§1.1.2导数的概念

＝ lim Δ x→ 0
f（x0－Δx）－f（x0） －Δx
或
f
′(x0)＝
lim
x x0
f（x）x－－fx（0 x0）.
§1.1.2 导数的概念
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导
数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数
思考：已知物体作变速直线运动，其运动方程
为s＝s(t)(ｓ表示位移，t 表示时间)，求物体在
t0 时刻的速度．
如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0，在时刻
2、把分式化简后令△x=0（一般分母中不含△x）， 所求之值就是函数y=f(x)在x=xo处的导数。
例1、已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量
定义法,
Δy Δx
―Δx―→→0
极限
―→
导数
解：(1)因为ΔΔyx＝f1＋ΔΔxx－f1
探究三、求函数y=f(x)在x=xo处的导数步骤：
1.求函数增量： Dy f ( x0 Dx) f ( x0 )
2.算比值（平均变化率）：Dy f ( x0 Dx) f ( x0 )
Dx
Dx
3.取极限：
简记为：一差、二比、三极限
注意：1、取极限前，要注意化简Δy，保证使Δx→0 时，分母不为 0. Δx
2.求运动物体瞬时速度的三个步骤 第一步：求时间改变量Δt 和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 第二步：求平均速度 v ＝Δs；
Δt 第三步：求瞬时速度，当Δt 无限趋近于:
1.跳水运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
解：第2h和第6h时，原油温度的瞬进变化率就是f ' (2)
根和据f '导(6数)。定义：△△xy
f (2 △x) △x
f (2)
(2 Dx)2 7(2 Dx) 15 (22 7 2 15)
Dx
4Dx Dx2 7Dx Dx 3
Dx
所以，f (2) lim Df lim (Dx 3) 3
计算区间2 Dt, 2和区间2, 2 Dt内平均速度v,
可以得到如下表格.
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 △t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段
间内
时间内
当△t = – 0.01时, 当△t = – 0.001时, 当△t = –0.0001时,
A．3m/s B．2m C．1m/s D．0m/s
2．如果质点A的运动方程是s(t)＝2t3，则在t＝3秒
时的瞬时速度为( C )
A．6
B．18
C．54
D．81
[解析] Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝2Δt3＋18Δt2＋54Δt， Δs＝2Δt2＋18Δt＋54，在 t＝3 秒时的瞬时速度为： Δt lim Δs＝lim (2Δt2＋18Δt＋54)＝54. Δt→0 Δt Δt→0
Dt
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在
每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是
s =s(t )，那么物体在时刻t0 的瞬时速度v，就是物体
在t0 到 t0 +Dt 这段时间内，当 Dt0 时平均速度 v 的
极限．
即 v lim Ds lim s(t0 Dt) s(t0 )
△t0 Dt Dt0
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,
……
当△t = 0.01时, 当△t =0.001时, 当△t =0.0001时, △t = 0.00001, △t =0.000001,
……
观察表格可以发现： 当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的
一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1.
Dx0 Dx Dx0
同理可得 f '(6)=5
f (2) 3 说明在第2h附近，原油温度
大约以3 ℃/h的速度下降；
f '(6)=5
说明在第6h附近，原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升；
课堂练习 1. 已知物体的运动方程是S=-4t2+16t(S的单位为m；t 的单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为( D )
t = 2 时的瞬时速度：
探究:
1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?
2.函数f(x)在x=x0 处的瞬时变化率怎样表示?
平均速度的极限就是 瞬时速度；
平均变化率的极限就 是瞬时变化率；
1．瞬时速度与平均速度的区别和联系 区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状 态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的 运动状态，与该段时间内的某一时刻无关． 联系：瞬时速度是平均速度的极限值．
[解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3＋2(1＋Δx)＋1－(13
＋2×1＋1)＝5Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，
ΔΔyx＝5Δx＋3ΔΔxx2＋Δx3＝5＋3Δx＋(Δx)2，
f ′(1)＝lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0[5＋3Δx＋(Δx)2]＝5.
课堂小结： 1.导数的定义 2.用定义求函数 y = f (x)在x=x0的导数的步骤:
点 x0 处可导 ，并称这个极限为函数 y = f(x)在点 x0 处
的导数， 记为 f (x0 )
即
f
(x0 )
lim
Dx0
Dy Dx
lim
Dx0
f
( x0
Dx) Dx
f
(x0 )
若这个极限不 存在，则称在
点x0 处不可导。
也可记作 y xxo
V (t0 ) S(t0 ),
说明：对函数y=f(x)在某点x=x0处导数的认识： 1、函数应在点x=x0的附近有定义，否则导数不存在。 2、在定义导数的极限式中，△x趋近于0可正、可负， 但不为0，而△y可以为0。
t0 +Dt 的位置是s(t0+Dt) ＝OA1，则从 t0 到 t0 +Dt 这段 时间内，物体的位移是
Ds OA1 OA0 s(t0 Dt ) s(t0 )
在时间段( t0+Dt)－ t0 = Dt 内，物体的平均速度为:
v s(t0 Dt) s(t0 ) Ds
t0 Dt t0
3.已知f(x)＝x2－3x，则f '(0)＝( C)
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3
[解析]
f ′(0)＝lim Δx→0
0＋Δx2－30＋Δx－02＋3×0 Δx
D．0
＝ lim Δx→0
Δx2Δ－x 3Δx＝Δlixm→0
(Δx－3)＝－3.故选 C.
4.函数f(x)＝x3＋2x＋1在x＝1处的导数为__5_．
变式训练：（1）求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求Δy=f(１＋Δx)－f(１)=6Δx+3(Δx)2, 然后求
△y △x
3△x
6
再求
lim
△x0
△y △x
解：f '(1)
△y
lim
△x0
△x
3(1△x)2 312
lim △x0
△x
3(△x)2 6△x
lim △x0
△x
lim (3△x 6) 6 △x0
3、函数y=f(x)在x0处的导数f ′(x0)是一个局部概念， 它只与函数在x0及其附近的函数值有关，与△x无关。 4、函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点 的函数值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是 变量． 5、导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常 广泛．即瞬时变化率与导数是同一概念。
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
探究二、导数（瞬时变化率）的概念
一般地，函数y=f(x)在 x=xo 处的瞬时变化率是
我们称它为函数y=f(x)在x=xo 处的导数
记作
或
即
解读导数的概念
设函数 y = f(x) 在点 x=x0 的附近有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 △x ( 点 x0 +△x 仍在该定义内）时， 相应地函数 y 取得增量 △y = f (x0 +△x)- f (x0 )，若△y 与△x之比当 △x→0的极限存在，则称函数 y = f(x)在
＝1＋Δx2＋3－12＋3＝2＋Δx， Δx
f ′(1)＝lim f1＋Δx－f1＝lim (2＋Δx)＝2.
Δx→0
Δx
Δx→0
(2)因为Δy＝fa＋Δx－fa＝a＋Δx2＋3－a2＋3＝2a＋Δx，
Δx
Δx
Δx
f ′(a)＝lim fa＋Δx－fa＝lim (2a＋Δx)＝2a.
Δx→0
Δx
Δx→0
Dt
探究一：瞬时速度
平均速度一般不能反映物体在某一时刻的运动情况。 自由落体运动中，物体在不同时刻的速度是不一样的。
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
比如，运动员在t=2时的瞬时速度？
先考察 t=2 附近的情况。在 t=2 之前或之后，任意取一 个时刻 2+△t，△t是时间改变量，可为正，可为负，但 不为0。 当△t＜0时，在2秒之前；当△t＞0时，在2秒之后。
从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度v 就无
限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时
速度是 –13.1. v(2) lim h(2 Dt) h(2)
Dt 0
Dt
lim(4.9Dt 13.1) 13.1 Dt 0
为表述方便，我们用
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度v趋近于确定值– 13.1”. 即“t = 2 时的瞬时速度”
一差、二比、三极限
(1)求函数的改变量 (2)求平均变化率 (3)求值
3．函数 f(x)在 x=x0 处的导数
(1)当Δx≠0
时，比值Δy的极限存在，则 Δx
f(x)在点
x0
处可导；
若Δy的极限不存在，则 Δx
f(x)在点
x0
处不可导或无导数．
(2)在点 x＝x0 处的导数的定义可变形为
f ′(x0)
（2）求函数f(x)=－x2+x 在x=－1附近的平均变化率， 并求出在该点处的导数．
解：Dy (1 Dx)2 (1 Dx) 2 3 Dx
Dx
Dx
f
' (1)
lim
△x0
△y △x
lim
△0
(1△x)2 (1△x) △x
2
lim (△x
△x0
3)
3
例2、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品， 需要对原油进行冷却和加热。如果第xh时，原油的温度 (单位：℃)为f(x)=x2-7x+15 (0x 8).计算第2h和第6h时， 原油温度的瞬进变化率，并说明它们的意义。