计算方法第三章r

2
值得注意的是在较大区间上进行插值时，误差可能会 很大！另外，一般情况下，外推不如内插好！
第二节 Lagrange插值公式 插值条件是
( x0 , y0 ),( x1 , y1 ),,( xn , yn )
Lagrange插值实质上是求通过上面 n+1 个点的 n 次多项式。
一次插值：
问题为求一次多项式，即一次函数，过以下 两点：
处 K+1 阶差商为：
x0 , x1 ,, xk , xk 1
f ( x0 , x1 , , xk ) f ( x1 , , xk , xk 1 ) f ( x0 , x1 , , xk , xk 1 ) x0 xk 1
给定 n +1个点的函数值，则牛顿插值公式为：
xi , f i f ( xi ) , i 0,1, 2, , n N n ( x) f ( x0 ) f ( x0 , x1 )( x x0 ) f ( x0 , x1 , x2 )( x x0 )( x x1 ) f ( x0 , x1 , , xn )( x x0 )( x x1 ) ( x xn 1 ) N n ( x) N n 1 f ( x0 , x1 , , xn )( x x0 )( x x1 ) ( x xn 1 )
xi , x j ,, xk 上的插值多项
N i , j ,,k , p ,q ( x) L( x) N i , j ,,k , p ( x) N i , j ,,k ,q ( x) N i , j ,,k , p ( x) xq x p (x xp )
Aitken（埃特肯）算法 N 0,1,,k , p ( x) L( x) N 0,1,,k ( x)
差商
设函数 f (x) ，定义函数在两个不同点的一阶差商为
f ( xi , x j )
f ( xi ) f ( x j ) xi x j
, ( xi x j , i j )
三个不同点的二阶差商为：
f ( xi , x j , xk )
在点
f ( xi , x j ) f ( x j , xk ) xi xk
一般插值问题：求过n+1个点
( x0 , y0 ), ( x1, y1 ),,( xn , yn )
Ln ( x) yi li ( x)
i 0 n
的不超过n次多项式 Ln ( x)。
li ( x ) 称为Lagrange插值基函数，满足：
1 , i j li ( x j ) ij , ij 0 , i j
例子：用0、30、45、60、90五个点作出sinx 牛顿插值多项式。 做差商表 0 30 0 0.5 0.016667
45
60
0.7071
0.866
0.013807
0.010595
-0.000063556
-0.00010707 -0.0000007
90
1
0.0044658
-0.0001362
-0.00000049
Nn1 ( x) Nn
牛顿插值的截断误差：
f ( x0 , x1 ,, xn1 )( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) f ( xn1 ) Nn1 ( xn1 ) Nn ( xn1 ) f ( x0 , x1 ,, xn1 )( xn1 x0 )( xn1 x1 ) ( xn1 xn ) f ( x) Nn1 ( x) Nn ( x) f ( x0 , x1 ,, xn1 )( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
0.01111 -0.01111 -1.235e-4
-0.01111 0.01111 0 4.572e-7 0
1.235e-4 4.572e-7
f (x j ) 差商的计算公式： f ( x0 , x1 , , xk , xk 1 )
k j 0 k
(x j ) k
k i 0 i j
Aitken（埃特肯）算法
x0
x1 x2 x3
N0 N1 N2 N3
N0,1 ( x) N0,2 ( x) N 0,1,2 ( x) N0,3 ( x) N 0,1,3 ( x) N 0,1,2,3 ( x)
Neville（列维尔）算法
x0
x1 x2 x3
N0 N1 N2 N3
N0,1 ( x) N1,2 ( x) N 0,1,2 ( x) N 2,3 ( x) N1,2,3 ( x) N 0,1,2,3 ( x)
插值公式的误差为：
Rn ( x) f ( x) Ln ( x) f ( n 1) ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) (n 1)!
M n1 max f
x[ a ,b ]
( n 1)
( x)
M n1 Rn ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn ) (n 1)!
( x j ) ( x j xi ) k ( x) ( x xi ) , k
i 0
差商的对称性：
f ( xi , x j )
f ( xi ) f ( x j ) xi x j

f ( x j ) f ( xi ) x j xi
f ( xi , x j , xk ) f ( x j , xi , xk ) f ( xi , xk , x j )
Rn ( x) f ( x) N n ( x) f ( x0 , x1 ,, xn 1 )( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
例子：用0、30、45、60、90五个点作出sinx 牛顿插值多项式。 做差商表
0 90 180
270 360
0 1 0
-1 0
N 0,1,,k 1, p ( x) N 0,1,,k ( x) x p xk
Neville（列维尔）算法
( x xk )
N i ,i 1,,k ( x) L( x) N i ,i 1,,k 1 ( x) N i 1,i 2,k ( x) N i ,i 1,,k 1 ( x) xk xi ( x xi )
n ( x) ( x x0 ) ( x x1 ) ( x xm )
r0 r1
rm
r0 r1 rm n 1
在x0 , x1 ,, xm之间，与x有关
证明思路：构造辅助函数，用罗尔定理。
, P3 ( x1 ) y1, P3 ( x2 ) y2 P3 ( x0 ) y0 , P3( x0 ) y0
R3 ( x) f ( x) P3 ( x) 1 (4) 2 f ( )( x x0 ) ( x x1 )( x x2 ) 4!
g (t ) f (t ) P3 (t ) ( x x0 ) ( x x1 )( x x2 )
2
[ f (t ) P3 (t )]/( x x0 ) ( x x1 )( x x2 )
因式定理：多项式P(x)具有r 次因式 (x-a)r 的充要条件 是P(a)= P ‘(a) = ……= P(a)(r-1) =0 最一般的插值条件：
( xi ) yi , ( xi ) yi,,
( ri 1)
( xi ) y
( ri 1) i
xi 是 ri 重根， r0 r1 rm n 1
Pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
数据表中的函数值为已知的节点称为插值节点，插值节点上所
给的函数值称为样本值。函数值待求的点称为插值点。插值节
点所界定的范围称为插值区间。如果所给插值点位于插值区间
之内，这种插值过程称为内插，否则称为外插。
如果插值条件只是给出节点的函数值，称为拉格朗日插值，如 果既有函数值也有节点处函数的导数值，称为埃尔米特插值。
始
计算程序 框图
输入数据 x 及
xi , yi , i 0,1,, n
y 0, i 0
计算权系数 i 存单元 中
y y yi
=
i i 1 i n?

终 Lagrange 公式的计算流程
第三节 逐次线性插值
函数 y = f (x)在节点
式记为 N i , j ,,k ( x)，则有
第三章 插值法
第一节 插值多项式的基本概念
假设已经获得若干点上的函数值 即提供了一张数据表
f xi yi , i 0,1,, n,
y f x y0
x
x0 x1
y1
x2
y2


xn yn
如何利用这张表求某个给定点上的函数值呢?插值方 法所要研究的就是这个课题。
通常用多项式来作为近似函数，称为插值多项式。
差商的线性
例子：求方程 x 思路，用反函数 y 16 -1 -0.39 x 3 2
3
2 x 5 0 在(2 , 3)内的根
2.058823 2.096589 2.094529 2.095659 2.094554 2.094553
2.05823
0.012 2.095659 1.51E-5 2.094553
( x x0 )( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn ) li ( x) ( xi x0 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xn )
问题:过n+1个点的Lagrange插值多项 式是否唯一？
满足n+1个插值条件的n次多项式是唯一 的； 满足n+1个插值条件的多项式不是唯一 的；