辽宁省七校协作体2024-2025学年高三上学期期初联考 数学试题

2024—2025学年度（上）七校协作体高三期初联考
数学试题
考试时间：120分钟满分：150分
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.已知命题:1,1p x x ∀>>，则命题p 的否定为（
）A.1,1
x x ∃>≤ B.1,1x x ∃≤≤C.1,1x x ∀>< D.1,1x x ∀≤>2.已知随机变量()2~2,X N σ
，且(3)0.2P X >=，则(13)P X <≤=（）A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.3
3.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，1472582,4a a a a a a ++=++=，则9S =（
）A.18 B.16 C.14 D.12
4.已知,x y 为正实数，且2x y +=，则66x y xy ++的最小值为（）
A.12
B.
3+ C.25
2 D.325.下列说法正确的是（
）A.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1
B.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于0
C.对具有线性相关关系的变量,x y ，其线性回归方程为ˆ0.3y
x m =-，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是-4.
D.已知随机变量X 服从二项分布1,3B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，若()316E X +=，则6n =.6.已知函数()f x 的导函数()f x '的部分图象如图，则下列说法正确的是（）
A.()()
13f f > B.()()12f f -<C.()f x 有三个零点 D.()f x 有三个极值点
7.某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理､丽江､洱海､玉龙雪山､蓝月谷这5个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（
）A.5
8 B.8
9 C.7
8 D.6
7
8.已知函数()f x 的导函数()()()
22f x x x x m =+++'，若函数()f x 有一极大值点为-2，则实数m 的取值范围为（
）
A.()2,0-
B.(]4,2--
C.(),4∞--
D.()
,2∞--二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.）
9.已知,a b 均为正数，则使得“a b >”成立的充分条件可以为（
）A.11a b
<B.34
a b ->-C.22a b b ab a
+>+D.()()22ln 2024ln 2024
a b +>+10.对于函数()22ln 3f x x x x =-+-，下列说法正确的是（
）A.()f x 在区间()2,∞+上单调递增
B.2x =是函数()f x 的极大值点
C.()f x 的单调递减区间是()
0,2D.函数()f x 的最小值为2ln22
--11.甲､乙､丙､丁､戊､已6名同学相互做传接球训练，
球从甲手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第n 次传球之后球在乙手中的概率为n a .则下列正确的有（
）A.24
25
a =B.16n a ⎧⎫
-⎨⎬⎩
⎭为等比数列
C.设第n 次传球后球在甲手中的概率为1010,n b b a <
D.11165n n a ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
三､填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分）
12.设{}{}
2540,10A x x x B x ax =-+==-=∣∣，若A B A ⋃=，则实数a 的取值集合为__________.13.已知等差数列{}n a 共有21n +项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则1n a +=__________.
14.任意一个三次多项式函数()32
f x ax bx cx d =+++的图象的对称中心是()0f x ''=的根，()f x ''是()f x '的导数.若函数()32f x x px x q =+++图象的对称中心点为()1,2-，且不等式
()()e 32e e ln 13e x mx x f x x x x ⎡⎤-+≥--+⎣⎦对任意()1,x ∞∈+恒成立，则m 的取值范围是__________.
四､解答题（本题共5小题，共77分）
15.已知函数()()32
2,f x x ax b a b =++∈R 在1x =处取得极小值为1.（1）求,a b 的值；
（2）求函数()f x 在区间31,2⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦
上的值域.16.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，51120S a ==，数列{}n b 是公比大于1的等比数列，且23642,12b b b b =-=，
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设n n n
S c b =，求使n c 取得最大值时n 的值.17.某校举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从A 类7道题中任选4道进行答题，答完后正确数超过两道（否则终止比赛）才能进行第二轮答题；第二轮答题从B 类5道题中任选3道进行答题，直到答完为止.A 类题每答对一道得10分，B 类题每答对一道得20分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜.总分70分或80分为三等奖，90分为二等奖，100分为一等奖.某班小张同学A 类题中有5道会做，B 类5题中，每题答对的概率均为
35
，且各题答对与否互不影响.（1）求小张同学被终止比赛的概率；
（2）现已知小张同学第一轮中回答的A 类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分X 的分布列及期望；
（3）求小张同学获得三等奖的概率.
18.已知函数()()2ln 2f x a x x =+--.
（1）当0a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；
（2）若函数()f x 在区间()2,4上不是单调函数，求a 的取值范围；
（3）若()21,,e x f x ∞⎛⎫∀∈+ ⎪⎝⎭
无零点，求a 的取值范围.19.已知数列{}n a 的首项112a =
，且满足()()(){}*1,11n n n n na a n a n na +=∈++N 的前n 项和为n S .（1）证明数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）当2n ≥时，1
116n n n a S a λ-+≥恒成立，求实数λ的取值范围；（3）在数列{}n b 中，112,4n n n b b b +==，求数列{}n b 的通项公式及()2*1(1)n i
i i i
b n a =-∈∑N
2024—2025学年度（上）七校协作体高三期初联考
答案
一､单项选择题1
2345678A B C C C A B D
二､多项选择题
9
1011AD ACD ABD
三､填空题
12.10,1,4⎧
⎫⎨⎬⎩⎭13.2914.()
,e ∞--四､解答题
15.（1）由题设()262f x x ax =+'，函数()()32
2,f x x ax b a b =++∈R 在1x =处取得极小值为1，则()()1011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩
'，即62021a a b +=⎧⎨++=⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩，检验，当3,2a b =-=时，()32
232f x x x =-+，()()
26661f x x x x x ∴=='--当()(),01,x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>，
当()0,1x ∈时，()0f x '<，
()f x ∴在()(),0,1,-∞+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，
()f x ∴在1x =处取得极小值，满足题意.
所以32a b =-⎧⎨=⎩
.（2）由（1）得()32232f x x x =-+，
()()26661f x x x x x ∴=='--，
令()0f x '<，得01x <<；令()0f x '>，得0x <或1x >，
()f x ∴在31,2⎡⎤-⎢⎣⎦上的单调递减区间是[]0,1，单调递增区间为[]31,,1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
()()()302,11,13,22f f f f ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭
，∴函数()f x 在区间31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的值域为[]3,2.-16.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则511115452021020
S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得10,2a d ==，所以22n a n =-，
设等比数列{}n b 的公比为(1)q q >，
则()
225312bqq hq hqq bq ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得22q q =⎧⎨=⎩，所以2n n b =；
（2）由（1）得()()2212n n n
S n n -==-，则()12n n n
n n n S c b -==，()
()
2111113222
n n n n n n n n n n n c c ++++---=-=，当1,2n =时，11230,n n c c c c c +-><<，
当3n =时，1340,n n c c c c +-==，
当4n ≥时，1450,n n n c c c c c +>><-> ，
所以当3n =或4时，n c 取得最大值.
17.（1）从A 类7道题中任选4道，其中2道会做，2道不会做，则被终止比赛，所以小张同学被终止比赛的概率为225247C C 2C 7
=.
（2）由题意可知，X 的所有可能取值为40,60,80,100，
则()3
28405125
P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()213323660C 55125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2
23325480C 55125
P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333327100C 5125P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：X
406080100P 8
125361255412527125
所以()836542740608010076125125125125
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）小张获得三等奖，共有两种情况，
①第一轮得30分（答对3道），则第二轮得40分（对2道），
概率为2
31252347C C 32C C 55⎛⎫⋅⋅⨯ ⎪⎝⎭；②第一轮得40分（答对4道），则第二轮得40分（对2道），
概率为2
425347C 32C C 55
⎛⎫⋅⋅⨯ ⎪⎝⎭，所以小张同学获得三等奖的概率为2231422525334477C C C 323254C C C 55C 55175⎛⎫⎛⎫⋅⋅⨯+⋅⋅⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.（1）0a =时，()2ln 2f x x x =--，
()()()12,(0),11,10f x x f f x
=->''==，所以()y f x =在1x =处的切线方程为1
y x =-（2）因为()()12,f x a f x x
=+-'在区间()2,4上不是单调函数，
所以()0f x '=在()2,4上有变号解，即12a x
+=在()2,4上有变号解.因为()2,4x ∈，所以11242a <+<，所以7342
a -<<-（3）因为()()()21120,a x f x a x x x ∞+-=+-
=∈+'，当20a +≤，即2a ≤-时，()0f x '<，
所以()f x 在21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
上单调递减，因为()22112220e e f a ⎛⎫=++-≤ ⎪⎝⎭
，所以()f x 在21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
上无零点，符合题意；当2a >-时，令()0f x '=，则102x a
=>+，当10,2x a ⎛
⎫∈ ⎪+⎝⎭时，()0f x '<，当1,2x a ∞⎛⎫∈+ ⎪+⎝⎭
时，()0f x '>，所以()f x 的单调递减区间是10,
2a ⎛
⎫ ⎪+⎝⎭；单调递增区间是1,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，所以()f x 的最小值为11ln 122f a a ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭当1ln 102a
-->+，即e 2a >-时，()f x 无零点，符合题意；当e 2a =-时，()f x 有一个零点12a +，此时21112e e
a =>+，不符合题意；当2e 2a -<<-时，()f x 的最小值11ln 10,22f a a ⎛⎫=--<
⎪++⎝⎭因为()221120e e f a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭
，
所以0211,e 2x a ⎛⎫∃∈ ⎪+⎝⎭
，使得()00f x =，不符合题意；综上所述，当(](),2e 2,a ∈-∞-⋃-+∞时，
()21,,e x f x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭
无零点.19.（1）()()()()11
111,11n n n n n n n na na a n na a na ++++=∴=++ ，即()11111n n
n a na +-=+，又1121a =⋅，∴数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以2为首项，1为公差的等差数列，()
111,1n n n a na n n ∴=+=+（2）()11111n a n n n n =
=-++，12111111,22311
n n n S a a a n n n ∴=+++=-+-++-=++ 由1
116n n n a S a λ-+≥，得()()16111n n n n n n λ+-≥++，22161n n λ∴≤+-恒成立，22161817n n
+-≥-=，当且仅当
2216n n =时取等，此时解得2n =，所以实数λ的取值范围是(]
,7-∞（3）由11124,4n n n n n n b b b b ++++==，
2214n n n n n n
b b b b b b ++++∴==，数列{}n b 的奇数项是以2为首项，4为公比的等比数列，
偶数项为以2为首项，4为公比的等比数列，
12,2,n n n n b n -⎧∴=⎨⎩
为奇数为偶数，()()2122121212212(1)(1)2122221224n n n n n
n n n n
b b n n n n n a a ------+-=--⋅⋅+⋅+⋅=⋅设()123124446422424n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+⋅ ，
()2314244422424n n n T n n +=⨯+⨯++-+⋅ ，
两式相减得23132424242424,n n n n +-Γ=⨯+⨯+⨯++⨯-⋅ 1628499n n n T +-∴=
⋅+，所以211628(1)499n i
n i i b n a +=--=⋅+∑。