八年级初二数学 勾股定理测试试题附解析
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八年级初二数学 勾股定理测试试题附解析
一、选择题
1.如图,透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为15cm ,在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,位于离容器上沿3cm 的点A 处,若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm ,则该圆柱底面周长为( )
A .20cm
B .18cm
C .25cm
D .40cm
2.已知长方体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm ,一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点,那么沿哪条路最近,最短的路程是( )
A .29cm
B .5cm
C .37cm
D .4.5cm 3.下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A .内角和为360°
B .对角线互相平分
C .对角线相等
D .对角线互相垂直 4.如图,2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》(也称《赵爽弦图》),它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示,如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,
直角三角形的短直角边为a ,较长直角边为b ,那么2a b ()
+的值为( )
A .13
B .19
C .25
D .169
5.如图,在ABC 中,13AB =,10BC =,BC 边上的中线12AD =,请试着判定ABC 的形状是( )
A .直角三角形
B .等边三角形
C .等腰三角形
D .以上都不对
6.下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中,不能构成直角三角形的是( ) A .9,41,40a b c ===
B .5,5,52a b c ===
C .::3:4:5a b c =
D .11,12,13a b c === 7.以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( ) A .1,2,3 B .2,3,4 C .3,4,6 D .1,3,2
8.下列四组线段中,可以构成直角三角形的是( ) A .1、2、3 B .2、3、4 C .1、2、3
D .4、5、6 9.已知直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别为6,8,现将ABC 按如图所示的方式折叠,使点A 与点B 重合,则B
E 的长是( )
A .72
B .74
C .254
D .154
10.有下列的判断:
①△ABC 中,如果a 2+b 2≠c 2,那么△ABC 不是直角三角形
②△ABC 中,如果a 2-b 2=c 2,那么△ABC 是直角三角形
③如果△ABC 是直角三角形,那么a 2+b 2=c 2
以下说法正确的是( )
A .①②
B .②③
C .①③
D .②
二、填空题
11.如图,∠MON =90°,△ABC 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上,当A 点从O 点出发沿着OM 向右运动时,同时点B 在ON 上运动,连接OC .若AC =4,BC =3,AB =5,则OC 的长度的最大值是________.
12.如图,等腰梯形ABCD 中,//AD BC ,1AB DC ==,BD 平分ABC ∠,BD CD ⊥,则AD BC +等于_________.
13.在ABC ∆中,10AB cm =,17AC cm =,BC 边上的高为8cm ,则ABC ∆的面积为
______2cm .
14.在△ABC 中,AB =6,AC =5,BC 边上的高AD =4,则△ABC 的周长为__________.
15.如图,已知△DBC 是等腰直角三角形,BE 与CD 交于点O ,∠BDC=∠BEC=90°,BF=CF ,若BC=8,OD=2,则OF=______.
16.以直角三角形的三边为边向外作正方形P ,Q ,K ,若S P =4,S Q =9,则K S =___
17.在Rt △ABC 中,直角边的长分别为a ,b ,斜边长c ,且a +b =35,c =5,则ab 的值为______.
18.如图,BAC 90∠=度,AB AC =,AE AD ⊥,且AE AD =,AF 平分DAE ∠交BC 于F ,若BD 6=,CF 8=,则线段AD 的长为______.
19.如图,由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,已知25AB = ,24AC = 其中阴影部分面积是_____________平方单位.
20.已知,在△ABC 中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC 翻折使得点B 与点A 重合,折痕与边AC 交于点P ,如果AP=4,那么AC 的长为_______
三、解答题
21.如图,已知ABC ∆中,90B ∠=︒,8AB cm =,6BC cm =,P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点,其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动,且速度为每秒1cm ,点Q 从点B 开始沿B C →方向运动,且速度为每秒2cm ,它们同时出发,设出发的时间为t 秒.
(1)当2t =秒时,求PQ 的长;
(2)求出发时间为几秒时,PQB ∆是等腰三角形?
(3)若Q 沿B C A →→方向运动,则当点Q 在边CA 上运动时,求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间.
22.如图1,在等腰直角三角形ABC 中,动点D 在直线AB (点A 与点B 重合除外)上时,以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ,且90ECD ∠=︒,连接AE .
(1)判断AE 与BD 的数量关系和位置关系;并说明理由.
(2)如图2,若4BD =,P ,Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==,试求PQ 的长. (3)在第(2)小题的条件下,当点D 在线段AB 的延长线(或反向延长线)上时,判断PQ 的长是否为定值.分别画出图形,若是请直接写出PQ 的长;若不是请简单说明理由.
23.在等腰Rt △ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°
(1)如图1,D ,E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点,且∠DAE =45°,将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后,得到△AFC ,连接DF
①求证:△AED ≌△AFD ;
②当BE =3,CE =7时,求DE 的长;
(2)如图2,点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点,连接AD ,以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ,当BD =3,BC =9时,求DE 的长.
24.已知a ,b ,c 88a a -+-=|c ﹣17|+b 2﹣30b +225,
(1)求a ,b ,c 的值;
(2)试问以a ,b ,c 为边能否构成三角形?若能构成三角形,求出三角形的周长和面积;若不能构成三角形,请说明理由.
25.如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍,则称这个三角形是“优三角形”,这两条边的比称为“优比”(若这两边不等,则优比为较大边与较小边的比),记为k . (1)命题:“等边三角形为优三角形,其优比为1”,是真命题还是假命题?
(2)已知ABC 为优三角形,AB c =,AC b =,BC a =,
①如图1,若90ACB ∠=︒,b a ≥,6b =,求a 的值.
②如图2,若c b a ≥≥,求优比k 的取值范围.
(3)已知ABC 是优三角形,且120ABC ∠=︒,4BC =,求ABC 的面积.
26.已知:如图,在ABC ∆中,90ACB ∠=,以点B 为圆心,BC 的长为半径画弧,交线段AB 于点D ,以点A 为圆心,AD 长为半径画弧,交线段AC 与点E .
(1)根据题意用尺规作图补全图形(保留作图痕迹);
(2)设,BC m AC n ==
①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗?并说明理由.
②若线段2AD EC =,求m n
的值.
27.已知:四边形ABCD 是菱形,AB =4,∠ABC =60°,有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD 的顶点A 重合,两边分别射线CB 、DC 相交于点E 、F ,且∠EAP =60°.
(1)如图1,当点E 是线段CB 的中点时,请直接判断△AEF 的形状是 .
(2)如图2,当点E 是线段CB 上任意一点时(点E 不与B 、C 重合),求证:BE =CF ; (3)如图3,当点E 在线段CB 的延长线上,且∠EAB =15°时,求点F 到BC 的距离.
28.(知识背景)
据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得到一个直角三角形,如果勾是3,股是4,那么弦就等于5,后人概括为“勾
三、股四、弦五”.像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数,称为勾股数.
(应用举例)
观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,并且
勾为3时,股14(91)2=-,弦15(91)2
=+; 勾为5时,股112(251)2=-,弦113(251)2
=+; 请仿照上面两组样例,用发现的规律填空:
(1)如果勾为7,则股24= 弦25=
(2)如果勾用n (3n ≥,且n 为奇数)表示时,请用含有n 的式子表示股和弦,则股= ,弦= .
(解决问题)
观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…根据应用举例获得的经验进行填空:
(3)如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数,2a m =(m 表示大于1的整数),则b = ,c = ,这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式. (4)请你利用柏拉图公式,补全下面两组勾股数(数据从小到大排列)第一组: 、24、 :第二组: 、 、37.
29.如图,在△ABC 中,D 是边AB 的中点,E 是边AC 上一动点,连结DE,过点D 作DF ⊥DE 交边BC 于点F(点F 与点B 、C 不重合),延长FD 到点G,使DG=DF,连结EF 、AG.已知
AB=10,BC=6,AC=8.
(1)求证:△ADG ≌△BDF ;
(2)请你连结EG,并求证:EF=EG ;
(3)设AE=x ,CF=y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;
(4)求线段EF 长度的最小值.
30.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AB=2,CD是边AB的高线,动点E从点A 出发,以每秒1个单位的速度沿射线AC运动;同时,动点F从点C出发,以相同的速度沿射线CB运动.设E的运动时间为t(s)(t>0).
(1)AE=(用含t的代数式表示),∠BCD的大小是度;
(2)点E在边AC上运动时,求证:△ADE≌△CDF;
(3)点E在边AC上运动时,求∠EDF的度数;
(4)连结BE,当CE=AD时,直接写出t的值和此时BE对应的值.
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一、选择题
1.D
解析:D
【分析】
将容器侧面展开,建立A关于EG的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为最短路径,由勾股定理求出A′D即圆柱底面周长的一半,由此即可解题.
【详解】
解:如图,将圆柱展开,EG为上底面圆周长的一半,
作A 关于E 的对称点A ',连接A B '交EG 于F ,
则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF BF +的长,
即 25cm AF BF A B '+==,
延长BG ,过A '作A D BG '⊥于D ,
3cm AE A E '==,153315cm BD BG DG BG AE ∴=+=+=-+=,
Rt A DB '∴△中,由勾股定理得:2222251520cm A D A B BD ''=-=-=, ∴该圆柱底面周长为:20240cm ⨯=,
故选D .
【点睛】
本题考查了平面展开---最短路径问题,将图形展开,利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.
2.B
解析:B
【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将长方体展开,然后利用两点之间线段最短解答.
【详解】
解:根据题意,如图所示,最短路径有以下三种情况:
(1)沿AA ',A C '',C B '',B B '剪开,得图1:
22222(21)425AB AB BB '=+'=++=;
(2)沿AC ,CC ',C B '',B D '',D A '',A A '剪开,得图2:
222222(41)42529AB AC B C '=+'=++=+=;
(3)沿AD ,'DD ,B D '',C B '',C A '',AA '剪开,得图3:
222221(42)13637AB AD B D '=+'=++=+=;
综上所述,最短路径应为(1)所示,所以225AB '=,即5cm AB '=.
故选:B .
【点睛】
此题考查最短路径问题,将长方体从不同角度展开,是解决此类问题的关键,注意不要漏解.
解析:C
【分析】
矩形与菱形相比,菱形的四条边相等、对角线互相垂直;矩形四个角是直角,对角线相等,由此结合选项即可得出答案.
【详解】
A 、菱形、矩形的内角和都为360°,故本选项错误;
B 、对角互相平分,菱形、矩形都具有,故本选项错误;
C 、对角线相等菱形不具有,而矩形具有,故本选项正确
D 、对角线互相垂直,菱形具有而矩形不具有,故本选项错误,
故选C .
【点睛】
本题考查了菱形的性质及矩形的性质,熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键.
4.C
解析:C
【解析】
试题分析:根据题意得:222c a b =+=13,4×12
ab=13﹣1=12,即2ab=12,则2()a b +=222a ab b ++=13+12=25,故选C .
考点:勾股定理的证明;数学建模思想;构造法;等腰三角形与直角三角形. 5.C
解析:C
【分析】
利用勾股定理的逆定理可以推导出ABD △是直角三角形.再利用勾股定理求出A C ,可得出AB=AC ,即可判断.
【详解】
解:由已知可得CD=BD=5,
22251213+=
即222BD AD AB +=,
ABD ∴是直角三角形,90ADB ∠=︒,
90ADC ∴∠=︒
222AD CD AC ∴+=
13AC ∴=
13AB AC ∴==
故ABC 是等腰三角形.
故选C
【点睛】
本题考查了勾股定理和它的逆定理,熟练掌握定理是解题关键.
解析:D
【分析】
根据直角三角形的判定,符合a 2+b 2=c 2即可;反之不符合的不能构成直角三角形.
【详解】
解:A 、因为92+402=412,故能构成直角三角形;
B 、因为52+52=(2,故能构成直角三角形;
C 、因为()()()222345x x x +=,故能构成直角三角形;
D 、因为112+122≠152,故不能构成直角三角形;
故选:D .
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理,当三角形中三边满足222a b c +=关系时,则三角形为直角三角形.
7.D
解析:D
【分析】
根据勾股定理的逆定理,只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形.
【详解】
解:A 、12+22=5≠32,故不符合题意;
B 、22+32=13≠42,故不符合题意;
C 、32+42=25≠62,故不符合题意;
D 、12+2=4=22
,符合题意. 故选D.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理,已知三条线段的长,判断是否能构成直角三角形的三边,简便的方法是:判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可.
8.A
解析:A
【分析】
求出两小边的平方和、最长边的平方,看看是否相等即可.
【详解】
A 、12+)2=2
∴以1,故本选项正确;
B 、
22+32≠42 ∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误; C 、 12+22≠32
∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;
D、42+52 62
∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;
故选A..
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理应用,掌握勾股定理逆定理的内容就解答本题的关键.
9.C
解析:C
【分析】
根据图形翻折变换的性质可知,AE=BE,设AE=x,则BE=x,CE=8-x,再在Rt△BCE中利用勾股定理即可求出BE的长度.
【详解】
解:∵△ADE翻折后与△BDE完全重合,
∴AE=BE,
设AE=x,则BE=x,CE=8﹣x,
在Rt△BCE中,BE2=BC2+CE2,
即x2=62+(8﹣x)2,
解得,x=25
4
,
∴BE=25
4
.
故选:C.
【点睛】
本题考查了图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变.
10.D
解析:D
【分析】
欲判断三角形是否为直角三角形,这里给出三边的长,需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.
【详解】
①c不一定是斜边,故错误;
②正确;
③若△ABC是直角三角形,c不是斜边,则a2+b2≠c2,故错误,
所以正确的只有②,
故选D.
【点睛】
本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理,熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理的内容是解题的关键.
二、填空题
11.5
【解析】
试题分析:取AB 中点E ,连接OE 、CE ,在直角三角形AOB 中,OE=AB ,利用勾股定理的逆定理可得△ACB 是直角三角形,所以CE=AB ,利用OE+CE≥OC ,所以OC 的最大值为OE+CE ,即OC 的最大值=AB=5.
考点:勾股定理的逆定理,
12.3
【分析】
由//AD BC ,BD 平分ABC ∠,易证得ABD ∆是等腰三角形,即可求得1AD AB ==,又由四边形ABCD 是等腰梯形,易证得2C DBC ∠=∠,然后由BD CD ⊥,根据直角三角形的两锐角互余,即可求得30DBC ∠=︒,则可求得BC 的值,继而求得AD BC +的值.
【详解】
解:∵//AD BC ,AB DC =,
∴C ABC ∠=∠,ADB DBC ∠=∠,
∵BD 平分ABC ∠,
∴2ABC DBC ∠=∠,ABD DBC ∠=∠,
∴ABD ADB ∠=∠,
∴1AD AB ==,
∴2C DBC ∠=∠,
∵BD CD ⊥,
∴90BDC ∠=︒,
∵三角形内角和为180°,
∴90DBC C ∠+∠=︒,
∴260C DBC ∠=∠=︒,
∴2212BC CD ==⨯=,
∴123AD BC +=+=.
故答案为:3.
【点睛】
本题主要考查对勾股定理,含30度角的直角三角形,等腰三角形的性质和判定,平行线的性质,等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键.
13.36或84
【分析】
过点A 作AD ⊥BC 于点D ,利用勾股定理列式求出BD 、CD ,再分点D 在边BC 上和在CB 的延长线上两种情况分别求出BC 的长度,然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解.
【详解】
解:过点A 作AD ⊥BC 于点D ,
∵BC 边上的高为8cm ,
∴AD=8cm ,
∵AC=17cm ,
由勾股定理得: 22221086BD AB AD =-=-=cm ,
222217815CD AC AD =-=-=cm ,
如图1,点D 在边BC 上时,
BC=BD+CD =6+15=21cm ,
∴△ABC 的面积=
12BC AD =12
×21×8=84cm 2, 如图2,点D 在CB 的延长线上时,
BC= CD −BD =15−6=9cm , ∴△ABC 的面积=
12BC AD =12
×9×8=36 cm 2, 综上所述,△ABC 的面积为36 cm 2或84 cm 2,
故答案为:36或84.
【点睛】
本题考查了勾股定理,作辅助线构造出直角三角形是解题的关键,难点是在于要分情况讨论.
14.1425+或825+【分析】
分两种情况考虑:如图1所示,此时△ABC 为锐角三角形,在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中,利用勾股定理求出BD 与DC 的长,由BD+DC 求出BC 的长,即可求出周长;如
图2所示,此时△ABC 为钝角三角形,同理由BD -CD 求出BC 的长,即可求出周长.
【详解】
解:分两种情况考虑:
如图1所示,此时△ABC 为锐角三角形,
在Rt △ABD 中,根据勾股定理得:BD=22226425AB AD -=-=, 在Rt △ACD 中,根据勾股定理得:CD=
2222543AC AD -=-=,
∴BC=253+, ∴△ABC 的周长为:652531425+++=+;
如图2所示,此时△ABC 为钝角三角形,
在Rt △ABD 中,根据勾股定理得:22226425AB AD -=-= 在Rt △ACD 中,根据勾股定理得:2222543AC AD --=,
∴BC=253-, ∴△ABC 的周长为:65253825++=+
综合上述,△ABC 的周长为:145+85+
故答案为:145+825+
【点睛】
此题考查了勾股定理,利用了分类讨论的思想,熟练掌握勾股定理是解本题的关键. 1510
【分析】
过点F 作FG ⊥BE ,连接OF 、EF ,先根据等腰直角三角形的性质得出DC 的值,再用勾股定理求出OE 的值,然后根据中位线定理得出FG 的的值,最后再根据勾股定理得出OF 的值即可.
【详解】
过点F 作FG ⊥BE ,连接OF 、EF ,如下图所示:
∵DBC ∆是等腰直角三角形,且BF CF =,8BC = ∴422DC DB ==
=∵2OD =∴32OC DC OD =-= ∴2234OB BD DO +=设OE x =,
∵∠BEC=90°
则()2222OC OE BC OB OE -=-+ ∴33417
OE = ∴22123417EC OC EO =-=
∵BF CF =,FG ⊥BE ,∠BEC=90° ∴1634217
FG EC == ∴2034BE BO OE =+=
∴17342GO GE OE BE OE =-=-= ∴22=10OF GO GF -=【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等,综合度比较高,准确作出辅助线是关键.
16.5或13
【分析】
根据已知可得题意中的图是一个勾股图,可得S P +S Q =S K 为从而易求S K .
【详解】
解:如下图所示,
若A=S P =4.B=S Q =9,C=S K ,
根据勾股定理,可得
A+B=C ,
∴C=13.
若A=S P =4.C=S Q =9,B=S K ,
根据勾股定理,可得
A+B=C ,
∴B=9-4=5.
∴S K 为5或13.
故答案为:5或13.
【点睛】
本题考查了勾股定理.此题所给的图中,以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积.
17.10
【分析】
先根据勾股定理得出a 2+b 2=c 2,利用完全平方公式得到(a +b )2﹣2ab =c 2,再将a +b =5c =5代入即可求出ab 的值.
【详解】
解:∵在Rt △ABC 中,直角边的长分别为a ,b ,斜边长c ,
∴a 2+b 2=c 2,
∴(a +b )2﹣2ab =c 2,
∵a +b =5c =5,
∴(52﹣2ab =52,
∴ab =10.
故答案为10.
【点睛】
本题考查勾股定理以及完全平方公式,灵活运用完全平方公式是解题关键.
18.5【分析】
由“SAS”可证ABD ≌ACE ,DAF ≌EAF 可得BD CE =,4B ∠∠=,DF EF =,由勾股定理可求EF 的长,即可求BC 的长,由勾股定理可求AD 的长.
【详解】
解:如图,连接EF ,过点A 作AG BC ⊥于点G ,
AE AD ⊥,
DAE DAC 290∠∠∠∴=+=,
又
BAC DAC 190∠∠∠=+=,
12∠∠∴=,
在ABD 和ACE 中 12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
ABD ∴≌()ACE SAS .
BD CE ∴=,4B ∠∠=
BAC 90∠=,AB AC =,
∴B 345∠∠==
4B 45∠∠∴==,
ECF 3490∠∠∠∴=+=,
222CE CF EF ∴+=,
222BD FC EF ∴+=, AF 平分DAE ∠,
DAF EAF ∠∠∴=,
在DAF 和EAF 中
AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
DAF ∴≌()EAF SAS .
DF EF ∴=.
222BD FC DF ∴+=.
22222DF BD FC 68100∴=+=+=,
∴DF 10=
BC BD DF FC 610824∴=++=++=,
AB AC =,AG BC ⊥,
1BG AG BC 122
∴===, DG BG BD 1266∴=-=-=,
∴22AD AG DG 65=+=
故答案为65
【点睛】
考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.
19.49
【分析】
先计算出BC 的长,再由勾股定理求出阴影部分的面积即可.
【详解】
∵∠ACB=90︒,25AB = ,24AC =, ∴22222252449BC AB AC =-=-=,
∴阴影部分的面积=249BC =,
故答案为:49.
【点睛】
此题考查勾股定理,能利用根据直角三角形计算得到所需的边长,题中根据勾股定理的图形得到阴影部分面积等于BC 的平方是解题的关键.
20.522,322++
【分析】
过B 作BF ⊥CA 于F ,构造直角三角形,分两种情况讨论,利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质,即可得到AC 的长.
【详解】
分两种情况:
①当∠C 为锐角时,如图所示,过B 作BF ⊥AC 于F ,
由折叠可得,折痕PE 垂直平分AB ,
∴AP=BP=4,
∴∠BPC=2∠A=45°,
∴△BFP 是等腰直角三角形,
∴BF=DF=22
又∵BC=3,
∴Rt △BFC 中,221BC BF -=,
∴AC=AP+PF+CF=5+22
②当∠ACB 为钝角时,如图所示,过B 作BF ⊥AC 于F ,
同理可得,△BFP 是等腰直角三角形,
∴BF=FP=22
又∵BC=3,
∴Rt △BCF 中,221BC BF -=,
∴AC=AF-CF=3+22
故答案为:5+223+22
【点睛】
本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用,解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解.解题时注意:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
三、解答题
21.(1)132)83;(3)5.5秒或6秒或6.6秒
【分析】
(1)根据点P 、Q 的运动速度求出AP ,再求出BP 和BQ ,用勾股定理求得PQ 即可; (2)由题意得出BQ BP =,即28t t =-,解方程即可;
(3)当点Q 在边CA 上运动时,能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间有三种情况: ①当CQ BQ =时(图1),则C CBQ ∠=∠,可证明A ABQ ∠=∠,则BQ AQ =,则CQ AQ =,从而求得t ;
②当CQ BC =时(图2),则12BC CQ +=,易求得t ;
③当BC BQ =时(图3),过B 点作BE AC ⊥于点E ,则求出BE ,CE ,即可得出t .
【详解】
(1)解:(1)224BQ cm =⨯=,
8216BP AB AP cm =-=-⨯=,
90B ∠=︒,
222246213()PQ BQ BP cm +=+=;
(2)解:根据题意得:BQ BP =,
即28t t =-, 解得:83
t =; 即出发时间为8
3秒时,PQB ∆是等腰三角形;
(3)解:分三种情况:
①当CQ BQ =时,如图1所示:
则C CBQ ∠=∠,
90ABC ∠=︒,
90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒, 90A C ∠+∠=︒,
A ABQ ∴∠=∠
BQ AQ ∴=,
5CQ AQ ∴==,
11BC CQ ∴+=,
112 5.5t ∴=÷=秒.
②当CQ BC =时,如图2所示:
则12BC CQ +=
1226t ∴=÷=秒.
③当BC BQ =时,如图3所示:
过B 点作BE AC ⊥于点E , 则68 4.8()10
AB BC BE cm AC ⨯=== 22 3.6CE BC BE cm ∴=-=, 27.2CQ CE cm ∴==, 13.2BC CQ cm ∴+=, 13.22 6.6t ∴=÷=秒.
由上可知,当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时,
BCQ
∆为等腰三角形.
【点睛】
本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质;本题有一定难度,注意分类讨论思想的应用.
22.(1)AE=BD且AE⊥BD;(2)6;(3)PQ为定值6,图形见解析
【分析】
(1)由“SAS”可证△ACE≌△BCD,可得AE=BD,∠EAC=∠DBC=45°,可得AE⊥BD;
(2)由等腰三角形的性质可得PA=AQ,由勾股定理可求PA的长,即可求PQ的长;(3)分两种情况讨论,由“SAS”可证△ACE≌△BCD,可得AE=BD,∠EAC=∠DBC,可得AE⊥BD,由等腰三角形的性质可得PA=AQ,由勾股定理可求PA的长,即可求PQ的长.【详解】
解:(1)AE=BD,AE⊥BD,
理由如下:∵△ABC,△ECD都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=90°,∠ABC=∠CAB=45°,
∴∠ACE=∠DCB,且AC=BC,CE=CD,
∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴AE=BD,∠EAC=∠DBC=45°,
∴∠EAC+∠CAB=90°,
∴AE⊥BD;
(2)∵PE=EQ,AE⊥BD,
∴PA=AQ,
∵EP=EQ=5,AE=BD=4,
∴,
∴PQ=2AQ=6;
(3)如图3,若点D在AB的延长线上,
∵△ABC,△ECD都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=90°,∠ABC=∠CAB=45°,
∴∠ACE=∠DCB,且AC=BC,CE=CD,
∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴AE=BD,∠CBD=∠CAE=135°,且∠CAB=45°,
∴∠EAB=90°,
∵PE=EQ,AE⊥BD,
∴PA=AQ,
∵EP=EQ=5,AE=BD=4,
∴,
∴PQ=2AQ=6;
如图4,若点D 在BA 的延长线上,
∵△ABC ,△ECD 都是等腰直角三角形,
∴AC=BC ,CE=CD ,∠ACB=∠ECD=90°,∠ABC=∠CAB=45°,
∴∠ACE=∠DCB ,且AC=BC ,CE=CD ,
∴△ACE ≌△BCD (SAS )
∴AE=BD ,∠CBD=∠CAE=45°,且∠CAB=45°,
∴∠EAB=90°,
∵PE=EQ ,AE ⊥BD ,
∴PA=AQ ,
∵EP=EQ=5,AE=BD=4,
∴AQ=22=2516=3EQ AE --,
∴PQ=2AQ=6.
【点睛】
本题是三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,勾股定理等知识,证明AE ⊥BD 是本题的关键.
23.(1)①见解析;②DE =
297
;(2)DE 的值为517 【分析】
(1)①先证明∠DAE =∠DAF ,结合DA =DA ,AE =AF ,即可证明;②如图1中,设DE =x ,则CD =7﹣x .在Rt △DCF 中,由DF 2=CD 2+CF 2,CF =BE =3,可得x 2=(7﹣x )2+32,
解方程即可;
(2)分两种情形:①当点E在线段BC上时,如图2中,连接BE.由△EAD≌△ADC,推出∠ABE=∠C=∠ABC=45°,EB=CD=5,推出∠EBD=90°,推出DE2=BE2+BD2=62+32=45,即可解决问题;②当点D在CB的延长线上时,如图3中,同法可得DE2=153.
【详解】
(1)①如图1中,
∵将△ABE绕点A逆时针旋转90°后,得到△AFC,
∴△BAE≌△CAF,
∴AE=AF,∠BAE=∠CAF,
∵∠BAC=90°,∠EAD=45°,
∴∠CAD+∠BAE=∠CAD+∠CAF=45°,
∴∠DAE=∠DAF,
∵DA=DA,AE=AF,
∴△AED≌△AFD(SAS);
②如图1中,设DE=x,则CD=7﹣x.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°,
∵∠ABE=∠ACF=45°,
∴∠DCF=90°,
∵△AED≌△AFD(SAS),
∴DE=DF=x,
∵在Rt△DCF中, DF2=CD2+CF2,CF=BE=3,
∴x2=(7﹣x)2+32,
∴x=29
7
,
∴DE=29
7
;
(2)∵BD=3,BC=9,
∴分两种情况如下:
①当点E在线段BC上时,如图2中,连接BE.
∵∠BAC=∠EAD=90°,
∴∠EAB=∠DAC,
∵AE=AD,AB=AC,
∴△EAB≌△DAC(SAS),
∴∠ABE=∠C=∠ABC=45°,EB=CD=9-3=6,
∴∠EBD=90°,
∴DE2=BE2+BD2=62+32=45,
∴DE=
②当点D在CB的延长线上时,如图3中,连接BE.
同理可证△DBE 是直角三角形,EB =CD =3+9=12,DB =3,
∴DE 2=EB 2+BD 2=144+9=153,
∴DE =317, 综上所述,DE 的值为35或317.
【点睛】
本题主要考查旋转变换的性质,三角形全等的判定和性质以及勾股定理,添加辅助线,构造旋转全等模型,是解题的关键.
24.(1)a =8,b =15,c =17;(2)能,60
【分析】
(1)根据算术平方根,绝对值,平方的非负性即可求出a 、b 、c 的值; (2)根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形,由此得到面积和周长
【详解】
解:(1)∵a ,b ,c 88a a --|c ﹣17|+b 2﹣30b +225,
2881||7(15)a a c b --+-=﹣,
∴a ﹣8=0,b ﹣15=0,c ﹣17=0,
∴a =8,b =15,c =17;
(2)能.
∵由(1)知a =8,b =15,c =17,
∴82+152=172.
∴a 2+c 2=b 2,
∴此三角形是直角三角形,
∴三角形的周长=8+15+17=40;
三角形的面积=
12×8×15=60. 【点睛】
此题考查算术平方根,绝对值,平方的非负性,勾股定理的逆定理判断三角形的形状.
25.(1)该命题是真命题,理由见解析;(2)①a 的值为92
;②k 的取值范围为
13k ≤<;(3)ABC ∆的面积为
3或5
. 【分析】 (1)根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断;
(2)①先利用勾股定理求出c 的值,再根据优三角形的定义列出,,a b c 的等式,然后求解即可;
②类似①分三种情况分析,再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下,,a b c 之间的关系,然后根据优比的定义求解即可;
(3)如图(见解析),设BD x =,先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC 、AB 的长及ABC ∆面积的表达式,再类似(2),根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式,然后解出x 的值,即可得出ABC ∆的面积.
【详解】
(1)该命题是真命题,理由如下:
设等边三角形的三边边长为a
则其中两条边的和为2a ,恰好是第三边a 的2倍,满足优三角形的定义,即等边三角形为优三角形
又因该两条边相等,则这两条边的比为1,即其优比为1
故该命题是真命题;
(2)①90,6CB b A ∠=︒=
c ∴=
根据优三角形的定义,分以下三种情况:
当2a b c +=时,6a +=,整理得24360a a -+=,此方程没有实数根
当2a c b +=时,12a =,解得92
a =
当2b c a +=时,62a =,解得86a =>,不符题意,舍去
综上,a 的值为
92
; ②由题意得:,,a b c 均为正数 根据优三角形的定义,分以下三种情况:(c b a ≥≥)
当2a b c +=时,则1b k a
=≥ 由三角形的三边关系定理得b a c a b -<<+ 则2a b b a a b +-<<+,解得3b a <,即3b k a
=< 故此时k 的取值范围为13k ≤< 当2a c b +=时,则1c k a =
≥
由三角形的三边关系定理得c a b a c -<<+ 则2a c c a a c +-<<+,解得3c a <,即3c k a =< 故此时k 的取值范围为13k ≤< 当2b c a +=时,则1c k b =
≥ 由三角形的三边关系定理得c b a b c -<<+
则2b c c b b c +-<<+,解得3c b <,即3c k b
=< 故此时k 的取值范围为13k ≤<
综上,k 的取值范围为13k ≤<;
(3)如图,过点A 作AD BC ⊥,则180********ABC ABD ∠=︒-︒∠-==︒︒ 设BD x =
2222,3AB BD x AD AB BD x ∴===-=
22222(3)(4)224AC AD CD x x x x =+=++=++
11432322
ABC S BC AD x x ∆=⋅=⨯⨯= ABC ∆是优三角形,分以下三种情况:
当2AC BC AB +=时,即222444x x x +++=,解得103x =
则1020323233ABC S x ∆==⨯= 当2AC AB BC +=时,即222428x x x +++=,解得65x =
则612323235ABC S x ∆==⨯= 当2BC AB AC +=时,即242424x x x +=++,整理得234120x x ++=,此方程没有实数根
综上,ABC ∆的面积为2033或1235
.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系定理等
知识点,理解题中的新定义,正确分多种情况讨论是解题关键.
26.(1)详见解析;(2)①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根,理由详见解析;②512
m n = 【分析】
(1)根据题意,利用尺规作图画出图形即可;
(2)①根据勾股定理求出AD ,然后把AD 的值代入方程,即可得到答案;
②先得到出边长的关系,然后根据勾股定理,列出方程,解方程后得到答案.
【详解】
(1)解:作图,如图所示:
(2)解:①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根.
理由如下:依题意得, BD BC m ==,
在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒
222BC AC AB ∴=+
22AB m n =+22AD AB BD m n m ∴=-=+
222AD m AD n ∴+-
)()
2222222m n m m m n m n =+++- 222222222222m n m m n m m m n m n =+-+++-
0=;
∴线段AD 的长度是方程22 20x mx n +-=的一个根
②依题意得:,,AD AE BD BC AB AD BD ==== 2AD EC =
2233AD AE AC n ∴=== 在RT ABC 中,90ACB ∠= 222BC AC AB ∴+=
2
2223m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 22224493
m n n mn m +=++
25493n mn = 512
m n ∴= 【点睛】
本题考查的是基本作图,勾股定理、一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键.
27.(1)△AEF 是等边三角形,理由见解析;(2)见解析;(3)点F 到BC 的距离为3﹣.
【解析】
【分析】
(1)连接AC ,证明△ABC 是等边三角形,得出AC =AB ,再证明△BAE ≌△DAF ,得出AE =AF ,即可得出结论;
(2)连接AC ,同(1)得:△ABC 是等边三角形,得出∠BAC =∠ACB =60°,AB =AC ,再证明△BAE ≌△CAF ,即可得出结论;
(3)同(1)得:△ABC 和△ACD 是等边三角形,得出AB =AC ,∠BAC =∠ACB =∠ACD =60°,证明△BAE ≌△CAF ,得出BE =CF ,AE =AF ,证出△AEF 是等边三角形,得出∠AEF =60°,证出∠AEB =45°,得出∠CEF =∠AEF ﹣∠AEB =15°,作FH ⊥BC 于H ,在△CEF 内部作∠EFG =∠CEF =15°,则GE =GF ,∠FGH =30°,由直角三角形的性质得出FG =2FH ,GH =
FH ,CF =2CH ,FH =CH ,设CH =x ,则BE =CF =2x ,FH =x ,GE =GF =2FH =2
x ,GH =FH =3x ,得出EH =4+x =2x +3x ,解得:x =﹣1,求出FH =
x =3﹣
即可. 【详解】
(1)解:△AEF 是等边三角形,理由如下:
连接AC ,如图1所示:
∵四边形ABCD 是菱形,
∴AB =BC =AD ,∠B =∠D ,
∵∠ABC =60°,
∴∠BAD =120°,△ABC 是等边三角形,
∴AC =AB ,
∵点E 是线段CB 的中点,
∴AE ⊥BC ,
∴∠BAE =30°,
∵∠EAF =60°,
∴∠DAF =120°﹣30°﹣60°=30°=∠BAE ,
在△BAE 和△DAF 中,
,
∴△BAE ≌△DAF (ASA ),
∴AE=AF,
又∵∠EAF=60°,
∴△AEF是等边三角形;
故答案为:等边三角形;
(2)证明:连接AC,如图2所示:
同(1)得:△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,
∵∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAF,
∵∠BCD=∠BAD=120°,
∴∠ACF=60°=∠B,
在△BAE和△CAF中,
,
∴△BAE≌△CAF(ASA),
∴BE=CF;
(3)解:同(1)得:△ABC和△ACD是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=∠ACD=60°,
∴∠ACF=120°,
∵∠ABC=60°,
∴∠ABE=120°=∠ACF,
∵∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAF,
在△BAE和△CAF中,
,
∴△BAE≌△CAF(ASA),
∴BE=CF,AE=AF,
∵∠EAF=60°,
∴△AEF是等边三角形,
∴∠AEF=60°,
∵∠EAB=15°,∠ABC=∠AEB+∠EAB=60°,
∴∠AEB=45°,
∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°,
作FH⊥BC于H,在△CEF内部作∠EFG=∠CEF=15°,如图3所示:则GE=GF,∠FGH=30°,
∴FG=2FH,GH=FH,
∵∠FCH=∠ACF﹣∠ACB=60°,
∴∠CFH=30°,。