触礁危急．
【解题策略】此题事实上是通过⊙C(半径为9海里)及直线相离推断出无触礁危急.
例16 如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌，甲、乙两人分别在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°，且A，B，F三点在一条直线上，若＝15米，
求这块广告牌的高度． 1.73，结果保存整数)
分析由于＝－，所以可分别在△和△中求，的长，从而得出结论．
解：∵＝8，＝15，∴＝23．
在△中，∠＝45°，∴＝＝23．
在△中，∠＝60°，∴＝·60°＝
∴＝－＝23≈3，
即这块广告牌的高度约为3米．
例17 如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽＝2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽.
分析坡度即坡角的正切值，所以分别过A，D两点向坝底引垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形．
解：过A作⊥于E，过D作⊥于F，
由题意可知＝1，C＝
1 1.5
，
在△中，＝4，＝AE
BE
＝1，∴＝＝4，
在△中，＝＝4，＝
1
1.5 DF
CF
，
∴＝1．5＝1.5×4＝6．
又∵＝＝2.5，
∴＝＋＋＝4＋2.5＋6＝12．5．答：坝底宽为12．5 m．
【解题策略】 背水坡是指，而迎水坡是指.
例18 如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高＝30m ，某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20°，塔顶D 的仰角为23°，求此人距的程度间隔 ．(参考数据： 20°≈0.342， 20°≈0.940， 20°≈0.364， 23°≈0.391， 23°≈0.921， 23°≈0.424)
分析 要求的值，由于两个直角三角形中都只有角的已知条件，不能干脆求解，所以设为未知量，即用表示和，依据－＝＝30，列出关于的方程．
解：在△中，∠＝20°，
∴＝∠＝ 20°．
在△中，∠＝23°，
∴＝∠＝ 23°．
∴＝－＝ 23°－ 20°＝( 23°－ 20°)．
∴＝
tan 23tan 20CD ︒-︒≈300.4240.364
-＝500(m)． 答：此人距的程度间隔 约为500 m ．
二、规律方法专题
专题5 公式法
【专题解读】 本章的公式许多，娴熟驾驭公式是解决问题的关键．
例19 当0°＜α＜90°时，求的值．
分析 由2α＋2α＝1，可得1－2α＝2α
解：∵2α＋2α＝1，∴2α＝1－2α．
|cos |cos αα
==. ∵0°＜a ＜90°，∴α＞0．
∴原式＝
cos cos αα
＝1． 【解题策略】 以上解法中，应用了关系式2α＋2α＝1(0°＜α＜90°)，这一关系式在解题中常常用到，应当牢记，并敏捷运用．
三、思想方法专题
专题6 类比思想
【专题解读】 求方程中未知数的过程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形，因此对解直角三角形的概念的理解可类比解方程的概念．我们可以像解方程(组)一样求直角三角形中的未知元素．
例20 在△中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，解这个直角三角形．
分析 已知两直角边长a ，b ，可由勾股定理c 求出c ，再利用 A ＝
a c
求出∠A ，进而求出∠B ＝90°－∠A ．
解：∵∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2．
∴c = 又∵ A ＝，∴∠A ＝30°．
∴∠B ＝90°－∠A ＝60°．
【解题策略】 除直角外，求出△中的全部未知元素就是解直角三角形．
专题7 数形结合思想
【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数”，两者奇妙结合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题常用的方法之一．
例21 如图28－137所示，已知∠α的终边⊥，直线的方程为y＝－
3
3
x＋
3
3
，则α等于
( )
A．1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．
3
3
分析∵y＝－
3
3
x＋
3
3
，∴当x＝0时，y＝
3
3
，当y＝0时，x＝1，∴A(1，0)，B，∴＝
3
3
，
＝1，∴＝22
OB OA
+＝23
3
，∴∠＝
1
2
OB
AB
=. ∴⊥，∴∠α＋∠＝90°，又∵∠＋∠＝90°，∴
∠α＝∠．∴α＝∠＝1
2
．故选A.
专题8 分类探讨思想
【专题解读】当结果不能确定，且有多种状况时，对每一种可能的状况都要进展探讨．
例22 一条东西走向的高速马路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速马路的最短间隔是30 ，B，C间的间隔是60 ．要经过C修一条笔直的马路及高速马路相交，使两路穿插口P到B，C的间隔相等，求穿插口P及加油站A的间隔．(结果可保存根号)
解：①如图28－138(1)所示，
在△中，∵＝30，＝60，∴∠B＝30°．
又＝，∴∠＝60°，∴＝103．
故＝＋＝(30＋103)．
②同理，如图28－138(2)所示，可求得＝(30－103)，
故穿插口P及加油站A的间隔为(30＋103)或(30－103)．
【解题策略】此题针对P点的位置分两种状况进展探讨，即点P在线段上或点P在线段的延长线上．
专题9 转化思想
例24 如图28－140所示，A，B两城市相距100 ．现安排在这两座城市中间修筑一条高速马路(即线段)，经测量，森林爱护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林爱护区的范围在以P点为圆心，50 为半径的圆形区域内．请问安排修筑的这条高速马路会不会穿
越爱护区．为什么?(3 1.7322 1.414)
解：过点P作⊥，C是垂足，
则∠＝30°，∠＝45°，
＝· 30°，＝· 45°，
∵＋＝，
∴· 30°＋· 45°＝100，
∴＋1)＝100，
∴＝50(3≈50×(3－1.732)≈63．4＞50．
答：森林爱护区的中心及直线的间隔 大于爱护区的半径，所以安排修筑的这条高速马路不会穿
越爱护区．
例25 小鹃学完解直角三角形学问后，给同桌小艳出了一道题：“如图28－141所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为12 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上．已知α＝36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．(结果保存整数；参考数据： 36°≈0．6， 36°≈0．8， 36°≈0.7)
解：作⊥l 于点E ，⊥l 于点F ．
∵α＋∠＝180°－∠＝180°－90°＝90°，
∠＋∠＝90°，
∴∠＝α＝36°．
依据题意，得＝24 ，＝48 ．
在△中，α＝
BE AB ， ∴＝sin36BE ︒≈240.6
＝40()． 在△中，∠＝
DF AD ， ∴＝cos36DF ︒≈480.8
＝60()． ∴矩形的周长＝2(40＋60)＝200()．
例26 如图28－142所示，某居民楼I 高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面间隔 为2米，窗户高1．8米．现安排在I 楼的正南方距1楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线及地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I 楼全部住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米? 解：设正午时间线正好照在I 楼的一楼窗台处，此时新建居民楼
Ⅱ高x 米．
过C 作⊥l 于F ，
在△中，＝(x －2)米，＝30米，∠＝30°，
∴ 30°＝230
x -,∴＝2．
答：新建居民楼Ⅱ最高只能建2)米．。