高考数学异构异模复习第十二章概率与统计12.2.1离散型随机变量的分布列均值撬题理79

(1)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值；
(2)在选取的样本中， 从高度在 80 厘米以上 (含 80 厘米 )的植株中随机抽取 3 株，设随机变
量 X 表示所抽取的 3 株高度在 [80,90)内的株数，求随机变量 X 的分布列及数学期望．
解 (1)由题意可知，样本容量
8
2
n＝0.016× 10＝ 50， y＝50× 10＝ 0.004，
A2＝ { 从乙箱中摸出的 1 个球是红球 } ，
B1＝{ 顾客抽奖 1 次获一等奖 } ，
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B2＝{ 顾客抽奖 1 次获二等奖 } ， C＝{ 顾客抽奖 1 次能获奖 } ． 由题意， A1 与 A2 相互独立， A1 A2 与 A1 A2 互斥， B1 与 B2 互斥， 且 B1＝ A1A2，B2＝A1 A2
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2018 高考数学异构异模复习考案 第十二章 概率与统计 12.2.1 离散
型随机变量的分布列、均值撬题 理
1．若 n 是一个三位正整数， 且 n 的个位数字大于十位数字， 十位数字大于百位数字， 则
称 n 为“三位递增数” (如 137,359,567等 )．
1 4 64 于是 P(X＝ 0)＝ C03 5 0 5 3＝ 125，
1 4 48 P(X＝ 1)＝C13 5 1 5 2＝ 125.
1 4 12 P(X＝ 2)＝C23 5 2 5 1＝ 125.
14 1 P(X＝ 3)＝C33 5 3 5 0＝ 125.
故 X 的分布列为
X
0
1
2
3
64
48
12
X
012Fra bibliotek31
1
3
1
P
6
2
10
30
随机变量 X 的数学期望
1
1
3
16
E
(X
)＝
0×
6＋
1×2＋2×10＋
3×
30＝
. 5
6．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为
23 和 .现安排甲组
35
研发新产品 A，乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
2
3
4
2
7
7
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植株的高度 (单位：厘米 )作为样本 (样本容量为 n)进行统计， 按照 [50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，
[90,100]分组作出频率分布直方图，如图 (1)所示，并作出样本高度的茎叶图，如图 (2)(图中仅
列出了高度在 [50,60)， [90,100]的数据 )．
＋ A1 A2， C＝ B1＋ B2.
42 因为 P(A1)＝ ＝ ，
10 5
51
21 1
P(A2)＝10＝ 2，所以 P(B1)＝ P(A1A2)＝ P(A1)P(A2)＝ 5×2＝ 5，
P(B2)＝ P(A1 A2 ＋ A1 A2)＝ P(A1 A2 )＋ P( A1 A2)＝ P(A1)P( A2 )＋ P( A1 )P(A2)＝ P(A1)(1－
1 (1)记 H＝ { 至少有一种新产品研发成功 } ，则 H ＝ E F ，于是 P( H )＝ P( E )P( F )＝ 3
22 × 5＝ 15，
2 13
故所求的概率为
P(H)＝ 1－ P(
H
)＝
1－
15＝
. 15
(2)设企业可获利润为 X(万元 )，则 X 的可能取值为 0,100,120,220.
(2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业
可获利润 100 万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．
2 解 记 E＝ { 甲组研发新产品成功 } ，F＝{ 乙组研发新产品成功 } ．由题设知 P(E)＝ 3，P( E )
1
3
2
＝ 3， P(F)＝5， P( F )＝5，且事件 E 与 F，E 与 F ， E 与 F， E 与 F 都相互独立．
x＝0.100－ 0.004－ 0.010－ 0.016－0.040＝ 0.030.
(2)由题意可知，高度在 [80,90)内的株数为 5，高度在 [90,100]内的株数为 2，共 7 株．抽取
的 3 株中高度在 [80,90)内的株数 X 的可能取值为 1,2,3，则
C15C22 5 1 P(X＝ 1)＝ C37 ＝ 35＝ 7，
(2)若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 E(X)．
解 (1)个位数是 5 的“三位递增数”有
125,135,145,235,245,345. (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为
C39＝ 84，
随机变量 X 的取值为： 0，－ 1,1，因此
C38 2
P(X
＝
0)＝
C39＝
， 3
C24 1 P(X＝－ 1)＝ C39＝ 14，
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取
1 个数，且
只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被
5 整除，参
加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得－ 1 分；若能被 10 整除，得 1 分．
(1)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ；
试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
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(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望．
解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为
5431 A，则 P(A)＝ × × ＝ .
X
0
100 120
220
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2
1
4
2
P
15
5
15
5
2
1
4
2 300＋ 480＋ 1320 2100
数学期望为
E(X
)＝
0×
＋ 15
100×
＋ 5
120× ＋ 15
220×
＝ 5
15
＝ ＝ 140. 15
7．某园林基地培育了一种新观赏植物， 经过一年的生长发育， 技术人员从中抽取了部分
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C13· C27＋ C03· C37 49
则 P(A)＝
C310
＝ 60.
49
所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为
.
60
(2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3. Ck4· C36－k
P(X＝ k)＝ C310 (k＝ 0,1,2,3)． 所以，随机变量 X 的分布列为
2
1
2 11
P(A2))＋ (1－P(A1))P(A2)＝5×
1－ 2 ＋
1－ 5
×＝. 22
11 7
故所求概率为
P(C)＝
P(B1＋
B2)＝
P(B1)＋
P(B2)＝
5＋
2＝
. 10
1 (2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验，由 (1)知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 5，
1 所以 X～ B 3， 5 .
1 2 11 P(X＝ 1)＝1－ － ＝ .
14 3 42
所以 X 的分布列为
X
0
－1
1
2
1
11
P
3
14
42
2
1
11 4
则 E(X)＝0× ＋ (－ 1)× ＋1× ＝ .
3
14
42 21
2.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装
有 4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、 5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球．在摸
15
15
15 5
5．某大学志愿者协会有 6 名男同学， 4 名女同学．在这 10 名同学中， 3 名同学来自数学
学院， 其余 7 名同学来自物理、 化学等其他互不相同的七个学院． 现从这 10 名同学中随机选
取 3 名同学，到希望小学进行支教活动 (每位同学被选到的可能性相同 )．
(1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率； (2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望． 解 (1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A，
出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有
1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则
不获奖．
(1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；
(2)若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X 的分布
列和数学期望．
解 (1)记事件 A1＝ { 从甲箱中摸出的 1 个球是红球 } ，
12 2
133 1
因 P(X＝ 0)＝ P( E F )＝ 3× 5＝15， P(X＝ 100)＝ P( E F)＝3× 5＝ 15＝ 5，
22 4
23 6 2
P(X＝ 120)＝P(E F )＝ × ＝ ， P(X＝ 220)＝ P(EF)＝ × ＝ ＝ ，
3 5 15
3 5 15 5
故所求的分布列为
C25C12 20 4
P(X＝ 2)＝
C37
＝
＝， 35 7
C35C02 10 2
P(X＝ 3)＝
C37
＝
35＝
. 7
所以 X 的分布列为
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》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
X
1
1 P
7
1
4
2 15
所以 E(X)＝ 1×7＋ 2× 7＋ 3× 7＝ 7 .
C310
＝. 4
P(A)＝
(2)X 的所有可能值为 0,1,2，且
C38 7
C12C28 7
P(X
＝
0)＝
C310＝
， 15
P(X
＝
1)＝
C310
＝， 15
C22C18 1 P(X＝ 2)＝ C310 ＝ 15.
综上可知， X 的分布列为
X
0
1
2
7 P
15
7
1
15
15
7
7
13
故 E(X)＝0× ＋ 1× ＋ 2× ＝ (个)．
6542
(2)依题意得， X 所有可能的取值是 1,2,3.
1
511
54
2
又 P(X＝ 1)＝ 6， P(X＝ 2)＝6×5＝6， P(X＝ 3)＝ 6× 5× 1＝ 3.
所以 X 的分布列为
X
1
2
3
1 P
6
1
2
6
3
1
1
25
所以 E(X)＝ 1× ＋ 2× ＋ 3× ＝ .
6
6
32
4．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有
10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽
3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取 (1)求三种粽子各取到 1 个的概率；
3 个．
(2)设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望．
解 (1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”，则由古典概型的概率计算公式有
C12C13C15 1
1
P
125
125
125
125
13
X 的数学期望为
E(
X)＝
3×5＝
. 5
3．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小
王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常
用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择
1 个进行尝试．若密码正确，则结束尝