菱形的性质(共22张PPT)
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18.2.2.1菱形的性质
理解菱形的定义，理解菱形与平行四边形的关系。
探究并理解菱形的性质，会运用菱形的性质解决问题。
经历菱形性质的探索过程，体会观察、类比、猜想、证明等数学方法。
探究菱形的性质与运用。
重点
菱形性质的综合运用。
难点
请在这里输入文字信息请在这里输入文字信息请在这里输入文字信息请在这里输入文字信息
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD; ∴AB = BC = CD =AD.
性质1：菱形的四条边都相等。
证明菱形的性质
D
B
C
A
O
性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
课后作业
完成练习册本课时的习题。
谢谢观看
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
问题1：我们已经学习了特殊的平行四边形--矩形，它是从平行四边形哪个方面特殊化进行研究的？
问题2：平行四边形和矩形的性质有哪些?
研究内容
平行四边形
矩形
边
角
对角线
问题3：平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形--矩形，平行四边形的边特殊化，我们得到的特殊平行四边形是什么呢？
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（2）证明：∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形, ∴OB = OD . （菱形的对角线互相平分） 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD， 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
猜想2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分每组对角。猜想1：菱形的四条边相等。
证明菱形的性质
D
B
C
A
O
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1）AB = BC = CD =AD； （2）AC⊥BD； （3）∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等三角形.
由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
例1 若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为____________.
2. 菱形ABCD的两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积.
解：菱形的边长= =5. C菱形ABCD= 4×5=20（cm）
课堂小结
菱形的性质：
1.菱形的四条边都相等.
2.菱形的对角都相等.
3.菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
S菱形= 对角线乘积的一半
已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF. 求证：∠AEF=∠AFE.
证明：如图，连接AC, ∵四边形ABCD为菱形， ∴BC=CD，∠ECA=∠FCA. 又∵BE=DF，∴EC=FC. ∴△AEC≌△AFC， ∴AE=AF，∴∠AEF=∠AFE.
练习
1.四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4. 求AC和BD的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∴△ABO是直角三角形，∴BO= =3∴AC=2AO=8，BD=2BO=6
菱形是特殊的平行四边形，特殊在角。矩形是特殊的平行四边形，特殊在边。
感受生活
你能举出生活中菱形的例子吗？
折一折
将菱形纸片折一折，回答问题。
问题1：菱形是轴对称图形码？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么关系？
问题2：菱形有哪些相等的线段？
猜想验证 形成性质
菱形是一个特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊的性质呢？
知识归纳
（一）菱形的特殊性质
1、对称性：菱形是______________.2、边：四条边都_______________.3、对角线：互相_____,且每条对角线_______一组对角.
（二）平行四边形的性质
1、角：两对角______________.2、边：两组对边_______________.3、对角线：对角线___________.
例2 如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）．
解：∵花坛ABCD的形状是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO= ∠ABC= ×60°= 30°. 在Rt△OAB中，AO= AB= ×20=10（m）， BO= = = 10 （m） ∴花坛的两条小路长 AC=2AO=20（m）， BD=2BO= 20 ≈ 34.64（m）. 花坛的面积 S菱形ABCD =4×S△ OAB = AC·BD=200 ≈346.4（m2）.
理解菱形的定义，理解菱形与平行四边形的关系。
探究并理解菱形的性质，会运用菱形的性质解决问题。
经历菱形性质的探索过程，体会观察、类比、猜想、证明等数学方法。
探究菱形的性质与运用。
重点
菱形性质的综合运用。
难点
请在这里输入文字信息请在这里输入文字信息请在这里输入文字信息请在这里输入文字信息
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD; ∴AB = BC = CD =AD.
性质1：菱形的四条边都相等。
证明菱形的性质
D
B
C
A
O
性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
课后作业
完成练习册本课时的习题。
谢谢观看
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
问题1：我们已经学习了特殊的平行四边形--矩形，它是从平行四边形哪个方面特殊化进行研究的？
问题2：平行四边形和矩形的性质有哪些?
研究内容
平行四边形
矩形
边
角
对角线
问题3：平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形--矩形，平行四边形的边特殊化，我们得到的特殊平行四边形是什么呢？
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（2）证明：∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形, ∴OB = OD . （菱形的对角线互相平分） 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD， 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
猜想2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分每组对角。猜想1：菱形的四条边相等。
证明菱形的性质
D
B
C
A
O
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1）AB = BC = CD =AD； （2）AC⊥BD； （3）∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等三角形.
由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
例1 若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为____________.
2. 菱形ABCD的两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积.
解：菱形的边长= =5. C菱形ABCD= 4×5=20（cm）
课堂小结
菱形的性质：
1.菱形的四条边都相等.
2.菱形的对角都相等.
3.菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
S菱形= 对角线乘积的一半
已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF. 求证：∠AEF=∠AFE.
证明：如图，连接AC, ∵四边形ABCD为菱形， ∴BC=CD，∠ECA=∠FCA. 又∵BE=DF，∴EC=FC. ∴△AEC≌△AFC， ∴AE=AF，∴∠AEF=∠AFE.
练习
1.四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4. 求AC和BD的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∴△ABO是直角三角形，∴BO= =3∴AC=2AO=8，BD=2BO=6
菱形是特殊的平行四边形，特殊在角。矩形是特殊的平行四边形，特殊在边。
感受生活
你能举出生活中菱形的例子吗？
折一折
将菱形纸片折一折，回答问题。
问题1：菱形是轴对称图形码？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么关系？
问题2：菱形有哪些相等的线段？
猜想验证 形成性质
菱形是一个特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊的性质呢？
知识归纳
（一）菱形的特殊性质
1、对称性：菱形是______________.2、边：四条边都_______________.3、对角线：互相_____,且每条对角线_______一组对角.
（二）平行四边形的性质
1、角：两对角______________.2、边：两组对边_______________.3、对角线：对角线___________.
例2 如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）．
解：∵花坛ABCD的形状是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO= ∠ABC= ×60°= 30°. 在Rt△OAB中，AO= AB= ×20=10（m）， BO= = = 10 （m） ∴花坛的两条小路长 AC=2AO=20（m）， BD=2BO= 20 ≈ 34.64（m）. 花坛的面积 S菱形ABCD =4×S△ OAB = AC·BD=200 ≈346.4（m2）.