20239月数学建模c题

20239月数学建模c题
一、选择题（每题3分，共30分）
下列函数中，周期为π的是（）
A. y = sin(2x)
B. y = cos(x/2)
C. y = tan(x/3)
D. y = sin(x) + cos(x)
已知等差数列{an} 的前n项和为Sn，若a1 = 1，a4 = 7，则S5 = （）
A. 15
B. 20
C. 25
D. 30
已知双曲线方程为x^2/9 - y^2/16 = 1，则它的渐近线方程为（）
A. y = ± (4/3)x
B. y = ± (3/4)x
C. x = ± (4/3)y
D. x = ± (3/4)y
二、填空题（每题4分，共20分）
若函数f(x) = x^2 + bx + c 的图象过点(1,0) 和(3,0)，则 b = _______。

在△ABC中，若sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4，则cos C = _______。

若直线l 经过点P(1,2)，且与直线2x - y + 1 = 0 垂直，则直线l 的方程为
_______。

三、解答题（共50分）
1.（10分）解不等式：2x^2 - 5x - 3 < 0。

2.（10分）已知等比数列{an} 的前n项和为Sn，且a1 + a2 = 3，a3 + a4 = 12，求数列{an} 的通项公式。

3.（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：
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{
x = 2 + tcosα
y = 1 + tsinα
}
(t为参数)
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ = 4sinθ。

求直线l 被曲线C 截得的弦长。

4.（10分）设函数f(x) = (1/3)x^3 - x^2 + ax + b (a, b ∈ R)。

（1）若f(x) 在x = 1 处取得极值，求a的值；
（2）若f(x) 在区间[-2,3] 上是减函数，求a的取值范围。

5.（10分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin(A + C) = 2sin B。

（1）求角B的大小；
（2）若b = √7，a + c = 4，求△ABC的面积。