高中物理 第十六章 动量守恒定律 2 动量和动量定理学案 新人教版选修3-5

2 动量和动量定理
1．动量
(1)定义：在物理学上，把物体的质量跟其速度的乘积，叫做物体的动量。

(2)表达式：p ＝mv 。

(3)单位：kg·m/s。

(4)方向：动量是矢量，它的方向与速度的方向相同。

(5)对动量的理解
①动量的矢量性：动量既有大小，又有方向，是矢量。

它的方向与速度方向相同。

当速度发生变化(速度的大小或速度的方向或速度的大小和方向同时变化)，动量也随之改变；动量的运算遵循平行四边形定则。

②动量的瞬时性：由于速度具有瞬时性，所以动量也具有瞬时性，是反映物体运动状态的物理量，是状态量。

谈及动量时，须指明物体在某时刻或某状态时所具有的动量。

③动量的相对性：由于物体的速度与参考系的选取有关，所以物体的动量也与参考系的选取有关，因而动量具有相对性。

在中学阶段，一般取地面或相对地面静止的物体为参考系。

【例1】 质量为m ＝2 kg 的物体，从空中水平匀速飞行的飞行物上自由落下，已知飞
行物的速度为v 0＝3 m/s ，求物体离开飞行物后0.4 s 末的动量。

不计空气阻力，g 取10 m/s 2。

解析：以地面为参考系，物体0.4 s 末时的速度为v ＝v 20＋v 2⊥＝32＋42 m/s ＝5 m/s ，
所以p ＝mv ＝2.0×5 kg·m/s＝10 kg·m/s，方向与该时刻的速度方向一致，即与水平方向
成θ角，θ＝arctan v ⊥v 0＝arctan 43
＝53°。

答案：10 kg·m/s，方向与水平方向成53°角
2.动量的变化
动量是矢量，只要物体的m 的大小、v 的大小和v 的方向三者中有一个发生变化，则物体的动量就发生变化。

动量的变化可表示为Δp ＝p 末－p 初，此式为矢量式。

Δp 也为矢量，其方向与Δv 的方向相同。

(1)在一维情况下(共线)，可以把动量的矢量运算简化成代数运算，动量变化计算公式Δp ＝p 2－p 1＝mv 2－mv 1，通常情况下先选定一个正方向，用正负号来表示初、末动量的方向。

速度方向与正方向相同，则该物体的速度和动量为正，相反则为负。

【例2－1】 羽毛球是速度较快的球类运动之一，运动员扣杀羽毛球的速度可达到342 km/h ，假设球飞来的速度为90 km/h ，运动员将球以342 km/h 的速度反向击回。

设羽毛球的质量为5 g ，试求：
(1)运动员击球过程中羽毛球的动量变化量。

(2)在运动员的这次扣杀中，羽毛球的速度变化、动能变化各是多少？
解析：(1)以球飞来的方向为正方向，则
p 1＝mv 1＝5×10－3×903.6
kg·m/s＝0.125 kg·m/s。

p 2＝mv 2＝－5×10－3×3423.6
kg·m/s＝－0.475 kg·m/s。

所以动量的变化量
Δp ＝p 2－p 1＝－0.475 kg·m/s－0.125 kg·m/s
＝－0.600 kg·m/s。

即球的动量变化大小为0.600 kg·m/s，方向与球飞来的方向相反。

(2)羽毛球的初速度：v ＝25 m/s ，
羽毛球的末速度：v ′＝－95 m/s ，
所以Δv ＝v ′－v ＝－120 m/s 。

羽毛球的初动能：E k ＝12
mv 2＝1.56 J ，
羽毛球的末动能：E k ′＝12
mv ′2＝22.56 J 。

所以ΔE k ＝E k ′－E k ＝21 J 。

答案：(1)0.600 kg·m/s 方向与球飞来的方向相反 (2)120 m/s 方向与初速度方向相反 21 J
析规律 动量是矢量
动量的变化量也是矢量，计算在同一直线上动量的变化量时，一定要注意正方向的规定。

通常取初速度方向为正方向，代入数据计算时，切不可丢掉表示方向的正、负号。

(2)在p 末与p 初不共线的情况下，求Δp 要用平行四边形定则。

在曲线运动中，初、末动量不在同一直线上，可以按照平行四边形定则或者三角形定则求Δp 。

如图所示，Δp 就是由初动量箭头指向末动量箭头的有向线段。

【例2－2】 一个质量是0.2 kg 的钢球，以2 m/s 的速度斜射到坚硬的大理石板上，入射的角度是45°，碰撞后被斜着弹出，弹出的角度也是45°，速度大小仍为2 m/s ，用作图法求出钢球动量变化的大小和方向。

解析：碰撞前后钢球不在同一直线上运动，根据平行四边形定则，以p ′和－p 为邻边作平行四边形，则Δp 的大小就等于对角线的长度，对角线的指向就表示其方向，所以
Δp ＝p ′2＋－p 2
＝0.42＋0.42 kg·m/s
＝0.4 2 kg·m/s
方向竖直向上。

答案：0.4 2 kg·m/s 竖直向上
3．冲量
(1)牛顿第二定律的动量表达式 F ＝ma ＝m Δv Δt ＝Δp Δt
此式说明作用力F 等于物体动量的变化率。

即F ＝Δp Δt
是牛顿第二定律的另一种表达形式。

(2)冲量的定义：力与力的作用时间的乘积叫做力的冲量。

(3)公式：I ＝F ·t 。

(4)单位：牛·秒，符号：N·s。

(5)冲量的性质
①冲量的时间性：冲量不仅由力决定，还由力的作用时间决定，恒力的冲量等于力与力作用时间的乘积，可用I ＝F ·t 表示。

②冲量的矢量性：对于具有恒定方向的力来说，冲量的方向与力的方向一致；对于作用
时间内方向变化的力来说，冲量的方向与相应时间内动量的变化量的方向一致，冲量的运算遵守平行四边形定则。

③冲量的绝对性：由于力和时间都跟参考系的选择无关，所以力的冲量也跟参考系的选择无关。

④冲量的过程性：冲量是描述力对作用时间的累积效果，力越大，作用时间越长，冲量就越大。

冲量是一个过程量，学习冲量必须明确研究对象和作用过程，即必须明确是哪个力在哪段时间内对哪个物体产生的冲量。

【例3】以某一初速度竖直向上抛出一物体，空气阻力不可忽略。

关于物体受到的冲量，以下说法正确的是( )
A．物体上升阶段和下落阶段受到的重力的冲量方向相反
B．物体上升阶段和下落阶段受到空气阻力冲量的方向相反
C．物体在下落阶段受到重力的冲量大于上升阶段受到重力的冲量
D．物体在下落阶段受到重力的冲量小于上升阶段受到重力的冲量
4.动量定理
(1)动量定理的内容：
物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化。

(2)表达式：Ft＝mv′－mv或I＝p′－p
式中mv是物体初始状态的动量，mv′是力的作用结束时的末态动量。

动量定理反映了物体在受到力的冲量作用时，其状态发生变化的规律，是力在时间上的累积效果。

(3)动量定理的理解与应用要点：
①动量定理的表达式是一个矢量式，应用动量定理时需要规定正方向。

②动量定理公式中F是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力，它可以是恒力，也可以是变力。

当合外力为变力时，F应该是合外力在作用时间内的平均值。

③动量定理的研究对象是单个物体或系统。

④动量定理中的冲量是合外力的冲量，而不是某一个力的冲量。

在所研究的物理过程中，如果作用在物体上的各个外力的作用时间相同，求合外力的冲量时，可以先求所有外力的合力，然后再乘以力的作用时间，也可以先求每个外力在作用时间内的冲量，然后再求所有外力冲量的矢量和。

如果作用在物体上各外力的作用时间不同，就只能先求每一个外力在其作用时间内的冲量，然后再求所有外力冲量的矢量和。

⑤动量定理中I是合外力的冲量，是使研究对象的动量发生变化的原因，并非产生动量的原因，不能认为合外力的冲量就是动量的变化。

合外力的冲量是引起研究对象状态变化的外在因素，而动量的变化是合外力冲量作用后导致的必然结果。

⑥动量定理不仅适用于宏观物体的低速运动，对微观物体和高速运动仍然适用。

⑦合外力的冲量是物体动量变化的量度。

【例4】质量为0.5 kg的弹性小球，从1.25 m高处自由下落，与地板碰撞后回跳高度为0.8 m。

设碰撞时间为0.1 s，g取10 m/s2，求小球对地板的平均作用力。

解析：解法一：分段处理
取小球为研究对象，根据自由落体运动和竖直上抛运动可知，小球碰撞前的速度：v1＝2gh1＝2×10×1.25 m/s＝5 m/s，方向向下；
小球碰撞后的速度：v2＝2gh2＝2×10×0.8 m/s＝4 m/s，方向向上。

小球受力情况如图所示，取竖直向上为正方向。

根据动量定理：
(F N －mg )t ＝mv 2－mv 1 F N ＝mv 2－mv 1t
＋mg ＝50 N 由牛顿第三定律可知，小球对地板的平均作用力大小为50 N ，方向竖直向下
解法二：全程处理
以开始下落的瞬间为初状态，反弹到最高点时为末状态，则重力的作用时间：
t ＝2h 1g ＋t 碰＋2h 2g
＝(0.5＋0.1＋0.4)s ＝1 s 平均冲力的作用时间为t 碰＝0.1 s
取竖直向下为正方向，mgt －F N t 碰＝0
所以F N ＝mgt t 碰＝0.5×10×10.1
N ＝50 N 由牛顿第三定律可知，小球对地板的平均作用力大小为50 N ，方向竖直向下。

答案：50 N ，方向竖直向下
点技巧 动量定理解题要点
(1)若物体在运动过程中所受的力不是同时的，可将受力情况分成若干阶段来解，也可当成一个全过程来求解。

(2)在用动量定理解题时，一定要认真进行受力分析，不可有遗漏，比如求解本题时，有的同学就把重力遗漏了。

5．冲量的计算方法
(1)单个恒力的冲量，既可是直线运动中单个恒力的冲量，也可是曲线运动中某个恒力的冲量，用冲量的定义式I ＝Ft 计算。

(2)几个恒力的合冲量
①先求几个恒力的合力F 合，再用I 合＝F 合·t 求合力的冲量，此方法适用于几个恒力的作用时间相同。

②若几个恒力的作用时间不相同，则应先求出各个恒力的冲量，I 1＝F 1t 1，I 2＝F 2t 2，…再依据平行四边形定则求I 合。

若I 1、I 2…都在一直线上，可选定正方向，将矢量运算化为代数运算。

(3)变力的冲量
①变力的冲量通常可利用动量定理I ＝Δp 求解。

②可用图象法计算冲量，如图1，若某一力方向恒定不变，那么在Ft 图象中，图中阴影部分的面积就表示力在时间Δt ＝t 2－t 1内的冲量。

图1 图2
③对于方向不变，大小随时间均匀变化的力，其冲量可用公式I ＝F 1＋F 22
t 0计算，如图2所示。

【例5－1】一个质量为m 的物体，从离地面高为h 的位置以初速度v 0水平抛出，求物体从开始抛出到落至地面这段时间内重力的冲量。

解析：因为重力为恒力，其大小为mg ，方向竖直向下，所以重力的冲量可直接用I ＝Ft
来求解。

设物体运动的时间为t ，因在竖直方向上，物体做自由落体运动，所以h ＝12
gt 2，t ＝2h g
重力在这段时间内的冲量大小为I ＝Ft ＝mgt ＝m 2gh
冲量的方向与重力的方向一致，即竖直向下。

答案：m 2gh ，方向竖直向下
【例5－2】 用电钻给建筑物钻孔时，钻头所受的阻力与深度成正比。

图为阻力f 与时间关系的图象，若钻头匀速钻进时第1 s 内所受的阻力的冲量为100 N·s，求5 s 内阻力的冲量的大小。

解析：设钻头进入建筑物的深度为x ，则钻头受到的阻力为f ＝kx ，k 为比例系数。

钻头匀速钻进，深度为x ＝vt
所以f ＝kvt
在时间t 内阻力的冲量可通过如题图所示的f ­t 图象的面积来求解I ＝12f ·t ＝12
kvt 2 即I ∝t 2，因第1 s 内的冲量为100 N·s，所以t ＝5 s 时，I 5＝2 500 N·s。

答案：2 500 N·s
6.动量定理的应用
(1)一个物体的动量变化Δp 与合外力的冲量具有等效代换关系，二者大小相等、方向相同，可以相互代换，据此有：
①应用I ＝Δp 求变力的冲量：如果物体受到大小或方向改变的力的作用，则不能直接用Ft 求变力的冲量，这时可以求出该力作用下物体动量的变化Δp ，等效代换变力的冲量I 。

②应用Δp ＝F Δt 求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化：曲线运动的物体速度方向时刻在变化，求动量变化Δp ＝p ′－p 需要应用矢量运算方法，比较麻烦。

如果作用力是恒力，可以求恒力的冲量，等效代换动量的变化。

(2)用动量定理解释相关物理现象的要点。

由Ft ＝p ′－p ＝Δp 可以看出，当Δp 为恒量时，作用力 F 的大小与相互作用的时间 t 成反比。

(3)应用动量定理的解题步骤
①确定研究对象，研究对象可以是一个物体，也可以是两个以上的物体组成的系统。

②确定应用动量定理的物理过程，即确定在哪一段时间内应用动量定理。

③分析运动过程中的受力情况，给出外力冲量的矢量和的表达式。

④分析运动过程始末的动量，并由所定正方向写出动量变化的表达式。

⑤列出动量定理方程并求解。

,
【例6－1】如图甲所示，物体A 和B 用轻绳相连，挂在轻质弹簧下静止不动，A 的质量为m ，B 的质量为M 。

当连接A 、B 的绳突然断开后，物体A 上升经某一位置时的速度大小为v ，这时物体B 下落的速度大小为u ，如图乙所示。

在这段时间里，弹簧的弹力对物体A 的
冲量为( )
A ．mv
B ．mv －Mu
C ．mv ＋Mu
D ．mv ＋mu
解析：该题涉及的物体较多，可选B 为研究对象，在B 下落的这段时间t 内，其动量向下增加为Mu ，B 只受重力，由动量定理，重力的冲量为Mgt ＝Mu ，解得t ＝u g。

以A 为研究对象，其动量在时间t 内向上增加为mv ，设弹力的冲量为I ，由动量定理有I －mgt ＝mv
解得I ＝m (v ＋u ) 故正确选项为D 。

答案：D
析规律 计算冲量的一般方法
求一个变力的冲量时，若该力是线性变化的，可转化为恒力(平均力F )求解，也可用动量定理求解；若该力不是均匀变化的，只能用动量定理求解。

【例6－2】在距地面高h 处、同时以相等初速度v 0分别平抛、竖直上抛、竖直下抛三个质量均为m 的物体，当它们从抛出点落到地面时，比较它们的动量的增量Δp ，有( )
A ．平抛过程较大
B ．竖直上抛过程较大
C ．竖直下抛过程较大
D ．三者一样大
解析：由动量定理可知I 合＝Δp ，而I 合＝mgt ，竖直上抛过程t 2最大，所以Δp 2最大，应选B 。

答案：B
7．冲量与功的区别
8.动量定理与牛顿第二定律的区别与联系
【例7】如图所示，在倾角α＝37°的斜面上，有一质量为5 kg的物体沿斜面滑下，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，求物体下滑2 s的时间内物体所受各力的冲量。

(g
取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
思路点拨：①判断物体所受各力的方向；②根据冲量公式求出各力的冲量。

解析：物体沿斜面下滑过程中，受重力、支持力和摩擦力的作用，冲量I＝FΔt，是矢
量。

重力的冲量
I G＝GΔt＝mgΔt＝5×10×2 N·s＝100 N·s，
方向竖直向下。

支持力的冲量
IF N＝F NΔt＝mg cos α·Δt＝5×10×0.8×2 N·s＝80 N·s，
方向垂直于斜面向上。

摩擦力的冲量
IF f＝F fΔt＝μmg cos α·Δt＝0.2×5×10×0.8×2 N·s＝16 N·s，方向沿斜面向上。

答案：重力的冲量为100 N·s，方向竖直向下
支持力的冲量为80 N·s，方向垂直于斜面向上
摩擦力的冲量为16 N·s，方向沿斜面向上
辨误区 冲量与功的区别
在计算支持力的冲量时，若在垂直斜面方向上物体没发生位移，有人就认为IF N ＝0，这种错误观点的根源在于未分清冲量与功的概念。

应注意：力对物体做功时，力的冲量不为零，但力对物体有冲量时力不一定对物体做功。

冲量是矢量，功是标量，冲量大小计算是作用力的大小乘以作用时间，功的计算是力与沿力的方向上发生位移的乘积。

【例8】 一辆质量为2 t 的汽车在水平公路上行驶时，它受到的阻力为自重的0.02倍。

由静止出发，它在恒定牵引力作用下10 s 内可加速到30 m/s 。

求汽车在这段加速过程中的牵引力。

解析：方法一：利用动量定理求解。

设汽车运动方向为正，则由动量定理可知：
(F －kmg )t ＝mv ，
解得F ＝kmg ＋mv t ＝6.4×103
N 。

方法二：利用动能定理求解。

汽车做匀加速直线运动，在10 s 内的位移为：
s ＝v 2t ＝150 m ，
由动能定理(F －kmg )s ＝12mv 2，
得F ＝mv 2
2s ＋kmg ＝6.4×103 N 。

方法三：利用牛顿第二定律求解。

a ＝v t ＝3010 m/s 2＝3 m/s 2，
再根据牛顿第二定律
F －kmg ＝ma ，
得F ＝kmg ＋ma ＝6.4×103 N 。

答案：6.4×103 N
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