2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖南文)(word版)含答案

湖南数学（文史类）
一、选择题：本大题共10小题，第小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知U ＝｛2，3，4，5，6，7｝，M ＝｛3，4，5，7｝，N ＝｛2，4，5，6｝，则 A.M ∩N ={4,6}
B.M ∪N ＝U
C.( U N )∪M ＝U
D. ( U N )∩N ＝N
【B 】
2.“|x －1|＜2”是“x ＜3”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.即不充分也不必要条件
【A 】
3.已知变量x 、y 满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≤≥，，，
021y x y x 则x +y 是最小值是
A.4
B.3
C.2
D.1 【C 】
4.函数f (x )=x 2(x ≤0)的反函数是
A. f －
1(x )=x (x ≥0)
B. f －
1 (x )= －x (x ≥0)
C. f －1(x )=
x (x ≤0)
D. f －
1(x )= x 2(x ≤0)
【B 】
5.已知直线m 、n 和平面α、β满足m ⊥n ，α⊥β，则 A. n ⊥β
B. n ∥β或n β
C. n ⊥α
D. n ∥α或n α
【D 】
6.下列不等式成立的是 A.log 32＜log 23＜log 25 B.log 32＜log 25＜log 23 C.log 23＜log 32＜log 25
D.log 23＜log 25＜log 32
【A 】
7.在ΔABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则=∙ A.2
3-
B.3
2-
C.
3
2 D.
2
3 【D 】
8.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法的种数是 A.15
B.45
C.60
D.75
【C 】
9.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB ＝2，AD ＝3，AA 1＝1，则顶点A 、B 间的球面距离是
A.
4
2π B.
2
2π
C.π2
D.π22
【B 】
10.若双曲线122
22=-b
y a x (a ＞0，b ＞0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心
率的取值范围是 A.(]
2,1
B.
[
)
+∞,2
C.(]
12,1+
D.
[
)
+∞+,12【C 】
二、填空题：本大题共5小题，第小题5分，共25分.把答案填在横线上. 11.已知向量a =(1,3),b ＝(－2,+∞)，则|a +b |＝ 2 .
12.从某地区15000
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 60 人. 13.记(2x +
x
1)n
的展开式中第m 项的系数为b m ，若b 2＝2b 4，则n ＝ 5 . 14.将圆x 2+y 2=1沿x 轴正向平移1个单位后得到圆C ，则圆C 的方程是(x －1)2+y 2＝1；若过点(3，0)的直线l 和圆C 相切，则直线l 的斜率是
3
333-
或.
(Ⅱ)没有人签约的概率.
解 用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，且P (A )=P (B )=P (C )=2
1. (Ⅰ)至少有1人面试合格的概率是1－P (C B A ) ＝1－8
7)2
1(1)()()(3
===C P B P A P . (Ⅱ)没有人签约的概率为
)()()(C B A P C B A P C B A P ++
＝)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++ ＝8
3)2
1()2
1()2
1(3
3
3
=
++ 17.（本小题满分12分） 已知函数f (x )＝cox 2
.sin 2
sin 22x x
x +- (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期；
(Ⅱ)当x 0∈(0,
4π)且f (x 0)＝524时，求f (x 0＋6
π)的.如图所
示，四棱锥P －ABCD 的底面积ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中
点，P A ⊥底面积ABCD ，P A ＝3. (Ⅰ)证明：平面PBE ⊥平面P AB ；
(Ⅱ)求二面角A －BE －P 的大小.
解 解法一(Ⅰ)如图年示，
连结
BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，ΔBCD 是等边三角形.因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ，又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB .又因为P A ⊥平面ABCD ，BE 平面ABCD ，所以P A ⊥BE .而P A ∩AB ＝A ，因此BE ⊥平面P AB .
又BE 平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面P AB .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BE ⊥平面P AB ，PB 平面P AB ，所以PB ⊥BE . 又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角A －BE －P 的平面角. 在Rt ΔP AB 中，tan ∠PBA ＝
3=AB
PA
，∠PBA ＝60°. 故二面角A －BE －P 的大小是60°.
解法二 如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系.则相
关各点的坐
标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (
0,23,23)，D (0,2
3,21)，P (3,0,0)，
E (0,2
3
,
1). (Ⅰ)因为)0,2
3
,
0(=BE ，平面P AB 的一个法向量是0n ＝(0,1,0)，所以
BE 和0n 共线.从而BE ⊥平面P AB .又因为BE 平面BEF ，所以平面PBE ⊥平面P AB .
(Ⅱ)易知PB
), BE =(0,
1
22
,0), 设1n =(x 1,y 1,z 1)是平面PBE
的一个法向量，则有1111100,000.2
x y x y z ⎧+⨯=⎪
⎨⨯+
+⨯=⎪⎩ 所以y 1=0,x 1
1.故可取1n
,0,1). 而平面ABE 的一个法向量是2n =(0,0,1). 于是，cos ＜1n ,2n ＞＝
12121
||2
n n n n =||.
故二面角A-BE-P 的大小是60.
19.(本小题满分13分)
已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F (2,0)，且两条准线间的距离为λ(λ＞4). (Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若存在过点A (1,0)的直线l ,使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上，求λ的取值范围.
解 （Ⅰ）设椭圆的方程为22
221x y a b +=(a ＞b ＞0).
由条件知c =2,且2
2a c
=λ,所以a 2=λ,
b 2
=a 2
-c 2
=λ-4.故椭圆的方程是
2
21(4).4
x y λλλ+=-＞ (Ⅱ)依题意，直线l 的斜率存在且不为0,记为k ,则直线l 的方程是y=k(x-1).设点F (2,0)关于直线l 的对称点为F 2(x 0,y 0),则
0000
2(1),2
21.2y x k y
k x +⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得0202
2,12.1x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 因为点F ′(x 0,y 0)在椭圆上，所以22
2222()()11 1.4
k k k λλ+++=-即 λ(λ-4)k 4+2λ(λ-6)k 2+(λ-4)2=0.
设k 2=t ,则λ(λ-4)t 2+2λ(λ-6)t +(λ-4)2=0.
因为λ＞4,所以2
(4)(4)λλλ--＞0.于是，当且仅当23[2(6)]4(4)0,
2(6)(4)λλλλλλλλ⎧∆=---≥⎪
-⎨-⎪-⎩
＞0.
(*)
上述方程存在实根，即直线l 存在.
解(*)得16,
34 6.λλ⎧
≤⎪⎨⎪⎩
＜＜所以4＜λ≤163.
20.(本小题满分13分)
数列{a n }满足a 1=0,a 2=2,a n +2=(1+cos 2
2n π)a n +4sin 22
n π
,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求a 3,a 4,并求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设S k =a 1+a 3+…+a 24-1,T k =a 2+a 4+…+a 24,W k =*2(),2k
k
S k N T ∈+ 求使W k ＞1的所有k 的值，并说明理由.
解 (Ⅰ)因为a 1=0,a 2=2,所以a 3=(1+cos 22π)a 1+4sin 22
π
=a 1+4=4, a 4=(1+cos 2π)a 2+4sin 2π=2a 2=4. 一般地,当n =2k -1(k ∈N *)时,a 2k +1=[1+cos 2
(21)2k π-]a 2k -1+4sin 221
2
k π-=a 2k -1+4,即a 2k +1-a 2k -1=4. 所以数列{a 2k -1+4}是首项为0、公差为4的等差数列，因此a 2k -1=4(k -1). 当n =2k (k ∈N *)时,a 2k +2=(1+cos 2
22k π)a 2k +4sin 22
k π
=2a 2k . 所以数列{a 24}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a 2k =2k .
故数列{a n }的通项公式为a n =**22(1),21(),2,2().
n n k k N n k k N π⎧-=-∈⎪
⎨⎪=∈⎩
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，S k =a 1+a 3+…+a 2k -1=0+4+…+4(k -1)=2k (k -1), T k =a 2+a 4+…+a 24=2+22+…+2k =2k +1-2,W k =
11
2(1)(1).222k k k k S k k k k T ----==+ 于是W 1=0,W 2=1,W 3=
32,W 4=32,W 5=54,W 6=15
16
. 下面证明：当k ≥6时，W k ＜1. 事实上，当k ≥6时，W k +1-W k =
1(1)(1)(3)
0,222k k k
k k k k k k -+---=＜即W k +1＜W k ,又W 0＜1,所以当k ≥6时，W k ＜1.
故满足W k ＞1的所有k 的值为
3,4,5.
若[a,a+2] ⊂(-∞,x1],则a+2≤x1,由(Ⅰ)知，x1＜-3，于是a＜-5.
若[a,a+2] ⊂[x2,x3],则a≥x2,且a+2≤x3.由(Ⅰ)知，-3＜x2＜1.
又f′(x)=x3+3x2-9x+c，当c=-27时，f′(x)=(x-3)(x+3)2;当c=5时，f′(x)=(x+5)(x-1)2. 因此，当-27＜c＜5时，1＜x3＜3.
所以a＜-3，且a+2＜3.即-3＜a＜1.
故a＜-5，或-3＜a＜1.
反之，当a＜-5，或-3＜a＜1时，总可找到c∈(-27,5),使f(x)在区间[a,a+2]上单调递减. 综上所述，a的取值范围是(-∞,-5)⋃(-3,1).。