3.2.2函数的奇偶性-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义

新教材必修第一册3.2.2：函数的奇偶性
课标解读：
1. 函数的奇偶性的概念.（理解）
2. 函数奇偶性的几何意义.（了解）
3. 函数奇偶性的应用.（掌握） 学习指导：
1. 学习时，应类比单数单调性，先由具体函数入手，对函数奇偶性有初步认识，然后由此抽象概括并用符号语言描述奇、偶性的定义.
2. 实际上，函数的奇偶性就是平面几何中心对称图形，轴对称图形的解析表示. 知识导图：
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎨⎧⎪⎩
⎪⎨⎧函数奇偶性的应用
函数奇偶性的判断方法单调性特征图像特征定义域特征奇、偶函数的特征
函数奇偶性的定义函数的奇偶性 知识点1：函数的奇偶性 1.定义
2.常见函数的奇偶性
3.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性
设)(),(x g x f 的定义域分别是F 、G ，若F=G ，则有下列结论：
例1-1：给出下列结论：
①若)(x f 的定义域关于原点对称，则)(x f 是偶函数； ②若)(x f 是偶函数，则它的定义域关于原点对称； ③若)2()2(f f =-，则)(x f （R x ∈）是偶函数； ④若)(x f （R x ∈）是偶函数，则)2()2(f f =-； ⑤若)2()2(f f ≠-，则)(x f （R x ∈）不是偶函数； ⑥既是奇函数又是偶函数的函数一定是)(0)(R x x f ∈=；
⑦若)(x f 是定义域为R 的奇函数，则0)0(=f . 其中正确的结论是 .（填序号） 答案：②④⑤⑦
例1-2：若函数)0)()((≠x f x f 为奇函数，则必有（ ）
A.0)()(>-⋅x f x f
B.0)()(<-⋅x f x f
C.)()(x f x f -<
D.)()(x f x f -> 答案：B
知识点2：奇、偶函数的图像特征（几何意义） 1.奇函数的图像特征
若一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 2.偶函数的图像特征
若一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.奇、偶函数的单调性
根据奇、偶函数的图像特征，我们不难得出以下结论.
（1）奇函数在关于端点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.
（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.
例2-3：下列四个结论：
①偶函数的图像一定与y 轴相交；
②奇函数的图像一定经过原点； ③偶函数的图像关于y 轴对称；
④奇函数))((R x x f y ∈=的图像必经过点)).(,(a f a - 表述正确的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D.4 答案：A
例2-4：已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)3
1()12(f x f <-的取值范围是（ ）.
A.)32,31(
B.)32,31[
C.)32,21(
D.)3
2,21[ 答案：A
重难拓展
知识点3：函数图像的对称性 1.图像关于点成中心对称图像
结论1：函数)(x f y =的图像关于点）（b a P ,成中心对称图形的充要条件是函数
b a x f x g -+=)()(为奇函数.
一般结论：
2.图像关于直线成轴对称图形
结论2：函数)(x f 的图像关于直线a x =成轴对称图形的充要条件是函数)()(a x f x g +=为
偶函数. 一般结论：
例3-5：在定义在函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=.若)(x f 在区间上单调递减，则)(x f （ ）.
A.在区间]1,2[--上单调递增，在区间]4,3[上单调递增
B.在区间]1,2[--上单调递增，在区间]4,3[上单调递减
C.在区间]1,2[--上单调递减，在区间]4,3[上单调递增
D.在区间]1,2[--上单调递减，在区间]4,3[上单调递减 答案：B
变式训练：若函数),(3)(2R b a bx ax x f ∈++=满足)1()1(x f x f -=+，且)(x f 的最大值为4，则=)(x f . 答案：322++-x x
例3-6：函数233)(x x x f -=的图像的对称中心是（ ）
A.（1,2）
B.（-1,-2）
C.（1,-2）
D.（-1,2） 答案：C
题型与方法
题型1：函数奇偶性的判断 1.一般函数的奇偶性的判断 例7:判断下列函数的奇偶性；
（1）;1
)(2
3--=
x x x x f （2）|;2||2|)(+--=x x x f （3）),0()(2R a x x
a x x f ∈≠+=； （4）1
111)(2
2+++-++=
x x x x x f .
答案：（1）既不是奇函数也不是偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数；（4）奇函数.
变式训练：已知|,2|)(,4)(2-=-=x x g x x f 则下列结论正确的是（ ） A. )()()(x g x f x h +=是偶函数 B. )()()(x g x f x h ⋅=是奇函数 C. x
x g x f x h -⋅=2)
()()(是偶函数 D. )
(2)
()(x g x f x h -=
是奇函数 答案：D
2.分段函数奇偶性的判断
例8：已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-->+=0,12
10
,121)(2
2
x x x x x f ，则（ ）.
A. )(x f 是奇函数
B. )(x f 是偶函数
C. )(x f 既是奇函数又是偶函数
D. )(x f 既不是奇函数也不是偶函数 答案：A
例9：如果)(x f 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）. A.)(x f x y += B.)(x xf y = C.)(2x f x y += D.)(2x f x y = 答案：B
例10.（1）已知函数R x x f ∈),(，若R b a ∈∀,，都有)()()(b f a f b a f +=+，求证：)(x f y =为奇函数.
（2）已知函数R x x f ∈),(，R x x ∈∀21,，都有)()(2)()(212121x f x f x x f x x f ⋅=-++，求证：)
(x f y =为偶函数.
（3）设函数)(x f 是定义在),(l l -上，证明：)()(x f x f -+是偶函数，)()(x f x f --是奇函数. 答案：略
题型2：奇、偶函数图像特征的应用
例11：已知)(x f y =是偶函数，)(x g y =是奇函数，它们的定义域都是]3,3[-，且它们在]3,0[上的图像如图所示，则不等式
0)
()
(<x g x f 的解集是 .
答案：}321012|{<<<<-<<-x x x x 或或
例12：（1）奇函数)(x f y =的局部图像如图所示，则)2(f 与)4(f 的大小关系为 .
（2）已知)(x f 是定义在]3,0()0,3[⋃-上的奇函数，当0>x 时，)(x f 的图像如图所示，那么)(x f 的值域是 .
答案：（1）)4()2(f f > （2）]3,1()1,3[⋃-- 题型3：函数奇偶性的应用 1.利用奇偶性求参数的值
例13：（1）若函数b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，定义域为]2,1[a a -，则a = ；
=b .
（2）若)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = . （3）已知函数x
a x x x f )
)(1()(++=
为奇函数，则a = . 答案：（1）3
1
0 （2）4 （3）-1
变式训练：若函数),)(2)(()(为常数b a a bx a x x f ++=是偶函数，且它的值域为]4,(-∞，则该函数的解析式)(x f = .
答案：422+-x
2.利用奇偶性求函数的值
例14：（1）已知8)(35-++=bx ax x x f ，且10)2(=-f ，则=)2(f （ ）. A.-26 B. -18 C.-10 D.10 （2）已知)(x f 为奇函数，3)2(,2)()(=-+=g x f x g ，则=)2(f （ ）. A.-1 B. 0 C.1 D.2
（3）设函数1
)1()(22++=x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则M+n= .
答案:（1）A （2）A （3）2
例15：设)(x f 是R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ）
A.0.5
B. -0.5
C.1.5
D.-1.5 答案：B
3.利用奇偶性求分段函数形式的解析式
例16：（1）已知函数)(x f 为R 上的偶函数，且当0<x 时，)1()(-=x x x f ，则当0>x 时，
=)(x f .
（2）)(x f 为R 上的奇函数，当0>x 时132)(2++-=x x x f ，则)(x f 的解析式为=)(x f .
（3）已知⎩⎨⎧>+≤+=0
,0,)(22x bx ax x x x x f 为奇函数，则b a += .
答案：（1）)1(+x x （2）⎪⎩
⎪
⎨⎧<-+=>++-0,1320
,00,13222x x x x x x x （3）0
变式训练：若函数)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，1
1
)()(-=+x x g x f ，则)(x f = .
4.函数奇偶性的综合应用 1.函数奇偶性与单调性综合
例17：已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间[0,2]上单调递增，则（ ）
A.)4()3()1(f f f <<-
B.)1()3()4(-<<f f f
C.)1()4()3(-<<f f f
D.)3()4()1(f f f <<- 答案：D
例18:：（1）已知函数)(x f y =在定义域[-1,1]上既是奇函数，又是减函数，若
0)1()1(2<-+-a f a f ，则实数a 的取值范围为 .
（2）定义在[-2,2]上的偶函数)(x f 在区间[0,2]上单调递减，若)()1(m f m f <-，则实数m 的取值范围为 .
2.函数奇偶性与对称性的综合
例19:（1）定义在R 上的函数)(x f 在)2,(-∞上单调递增，且)2(+x f 为偶函数，则（ ） A.)3()1(f f <- B.)3()0(f f > C.)3()1(f f =- D.)3()0(f f = （2）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于直线2
1
=x 对称，则)2()1(f f + +=++)5()4()3(f f f . 答案：（1）A （2）0
易错提醒
易错1： 没有搞清分段函数的概念致错
例20：判断函数⎪⎩
⎪⎨⎧>-+-=<++=0,320,30,32)(22x x x x x x x x f 的奇偶性.
答案：既不是奇函数也不是偶函数
易错2：判断含参函数的奇偶性时忽略对参数的讨论致错.
例21：已知函数R x a x x x f ∈+-+=,1||)(2，a 为实数，判断函数)(x f 的奇偶性. 答案：0=a 时，是偶函数；0≠a 时，既不是奇函数也不是偶函数
高考链接
考向1：函数奇偶性的直接考察
例23：设函数)(x f ，)(x g 的定义域都为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A.)()(x g x f 是偶函数
B.|)(|)(x g x f 是奇函数
C.)(|)(|x g x f 是奇函数
D.|)()(|x g x f 是奇函数
答案：B
例24：设函数ax x a x x f +-+=23)1()(，)(x f 是奇函数，则=a .
答案：1
例25：已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当)0,(-∞∈x 时，,2)(23x x x f +=则=)2(f .
答案：12
例26：函数)(x f 在),(+∞-∞上单调递减，且为奇函数.若1)1(-=f ，则满足1)2(1≤-≤-x f 的x 的取值范围是（ ）
A.[-2,2]
B.[-1,1]
C.[0,4]
D.[1,3]
答案：D
基础巩固
1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b}，则
a+b=（ ）. A.-1 B.1 C.0
D.2
2.下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞上单调递增的是（ ）. A.x x f =)( B.1)(2+-=x x f
C.x
x f 1)(= D.1||)(-=x x f
3.如图奇函数)(x f 在区间[3,7]上单调递减且最小值为5，那么)(x f 在区间[-7，-3]上（ ）.
A.单调递增且最小值为-5
B.单调递增且最大值为-5
C.单调递减且最小值为-5
D.单调递减且最大值为-5
4.已知偶函数)(x f 在区间[-3，-1]上单调递减，则)2(),1(),3(f f f -的大小关系为 .
5.若定义在(-1,1)上的奇函数1)(2+++=nx x m x x f ，则常数m ，n 的值分别为 .
6.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，x x x f 2)(2+=.
（1）现已画出)(x f 在y 轴及y 轴左侧的图像，如图所示，请把函数)(x f 的图像补充完整，并根据图像写出)(x f 的单调递增区间；
（2）写出函数)(x f 的值域.
能力提升：
7.设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）.
A.)(|)(|x g x f -是奇函数
B.)(|)(|x g x f +是偶函数
C.|)(|)(x g x f -是奇函数 B.|)(|)(x g x f +是偶函数
8.若定义在R 上的函数)(x f 满足：R x x ∈∀21,，有)()()(2121x f x f x x f +=++1，则下列说法一定正确的是（ ）.
A.)(x f 是奇函数
B.)(x f 是偶函数
C.1)(+x f 是奇函数
D.1)(+x f 是偶函数
9.已知函数)(x f 是定义在]2,1[a a -上的偶函数，且当0>x 时，)(x f 单调递增，则关于x 的不等式)()1(a f x f >-的解集为（ ） A.)35,34[ B.]3
5
,34()32,31[⋃ C.)32,31[]31,32(⋃-- D.无法确定，随a 的变化而变化 10.已知函数)(x f y =是偶函数，其图像与x 轴有9个交点，则方程0)(=x f 的所有实数根之和是（ ）
A.0
B.3
C.6
D.9
11.已知定义在R 上的函数)(x f 在)2,(-∞上单调递减，且)2(+x f 为偶函数，则
)2
11(),4(),1(f f f -的大小关系为（ ） A.)211()1()4(f f f <-< B.)2
11()4()1(f f f <<- C.)1()4()211(-<<f f f D.)4()2
11()1(f f f <<- 12.若,+∈∈N n R x ，定义：)1(...)2)(1(-+⋅⋅++=n x x x x M n x ，例如）（）（）（）（234555-⨯-⨯-⨯-=
-M 1201-=-⨯）（，则函数19
9)(-=x xM x f （ ）
A. 是偶函数
B.是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
13.已知)(x f 是奇函数，当0<x 时，x x x f 2)(2+=，则)1(f 的值是 .
14.函数)(x f 是奇函数，且在[-1,1]上单调递增，1)1(-=-f .
（1）则)(x f 在[-1,1]上的最大值为 .
（2）若12)(2+-≤at t x f 对任意∈x [-1,1]及任意∈a [-1,1]都成立，则实数t 的取值范围是 .
15.已知)(x f 是定义在R 上的函数，设2
)()()(,2)()()(x f x f x h x f x f x g --=-+=
. （1）试判断)(x g 与)(x h 的奇偶性；
（2）试判断)(x g ，)(x h 与)(x f 的关系；
（3）由此你能猜想出什么样的结论？
16.已知函数21)(x b ax x f ++=是定义在（-1,1）上的奇函数，且.5
2)21(=f （1）确定函数)(x f 的解析式；
（2）用定义证明)(x f 在（-1,1）上是增函数;
（3）解不等式：0)()1(<+-t f t f .
17.已知定义在),0()0,(+∞⋃-∞上的函数)(x f 满足：①)()()(),,0()0,(,y f x f xy f y x +=+∞⋃-∞∈∀ ②当1>x 时，,0)(>x f 且1)2(=f .
（1）判断函数)(x f 的奇偶性；
（2）判断函数在),0(+∞上的单调性；
（3）求函数)(x f 在区间]4,0()0,4[⋃-上的最大值；
（4）求不等式4)()23(≥+-x f x f 的解集.
参考答案
1. A
2. D
3. B
4. )3()2()1(-<<f f f
5. 0 0
6. （1）图像略 )(x f 的单调增区间是
),1(,0,1+∞-）（ （2）值域为),1[+∞ 7. D
8. C
9. B
10. A
11. A
12. A
13. 1
14. （1）1 （2）}202|{≥=-≤t t t t 或或
15. （1）)(x g 是偶函数 )(x h 是奇函数 （2）)()()(x h x g x f += （3）如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.
16. （1）21)(x x x f += （2）略 （3）}2
10|{<<t t 17. （1）)(x f 为偶函数 （2）单调递增 （3）2 （4）}38
2{≥-≤x x 或.。