中考数学考点解读复习试题(求最短路径问题)

求最短路径问题
最短路径问题在中考中出现的频率很高，这类问题一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切．
类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题
如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足分别为E，F，沿CE，DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道．问：这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？
【思路点拨】方案一管道长为CE＋DF，方案二管道长为PC＋PD，利用垂线段最短即可比较出大小．
【解答】按方案一铺设管道更节省材料．理由如下：
∵CE⊥AB，DF⊥AB，而AB与CD不垂直，
∴根据“垂线段最短”，可知
DF＜DP，CE＜CP，
∴CE＋DF＜CP＋DP，
∴沿CE、DF铺设管道更节省材料．
本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．
1．(保定一模)如图，点A的坐标为(－1，0)，点B(a，a)，当线段AB最短时，点B的坐标为( )
A．(0，0) B．(
2
2
，－
2
2
) C．(－
2
2
，－
2
2
) D．(－
1
2
，－
1
2
)
2．(杭州模拟)在直角坐标系中，点P落在直线x－2y＋6＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为( )
A.35
2
B．3 5 C.
65
5
D.10
3．(内江)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，直线y＝kx－3k＋4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为________．
4．(碑林区期中)如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．
类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题
(乐陵模拟)(1)如图1，直线同侧有两点A，B，在直线MN上求一点C，使它到A、B之和最小；(保留作图痕迹不写作法)
(2)知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF周长最短；(保留作图痕迹不写作法)
(3)解决问题：①如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小；(保留作图痕迹不写作法)
②若∠BAE＝125°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，∠AMN＋∠ANM的度数为________．
【思路点拨】(1)根据两点之间线段最短，作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN 于C，即可解决；
(2)作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD交OA、OB于E、F，此时△PEF周长有最小值；
(3)①取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，PQ的长度即为△AMN的周长最小值；
②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．
【解答】(1)作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C，连接AC，BC，则此时C 点符合要求．
图1 图2 图3
(2)作图如图．
(3)①作图如图．
②∵∠BAE＝125°，
∴∠P＋∠Q＝180°－125°＝55°.
∵∠AMN＝∠P＋∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q＋∠QAN＝2∠Q，
∴∠AMN＋∠ANM＝2(∠P＋∠Q)＝2×55°＝110°.
“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可．
1．(内江)如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为( )
A. 3 B．2 3 C．2 6 D. 6
2．(遵义)如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( )
A．50°B．60° C．70° D．80°
3．(攀枝花)如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE 的最小值为________．
4．(鄂州)如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为________．
5．(凉山)菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E(0，－1)，当EP ＋BP 最短时，点P 的坐标为____________．
6．(广元改编)如图，已知抛物线y ＝－1
m (x ＋2)(x －m)(m ＞0)与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相
交于点C ，且点A 在点B 的左侧．
(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m 的值；
(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使AH ＋CH 最小，并求出点H 的坐标．
7．(成都改编)如图，一次函数y ＝－x ＋4的图象与反比例y ＝3
x (k 为常数，且k ≠0)的图象交
于A ，B 两点．在x 轴上找一点P ，使PA ＋PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标．
8．如图所示，已知点A 是半圆上的三等分点，B 是AN ︵
的中点，P 是直径MN 上的一动点，⊙O 的半径为1，请问：P 在MN 上什么位置时，AP ＋BP 的值最小？并给出AP ＋BP 的最小值．
9．(达州)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，∠AOC 的平分线交AB 于点D ，E 为BC 的中点，已知A(0，4)、C(5，0)，二次函数y ＝4
5x 2＋bx ＋c 的图象抛物线经过A ，C 两点． (1)求该二次函数的表达式；
(2)F 、G 分别为x 轴，y 轴上的动点，顺次连接D 、E 、F 、G 构成四边形DEFG ，求四边形DEFG 周长的最小值；
(3)抛物线上是否在点P ，使△ODP 的面积为12？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题 1．D 2.C
3.24 提示：∵直线y ＝kx －3k ＋4必过点D(3，4)， ∴当BC 过点D 且BC ⊥OD 时最小．
∵点D 的坐标是(3，4)，∴OD ＝5.∵OB ＝OA ＝13， ∴根据勾股定理可得BD ＝12.∴BC 的长的最小值为24.
4.(1)∵两点之间线段最短，∴连接AD ，BC 交于H ，则H 为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．
(2)过H 作HG ⊥EF ，垂足为G.则沿HG 开渠最短，根据垂线段最短．
类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题
1．B 2.D 3.7 提示：作B 关于AC 的对称点B ′，连接AD 、AB ′、BB ′、B ′D ，交AC 于E ，此时BE ＋ED ＝B ′E ＋ED ＝B ′D ，根据两点之间线段最短可知B ′D 就是BE ＋ED 的最小值，∵B 、B ′关于AC 对称，∴AC 、BB ′互相垂直平分．∴四边形ABCB ′是平行四边形．∵三角形ABC 是边长为2，∵D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC.∴AD ＝3，BD ＝CD ＝1，BB ′＝2AD ＝23，作B ′G ⊥BC 的延长线于G ，∴B ′G ＝AD ＝3，在Rt △B ′BG 中，BG ＝BB ′2－B ′G 2＝（23）2－（3）2＝3.∴DG ＝BG －BD ＝3－1＝2.在Rt △B ′DG 中，B ′D ＝DG 2－B ′G 2＝22
＋（3）2
＝7.故BE ＋ED 的最小值为7.
4.363－54
5.(23－3，2－3)
6.(1)抛物线过点G(2，2)时，－1
m
(2＋2)(2－m)＝2，即m ＝4.
(2)∵m ＝4，∴y ＝－14(x ＋2)(x －4)．令y ＝0，则－1
4(x ＋2)(x －4)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4.
∴A(－2，0)，B(4，0)．
∴抛物线对称轴为直线x ＝－2＋4
2
＝1.令x ＝0，则y ＝2，
∴C(0，2)．
∵B 点与A 点关于对称轴对称，
∴连接BC ，BC 与对称轴的交点便为所求点H.
∵B(4，0)，C(0，2)，
∴求得线段BC 所在直线为y ＝－12x ＋2.当x ＝1时，y ＝3
2，
∴H(1，3
2
)．
7.联立⎩⎨⎧y ＝－x ＋4，y ＝3x ，
解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，或⎩
⎨⎧x ＝3，
y ＝1.
∴A(1，3)，B(3，1)．B 点关于x 轴的对称点B ′坐标为(3，－1)， 连接AB ′交x 轴于点P ′，连接BP ′.
设直线AB ′为y ＝kx ＋b ，联立得⎩⎨⎧k ＋b ＝3，3k ＋b ＝－1.解得⎩⎨⎧k ＝－2，
b ＝5.
∴y ＝－2x ＋5.令y ＝0，得x ＝5
2
.
∴P ′(52，0)．即满足条件的P 的坐标为(5
2
，0)．
8.作A 关于MN 的对称点A ′，根据圆的对称性，则A ′必在圆上，连接BA ′交MN 于P ，连接PA ，则PA ＋PB 最小，
此时PA ＋PB ＝PA ′＋PB ＝A ′B.连接OA 、OA ′、OB ，∵AN ︵＝13
MN ︵
，
∴∠AON ＝∠A ′ON ＝60°.∵AB ︵＝BN ︵
， ∴∠BON ＝1
2
∠AON ＝30°.∴∠A ′OB ＝90°.
∴A ′B ＝OA ′2＋OB 2＝12＋12＝2，即AP ＋BP 的最小值是 2.
9.(1)将A(0，4)、C(5，0)代入二次函数y ＝45x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧20＋5b ＋c ＝0，c ＝4，
解得⎩⎨⎧b ＝－24
5，c ＝4. ∴二次函数的表达式y ＝45x 2－24
5
x ＋4.
(2)延长EC 至E ′，使E ′C ＝EC ，延长DA 至D ′，使D ′A ＝DA ，连接D ′E ′，交x 轴于F 点，交y 轴于G 点，
连接DG ，EF ，DE ，GD ＝GD ′，EF ＝E ′F ，(DG ＋GF ＋EF ＋ED)最小＝D ′E ′＋DE ， 由E 点坐标为(5，2)，D(4，4)，得D ′(－4，4)，E ′(5，－2)．由勾股定理， 得DE ＝22＋12＝5，D ′E ′＝（5＋4）2＋（4＋2）2＝313，
∴(DG ＋GF ＋EF ＋ED)最小＝D ′E ′＋DE ＝313＋5，即四边形DEFG 周长的最小值为313＋ 5. (3)如下图：OD ＝AO 2＋AD 2＝4 2. ∵S △ODP ＝12.
∴点P 到OD 的距离＝2S △OPD
OD ＝2×12
42
＝3 2.
过点O 作OF ⊥OD ，取OF ＝32，过点F 作直线FG ∥OD ，交y 轴于G 点，交抛物线于点P 1，P 2，
在Rt △OGF 中，OG ＝OF 2＋FG 2＝（32）2＋（32）2＝6.
∴直线GF 的解析式为y ＝x －6.将y ＝x －6代入y ＝45x 2－245x ＋4得：x －6＝45x 2－24
5
x ＋4.
解得x 1＝29＋418，x 2＝29－418.将x 1，x 2的值代入y ＝x －6得：y 1＝－19＋418，y 2＝－19－41
8
. ∴点P 1(
29－418，－19－418)，P 2(29＋418，－19＋41
8
)． 如下图所示：过点O 作OF ⊥OD ，取OF ＝32，
过点F 作直线FG ，交y 轴于G 点，交抛物线于P 3，P 4，在Rt △GFO 中，OG ＝OF 2＋GF 2＝6. ∴直线FG 的解析式为y ＝x ＋6.将y ＝x ＋6代入y ＝45x 2－245x ＋4得：x ＋6＝45x 2－24
5x ＋4.解得
x 1＝
29＋ 1 0018，x 2＝29－ 1 0018.y 1＝x 1＋6＝77＋ 1 0018，y 2＝x 2＋6＝77－ 1 001
8
， ∴P 3(29－ 1 0018，77－ 1 0018)，P 4(29＋ 1 0018，77＋ 1 001
8)．
综上所述：点P 的坐标为(
29－418，－19－418)或(29＋418，－19＋418)或(29－ 1 001
8
，77－ 1 0018) 或(29＋ 1 0018，77＋ 1 001
8)．。