福建省宁德市2017届高三毕业班第二次质量检查数学(文)试题含答案

2017年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷
文 科 数 学
本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至3页，第II 卷4至6页，满分150分．
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}|(3)0A x x x =-<，{}0,1,2,3,4B =，则A
B =
（A ）{}0,1,2,3 （B ）{}1,2,3 (C ）{}1,2 （D ）{}2,3 （2)甲、乙两名选手参加歌手大赛时,5名评委的打分用茎叶图表示如图，1
2
,x x 分别表示甲、乙选手分数的中位数,1
2
,s s 分别表示甲、乙
选手分数的标准差,则 （A ）1
2
x x >，1
2
s
s > （B ）
12x x <，
12s s <
（C ）1
2
x x <，1
2
s
s > （D ）1
2
x x >，1
2s
s <
（3)已知
()5
cos()0,θθπ-=
∈π，则sin 2θ=
（A ）45
-
(B)45
（C ）35
-
（D ）35
(4)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3,蓝色卡片两张，标号分别
为1,2，从以上五张卡片中任取两张，则这两张卡片颜色不同且标号之和不小于4的概率为
(A)1
10
（B ）310
（C)25
（D ）
710
甲 乙 8 7 6 7
5 4 1 8 0 2 9 3 4
（5）下列函数中,既是奇函数，又在区间(1,2)内是增函数的为(A）sin
y x x
=
（B）ln
y x
=
（C)(2)
y x x
=-
(D)e e x x
y-
=-
（6
输出的结果是
（A）1
（B）89
（C）23
（D)12
（7）已知椭圆2221(0)
8
x y
b
b
+=>与y轴交于,A B两点，
12
,
F F为该椭圆的左、右焦点，则四边形12
AF BF面
积的最大值为
（A）4（B）（C）8（D）（8）榫卯（sŭn măo)是我国古代工匠极为精巧的发明，它
是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方
式．我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的
正视图侧视图
俯视图
廊桥等建筑都用到了榫卯结构．如图所示是一种榫 卯构件中榫的三视图，其表面积为 （A ）1224+π (B ）1220+π
（C)1424+π
(D ）1420+π
（9）若函数()f x 同时满足以下三个性质：
① ()
f x 的最小正周期为π; ②
()
f x 在
(,)42
ππ上是减函数;
③ 对任意的x ∈R ，都有()()0
4
f x f x π
-+-=. 则()f x 的解析式可能是
（A ）()sin(2)
4
f x x π
=- （B ）()sin 2cos 2f x x x =+ （C ）
3()cos(2)4
f x x π=+
(D ）
()tan()
8f x x π
=-+
（10）直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB AD ⊥,若沿BD 折成直
二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为
（A)2π （B ）4π （C ）8π （D ）
16π
（11）已知F 是双曲线C :
22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点，P 是y 轴正半轴上一
点，以OP 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，若
5FM MP
=，则C 的离心率为
（
（B （C （D ）
（12）已知函数
1,1,()22,1,
x
x x f x x -+<⎧=⎨-≥⎩
1()g x x
=
,若对任意[),(0)x m m ∈+∞>，总存在两
个[]0
0,2x ∈，使得0
()g()f x x =,则实数m 的取值范围是
（A)[)1,+∞ （B)(]0,1 （C ）
1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
（D ）
10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
2017年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷
文 科 数 学
第II 卷
注意事项：
第II 卷共3页，须用黑色签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷上作答，答案无效．
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答．
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．
（13）若复数z 的共轭复数z 满足(1i)3i z -=+，则z = . （14）已知向量(1,1)=-a ,(2,)y =-b ,若//a b ,则⋅a b = 。

（15）若函数
3
22()(21)43
f x x a x ax =
-++在区间()1,3a a +内有极值，则实数a 的取
值范围是_____.
（16）一艘海轮从A 出发,沿北偏东0
60的方向航行30n mile 后到海岛B ，
然后从B 出发沿南偏东0
60的方向航行50n mile 到达海岛C . 如果下
次航行此船沿南偏东θ角的方向，直接从A 出发到达C ，则cos θ的值为____________.
三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． （17）（本小题满分12分）
已知等比数列{}n a 的前n 项和
3()n
n S c c =+∈R . （Ⅰ）求数列{}n
a 的通项公式;
（Ⅱ）设3log 1n
n b
S =+()
，求数列{}
n
n a
b ⋅的前n 项和n
T 。

(18）（本小题满分12分）
某渔业公司为了解投资收益情况，调查了旗下的养鱼场和远洋捕捞队近10个月的利润情况．根据所收集的数据得知，近10个月总投资养鱼场一千万元,获得的月利润频数分布表如下：
近10个月总投资远洋捕捞队一千万元，获得的月利润频率分布直方图如下：
（Ⅰ）根据上述数据，分别计算近10个月养鱼场与远洋捕捞队的月平均利润；
（Ⅱ）公司计划用不超过6千万元的资金投资于养鱼场和远洋捕捞队，假设投资养鱼场的资金为(0)x x ≥千万元，投资远洋捕捞队的资金为(0)y y ≥千万元,且投资养鱼场的资金不少于投资远洋捕捞队的资金的2倍．试用调查数据，给出公司分配投资金额的建议，使得公司投资这两个项目的月平均利润之和最大．
（19）(本小题满分12分）
如图所示的多面体中，四边形ABCD 是正
方形,平面AED ⊥平面ABCD ，
//EF DC
，
01
1,302
ED EF CD EAD ===∠=.
(Ⅰ)求证：AE FC ⊥；
（Ⅱ）求点D 到平面BCF 的距离．
（20）(本小题满分12分）
已知抛物线E :
2
4y x
=的准线为l ,焦点为F ，O 为坐标原点．
（Ⅰ）求过点,O F ，且与l 相切的圆的方程;
（Ⅱ）过F 的直线交抛物线E 于,A B 两点，A 关于x 轴的对称点为A '，
求证:直线A B '过定点．
（21）(本小题满分12分）
已知函数()(ln )f x x a x =+，
()e x
x g x =
．
（Ⅰ）若函数()f x 的最小值为1e
-，求实数a 的值; (Ⅱ）当0,0a x >>时，求证:2()()e
g x f x -<．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．
（22）(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程是
+cos ,
sin .
x m t y t αα=⎧⎨
=⎩（t 是参数）．在
以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C :4cos ρθ=． （Ⅰ）当1m =-,0
=30α时,判断直线l 与曲线C 的位置关系；
（Ⅱ）当1m =时，若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，设(1,0)P ，且
1
PA PB -=,求直线l 的倾斜角．
(23）(本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()()212f x x x t t =+--∈R ．
（Ⅰ）当3t =时， 解关于x 的不等式()1f x <; （Ⅱ）,x ∃∈R 使得()5f x ≤-，求t 的取值范围．
2017年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷
文科数学参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。

二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共12小题，每小题5分，共60分．
(1）C (2）D （3)A (4)B （5）D （6)B
(7）C （8）A （9）B （10）C （11）C (12）A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共4小题,每小题5分,共20分．
(13
（14）4-； （15）()1,+∞； （16）17．
三、解答题:本大题共6小题,共70分．
（17）本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求 解能力,满分12分． 解:（Ⅰ）∵3n n
S c
=+，
∴1
1
2213323,6,18
a S
c a S S a S S ==+=-==-=， ······ 3分
∵{}n
a 是等比数列,
∴2
2
13
a
a a =,即3618(3)c =+， ··········· 4分
解得1c =- 。

·············· 5分 ∴2
1
1
2,3a a
q a ==
=，
∴1
23n n
a
-=⋅. ················ 6分
（Ⅱ）∵331,log (1)n n
n n S b S n
=-=+=，1
23n n n
a b
n -=⋅， ··· 7分
∴01221
234363(22)323n n n
T
n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅, ① ···· 8分
∴12313234363(22)323n n
n
T
n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅, ② ···· 9分
①－②得,
1231(13)22323232323n n
n T n --=+⨯+⨯+⨯+
+⋅-⋅ ······ 10分
2(13)2313
n n n -=-⋅-
(12)31
n n =-⋅-。

············· 11分
∴11()322
n n
T
n =-⋅+。

············· 12分
(18）本题主要考查不等式、统计基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．满分12分．
解：（Ⅰ)近10个月养鱼场的月平均利润为
0.220.11020.140.31
0.02
10
-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=（千万元).……………………….。

3分
近10个月远洋捕捞队的月平均利润为
0.30.20.50.20.110.10.210.30.2 1.50.50.210.16
-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（千万元）。

···················· 6分 (Ⅱ
）
依
题
意
得
,x y
满足的条件为
0,62x y x y x y
≥⎧⎪≥⎪
⎨
+≤⎪⎪≥⎩………………………………………。

.8分
设两个项目的利润之和为z ，则
0.020.16z x y =+，……………。

…………………。

9
分
如图所示，作直线0
:0.020.160l x y +=，平移直线0l 知其过点
A 时，z 取最
大值,
···················· 10分
由6,2x y x y +=⎧⎨=⎩得4
,2x y =⎧⎨=⎩
所以A 的坐标为
(4,2)
，……………………………………。

.11分
此时z 的最大值为0.0240.1620.4⨯+⨯=（千万元），
所以公司投资养鱼场4千万元,远洋捕捞队2千万元时，两个项目的月平均利润之和最大．
………………………………………………………………………………………………..12分
（19)本题主要考查空间线与线、线与面的位置关系、体积的计算等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力,满分12分．
解法一：（Ⅰ）四边形ABCD 是正方形，
CD AD
∴⊥，
又ADE ABCD ⊥平面平面，
ADE ABCD AD
⋂=平面平面，
CD ABCD
⊂平面，
CD ADE
∴⊥平面， ·············· 2分
又AE ADE ⊂平面，
CD AE
∴⊥， ················ 3分
在ADE ∆中,2130AD DE EAD ==∠=，
，, 由余弦定理得,
AE =2
2AE DE
AD ∴=2
+,AE ED
∴⊥。

· 4分
又CD
ED D
=，
AE EFCD
∴⊥平面. ··············· 5分
又FC EFCD ⊂平面
AE FC
∴⊥。

··············· 6分
（Ⅱ)连结DF ,由（Ⅰ)可知,AE CDEF ⊥平面, 四边形ABCD 是正方形 //AB DC ∴ 又DC CDEF ⊂面，AB CDEF ⊄面
//AB CDEF ∴面
∴
A 到CDEF 面的距离等于
B 到CDEF 面的距离。

即B 到面DF
C 的距离为
AE 。

···················· 7分 在直角梯形EFCD 中，=1EF ，
DE=1， DC=2
,
F ∴ ················ 8分
1
1
2
CDF S DC DE ∆∴=⨯⨯=,
13B CDF CDF V S AE -∆=⋅=
······ 9分
在直角梯形EFBA 中,=1EF ，
AB=2，
可得BF=2，在等腰BFC ∆中，2BC BF ==
，FC
12BFC S ∆∴=
= ··········· 10分
设点D 到平面BFC 的距离为d
D BCF B CDF
V V --=，即13D BCF
BFC V
S d -∆=⋅=， BFC
d ∆∴=
∴
点D 到平面BCF ······ 12分
解法二：(Ⅰ）同解法一
（Ⅱ)过点E 做,EH AD AD H ⊥交于点连结FD .
⊥平面ADE 平面ABCD
,
⋂平面ADE 平面ABCD=AD
，
EH ADE ⊂平面
A
C
∴EH ABCD
⊥平面,
在Rt AED ∆中，
EH ····· 7分
又//EF DC ,
DC CD ⊂面AB ，
EF CD ⊄面A B
//EF ABCD ∴面
∴
E 到面ABCD 的距离等于
F 到面ABCD 的距离
8分
11233F BCD BCD V S EH -∆∴=⋅=⨯=
9分
在直角梯形
EFBA 中,=1EF ，
DC=2
,
AB=2
,
可得=2BF ，
12BFC S ∆∴=
=············· 10分
设D 点到平面BFC 的距离为d ，
,D BCF F BCD V V --=
即13
BCF
S d
∆⋅
BFC
d ∆∴=
，
∴
点D 到平面BCF ······· 12分
（20)本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识及直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力;考查特殊与一般的思想、化归与转化思想．满分12分． 解法一：(Ⅰ）抛物线E ：2
4y
x
=的准线l 的方程为:1x =-,焦点坐标为F (1,0)，
···················· 1分 设所求圆的圆心(,)C a b ,半径为r ,
∵圆C 过O ， F ，∴12
a =， ········ 2分
∵圆C 与直线l ：1x =-相切,∴13
(1)22
r =--=. ···· 3分
由
32r CO =
，得b =········ 4分
∴
过O , F ,且与直线l
相切的圆的方程为
19+=
24
x y 22
（-）（。

5分
（Ⅱ）依题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 方程为y (1)k x =-,
11(,)
A x y ,
22(,)
B x y , 1
2
x x ≠（）,1
1
(,)A x y '-, ········ 6分
联立2
(1)
4y k x y x
=-⎧⎨
=⎩
, 消去y 得 2222(24)0
k x k x k -++=． ·· 7分
212122
24
+=,1
k x x x x k +∴⋅=. ············· 8分
∵直线BA '的方程为21
2
221
()y y y y
x x x x +-=
--, ······ 9分
∴
令0y =，
得21121
2
x y x y
x y y
+=+ ··············· 10分
211212(1)(1)
(1)(1)x k x x k x k x k x -+-=-+-
1212122()
1
2()
x x x x x x -+=
=--++. ············· 11分
直线BA '过定点()1,0-. ··········· 12分 解法二:（Ⅰ)同解法一。

(Ⅱ）直线BA '过定点M ()1,0-。

······· 6分
证明：依题意知直线AB 的斜率存在,设直线AB 方程为y (1)k x =-，
11(,)
A x y ,
22(,)
B x y , 1
2
x x ≠（），1
1
(,)A x y '-， ······· 7分
联立
2
y (1)
y 4k x x
=-⎧⎨=⎩， 消去y 得
2222(24)0
k x k x k -++= ··· 8分
212122
24
+=,1
k x x x x k +∴⋅=. ············· 9分
121211A M BM y y k k x x '--=
-++()()
21121
2
12++11x y x y y y x x +=-++ ······· 10分
211212
++x y x y y y +=1
2
2
1
(1)+(1)k x x k x
x --+1
2
k(+2)x x
-
=12
22kx x
k
-=212=0k k ⋅-。

······ 11分
=0
A M BM k k '∴-，即=A M
BM
k
k ', A B M
'、、 三点共线,
∴
直线BA '过定点()1,0-。

·········· 12分
解法三:(Ⅰ)同解法一.
（Ⅱ）设直线AB 的方程：
1x my =+,11(,)
A x y ，
22(,)
B x y ,则1
1
(,)A x y '-. 6分
由2
1
4x my y x
=+⎧⎨
=⎩
得2
440
y my --= ········· 7分
1212+=4,4
y y m y y ∴⋅=-. ············· 8分
∵2121222
121214
44
BA y y y y k
y y x x y y '
++=
==
---，
∴直线BA '的方程为2
221
4
()y y
x x y y -=
--。

····· 9分
22
21
222121
22122212121214
()+44
=
+4444
y x x y y y x x y y y y y y y y x x y y y y x y y y y ∴=-------=+--=
+--
21
4
(1)x y y =
+-。

·············· 11分
∴
直线BA '过定点()1,0-。

·········· 12分
(21）本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程的思想、
数形结合思想．满分14分．
解：（Ⅰ）()1ln (0)f x a x x '=++>, ········· 1分 由()0f x '>，得1
e a x -->，由()0
f x '<，得1
0e a x --<<,
∴()f x 在1
(0,e )
a --递减,在1
(e
)
a --+∞递增. ······ 3分
∴1111min
1
()
(e )e (lne )e e
a a a a f x f a --------==+=-=-
. ······ 4分
∴0a =. ················· 5分 (Ⅱ）由（Ⅰ)得1ln e
x x ≥-，
∴当0,0a x >>时,1()(ln )ln ln e f x x a x ax x x x x =+=+>≥-,即1
()e
f x >-。

7分
∵
()e x
x
g x =
，
1()(0)e x
x
g x x -'=
>, ·········· 8分
由()0g x '>，得01x <<，由()0g x '<，得1x >，
∴()g x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减. ······· 9分 ∴1()(1)e
g x g ≤=
， ·············· 10分
∴
[]112
()()()()e e e
g x f x g x f x -=+-<+=
，即
2()()e
g x f x -<。

·· 12分
(22)选修44-;坐标系与参数方程
本小题考查直线的参数方程和圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分．
解:（Ⅰ）由4cos ρθ=，得2
4cos ρρθ
=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，
得曲线C
的普通方程为
22(2)4
x y -+=,…………………………… 2分
所以曲线C 是以(2,0)M 为圆心，2为半径的圆.
由直线l
的参数方程为1,1,2
x y t ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数)，
得直线l
的直角坐标方程为10
x +=． …………………………4分 由圆心M 到直线l
的距离3
22d =
=
<,
故
直
线
l
与曲线
C
相
交. ……………………………………………………5分 （Ⅱ)直线l 为经过点(1,0)P 倾斜角为α的直线， 由
1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=⎩代入2
2(2)4
x y -+=,整理得
22cos 30
t t α--=，………………………………………………………6分
2(2cos )120
α∆=+>，
设,A B 对应的参数分别为1
2
,t t ，则1
2
2cos t t
α
+=，1
2
30
t t
⋅=-<，
所以1
2
,t t 异号， (7)
分
则1
2
|||||||||2cos |1
PA PB t t
α-=+==，…………………………………8分
所以1cos 2α=± 又[)0,απ∈……………………………………………9分
所
以直线
l
的倾斜角
3
απ
=
或
23
π。

…………………………………10分
(23）选修45-：不等式选讲
本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．
解（Ⅰ）原不等式可化为3,221231
x x x ⎧>⎪⎨⎪+-+<⎩或
1
32
221231
x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩，
或
122123 1.x x x ⎧
<-⎪⎨⎪--+-<⎩，
.....３分
解
得
x ∈∅
或
1324
x -≤<或
12
x <-
．。

。

.。

.。

..。

..。

...。

...。

.....。

.。

.。

...。

..。

.4
分 综
上,原不等式的解集是
34x x ⎧
⎫<⎨⎬⎩
⎭。

.。

..。

.。

......。

..。

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...。

......。

....。

..。

5分 (
Ⅱ
）
解
：
,
x ∃∈R 使
()5
f x ≤-，等价于
min ()5
f x ≤-..。

....。

.。

.。

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..。

6分
()()()212212=1+f x x x t x x t t
=+--≤+-- ..。

...。

.。

..。

..。

.。

..。

..。

....。

...。

7分
1+()1+t f x t
∴-≤≤，
所
以()
f x 取得最小值
1+t
-。

.。

..。

..。

....。

....。

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...。

...。

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....。

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..。

...。

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...。

.。

..8分
1+5
t ∴-≤-，
得4t ≥或6,t ≤- ∴
t
的取值范围是
(][)，.....。

....。

.....。

....。

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..。

.....。

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....。

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..。

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.10 -∞-+∞
64,
分。