第01讲 等差数列-2021年新高二数学暑假精品课程(人教A版)(学生版)

第01讲 等差数列及前n 项和
【学习目标】
1．了解等差数列的概念及特征； 2. 掌握等差数列通项公式推导方法；
3. 学会用逆向求和的方法推导等差数列的和通项公式；
4.能灵活运用等差数列的通项公式与和通项公式求解一般数列。

【基础知识】
1． 等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2． 等差数列的通项公式
如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3． 等差中项
如果A ＝，那么A 叫作a 与b 的等差中项． 4． 等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N ＋)．
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．
(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列． 5． 等差数列的前n 项和公式
设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝1()
2
n n a a 或S n ＝na 1＋d . 6． 等差数列的前n 项和公式与函数的关系
S n ＝
2
d n 2
＋n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7． 等差数列的前n 项和的最值
在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值． 难点正本 疑点清源 1．等差数列的判断方法
(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. 2．等差数列与等差数列各项和的有关性质
(1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1)a n .
(4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝
2
n d . 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 3．等差数列与函数
在d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，一次项系数为d ；S n 是关于n 的二次函数，二次项系数为d
2，且常
数项为0.
【考点剖析】 考点一等差数列基本量的运算
1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )
A ．－12
B ．－10
C ．10
D ．12
【答案】B
【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.
2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C
【解析】设等差数列{a n }的公差为d ， 则由得 即解得d ＝4.
3．(2021·西安质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1＞0，则S 20＝( ) A ．420 B ．340 C ．－420 D ．－340 【答案】D
【解析】设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12，得d ＝±2，由a 1＞0，a 2＝0，可知d ＜0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋×(－2)＝－340.
4．(2021·西安八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 4＜S 3 B ．S 4＝S 3 C ．S 4＞S 1 D ．S 4＝S 1
【答案】B
【解析】设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得解得于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4＜S 1，故选B. 考点二：等差数列的判定与证明
例1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝
1
2
. (1)求证：成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．
【解析】(1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1， 因为S n ≠0，所以
1n S －1
1n S -＝2， 又
11S ＝1
1
a ＝2， 故是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1
n
S ＝2n ，所以S n ＝12n .
当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝
12n －1
2(1)
n -＝ 当n ＝1时，a 1＝1
2
不适合上式．故a n ＝ 【变式发散】
1．(变设问)本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由． 【解析】因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， 所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)． 所以
1n S －1
1n S -＝2(n ≥2)． 又
11S ＝1
1
a ＝2， 所以是以2为首项，2为公差的等差数列．
所以
1
n
S ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n .
所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝
12n －12(1)
n ＝， 所以a n ＋1＝.又a n ＋1－a n ＝－＝＝，
所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列． 2．(变条件)将本例条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝1
2
”变为“S n (S n －a n )＋2a n ＝0(n ≥2)，a 1＝2”，问题不变，试求解．
【解析】(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1且S n (S n －a n )＋2a n ＝0， 所以S n [S n －(S n －S n －1)]＋2(S n －S n －1)＝0， 即S n S n －1＋2(S n －S n －1)＝0， 因为S n ≠0，所以S n －S n －1＝12
. 又
11S ＝11
a ＝12
，故数列是以首项为12，公差为12的等差数列．
(2)由(1)知
1
n S ＝2
n ，所以S n ＝2n ，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－.
当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n ＝ 【解法技巧】
等差数列的判定与证明方法
2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件．
[过关训练]
1．已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋
1－2n ，设b n ＝，求证：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的通项公式．
【证明】因为b n ＋1－b n ＝＝， 所以{b n }为等差数列， 又b 1＝＝0，所以b n ＝n －1， 所以a n ＝(n －1)·3n ＋2n .
2．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1
1
n a -. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 【解析】(1)证明：因为
1111
1111(1)(1)3n n n n n n a a a a a a +++--
==----，
所以b n ＋1－b n ＝
13
， 所以数列{b n }是等差数列． (2)由(1)及b 1＝
11
n a -＝121-＝1， 知b n ＝
13n ＋2
3
， 所以a n －1＝
3
2
n +，所以a n ＝. 考点三：等差数列的性质与应用
例2．(1)(2021·咸阳二模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根，则
S 13＝( ) A ．58 B ．54 C ．56
D ．52
(2)已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( ) A ．100 B ．120 C ．390
D ．540
(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，，则S 2 019＝________. 【答案】(1)D (2)A (3)8 076
【解析】(1)∵a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根， ∴a 4＋a 10＝8，∴a 1＋a 13＝8， ∴S 13＝＝＝52.
(2)设S n为等差数列{a n}的前n项和，
则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
又等差数列{a n}的前10项和为30，前30项和为210，
∴2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.
(3)由等差数列的性质可得也为等差数列．
设其公差为d，则＝6d＝6，∴d＝1.
故＋2 018d＝－2 014＋2 018＝4，
∴S2 019＝4×2 019＝8 076.
【解题技法】
一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则a m＋a n ＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)；数列S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列；也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．
【过关训练】
1．(2021·聊城模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S13＝104，a6＝5，则数列{a n}的公差为() A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
【解析】设等差数列{a n}的公差为d.
因为S13＝104，
所以＝104，所以13a7＝104，解得a7＝8.
因为a6＝5，所以d＝a7－a6＝8－5＝3.
2．(2021·宁德二检)已知等差数列{a n}满足a3＋a5＝14，a2a6＝33，则a1a7＝()
A．33 B．16
C．13 D．12
【答案】C
【解析】设等差数列{a n}的公差为d，
因为a3＋a5＝14，所以a2＋a6＝14，
又a2a6＝33，所以或
当时，d＝＝2，
所以a1a7＝(a2－d)(a6＋d)＝13；
当时，d＝＝－2，
所以a1a7＝(a2－d)(a6＋d)＝13.
综上，a1a7＝13，故选C.
3．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若，则
11
11
a b ＝________. 【答案】
2132
【解析】由等差数列前n 项和的性质， 得
11
11
a b ＝. 考点四：等差数列前n 项和的最值问题
例3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝13,3a 2＝11a 6，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．
【答案】49
【解析】 法一 通项法 设等差数列{a n }的公差为d .
由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15. 由得解得≤n ≤.
因为n ∈N *，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝＝49. 法二 二次函数法 设等差数列{a n }的公差为d .
由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15. 所以S n ＝＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，
所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝49. 【解题技法】
求数列前n 项和的最值的方法
(1)通项法：①若a 1＞0，d ＜0，则S n 必有最大值，其n 的值可用不等式组来确定；②若a 1＜0，d ＞0，则S n 必有最小值，其n 的值可用不等式组来确定． (2)二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n ＝na 1＋ d ＝
2
d n 2
＋n ，可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值．
(3)不等式组法：借助S n 最大时，有 (n ≥2，n ∈N *)，解此不等式组确定n 的范围，进而确定n 的值和对应S n 的值(即S n 的最值)． 【过关训练】
1．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则S n 的最大值是( ) A ．S 1 B ．S 7 C ．S 8 D ．S 15
【答案】C
【解析】由等差数列的前n 项和公式可得S 15＝15a 8＞0，S 16＝8(a 8＋a 9)＜0，所以a 8＞0，a 9＜0，则d ＝a 9－a 8＜0，
所以在数列{a n }中，当n ＜9时，a n ＞0，当n ≥9时，a n ＜0， 所以当n ＝8时，S n 最大，故选C.
2．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值． 【解析】(1)设{a n }的公差为d ， 由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.
所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)得S n ＝
1()
2
n n a a +＝n 2－8n ＝(n －4)2－16， 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.
【真题演练】
1．【2020年高考北京】在等差数列中，19a =-，31a =-．记，则数列A ．有最大项，有最小项
B ．有最大项，无最小项
C ．无最大项，有最小项
D ．无最大项，无最小项
2．【2020年高考浙江】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差0d ≠，且．记12b S =，，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是 A ．4262a a a =+
B ．4262b b b =+
C ．2428a a a =
D ．
3．【2020年高考全国II 卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)
A ．3699块
B ．3474块
C ．3402块
D ．3339块
4．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1=−2，a 2+a 6=2，则S 10=__________．
5．【2020年高考浙江】我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶
等差数列．数列*(1)
{
}()2
n n n +∈N 的前3项和是_______． 6．【2020年新高考全国Ⅰ卷】将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n
项和为________．
【过关检测】
1．已知n S 是公比为正数的等比数列的前n 项和，且满足41
2
a 是与318a a -的等差中项，则的公比q 的值为（ ） A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
2．已知n S 是数列的前n 项和，则“2n S n n =-”是“数列是公差为2的等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）在这个问题中，戊所得为（ ） A ．
1
4
钱 B ．
12
钱 C ．
23
钱 D ．
35
钱 4．《周牌算经》是我国古代的天文学和数学著作，其中有一个问题大意如下：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体的影子长度增加和减少的大小相同)，二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则立秋晷长为（ ） A ．五寸
B ．二尺五寸
C ．三尺五寸
D ．四尺五寸
5．n S 是等差数列的前n 项和，1233a a a ，7910a a +=，则9S =（ ）
A ．9
B ．16
C ．20
D ．27
6．设数列的前n 项和为n S ，已知110a =-，29a =-，，若0n a =，则n 的值为（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
7．数列满足11122n n n b b ++=+﹐若11
2
b =，则的前n 项和为（ ） A ．
B ．1112n n ++-
C ．222
n n +- D ．133
22n n ++-
8．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若．则5
5
a b =（ ） A ．
23
B ．
45
C ．
32
D ．
54
9．已知数列满足13
2
a =，133n n n a a a +=+，若3n n n c a =，则12n c c c ++⋅⋅⋅+=_______.10．已知等差数列的
前n 项和为n S ，若33a =，131036S S -=，则数列的公差为________.
11．《算法统宗》是中国古代数学名著，其中有诗云：“九百九十六斤棉，赠分八子盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”这首歌诀的意思是：996斤棉花分别赠送给八个子女做旅费，从第二个孩子开始，每人分得的棉花比前一人多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得棉花为___________斤.
12．设n S 为等差数列的前n 项和，671a a +=，则12S =___________，若70a <，则使得不等式0n S <成
立的最小整数n =___________.
13．已知等差数列n 的前三项依次为a ，8，，前n 项的和为n S ，366k S =． （1）求a 及k 的值；
（2）设数列满足，且其前n 项的和为n T ，求n T ．
14．已知数列的前n 项和为2
3n S n n =+．（1）求这个数列的通项公式n a ； （2）若，求数列的前n 项和n T ． 【解析】（1）当111,
4n a S ===
当12,22n n n n a S S n -=-=+
*22,n a n n N ∴=+∈
（2）1
(1)2
n n b n ++⋅=
2312232(1)2n n T n +=⨯+⨯+⋅+⋅② 34222232(1)2n n T n +=⨯+⨯+
+⋅①
：()2341(1)28222n n n T n ++=+⋅--++
15．在数列中，11a =，()
*21221,,k k k a a a k N -+∈成等比数列，公比为0k q >. （Ⅰ）若2k q =，求13521k a a a a -+++⋅⋅⋅+；
（Ⅱ）若()*22122,,k k k a a a k N ++∈成等差数列，公差为k d ，设11
k k b q =-. ①求证：为等差数列；
②若12d =，求数列的前k 项和k D .
16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且535S =，3520a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求正整数m ，使得.。