2019年4月广东省揭阳市高2019届高2016级高考二模文科数学试题参考答案

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揭阳市2019高考二模数学 (文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.
解析:11.由题意可知0312cos 60,,2a c
PFx a c -∠=∴
=+解得23
c e a ==. 12.
22()()f x x x ax b =-++的图像关于直线
1x =-对称,且2x 重根0,所以2x ax b ++重根
2-,22()(2)f x x x ∴=
-+,所以()f x 的最大值是0.【或由对称性可知(2)(0)f f -=,得24a b =+,由题意
可知'(1)0f -=,得
324a b =+,解得4a b ==,得22
()(2)f x x x =-+,可知()0f x ≤,所以()f x 的最大值
是0.】
15.显然球心O 在平面ABCD 的射影为正方形ABCD 的中心
M,
21,AC OM =
==所以四棱
锥S ABCD -的高的最大值为3,此时四棱锥S ABCD -
体积的为21
363
⨯⨯=
16.因为△ABD 为等边三角形.所以ADB ∠=60°, ADC ∠=120°.在△ADC 中,AC =,由余弦定理得:2
2
2
2cos AC CD AD CD AD ADC =+-⋅⋅∠,
2212CD AD CD AD =++⋅≥2CD AD CD AD ⋅+⋅,
即4AD CD ⋅≤故1=sin 24
S AD CD ADC AD CD ⋅⋅∠=
⋅≤当且仅当=AD CD 时△ACD 面积S
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P
N
M E
F C 1
B 1
D 1
A 1
D
C
B
A
17.解:(1)由139,,a a a 成等比数列,
可得2
111(2)(8)a d a a d +=+且0d ≠,化简得1a d =---------------------------------------3分 由410S =可得1235a d +=
由上解得11a d ==,1(1)1n a n n ∴=+-⋅=---------------------------------------------------6分 (2)由(1)知(1)
2
n n n S +=
,------------------------------------------------------------------------------7分 12112()(1)1
n S n n n n ==-++------------------------------------------------------------------------9分 ∴
12
11
1111112
2(1)2()2()22223
11
n S S S n n n +++
=⋅-+⋅-++⋅-=-<++------------12分
18.解:(1)设N 为11A B 的中点,连结MN,AN 、AC 、CM,
则四边形MNAC 为所作图形；-------------------------------------2分
易知MN 11//
A C (或//EF ),四边形MNAC 为梯形,
且1
2
MN AC ==,-------------3分
过
M 作MP ⊥
AC 于点P ,可得MC =
=
2
AC
MN
PC -=
得MP =分 所以梯形MNAC 的面积=1
2
⨯+
-----------------------------6分
(2)
证法1:在长方体中1111ABCD A B C D -,设11D B 交EF 于Q,连接DQ,则Q 为EF 的中点并且为11D B 的四等点,
如图,11
4D Q =⨯=分
由DE DF =得DQ EF ⊥,又1EF BB ⊥,
EF ∴⊥平面11BB D D ,1EF D B ∴⊥-------------------------------------------------------------------10分 1111
,2
D Q D D D D DB ==11,D QD BD D ∴∠=∠111190QD B D QD DD B BD Q ∴∠+∠=∠+∠=︒
, 1DQ D
B ∴⊥1D B ∴⊥平面DEF --------------------------------------------------------------------------12分
【证法2:设11D B 交EF 于Q,连接DQ,则Q 为EF 的中点,且为11D B 的四等分点,
11
4
D Q =⨯分
B
D
B 1
D 1
Q
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Q P
N
M
E
F
C 1
B 1
D 1
A 1
D
C
B
A
由11111BB A B C D ⊥平面可知1BB EF ⊥, 又11B D EF ⊥,1
111BB B D B =,
EF ∴⊥平面11BB D D ,1EF D B ∴⊥---------------10分
由
1111
2
D Q D D D D DB ==得11tan tan QDD D BD ∠=∠, 得11QDD D BD ∠=∠,
1190QDB D BD QDB QDD ∴∠+∠=∠+∠=︒,1DQ D B ∴⊥,又DQ
EF Q =,
1D B ∴⊥平面DEF ---------------------------------------------------------------12分】
【其它解法请参照给分】
19.解:(1)设1122(,),(,),M x y N x y 对24x y =求导得:=2
x
y '，------------------------------------1分
故抛物线C 在点M 和N 处切线的斜率分别为
1
2
x 和22x ,又切线垂直, 12
122
x x ∴
⋅=-,即124x x ⋅=-,----------------------------------------------------------------------------3分 把2
440.y kx m C x kx m =+--=代入的方程得124.x x m ∴=--------------------------------5分
故 1.m =---------------------------------------------------------------------------------------------------------6分
(2)解:设()11,M
x y ,()22,N x y ,由抛物线定义可知11MF
y =+,21NF y =+---------------8分
由(1)和2m =知12128,4x x x x k =-+=
所以
()()()()()212121212113339MF NF y y kx kx k x x k x x ⋅=++=++=+++=249k +------11分
所以当0k
=时, MF NF ⋅取得最小值,且最小值为9.-----------------------------------------------------12分
20.解:(1)每天包裹数量的平均数为
0.1500.11500.52500.23500.1450260⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；--------------------------------------------2分
【或:由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6,
所以每天包裹数量的平均数为
1
(506150625030350124506)26060
⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=】 设中位数为x ,易知(200,300)x ∈,则0.00110020.005(200)0.5x ⨯⨯+⨯-=,解得x =260. 所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.-----------------------------------------4分 (2)由(1)可知平均每天的揽件数为260,利润为260531001000⨯-⨯=(元),
所以该公司平均每天的利润有1000元.-------------------------------------------------7分
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(3)设四件礼物分为二个包裹E 、F,因为礼物A 、C 、D 共重0.9 1.8 2.5 5.2++=(千克), 礼物B 、C 、D 共重1.3 1.8 2.5 5.6++=(千克),都超过5千克,------------------8分 故E 和F 的重量数分别有1.8 4.7和,2.5 4.0和,2.2 4.3和,2.7 3.8和,3.1 3.4和共5种, 对应的快递费分别为45、45、50,45,50(单位:元)------------------------------10分 故所求概率为3
5
.----------------------------------------------------------------------------------12分 21.解:(Ⅰ)
'()x a
f x x
-=
,----------------------------------------------------------------1分 当0a ≤时,'()0f x >,函数()f x 在定义域上递增,不满足条件； 当0a >时,函数()f x 在(0,)a 上递减,在(,)a +∞上递增,
故()f x 在x a =取得极小值0,()ln 10f a a a a ∴=--=,-------------------------3分 令()ln 1p a a a a =--,()ln p a a '=-,所以()p a 在(0,1)单调递增, 在(1,)+∞单调递减,故()(1)0p a p ≤=,()0f a ∴=的解为1a =,
故1a =.----------------------------------------------------------------------------------------------6分 (2)证法1:由222()11222
t t t a a a
f e t e at t e t at >
⇔-->⇔->+,---------------------7分 1a ≤,所以只需证当0t >时,21
12
t e t t ->+恒成立.----------------------------------9分
令2
1()1,()1,2
t
t g t e t t g t e t '=-
--=-- 由(1)可知ln 10x x --≥,令t x e =得10t
e t --≥---------------------------------------11分
∴ ()g t 在(0,)+∞上递增,故()(0)0g t g >=,所以命题得证.-------------------------12分
【证法2:222()110222t t t a a a
f e t e at t e t at >
⇔-->⇔--->, 设2()12
t a
g t e t at =---(0t >),则'()t g t e at a =--,
则''()t g t e a =-,又01t e e >=,1a ≤,得''()0g t >, 所以'()g t 单调递增,得'()(0)10g t g a >=-≥, 所以()g t 单调递增,得()(0)0g t g >=,得证.】
22.解:(1)因为cos x ρθ=,sin y ρθ=,---------------------------------------------------1分
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所以1C
的极坐标方程为sin 0-=θθ,即3
=
π
θ()R ρ∈,------------------3分
2C 的极坐标方程为22cos 4sin 0--=ρρθρθ.----------------------------------------4分
即2cos 4sin 0--=ρθθ------------------------------------------------------------------------5分 (2)3
=
π
θ代入2cos 4sin 0--=ρθθ,
解得11=+ρ-----------------------7分
6
=
π
θ代入2cos 4sin 0--=ρθθ,
解得22=+ρ---------------------------------8分
故OAB ∆
的面积为(
(
12sin 21264
⨯+⨯+⨯=+π.------------------------10分 23.解:(1)
1,0,0x y x y +=>>且
01
52522212
x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩-------------------------------------------2分 0101
11121()21222
x x x x x x x <<<<⎧⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨-≤+-+≤-≤+⎪⎪⎩⎩ 解得
116x ≤<,所以不等式的解集为1
[,1)6
-----------------------------------5分 (2)解法1:
1,x y +=且0,0x y >>, 2222
2222
11()()(1)(1)x y x x y y x y x y +-+-∴--=
⋅ 222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y =++225
x y
y x
=+
+59≥=.-------9分 当且仅当1
2
x y ==时,取“=”.----------------------------------------------------10分 【解法2:
1,x y +=且0,0x y >>,
22
22221111(1)(1)x y x y x y
--∴--=⋅-------------------------------------------------------------------------6分 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅1x y xy
xy +++=
--------------------------------8分 21xy =
+2219()2
x y ≥
+=+ 当且仅当1
2x y ==时,取“=”.---------------------------------------10分】。