第一学期期末高三数学文科测试试题

第一学期期末高三数学文科测试试题
高三数学文科测试试题
满分150分，完卷时刻为120分钟，答案请写在答题纸上
一、填空题(每小题4分，共44分)
1、已知集合P ={x |x 2–9<0}，Q ={x |x 2–1>0}，则=Q P 。

2、若复数i i
a z ++=1为实数，则实数=a 。

3、函数f (x )=1+log 2 x 的反函数f –1(x )= 。

4、函数x x y 4+
=，x ∈(0,+∞)的最小值 。

5、若方程1642
2=++-k
y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范畴是 。

6、方程sin x+cos x = –1在[0,π]内的解为 。

7、向量→a 与→b 的夹角为 150，3||=→a ，4||=→b ，则=+→
→|2|b a 。

8、直线3x +y –23=0截圆x 2+y 2=4所得的弦长为 。

9、在实数等比数列{a n }中a 1+a 2+a 3=2，a 4+a 5+a 6=16，则a 7+a 8+a 9= 。

10、定义在R 上的周期函数f (x )是偶函数，若f (x )的最小正周期为4，且当x ∈[0,2]时，f (x )=2–x ，则f (2008)= 。

11、正数数列{a n }中，关于任意n ∈N *，a n 是方程(n 2+n )x 2+(n 2+n –1)x –1=0的根，S n 是正数数列{a n }的前n 项和，则=∞
→n n S lim 。

二、选择题(每小题4分，共16分)
12、在复平面内，复数z =i
-21
对应的点位于 ( ) (A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限 13、命题：“对任意的R x ∈，0322≤--x x ”的否定是 ( )
(A )不存在R x ∈，0322≤--x x ； (B )存在R x ∈，0322
≤--x x ；
(C )存在R x ∈，0322>--x x ； (D )对任意的R x ∈，0322>--x x .
14、已知A (1,0)、B (7,8)，若点A 和点B 到直线l 的距离都为5，且满足上述条件的直
线l 共有n 条，则n 的值是 ( )
(A ) 1 (B ) 2 (C ) 3 (D ) 4
15、方程|x –2| = log 2x 的解的个数为 ( )
(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 3
三、解答题(本大题满分90分)
16、(本大题12分)
设函数f (x )= –cos 2x –4t sin 2x cos 2
x +2t 2–3t +4，x ∈R ，其中|t |≤1，将f (x )的最小值记为g (t )。

(1)求函数g (t )的表达式；(2)判定g (t )在[–1, 1]上的单调性，并求出g (t )的最值。

17、(本大题12分) 复数2)2
321(i z -=是一元二次方程012=++bx ax ),(R b a ∈的根， (1)求a 和b 的值；(2)若z u u bi a =++)()(C u ∈，求u 。

18、(本大题14分)
在△ABC 中，A 为锐角，a =30，ΔABC 的面积S =105，外接圆半径R =17。

(1)求sin A 、cos A 的值；(2)求ΔABC 的周长。

19、(本大题16分)
设a 为实数，函数f (x )=x |x –a |，其中x ∈R 。

(1)分别写出当a =0、a =2、a = –2时函数f (x )的单调区间；
(2)判定函数f (x )的奇偶性，并加以证明。

20、(本大题18分)
阅读下面所给材料：已知数列{a n }，a 1=2，a n =3a n –1+2，求数列的通项a n 。

解：令a n =a n –1=x ，则有x=3x +2，因此x = –1，故原递推式a n =3a n –1+2可转化为： a n +1=3(a n –1+1)，因此数列{a n +1}是首项为a 1+1，公比为3的等比数列。

依照上述材料所给出提示，解答下列问题：
已知数列{a n }，a 1=1，a n =3a n –1+4，
(1)求数列的通项a n ；并用解析几何中的有关思想方法来说明其原理；
(2)若记S n =∑=+++n k k k a a 11
)2lg()2lg(1，求∞→n lim S n ; (3)若数列{b n }满足：b 1=10，b n+1=1003n b ，利用所学过的知识，把问题转化为能够
用阅读材料的提示，求出解数列{b n }的通项公式b n 。

21、(本大题18分)
(1)已知平面上两定点)0,2(-A 、)0,2(B ，且动点M 标满足MB MA ⋅=0，求动点M 的轨迹方程；
(2)若把(1)的M 的轨迹图像向右平移一个单位，再向下平移一个单位，恰与直线x+ky –3=0 相切，试求实数k 的值；
(3)如图，l 是通过椭圆116
252
2=+x y 长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是两个焦点，点P ∈l ，P 不与A 重合。

若∠EPF=α，求α
的取值范畴。

并将此题类比到双曲线：116
252
2=-x y ，l 是通过焦点F 且与实轴垂直的直线，B A 、是两个顶点，点
P ∈l ，P 不与F 重合，请作出其图像。

若α=∠APB ，
写出角α的取值范畴。

(不需要解题过程)
第21题图
2007学年度第一学期高三数学期末考试试题答案(文)2008年1月
一、填空题：
1、{–2, 2}
2、2
3、2x –1 (x ∈R )
4、4
5、–6<k <–1
6、π
7、2
8、2
9、128 10、2 11、1
二、选择题：12、A 13、C 14、C 15、C
16、(1)因为函数f (x )= –cos 2x –4t sin 2x cos 2
x +2t 2–3t +4，x ∈R ，其中|t |≤1， 因此f (x )=sin 2x –2t sin x +2t 2–3t+3=(sin x –t )2+ t 2–3t+3……………………………………3分 g (t )=f (x )min =f (t )= t 2–3t+3…………………………………………………………………6分
(2)g (t )= t 2–3t+3=(t –23)2+43，其对称轴为t =2
3，开口向上， 因此g (t )在[–1, 1]上的单调性为单调递减，……………………………………………9分 g (t )min =1…………………………………………………………………………………11分 g (t )max =7…………………………………………………………………………………12分
17、(1)由题得i Z 2
321--=，…………………………………………………………2分 因为方程ax 2+bx +1=0(a 、b ∈R )是实系数一元二次方程， 因此它的另一个根为i 2
321+-………………………………………………………4分 由韦达定理知：⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+----=+-+--111)2321)(232
1()2321()2321(b a a i i a b i i ……………………6分 (2)由(1)知i u u i 2
321)1(--=++，设 ),(R y x yi x u ∈+=……………………8分 则：i yi x yi x i 2321)())(1(--
=++-+，得i xi y x 2321)2(--=++……10分 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+21
32323212y x x y x ，因此i u 213223-+-=……………………12分
18、(1) 在△ABC 中，A 为锐角，a =30，外接圆半径R =17，因此A
a sin =2R =34，…2分 sin A =1715，cos A =17
8……………………………………………………………………6分 (2) ΔABC 的面积S =105，105=2
1bc sin A ，bc =238………………………………………8分 a 2=b 2+c 2–2bc cos A =(b+c )2–2bc (1+cos A ) ………………………………………………10分 (b+c )2=a 2+2bc (1+cos A )=900+2⨯238(1+
178)=1600……………………………………12分 b+c =40，ΔABC 的周长为70。

…………………………………………………………14分
19、(1) 当a =0时，f (x )=x |x |=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0
022x x x x ，f (x )的单调递增区间为),(+∞-∞；…2分 当a =2时，⎩⎨⎧<+-≥-=2
222)(22x x x x x x x f )(x f 的单调递增区间为(–∞,1)和(2,+∞)；…………………………………………4分 )(x f 的单调递减区间为(1,2)………………………………………………………6分
当a= –2时，⎩⎨⎧-<---≥+=2
222)(22x x x x x x x f )(x f 的单调递增区间为(–∞, –2)和(–1, +∞)；……………………………………8分 )(x f 的单调递减区间为(–2,–1)…………………………………………………10分
(2)当a =0时，f (x )=x |x |，因此f (x )为奇函数……………………………………………11分 因为定义域为R 关于原点对称，且f (–x )=–x |–x |=–f (x )
因此)(x f 为奇函数。

…………………………………………………………………13分
当a ≠0时，f (x )=x |x –a |为非奇非偶函数，………………………………………14分 f (a )=0，f (–a )= –a |2a |，因此f (–a ) ≠ f (a )，f (–a ) ≠ – f (a )
因此f (x )是非奇非偶函数。

……………………………………………………………16分
20、(1) 令a n =a n –1=x ，则有x=3x +4，因此x = –2，故原递推式a n =3a n –1+4可转化为：
a n +2=3(a n –1+2)，因此数列{a n +2}是首项为a 1+2，公比为3的等比数列。

因此a n +2=(a 1+2)⨯3n –1，因此a n =3n –2；…………………………………………2分 关于a n =3a n –1+4，能够看成把直线y=3x +4的方程改写成点斜式方程，
该点确实是它与直线y=x 的交点。

……………………………………………………4分
(2)令d k =)2lg()2lg(11+++k k a a =1
3lg 3lg 1+k k =(3lg 1)2)1(1+k k =(3lg 1)2(k 1–1
1+k )……………………………………………7分 S n =∑=+++n k k k a a 11)
2lg()2lg(1=d 1+d 2+……+d n =(3lg 1)2[(2111-)+(3121-)+(4131-)+……+(1
11+-n n )] =(3lg 1)2[1
11+-n ]………………………………………………………………10分 ∞→n lim S n =(3
lg 1)2……………………………………………………………………12分 (3)数列{b n }满足：b 1=10，b n+i =1003n b ，因此b n >0，lg b n+i =lg(1003n b )
令c n =lg b n ，则c n +1=3c n +2，………………………………………………………14分 因此c n +2=3(c n –1+2)，因此数列{c n +2}是首项为c 1+2，公比为3的等比数列。

因此c n +2=(c 1+2)⨯3n –1，因此c n =3n –2，…………………………………………16分 lg b n =c n =3n –2；b n =2310
-n …………………………………………………………18分
21、(1)设),(y x M ，由0=⋅MB MA 得422=+y x ，此即点M 的轨迹方程。

…3分
(2)将x 2+y 2=4向右平移一个单位，再向下平移一个单位后，
得到圆(x –1)2+(y+1)2=4…………………………………………………………………5分 依题意有21|
2|2=++k k ，得k =0或3
4=k ……………………………………………8分 (3)(ⅰ)证明：不妨设点P 在A 的右侧，并设P (t , –5)(t >0)， 则t
FPA t EPA 2tan ,8tan =∠=∠…………………………………………………10分 因此4316616128)tan(tan 2≤+=+-=∠-∠=t t t
t t FPA EPA α……………………12分 因此0<tan α≤43。

明显α为锐角，即：0<α≤arctan 4
3……………………………14分 (ⅱ)如图…………………………………………………………………………………16分
(图形中没有表达出双曲线的渐近性的，扣1分) 4
5arctan 0≤<α。

………………………………………………………………18分。