辽宁省盘锦市2016届九年级上期末数学试卷含答案解析

2015-2016 学年辽宁省盘锦市九年级（上）期末数学试卷
一．选择题
1．若一元二次方程x2﹣ ax+2=0 有两个实数根，则 a 的值能够是（）
A．0B．1C． 2D．3
2．以下的平面几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．以下图的三视图对应的几何体是（）
A．长方体B．三棱锥C．圆锥 D ．三棱柱
4．连续四次投掷一枚硬币都是正面向上，则“第五次投掷正面向上”是（）
A．必定事件 B ．不行能事件
C．随机事件 D ．概率为 1 的事件
5．如图，已知△ABC与△ DEF是位似图形，且OB： BE=1： 2，那么 S△ABC：S△DEF（）
A．1：3 B．1：2 C． 1：9 D．1：4
6．将一个半径为5cm的半圆 O，如图折叠，使弧AF 经过点 O，则折痕AF 的长度为（）
A． 5cm B． 5cm C． 5cm D． 10cm
7．如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么围成的圆锥的高度是（）
A．cm B． 5cm C． 4cm D． 3cm
8．已知 k 是不等于0 的常数，反比率函数与二次函数在同一坐标系的大概图象如图，则它们的分析式可
能分别是（）
A． y= ﹣，y=﹣kx2+k B．y=，y=﹣kx2+k
C． y=，y=kx2+k D．y=﹣，y=﹣kx2﹣k
9．如图，各正方形的边长均为1，则四个暗影三角形中，必定相像的一对是（）
A．①② B ．①③ C．②③ D．②④
10．如图，在平行四边形ABCD中， AC=12， BD=8， P 是 AC上的一个动点，过点P 作 EF∥ BD，与平行四边
形的两条边分别交于点E、F．设 CP=x，EF=y，则以下图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大概是（）
A．B．C．D．
二．填空题
2
12．函数的自变量x 的取值范围是．
13．如图是反比率函数y=在第二象限内的图象，若图中的矩形OABC的面积为 2，则 k=．
14．如图的转盘，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在暗影地区内的概率是．
15．如图，直角△ABC中，∠ A=90°，∠ B=30°， AC=4，以 A 为圆心， AC长为半径画四分之一圆，则图中
暗影部分的面积是（结果保存π）．
16．二次函数y=ax 2+bx+c（ a≠ 0）的图象如图，以下 4 个结论中结论正确的有．
①a bc＜ 0；② b＜ a+c；③ 4a+2b+c＞ 0；④b2﹣ 4ac ＞ 0．
17．如图，在△ ABC中，∠ B=90°， AB=6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB向 B 以 1cm/s 的速度挪动，点Q从点 B 开始沿 BC向 C 点以 2cm/s 的速度挪动，假如 P，Q分别从 A，B 同时出发，秒后△ PBQ的面积等于8cm2．
18．如，已知∠ AOB=90°，点 A 点 O旋后的点A1落在射OB上，点 A 点 A1旋
后的点A2落在射 OB上，点 A 点 A2旋后的点A3落在射OB上，⋯，接 AA1，AA2，AA3⋯，依此作法，∠AA n A n+1等于度．（用含n 的代数式表示，n 正整数）
三．解答（21、 22 每 12 分； 23、 24 每 13 分； 25、 26 每 14 分）
19．如，若将△ABC点 C 逆旋90°后获得△ A′B′C′，
（1）在中画出△ A′B′C′；
（2）求出点 A 的路径．
20．先化，再求：，此中x=2sin45° 4sin30°．
21．已知： A 是以 BC直径的上的一点，BE 是⊙ O的切， CA的延与BE交于 E点， F 是 BE的中点，延 AF， CB交于点 P．
（ 1）求： PA是⊙ O的切；
（ 2）若 AF=3， BC=8，求 AE的．
22．小明身高 1.6 米，通地面上的一平面C，好能看到前面大的梢E，此他得俯角
45 度，而后他直接抬察梢E，得仰角30 度．求的高度．（果保存根号）
23．小刚与小亮一同玩一种转盘游戏，图是两个完整同样的转盘，每个转盘分红面积相等的三个地区，分
别用“ 1”，“ 2”，“ 3”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止．
（ 1）用树状图或许列表法表示全部可能的结果；
（ 2）求两指针指的数字之和等于 4 的概率；
（ 3）若两指针指的数字都是奇数，则小刚获胜；不然，小亮获胜．游戏公正吗？为何？
24．某商场将进价为2000 元的冰箱以2400 元售出，均匀每日能售出8 台，为了配合国家“家电下乡”政策的实行，商场决定采纳适合的降价举措．检查表示：这类冰箱的售价每降低50 元，均匀每日就能多售出4台．
（ 1）假定每台冰箱降价x 元，商场每日销售这类冰箱的收益是y 元，请写出y 与 x 之间的函数表达式；
（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这类冰箱销售中每日盈余4800 元，同时又要使百姓获得优惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每日销售这类冰箱的收益最高？最高收益是多少？
25．如图 1，在△ ACB和△ AED中， AC=BC，AE=DE，∠ ACB=∠AED=90°，点E 在AB上，F 是线段BD的中点，连结 CE、 FE．
（1）若 AD=3 ， BE=4，求 EF 的长；
（2）求证： CE= EF；
（3）将图 1 中的△ AED绕点 A 顺时针旋转，使 AED的一边 AE恰巧与△ ACB的边 AC在同一条直线上（如图2），连结BD，取 BD的中点 F，问（ 2）中的结论能否仍旧建立，并说明原因．
26．如图，抛物线y=ax2 +bx+c 经过点 A（﹣ 6， 0）， B（ 2， 0）， C（ 0，﹣ 6）．
（ 1）求抛物线的分析式；
（ 2）若点 P 为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求 S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（ 3）设抛物线的极点为D，DE⊥ x 轴于点 E，在 y 轴上能否存在点M，使得△ ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明原因．
2015-2016 学年辽宁省盘锦市九年级（上）期末数学试卷
参照答案与试题分析
一．选择题
1．若一元二次方程x2﹣ ax+2=0 有两个实数根，则 a 的值能够是（）
A．0B．1C． 2D．3
【考点】根的鉴别式．
【专题】计算题．
【剖析】依据一元二次方程x2﹣ ax+2=0 有两个实数根，可知一元二次方程根的鉴别式△≥0，据此即可求出 a 的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣ ax+2=0 有两个实数根，
∴△≥ 0，
∴（﹣ a）2﹣ 4×2≥ 0，
∴ a2≥ 8，
∴ a≥ 2或a≤﹣2．
应选 D．
【评论】本题考察了一元二次方程根的状况与鉴别式△的关系：
（1）△＞ 0? 方程有两个不相等的实数根；
（2）△ =0? 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜ 0? 方程没有实数根．
2．以下的平面几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】计算题；平移、旋转与对称．
【剖析】利用轴对称图形与中心对称图形的定义判断即可．
【解答】解：以下的平面几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是，应选 A
【评论】本题考察了中心对称图形，以及轴对称图形，娴熟掌握各自的定义是解本题的重点．
3．以下图的三视图对应的几何体是（）
A．长方体B．三棱锥C．圆锥 D ．三棱柱
【考点】由三视图判断几何体．
【剖析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，依据俯视图是三角形可判断出此几何体为三棱柱．
【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个三角形，
∴此几何体为三棱柱，
应选： A．
【评论】考察了有三视图判断几何体的知识，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体仍是球体，由俯视图可确立几何体的详细形状．
4．连续四次投掷一枚硬币都是正面向上，则“第五次投掷正面向上”是（）
A．必定事件 B ．不行能事件
C．随机事件 D ．概率为 1 的事件
【考点】随机事件．
【剖析】依据随机事件的定义即可判断．
【解答】解：“第五次投掷正面向上”是随机事件．
【评论】本题考察了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必定事件、不行能事件、随机事件的观点．必
然事件指在必定条件下必定发生的事件．不行能事件是指在必定条件下，必定不发生的事件．不确立事件
即随机事件是指在必定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．如图，已知△ABC与△ DEF是位似图形，且OB： BE=1： 2，那么 S△ABC：S△DEF（）
A．1：3 B．1：2 C． 1：9 D．1：4
【考点】位似变换；相像三角形的性质．
【剖析】已知△ABC与△ DEF是位似图形，且OB：BE=1：2，则位似比是OB： OE=1：3，因此 S△ABC：S△DEF=1：
9．
【解答】解：∵△ABC与△ DEF是位似图形，
∴△ ABC∽△ DEF，且 OB： BE=1： 2，
∴位似比是OB： OE=1： 3
∴S△ABC： S△DEF=1：9．
应选 C．
【评论】本题考察了位似的有关知识，位似是相像的特别形式，位似比等于相像比，其对应的面积比等于
相像比的平方．
6．将一个半径为5cm的半圆 O，如图折叠，使弧AF 经过点 O，则折痕AF 的长度为（）
A． 5cm B． 5cm C． 5cm D． 10cm
【考点】垂径定理；直角三角形斜边上的中线；翻折变换（折叠问题）．
【剖析】第一过点O作 OB⊥ AF交半圆 O于 C，垂足为 B，由垂径定理，即可得AB=BF= AF，又由折叠的性质得： OB=BC= OC，而后在Rt △ ABO中，求得AB的长，即可得AF 的长．
【解答】解：过点O作 OB⊥AF 交半圆 O于 C，垂足为B，
∴AB=BF= AF，
由折叠的性质得：OB=BC= OC，
∵半圆 O的半径为5cm，
∴OB= ，
在 Rt △ ABO中， AB==，
∴AF=5 ．
应选 C．
【评论】本题考察了垂径定理与折叠的性质，以及勾股定理的应用．本题难度不大，解题的重点是注意协
助线的作法．
7．如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么围成的圆锥的高度是（）
A．cm B． 5cm C． 4cm D． 3cm
【考点】圆锥的计算．
【专题】计算题．
【剖析】已知弧长即已知围成的圆锥的底面的周长是6πcm，这样就求出底面圆的半径．扇形的半径为5cm 就是圆锥的母线长是5cm．就能够依据勾股定理求出圆锥的高．
【解答】解：设底面圆的半径是r ，则 2πr=6 π，
∴r=3cm，
∴圆锥的高 ==4cm．
应选 C．
【评论】本题考察的是圆锥的计算．本题利用了勾股定理，圆的周长公式求解．
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8．已知 k 是不等于0 的常数，反比率函数与二次函数在同一坐标系的大概图象如图，则它们的分析式可能分别是（）
A． y= ﹣，y=﹣kx2+k B．y=，y=﹣kx2+k
C． y=，y=kx2+k D．y=﹣，y=﹣kx2﹣k
【考点】二次函数的图象；反比率函数的图象．
【剖析】依据反比率函数图象位于第二、四象限判断出比率系数小于零，再依据二次函数图象张口向下，极点坐标在 y 轴坐标轴解答．
【解答】解：∵反比率函数图象位于第二、四象限，
∴比率系数小于0，
若 k＞ 0，则反比率函数分析式为y=﹣，
二次函数分析式为y=﹣ kx 2+k；
若 k＜ 0，则反比率函数分析式为y=，
2
二次函数分析式为y=kx ﹣ k．
【评论】本题考察了二次函数图象，反比率函数图象，要娴熟掌握二次函数，反比率函数中系数及常数项与图象地点之间关系．
9．如图，各正方形的边长均为1，则四个暗影三角形中，必定相像的一对是（）
A．①② B ．①③ C．②③ D．②④
【考点】相像三角形的判断；勾股定理．
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【剖析】分别求出 4 个图形中的每个三角形的边长，经过三角形三边的比能否相等就能够判断出结论，从
而得出正确答案．
【解答】解：①三边长为：1，，；
②三边长为：， 2，；
③三边长为： 1，， 2；
④三边长为： 2，，；
则可得①和②三边成比率，故必定相像的是①和②．
应选 A．
【评论】本题考察了相像三角形的判断，解答本题需要我们娴熟运用勾股定理，掌握相像三角形的判断定
理，难度一般．
10．如图，在平行四边形ABCD中， AC=12， BD=8， P 是 AC上的一个动点，过点P 作 EF∥ BD，与平行四边
形的两条边分别交于点E、F．设 CP=x，EF=y，则以下图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大概是（）
A．B．C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【剖析】 AC与 BD订交于 O，分类议论：当点P 在 OC上时，依据平行四边形的性质得OC=OA= AC=6，利用EF∥ BD得△ CEF∽△ CBD，依据相像比可获得y=x（ 0≤ x≤ 6）；
当点 P 在 OA上时， AP=12﹣ x，由 EF∥ BD得△ AEF∽△ ABD，据相像比可获得y=﹣x+16（ 6＜ x≤ 12），然后依据函数分析式对各选项分别进行判断．
【解答】解：AC与 BD订交于 O，
当点 P 在 OC上时，如图1
∵四边形ABCD为平行四边形，
∵EF∥ BD，
∴△ CEF∽△ CBD，
∴=，即=，
∴y= x（ 0≤ x≤ 6）；
当点 P 在 OA上时，如图2，
则 AP=12﹣x，
∵ EF∥ BD，
∴△ AEF∽△ ABD，
∴=，即=，
∴ y=﹣x+16（ 6＜ x≤ 12），
∴ y 与 x 的函数关系的图象由正比率函数y= x（ 0≤ x≤ 6）的图象和一次函数y=﹣x+16（ 6＜x≤ 12）组成．
应选： D．
【评论】本题考察了动点问题的函数图象：利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式，而后依据函数
关系式画出函数图象，注意自变量的取值范围．
二．填空题
11．一元二次方程x2=3x 的解是：x1 =0， x2=3．
【考点】解一元二次方程- 因式分解法．
【剖析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1） x2=3x，
x2﹣ 3x=0，
x（ x﹣ 3） =0，
解得： x1=0， x2=3．
【评论】本题考察认识一元二次方程的方法．当把方程经过移项把等式的右侧化为0 后方程的左侧能因式分解时，一般状况下是把左侧的式子因式分解，再利用积为0 的特色解出方程的根．因式分解法是解一元
二次方程的一种简易方法，要会灵巧运用．当化简后不可以用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法
合用于任何一元二次方程．
12．函数的自变量x 的取值范围是x≤ 6．
【考点】函数自变量的取值范围；二次根式存心义的条件．
【专题】计算题．
【剖析】依据二次根式的意义，被开方式不可以是负数．据此求解．
【解答】解：依据题意得6﹣x≥ 0，
解得 x≤ 6．
【评论】函数自变量的范围一般从几个方面考虑：
（ 1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（ 2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不可以为0；
（ 3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
13．如图是反比率函数y=在第二象限内的图象，若图中的矩形OABC的面积为 2，则 k=﹣2．
【考点】反比率函数系数k 的几何意义．
【专题】数形联合．
【剖析】过双曲线上随意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S 是个定值|k| ，再由反比率的函数图象所在象限确立出k 的值．
【解答】解：因为反比率函数y=，且矩形OABC的面积为 2，
所以 |k|=2 ，即 k= ±2，
又反比率函数的图象y=在第二象限内，k＜ 0，
所以 k=﹣ 2．
故答案为：﹣2．
【评论】主要考察了反比率函数中 k 的几何意义，即过双曲线上随意一点引x 轴、 y 轴垂线，所得三角形面积为|k| ，是常常考察的一个知识点；这里表现了数形联合的思想，做此类题必定要正确理解k 的几何意义．
14．如图的转盘，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在暗影地区内的概率是．
【考点】几何概率．
【专题】计算题．
【剖析】转盘被分长面积相等的 6 个扇形，而暗影部分占此中 4 个扇形，依据几何概率的计算方法，用4个扇形面积除以 6 个扇形的面积即可获得指针落在暗影地区内的概率．
【解答】解：指针落在暗影地区内的概率= =．
故答案为．
【评论】本题考察了几何概率：第一依据题意将代数关系用面积表示出来，一般用暗影地区表示所求事件
（ A）；而后计算暗影地区的面积在总面积中占的比率，这个比率即事件（A）发生的概率．
15．如图，直角△ABC中，∠ A=90°，∠ B=30°，AC=4，以 A 为圆心， AC长为半径画四分之一圆，则图中暗影部分的面积是4﹣π（结果保存π）．
【考点】扇形面积的计算．
【剖析】连结AD．依据图中暗影部分的面积=三角形 ABC的面积﹣三角形ACD的面积﹣扇形ADE的面积，列出算式即可求解．
【解答】解：连结AD．
∵直角△ ABC中，∠ A=90°，∠ B=30°，AC=4，
∴∠ C=60°， AB=4，
∵AD=AC，
∴三角形ACD是等边三角形，
∴∠ CAD=60°，
∴∠ DAE=30°，
∴图中暗影部分的面积=4× 4÷2﹣4× 2÷2﹣=4﹣π．
故答案为： 4﹣π．
【评论】考察了扇形面积的计算，解题的重点是将不规则图形的面积计算转变为规则图形的面积计算．
16．二次函数y=ax 2+bx+c（ a≠ 0）的图象如图，以下 4 个结论中结论正确的有①②④．
①a bc＜ 0；② b＜ a+c；③ 4a+2b+c＞ 0；④b2﹣ 4ac ＞ 0．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】数形联合．
【剖析】由抛物线张口方向获得a＞ 0，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=2 获得 b＜ 0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴上方获得c＞ 0，所以 abc＜ 0；由 x=﹣ 1 时，函数值为正数获得a﹣ b+c＞ 0，所以 b＜ a+c；由 x=2 时，函数值为负数获得 4a+2b+c＜0；由抛物线与 x 轴有 2 个交点获得 b2﹣4ac ＞ 0．
【解答】解：∵抛物线张口向上，
∴ a＞ 0，
∴b=﹣ 2a＜0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，
∴c＞ 0，
∴abc ＜0，所以①正确；
∵ x=﹣ 1 时， y＞ 0，
∴a﹣ b+c＞0，
∴b＜a+c，所以②正确；
∵ x=2 时， y＜ 0，
∴4a+2b+c＜0，所以③错误；
∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，
∴b2﹣ 4ac＞ 0，所以④正
确．故答案为①②④．
【评论】本题考察了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c（ a≠0），二次项系数 a 决定抛物线的张口方向和大小，当a＞ 0 时，抛物线向上张口；当a＜ 0 时，抛物线向下张口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的地点：当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即ab＜ 0），对称轴在y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（ 0， c）；△ =b2﹣4ac ＞ 0 时，抛物线与x 轴有 2 个交点；△ =b2﹣ 4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△ =b2﹣4ac ＜ 0．
17．如图，在△ ABC中，∠ B=90°， AB=6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB向 B 以 1cm/s 的速度挪动，点Q从点 B 开始沿 BC向 C 点以 2cm/s 的速度挪动，假如P， Q分别从 A， B 同时出发， 2 或 4秒后△ PBQ的面积等于 8cm2．
【考点】一元二次方程的应用．
【剖析】第一设x 秒后△ PBQ的面积等于8cm2，从而可得PB=6﹣ x，QB=2x，再依据三角形的面积公式可得（ 6﹣ x） 2x=8，再解即可．
【解答】解：设x 秒后△ PBQ的面积等于8cm2，由题意得：
解得： x1=2， x2=4，
故答案： 2 或 4．
【点】此主要考了一元二次方程的用，关是正确理解意，掌握三角形的面公式．
18．如，已知∠ AOB=90°，点 A 点 O旋后的点A1落在射OB上，点 A 点 A1旋
后的点A2落在射 OB上，点 A 点 A2旋后的点A3落在射OB上，⋯，接 AA1，AA2，AA3⋯，依此作法，∠AA n A n+1等于（180）度．（用含n 的代数式表示，n 正整数）
【考点】旋的性；等腰三角形的性．
【】律型．
【剖析】依据旋的性得OA=OA，依据等腰三角形的性得∠AAO=，同理获得 A A=AA ，依据
11112
等腰三角形的性和三角形外角性获得∠AA2A1 =∠ AA1O=，同获得∠ AA3A2=，于是可推行获得∠ AA n A n﹣1=，而后利用角的定获得∠AA n A n+1=180° ．
【解答】解：∵点 A 点 O旋后的点A1落在射OB上，
∴ OA=OA，
1
∴∠ AA1O=，
∵点 A 点 A1旋后的点A2落在射 OB上，
∴A1A=A1A2，
∴∠ AA2A1=∠ AA1O=，
∵点 A 点 A2旋后的点A3落在射 OB上，
∴ A2A=A2A3，
∴∠ AAA =∠AAA=，
3 221
∴∠ AA n A n﹣1=，
故答案为： 180﹣．
【评论】本题考察了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心的连线段的夹角等于旋转角．也考察了等腰三角形的性质．
三．解答题（21、 22 题每题 12 分； 23、 24 题每题 13 分； 25、 26 题每题 14 分）
19．如图，若将△ABC绕点 C 逆时针旋转90°后获得△ A′B′C′，
（1）在图中画出△ A′B′C′；
（2）求出点 A 经过的路径长．
【考点】作图- 旋转变换；轨迹．
【专题】作图题．
【剖析】（ 1）利用网格特色和旋转的性质画出点A、 B 的对应点A′、 B′，从而获得△ A′B′C′，
（ 2）点 A 经过的路径为以点 C 为圆心， CA为半径，圆心角为90°的弧，则依据弧长公式可计算出点 A 经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，△ A′B′C′为所作；
（2） AC==，
所以点 A 经过的路径长 ==π．
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【评论】本题考察了作图﹣旋转变换：依据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相
等，由此能够经过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，按序连结得出旋转后的
图形．
20．先化简，再求值：，此中x=2sin45°﹣4sin3 0°．
【考点】分式的化简求值；特别角的三角函数值．
【剖析】先通分进行加减法运算，再作除法运算，最后依据特别角的三角函数值化简x 的表达式，代入化
简后的式子上当算．
【解答】解：原式=×
=×
=．
当 x=2sin45 °﹣ 4sin30 °=2×﹣4×=﹣2时，
原式==．
【评论】本题考察分式的化简求值和特别角的三角函数值，化简是重点，属综合性题，难度中等．
21．已知： A 是以 BC为直径的圆上的一点，BE 是⊙ O的切线， CA的延伸线与BE交于 E点， F 是 BE的中点，延伸 AF， CB交于点 P．
（1）求证： PA是⊙ O的切线；
（2）若 AF=3， BC=8，求 AE的长．
【考点】切线的判断．
【专题】几何综合题．
【剖析】（ 1）要想证PA是⊙ O的切线，只需连结OA，求证∠ OAP=90°即可；
（ 2）先由切线长定理可知BF=AF，再在 RT△ BCE中依据勾股定理求出CE，最后由切割线定理求出AE的长．
∵F 是BE的中点，
∴ FE=BF．
∵OB=OC，
∴OF∥ EC．∴∠ C=∠
POF．∴∠
AOF=∠CAO．∵∠
C=∠ CAO，∴∠
POF=∠AOF．∵
BO=AO， OF=OF，∴∠
OAP=∠EBC=90°．
∴PA是⊙ O的切线．
（ 2）解：∵ BE是⊙ O的切线， PA 是⊙ O的切线，
∴BF=AF=3，
∴BE=6．
∵BC=8，∠CBE=90°，
∴ CE=10．
∵BE是⊙O的切线，
∴ EB2=AE? EC．
∴ AE=3.6．
【评论】本题考察的是切线的判断及相像三角形的判断和性质，勾股定理的运用的综合运用．
22．小明身高为 1.6 米，经过地面上的一块平面镜C，恰巧能看到前面大树的树梢E，此时他测得俯角为45 度，而后他直接仰头察看树梢E，测得仰角为30 度．求树的高度．（结果保存根号）
【考点】解直角三角形的应用- 仰角俯角问题．
【剖析】设树的高度为 x 米，过点 A 作 DE的垂线，垂足为 F，再依据∠ B=∠ D=∠AFD=90°得出四边形 ABDF 是矩形，由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：设树的高度为x 米，过点 A 作 DE的垂线，垂足为F，
∵由题意得△ABC与△ CDE都是直角三角形，
∴AB=BC=1.6米， CD=DE=x．
∵∠ B=∠ D=∠AFD=90°，
∴四边形ABDF是矩形，
∴AF=BD=x+1.6， DE=AB=1.6， EF=x﹣
1.6 ．∵∠ EAF=30°，
∴ tan ∠ EAF= ==，解得x=．
答：树的高度为米．
【评论】本题考察的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，依据题意作出协助线，结构出直角三角形是
解答本题的重点．
23．小刚与小亮一同玩一种转盘游戏，图是两个完整同样的转盘，每个转盘分红面积相等的三个地区，分
别用“ 1”，“ 2”，“ 3”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止．（ 1）用树状图或许
列表法表示全部可能的结果；
（ 2）求两指针指的数字之和等于 4 的概率；
（ 3）若两指针指的数字都是奇数，则小刚获胜；不然，小亮获胜．游戏公正吗？为何？
【考点】游戏公正性；列表法与树状图法．
【剖析】（ 1）第一依据题意画出树状图，而后由树状图求得全部等可能的结果；
（2）利用两指针指的数字之和等于4 的状况，联合概率公式求解即可求得答案；
（3）依据（ 1）中的树状图，即可求得小刚获胜与小亮获胜的概率，比较概率的大小，即可求得答
案．【解答】解：（ 1）画树状图得：
∵共有 9 种等可能的结果；
（ 2）两指针指的数字之和等于 4 的有 3 种状况，
∴两指针指的数字之和等于 4 的概率为：=；
（3）游戏不公正．
原因：∵两指针指的数字都为奇数的有 2 种状况，∴
P（小刚获胜） = ， P（小亮获胜） = ；
∴P（小刚获胜）≠ P（小亮获胜），
∴游戏不公正．
【评论】本题考察的是游戏公正性的判断．判断游戏公正性就要计算每个事件的概率，概率相等就公正，
不然就不公正．
24．某商场将进价为2000 元的冰箱以2400 元售出，均匀每日能售出8 台，为了配合国家“家电下乡”政策的实行，商场决定采纳适合的降价举措．检查表示：这类冰箱的售价每降低50 元，均匀每日就能多售出4台．
（ 1）假定每台冰箱降价x 元，商场每日销售这类冰箱的收益是y 元，请写出y 与 x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这类冰箱销售中每日盈余4800 元，同时又要使百姓获得优惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每日销售这类冰箱的收益最高？最高收益是多少？
【考点】二次函数的应用．
【剖析】（ 1）依据题意易求 y 与 x 之间的函数表达式．
（2）已知函数分析式，设 y=4800 可从实质得 x 的值．
（ 3）利用 x=﹣求出x的值，而后可求出y 的最大值．
【解答】解：（1）依据题意，得y=（2400﹣ 2000﹣ x）（ 8+4×），
即 y=﹣x2+24x+3200；
（2）由题意，得﹣x2+24x+3200=4800．
整理，得x2﹣ 300x+20000=0．
解这个方程，得x1=100，x2=200．
要使百姓获得优惠，取x=200 元．
∴每台冰箱应降价200 元；
（ 3）关于 y=﹣x2+24x+3200=﹣（x﹣150）2+5000，
当 x=150 时，
y 最大值 =5000（元）．
所以，每台冰箱的售价降价150 元时，商场的收益最大，最大收益是5000 元．
【评论】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是
公式法，常用的是后两种方法．借助二次函数解决实质问题．
25．如图 1，在△ ACB和△ AED中， AC=BC，AE=DE，∠ ACB=∠AED=90°，点E 在AB上，F 是线段BD的中点，连结 CE、 FE．
（1）若 AD=3 ， BE=4，求 EF 的长；
（2）求证： CE= EF；
（3）将图 1 中的△ AED绕点 A 顺时针旋转，使 AED的一边 AE恰巧与△ ACB的边 AC在同一条直线上（如图2），连结BD，取 BD的中点 F，问（ 2）中的结论能否仍旧建立，并说明原因．
【考点】几何变换综合题．
【剖析】（ 1）由 AE=DE，∠ AED=90°， AD=3，可求得AE=DE=3，在 Rt△ BDE中，由 DE=3， BE=4，可知BD=5，又 F 是线段 BD的中点，所以EF= BD=2.5 ；
（2）连结CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，所以EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠ FBC，所以 CF=EF，因为∠ DFE=∠ FEB+∠ FBE=2∠ FBE，同理∠ DFC=2∠ FBC，所以∠ EFC=∠ EFD+∠DFC=2（∠ EBF+∠CBF）=90°，所以△ EFC是等腰直角三角形，CF=EF；
（ 3）思路同（ 1）．连结CF，延伸 EF 交 CB于点 G，先证△ EFC是等腰三角形，要证明EF=FG，需要证明
△DEF和△ FGB全等．由全等三角形可得出 ED=BG=AD，又由 AC=BC，所以 CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△ CFE 中，∠ CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，所以得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ AED=90°， AE=DE， AD=3，
∴AE=DE=3，在
Rt △ BDE中，
∵DE=3，BE=4，
∴BD=5，
又∵ F 是线段 BD的中点，
∴EF= BD=2.5；
（2）如图 1，连结 CF，线段 CE与 FE 之间的数目关系是 CE= FE；
解法 1：∵∠ AED=∠ACB=90°
∴ B、 C、 D、 E 四点
共圆且BD是该圆的直径，
∵点 F 是 BD的中点，∴
点 F 是圆心，
∴ EF=CF=FD=FB，
∴∠ FCB=∠FBC，∠ ECF=∠ CEF，
由圆周角定理得：∠DCE=∠ DBE，
∴∠ FCB+∠DCE=∠ FBC+∠DBE=45°
∴∠ ECF=45°=∠ CEF，
∴△ CEF是等腰直角三角形，
∴CE= EF．
解法 2：∵∠ BED=∠AED=∠ACB=90°，
∵点 F 是 BD的中点，
∴CF=EF=FB=FD，
∵∠ DFE=∠ABD+∠ BEF，∠ ABD=∠ BEF，
∴∠ DFE=2∠ ABD，
同理∠ CFD=2∠ CBD，
∴∠ DFE+∠CFD=2（∠ ABD+∠CBD）=90°，
即∠ CFE=90°，
∴CE= EF．
（ 2）（ 1）中的结论仍旧建立．
解法 1：如图 2﹣ 1，连结 CF，延伸 EF 交 CB于点 G，∵∠ ACB=∠AED=90°，
∴DE∥ BC，∴∠
EDF=∠GBF，
在△ EDF和△ GBF中，
，
∴△ EDF≌△ GBF，
∴EF=GF， BG=DE=AE，
∵ AC=BC，
∴CE=CG，
∴∠ EFC=90°， CF=EF，
∴△ CEF为等腰直角三角形，
∴∠ CEF=45°，
∴ CE=FE；
解法 2：如图 2﹣ 2，连结 CF、 AF，
∵∠ BAD=∠BAC+∠DAE=45° +45°=90°，
又∵点 F 是 BD的中点，
∴FA=FB=FD，
在△ ACF和△ BCF中，
，
∴△ ACF≌△ BCF，
∴∠ ACF=∠BCF= ∠ACB=45°，
∵FA=FB， CA=CB，
∴CF所在的直线垂直均分线段 AB，
同理， EF所在的直线垂直均分线段 AD，又
∵ DA⊥ BA，
∴EF⊥ CF，
∴△ CEF为等腰直角三角形，
∴CE= EF．
【评论】本题主要考察了几何综合变换，经过全等三角形来得出线段的相等，假如没有全等三角形的要依据已知条件经过协助线来建立是解题的重点．
26．如图，抛物线y=ax2 +bx+c 经过点 A（﹣ 6， 0）， B（ 2， 0）， C（ 0，﹣ 6）．（1）求抛物线的分析式；
（2）若点 P 为第三象限内抛物线上的一点，设△
（3）设抛物线的极点为 D，DE⊥ x 轴于点 E，在请直接写出点 M的坐标；若不存在，请说明原因．
PAC的面积为S，求 S 的最大值并求出此时点P 的坐标；y 轴上能否存在点M，使得△ ADM是直角三角形？若存在，
【考点】二次函数综合题．
【剖析】（ 1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的分析式；
（ 2）过点 P 作 x 轴的垂线，交 AC于点 N，先运用待定系数法求出直线AC的分析式，设 P 点坐标为（ x，x2 +2x﹣6），依据 AC的分析式表示出点N的坐标，再依据S△=S△+S△就能够表示出△PAC的面积，运
PAC PAN PCN
用极点式就能够求出结论；
（ 3）分三种状况进行议论：①以 A 为直角极点；②以 D 为直角极点；③以M为直角极点；设点M的坐标为（ 0， t ），依据勾股定理列出方程，求出t 的值即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点 A（﹣ 6， 0）， B（ 2， 0）， C（ 0，﹣ 6），
∴，解得．
∴抛物线的分析式为：y=x2+2x﹣ 6；
（2）如图，过点 P作 x 轴的垂线，交 AC于点 N．设
直线 AC的分析式为 y=kx+m，由题意，得
，解得，。