成才之路北师大数学必修2-综合能力检测2.doc

第二章综合能力检测
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分•满分150分.考试时间120分钟.
第I 卷（选择题共50分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）
1. 若直线I 的倾斜角是直线y=x-3的倾斜角的两倍，且经过点（2,4）,则直线/的方 程为
（）
B. x=4
C• x=2
D. y =
2x —3
［答案］c
［解析］直线y=x —3的斜率为1,其倾斜角等于45。

，于是直线/的倾斜角等于90。

, 其斜率不存在，又因为它过点（2,4）,故/的方程为x=2.
2.
若点P （3,4）和点Q （a,
b ）关于直线x —尹一1=0对称，贝％ ）
3. 方程x 2
+X + ++2a 2+tz — 1 = 0表示圆，则Q 的取值范围是（
）
2
C. —2<«<0
D. —2<a<j
［答案］D
［解析］由 P 2+E 2-4F>0,得
cT +（2a ）2 一 4（2/+° 一 i ）>o, 2 解得一 2<a<y
4. 若直线（l+a ）x+y+\=0与圆x 2
+y 2
~2x=0相切，则a 的值为（ ）
A. 1, -1
B. 2, -2
C. 1
D. -1
A. y=2x
A. G =1, b= —2 C. a=4, h=3
［答案］D
B. d=2, b =
— 1 D. a=5, b=2
［解析］ r/?-4
=—］，
a —3 由s
a+3_b+A .2 — 2
-1=0, 解得
G =5,
b=2.
2 A.a<~2 B.—亍<0<0
［答案］D
［解析］将圆x2+y2~2x=0的方程化为标准式
(X-1)2+/=1, /.其圆心为(1,0),半径为1.
若直线(\+a)x+y+\= 0与该圆相切，则圆心到直线的距离〃等于圆的半径厂，
・卩
+Q +H ・・ •\/(1+界+戶'"7
5. 己知力(2,5, —6),点P 在y 轴上，|丹| = 7,则点P 的坐标是() A. (0,&0) B. (0,2,0) C. (0,8,0)或(0,2,0)
D. (0, —&0)
［答案］C
［解析］点卩在尹轴上，可设为(0, y0),
因为|刃| = 7,力(2,5, -6), 所以 ^/22 + (y-5)2 + 62=7, 解得y=2或&故选C.
6. 在平面直角坐标系xOy 'I 1，直线3x+4y —5 = 0与圆x 2+y 2=4相交于/、B 两点, 则弦MB
的长等于()
A. 3y/3
B. 2^3
C.
D. 1
［答案］B
［解析］本题考查了直线与圆位置关系处理方法，弦长等知识，如图所示.
:.AD 2 = OA 2-OD 2
=4-\=3. :. \AD\=y ［3t
・•・弦长|/3|=2迈.
7. 已知 A = {(x, y)\x 2
+y 2
=l}f B={(x, y)|(x-5)2+(y-5)2=4},则 AQB 等于(
B. {(0,0)}
C. {(5,5)}
D. {(0,0), (5,5)}
［答案］A
|■解析］集合A 是圆O ： x 2
+y 2
= 1上所有点组成的，集合B 是圆C ： (%—5)2+()'—5)2 =4 上
设力3的中点为Q, M'J ODLAB,
1一5|
=1.
A. 0 由点到直线距离公式得QD| =
所有点组成的.又O(0,0), r, = l, C(5,5),厂2=2, |OC| = 5迈，・・・|OC|»］+厂2=3.
・••圆。

和圆c相离，无公共点.・・・力门3=0.
8.若直线y=kx+\与圆x2+y2+kx~y=0的两个交点恰好关于y轴对称，则《=( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3［答
案］
A
［解析］
y=kx +\ - r 由卜+严“円得(】+劭2+2也=0,
T两交点恰好关于尹轴对称，•：一乔乔=0, .•丄=0.
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9.从原点向圆x2+/-6x+y =0作两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为(
B.兀
D.尹
［答案］B
［解析］如图所示，数形结合，圆心C(3,0)
第II卷(非选择题共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)
11.直线/过点(一5, —10)且在圆X+b=25上截得的弦长为5逗,则直线/的方程为
［答案］x-y-5 = 0 或7x~y+25=0
［解析］若直线/的斜率不存在，则其直线方程为x=—5,此时直线/与圆相切，不符合题意.
故设直线/的斜率为k,
其方程为尹+10=£(x+5),即/cx-y+5k~10=0
由(与］+》尸+(^^)2 = 25可得k=\或k=7.
即兀一y—5 = 0或7x—y+25=0为所求.
12.光线从点M(3, —2)照射到尹轴上一点P(0,l)后，被尹轴反射，
则反射光线所在的
直线方程为_______ •
［答案］%—y+1 =0
［解析］点M(3, —2)关于尹轴的对称点为M' (-3, -2),故反射光线所在的直线方 程为直线P,其方程为y — 1 =o_(_3)x=兀,即x~y+1 =0.
13.若圆x 2+y 2
+2x-4y-4 = 0的圆心C 到直线/的距离为2,且/与直线3x+4y~l =0平行，则直线
/的方程为 ________________________ .
［答案］3x+4y+5 = 0 或 3兀+4尹一 15 = 0
［解析］圆心为(-1,2).设所求的直线方程为3x+4y+D=0(D^~\),由点到直线的距
3x+4y+5 = 0 或 3x+4y —15 = 0.
14.以点力(2, —1)为圆心，在直线3x-4j/+10 = 0上截得的弦长为6的圆的一般方程
是 _______ •
［答案］x 2
+y 2
-4x+2y~20=0
［解析］点A 到直线的距离d=Q+：+9=4. 又弦长为6,・••圆的半径为5. 故所求圆的方程为(%—2)2+(y+1)2=25, 即 X 2+/-4X +2^-20 = 0.
15.己知圆C 过点(1,0),且圆心在x 轴的正半轴上，直线l\y=x 一1被该圆所截得的
弦氏为2迈，则圆C 的标准方程为 ________ ・
离公式,
卩 X(—1) + 4X2 + D|
=2,即
|5+D|
5
=2,解得D=5或一15.故所求的直线方程为
［答案］(x-3)2+y=4
懈析］设圆心C (Q,O),由已知a>0作CD 丄肋，则由\AB\=2y ］2^AD=y ［2,1仞|=号1
\CA\ = \a~l\t
今a=3 或 t7= —1, 又 a>0, .•・Q =3, /.r=3 —1 =2,
・•・OC 的方程为(X -3)2+J 2=4.
三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步
16.(本小题满分12分)设直线/的方程为(a+l)x+y+2~a=0(a^R). (1) 若/在两坐标轴上的截距相等，求/的方程； (2) 若/不经过第二象限，求实数a 的取值范围.
［解析］(1)当直线过原点时，该直线在兀轴和y 轴上的截距都为零，当然相等. 则(^+l)XO+O+2-67 = O, ・・虫=2,方程即3x+y=0；
若。

工2,由题设/在两轴上的截距存在， .•.G = 0,方程即 x+y+2 = 0.
/的方程为3x+y=0或x+尹+2 = 0.
(2)将I 的方程化为y=-(a+l)x+a-2, ・•・欲使/不经过第二象限，当且仅当
综上可知，Q 的取值范围是dW — 1.
17. (本小题满分12分)一束光线/自/(—3,3)发出，射到x 轴上，被x 轴反射后与圆C ： 天2+尹2_徐_纱+7 = 0有公共点.求：
,a —2 ：'7+\
即 a+ 1 = 1, 一(°+1)20
a-2W0
由勾股定理得：(A /2)2+ =(1^-1|)2
(1)反射光线通过圆心C时，光线/所在直线的方程；
(2)在x轴上，反射点M的横坐标的取值范圉.
［解析］圆C 的方程可化为(X —2)2+(y —2)2=1.
⑴圆心C 关于x 轴的对称点为C' (2, -2),过点C 的直线方程为x+y=O,此即 为光线/所在直线的方程.
(2)点力关于x 轴的对称点为才(-3, 一3),设过点才 的直线为y+3=k(x+3)・当该
4
3
=1,解得k=j 或片京所以过点才 的圆C 的两条切
4 3 3
线方程分别为尹+3=§(x+3),夕+3=才(兀+3)・分别令y=0,得M =—才，兀2=1，所以在x
3
轴上反射点M 的横坐标的取值范围是［一亍，1］・
18. (本小题满分12分)已知圆C 的圆心在直线x —3y=0上，II 圆C 与y 轴相切，若圆 C 截
直线得眩长为2羽，求圆C 的方程.
［解析］设C(Q , b),半径为Q0,点C 在x —3y=0上，
•'•a — 3b=O ，
又C 与y 轴相切,
•"=14，
又圆C 在上截弦长为2羽, 则圆心到
y=x 的距离〃=也褂，
N-3b=0, < —, 蔦叫7".。

=3,
a=—3,
< b= 1, 或*
b= — \, 丿=3,
Z=3.
・••圆 C 方程为(x-3)2 + (y-l)2=9, 或(x+3)2+(y+l)2=9.
19. (本小题满分12分)(1)已知直线/：诵x-y+l=O,求/关于兀轴对称的直线方程; (2)已知圆M ： X 2+/=4,求过点P(2,4)与圆M 相切的切线方程.
［解析］(1)方法一：•・•所求直线与/关于兀轴对称， 又
,
・••所求直线斜率为一迈. •・•直线/与x 轴交于点(一扌亍0),
直线与圆C 相切时，有
\2k-2+3k-3\
・•・所求直线为y = 一西卜+為，即y[3x+y+}=0.
方法二：在直线/上取两点(0,1),心,4), •・•所求直线与/关于x轴对称，
・••点(0, —1)和(迈，一4)在所求直线上.
・•・所求直线的斜率为k=-£,
二所求直线为y+l = —y[3x, 即伍+y+l=0.
(2)・・•点P(2,4)不在圆O上,
• 1—2 卄4| 3
=2,解得k=&
・•・可设切线PT为y=k(x-2)+4f
3
.•・尹=才&—2)+4,即3x—4p+10 = 0.
・・•过圆外一点作圆的切线应该有两条，
・•・另一条直线的斜率不存在，易求另一条切线为x=2.
20.(本小题满分13分)直线y=kx与圆x2+y2—6x—4y+l0=0相交于两个不同点/ , 3, 当£取不同的实数值时，求中点的轨迹.
[解析]方法一：联立方程，得
宦+于―6x—4y+10 = 0,
消去y,得(1+疋)“一(6+4k)x+10 = 0.
设此方程的两根为X],也，的中点坐标为P(x,尹)，
由根与系数的关系和中点坐标公式得
x\+xi 6+4£ 3 + 2W
X=~^=2(1+Q=TTF ①
又TP点在直线y=kx上，
•\y=kx,即£=三.②
X 3
3 + 2(三)
将②代入①，得兀= ---- (兀H0),
1+(护
整理得?+/-3x-2y=0.
•・•点卩始终在圆x2+y2-6x~4y+\0=0的内部，
点P的轨迹是圆x2+y2—3x—2y=0位于圆x2 +y2—6x—4y + 10=0内的部分弧.
方法二：丁直线尹=也过坐标原点，圆x2+y2-6x-4y+\0=0的圆心为C(3,2), 设的中点为M,则MC丄
・•・点M在以OC为直径的圆上，
此圆的圆心为(|, 1),半径为宇，
其方程为(X—|)2 + (y—1)2=^-,
即x2+y1—3x—2y=0.
又T点M在圆X2 ~\~y2—6x—4尹+ 10=0的内部，
轨迹是圆X2 + y2—3x—2^=0位于圆X2 +y2— 6x~4y+ 10=0内的部分弧.
21.(本小题满分14分)已知点P(2,0)及圆C：x2+y2~6x+4y+4=0.
(1)若直线/过点P且与圆心C的距离为1,求直线/的方程.
(2)设过点P的直线/】与圆C交于M, N两点，当|他=4时，求以线段MN为直径的圆Q 的方程.
(3)设直线oxp+l= 0与圆C交于B两点，是否存在实数°,使得过点卩(2,0)的直线/2垂直平分弦
力3?若存在，求出实数d的值；若不存在，请说明理由.
［解析］⑴直线/斜率存在时，设直线/的斜率为仁则方程为y-0=k(x-2),即处一尹
~2k=Q.
所以d=\CP\=^l5.
所以P恰为MN的中点.
故以MN为直径的圆Q的方程为(X-2)2+/=4.
(3)把直线y=ax+ 1代入圆C的方程，消去y,整理得(^2+l)x2+6(«-l)x+9 = 0.
由于直线ax—y+\= 0交圆C于力，〃两点，
故/=36(Q— I)'—36(/+ 1)>0,
即一2a>0,解得a<0.
则实数Q的取值范围是(一8, 0).
设符合条件的实数。

存在，
由于垂直平分弦力3，故圆心c(3, —2)必在/2上.所以/2的斜率kpc=_2,而灯〃=
所以a=*.由于*(—8, 0),
故不存在实数Q,使得过点P(2,0)的直线厶垂直平分弦4B.
3 3
半径厂=刁在Rt^OCA中，OC=3, G4=y,
:.Z OCA = 60°
从而Z/C3=120。

，劣弧力3 长/=^yx|=ji.
10.已知圆的方程为x2+y2-6x-Sy=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC
和3D,则四边形ABCD的面积为( )
A. 1OV6
B. 20\/6
C.3OV6
D. 40^6
［答案］B
［解析］考题分析：本题考查圆的相关知识.
圆的方程为,+夕2—6x—8尹=0得圆心(3,4),半径为5. 由题意知，/C为圆的直径且丄AC,・•・［BD\=2y/^P=4晶\AQ=IO.
•：S四边形ABCD =|x4V6X10=2(h/6,故选B.
3
所以直线方程为尹=—才(x—2),即3x+4y—6=0.
当/的斜率不存在时，/的方程为x=2,经验证x=2也满足条件.
即直线/的方程为3x+4y—6=0或兀=2.。