【专项复习】2022年中考数学专项 第17讲 正多边形与圆、弧长和扇形的面积

第17讲正多边形与圆、弧长和扇形的面积
1．正多边形的计算问题转化为三角形的计算问题，熟练掌握正多边形中各个量之间的关系；
2．掌握并灵活运用弧长和扇形面积公式，合理进行图形的分解与组合；
3．掌握与圆锥侧面展开图相关问题的计算方法，领悟将立体图形问题转化为平面图形问题的思想方法．
【板块一】正多边形与圆
(1)如图，设正n边形A1A2A3…An的边长为an，半径为Rn，边心距为rn，中心角为αn，周长为Cn，面积
为Sn．则：①
2
n
R＝2
n
r＋(2
n
a
)2；②αn＝
360
n
︒
；③Cn＝n⋅an；④Sn＝n⋅
1
2an⋅rn＝
1
2Cn⋅rn；
(2)与正多边形相关的计算和证明问题常常转化为三角形的问题解决；
(3)外接圆的半径(正多边形的半径)往往是解决问题的“中间量”，面积法是方程思想运用中常见的方法．【例1】如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，
求EF
GH的值．
【解析】连接CA交EF于点P，则CA是⊙O的直径，∴AC垂直平分EF，
设⊙O的半径为R，则OP＝1
2R，EF＝2EP
，∴CP＝OC－OP＝
1
2R，
∵∠GCP＝∠HCP＝45°，∴GH＝2CP＝R，∴EF GH
＝
【例2】如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ可绕点O任意旋转，在旋转的过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内(包括正方形的边)，当这个正六边形的边长最大时，求AE的最小值．
【解析】当正六边形EFGHIJ 的外接圆⊙O与正方形ABCD的各边都相切时，这个正六边形的边长最大，
连接OA，则OA
＝，∴当点E旋转到OA上时，AE最小，且最小值为OA－OE，
又∵当⊙O与正方形各边相切时，OE＝1
2AB＝
1
2，∴AE
的最小值为－
1
2
＝．
A
3
【例3】如图，正五边形 ABCDE 的边心距OG
AH ⊥BC 于点H ，求AH ＋1
2AG 的值．
【解析】由正多边形的轴对称性知:点O 在AG 上，连接AC ，AD ，OC ，OD ，
设正五边形的边长为a ，则S △OCD ＝12a ・OG
＝a ，∴S 五＝5S △OCD
＝a ， 易证△ABC ≌△AED ，∴S △ABC ＋S △AED ＝a ⋅AH ，
∴S 五＝S △ABC ＋S △AED ＋S △ACD ＝a ⋅AH ＋12a ⋅AG ＝a(AH ＋1
2AG)，
∴a ＝a ⋅(AH ＋12AG)，∴AH ＋12AG
＝．
针对练习1
1．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是_．
答案：2
2．如图，正六边形 ABCDEF 中，点P 是边ED 的中点，连接AP ，则AP
AB 的值是_______．
答案：
解：连接AE ，则∠FEA ＝∠FAE ＝30°，∴∠AEP ＝90°，
设正六边形的边长为2a ，则EP ＝a ，AE
＝
，
∴ AP
，∴AP AB
＝
＝．
3．如图，正八边形 ABCDEFGH 的半径为2，求该正八边形的面积．
P
F
E C
B
A
A
B
C
D E F
P
解:连接OB，OC，则∠BOC＝360
8
︒
＝45°，过点C作CM⊥OB于点M，
则CM
＝OC
，∴S△OBC＝
1
2OB⋅CM
S正八边形＝8⋅S△OBC＝
4．如图，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2，其中T1的6个顶点都在⊙O上，T2的6条边都与⊙O相切(T1，T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形)，则正六边形T1与T2的面积之比为_______．
答案：3 4
解:设⊙O的半径为R，T1的一条边为AB，T2的一条边为CD，连接OA，OB，OC，OD，易求AB＝R，CD
＝R，∴S△AOB
＝R2，S△COD
＝×
()2
＝R2，∴
1
2
T
T
S
S
＝
6
6
AOB
COD
S
S＝
3
4．
5．如图，正△ABC的边长为12，剪去三个角后成为一个正六边形，求这个正六边形的内部任意一点到各边的距离之和．
解:由题意知正六边形的边长为4，面积S＝6
××42＝
设这个正六边形的内部任意一点P到各边的距离分别为d1，d2，d3，d4，d5，d6，
∴1
2×4×(d1＋d2＋d3＋d4＋d5＋d6)＝S，∴d1＋d2＋d3＋d4＋d5＋d6＝
6．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，试探究正六边形AnBnCnDnEnFn的面积(结果用含n的代数式表示)．
解:由正六边形的性质知A1C1
A2B2＝
1
3A1C1
＝，
D
D
1
设正六边形的面积依次为S1，S2，…Sn ，则12S S
＝
261＝3，即S2＝13S1， 同理可证：S3＝13S2＝(13)2S1，…，∴Sn ＝(13)n －1S1，∵S1＝6
××12
＝，∴Sn
＝．
【板块二】弧长和扇形面积
（1）灵活运用弧长和扇形面积公式解决问题；
（2）利用“割补法”求不规则图形面积时，常常运用同底（等底）同高（等高）进行等积转化； （3）解决与圆锥相关的问题时，“化曲面为平面”（侧面展开图）的转化思想是核心． 题型一 与弧有关的不规则图形的面积
【例1】点A 是半径为2的⊙O 的直径MN 的延长线上一点，点B ，C 在⊙O 上，且BC ∥0A ． （1）如图1，若OA ＝4，且AB 与⊙O 相切于点B ，求图中阴影部分的面积； （2）如图2，若点B 是MN 的一个三等分点，求图中阴影部分的面积。

【解析】
（1）连接OB ，OC ，则OB ⊥AB ，∵OB ＝2＝1
2OA ，∴∠B0A ＝60°，∴△OCB 是正三角形，
∵BC ∥OA ，∴S △ABC ＝S △OBC ，∴S 阴影＝S 扇形OBC ＝2602360π⨯＝2
3π；
（2）连接OB ，OC ，∵点B 是MN 的一个三等分点，∴∠BON ＝60°，
又∵BC//OA ，∴∠CBO ＝∠BON ＝∠BCO ＝∠COB ＝60°， ∵BC ∥OA ，∴S △ABC ＝S △OBC ，∴S 阴影＝S 扇形OBC ＝2
3π．
题型二 与圆锥有关的计算
【例2】小华同学在一块边长为16的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是圆锥的底面．他设计了两个方案，方案一：如图1，⊙O1与BC ，CD ，BD 都相切；方案二：如图2，⊙O2与BC ，CD ，EF 都相切（点E ，F 分别在AB ，AD 上，且不与B ，D 重合）． （1）方案一可行吗？请说明理由；
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及底面圆的半径；若不可行，请说明理由．
【解析】
图1
M
M
图
2
M
图1
图2
M
A
图1
A
图
2
A
图1
A
图2
（1）方案一不可行．理由如下：∵
BD
l ＝9016
180π⨯＝8π，∴C ⊙O1＝BD l
＝8π，∴⊙O1的半径r ＝4，
当r ＝4时，CO1
r ＝
O1A ＝4＋16＝20，∴AC ＝20＋
，∴方案一不可行． （2）方案二可行，设圆锥底面圆的半径为r ，圆锥的母线长为R ，连接AC ，
则(1
＋R ＝AC ＝
①，2πr ＝2R
π②，由①，②可得：r
＝， R ＝4r
＝
，∴所求圆锥的母线长为
，底面圆的半径为．
【例3】如图，有一圆锥形的粮堆，其轴截面是边长为6m 的等边△ABC ，圆锥的母线AC 的中点P 处有一只老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥的侧面到达P 处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．
【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为R ，侧面展开后的扇形的圆心角为n °，则2πr ＝180n R
π，
∴n ＝360r
R ，∵轴截面△ABC 是等边三角形，∴r ＝3，R ＝6，∴n ＝180，
∵点B1是1CC 的中点，∴∠B1AC ＝90°，在Rt △AB1P 中，PB1
＝
，
∴小猫所经过的最短路程为
m ．
针对练习2
1．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠C ，以点A 为圆心，AD 为半径的圆与BC 相切于点M ，与AB 交于点E ，若AD ＝2，BC ＝6，则DE 的长为 ．
答案：32π
解：易求∠DAE ＝135°，∴DE 的长为1352180π⨯＝3
2π
．
2．小红同学要用纸板制作一个高4cm ，底面周长是6πcm 的圆锥形漏斗模型（不计接缝和损耗），则她所需纸板的面积是 cm2． 答案：15π
解：∵底面周长是6π，∴底面半径r ＝3，∵高为4，∴母线长R ＝5，∴S ＝πrR ＝15π．
A B
C
D
E M
M
E
D
C
B
A
3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角∠EBF＝60°，则图中阴影部分的面积为．
答案：2 3π
解：∵DB＝AB＝2，∴点D在EF上，设BE，BF分别与AD，DC相交于点M，N，则△ABD≌△BCN，
∴S四BMDN＝S△BCD
＝×22
S阴影＝S扇形BEF
2
3π
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝1，把△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB1C1，使点C1落在BA的延长线上，则线段BC所扫过的面积为．
答案：1 4π
5．已知扇形OAB的面积为12cm2，圆心角∠AOB＝120°，以此扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的底面积为cm2．
答案：4
解：设底面圆的半径为r，扇形OAB的半径为R，则2πr＝120
180
R
π⋅
，∴R＝3r，
∵
2
120
360
R
π
＝12，∴πR2＝36，∴πr2＝
1
9πR2＝
1
9×36＝4．即该圆锥的底面积为4cm2．
6．如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为9cm，点C为母线PB的中点，求侧面上点A到点C的最短距离．
解：该圆锥的侧面展开图如图所示，则∠BPB1＝3603
9
︒⨯
＝120°，
C
C
B C
∴∠BPA1＝60°，∴△PBA1是等边三角形，
∵点C 是PB 的中点，∴A1C ⊥PB ，∴A1C
＝ A1P
＝， 即侧面上点A 到点C
的最短距离为cm ．
7．如图是一纸杯的示意图，纸杯上开口圆的直径AE ＝6cm ，纸杯下底面圆的直径CF ＝4cm ，AC ，EF 的延长线交于一点O ，且形成的立体图形是圆锥，若EF ＝AC ＝8cm ，求纸杯的侧面积．
解：纸杯的侧面展开图如图所示，设OF ＝OC ＝OC1＝R ，∠AOA1＝n°，∴OA ＝OA1＝ R ＋8，
∴180n R π＝4π①，(8)180n R π+＝6π②，由①÷②得：8R R +＝2
3，∴R ＝16，R ＋8＝24， ∴1OCC S 扇形＝12×4π×16＝32π，1OAA S
扇形＝1
2×6π×24＝72π，
∴S 阴影＝1
OAA S 扇形－
1
OCC S 扇形＝40π．
1。