(贵阳专用)中考数学总复习 第1部分 教材同步复习 第六章 圆 课时23 与圆有关的计算真题精练-人

第一部分 第六章 课时23
命题点1 弧长的相关计算
1．(2018·某某)如图，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝4，点C 在半圆上，OC ⊥AB ，垂足为点O ，P 为半圆上任意一点，过P 点作PE ⊥OC 于点E .设△OPE 的内心为M ，连接OM ，PM .
(1)求∠OMP 的度数；
(2)当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，求内心M 所经过的路径长． 解：(1)∵△OPE 的内心为M ，∴∠MOP ＝∠MOC ，∠MPO ＝∠MPE ， ∴∠PMO ＝180°－∠MPO －∠MOP ＝180°－1
2(∠EOP ＋∠OPE )．
∵PE ⊥OC ，即∠PEO ＝90°，
∴∠PMO ＝180°－12(∠EOP ＋∠OPE )＝180°－1
2(180°－90°)＝135°.
(2)如答图，连接CM ，∵OP ＝OC ，OM ＝OM ，∠MOP ＝∠MOC ，
∴△OPM ≌△OCM ， ∴∠CMO ＝∠PMO ＝135°，
∴点M 在以OC 为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上．
当点M 在扇形BOC 内时，过C ，M ，O 三点作⊙O ′，连接O ′C ，O ′O ，在优弧CO 上取点D ，连接DO .
∵∠CMO ＝135°，∴∠CDO ＝180°－135°＝45°， ∴∠CO ′O ＝90°， 而OA ＝2 ， ∴O ′O ＝
22OC ＝2
2
×2＝2，
∴弧OMC 的长为90π×2180＝2
2π.
同理，当点M 在扇形AOC 内时， 弧ONC 的长为
2
2
π， ∴内心M 所经过的路径长为2×
2
2
π＝2π. 命题点2 扇形面积的相关计算
2．(2017·某某)如图，C ，D 是半圆O 上的三等分点，直径AB ＝4，连接AD ，AC ，DE ⊥
AB ，垂足为E ，DE 交AC 于点F .
(1)求∠AFE 的度数；
(2)求阴影部分的面积．(结果保留π和根号) 解：(1)如答图，连接OD ，OC ．
∵C ，D 是半圆O 上的三等分点，∴AD ︵ ＝CD ︵ ＝BC ︵
， ∴∠AOD ＝∠DOC ＝∠COB ＝60°，∴∠CAB ＝30°. ∵DE ⊥AB ，∴∠AEF ＝90°， ∴∠AFE ＝90°－30°＝60°. (2)由(1)知∠AOD ＝60°. ∵OA ＝OD ，AB ＝4，
∴△AOD 是等边三角形，OA ＝2. ∵DE ⊥AO ，∴DE ＝3，
∴S 阴影＝S 扇形AOD －S △AOD ＝60π×22
360－12×2×3＝2
3
π－ 3.
3．(2016·某某)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8.
(1)利用尺规，作∠CAB 的平分线，交⊙O 于点D ；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，连接CD ，OD ，若AC ＝CD ，求∠B 的度数；
(3)在(2)的条件下，OD 交BC 于点E ，求由线段ED ，BE ，BD ︵
所围成区域的面积．(其中
BD ︵
表示劣弧，结果保留π和根号)
解：(1)如答图1，AP 即为所求的∠CAB 的平分线．
答图1
(2)如答图，∵AC ＝CD ，∴∠CAD ＝∠ADC ． ∵∠ADC ＝∠B ，∴∠CAD ＝∠B ．
∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠DAB ＝∠B ． ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ∴∠CAB ＋∠B ＝90°， ∴3∠B ＝90°，∴∠B ＝30°. (3)由(2)得，∠CAD ＝∠BAD ＝30°. ∵∠DOB ＝2∠DAB ，∴∠BOD ＝60°， ∴∠OEB ＝90°.
如答图2 ，连接OD 交BC 于点E ，连接CD ．
答图2
在Rt △OEB 中，OB ＝1
2AB ＝4，
∴OE ＝1
2
OB ＝2，
∴BE ＝OB 2
－OE 2
＝42
－22
＝23， ∴S △OEB ＝12OE ·BE ＝1
2×2×23＝23，
S 扇形BOD ＝60π·42
360＝8π
3
，
∴线段ED ，BE ，BD ︵ 所围成区域的面积为8π
3
－2 3.
4．(2015·某某)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，FO ⊥AB ，垂足为点O ，连接AF 并延长交⊙O 于点D ，连接OD 交BC 于点E ，∠B ＝30°，FO ＝2 3.
(1)求AC 的长度；
(2)求图中阴影部分的面积．(计算结果保留根号)
解：(1)∵OF ⊥AB ，∴∠BOF ＝90°.
∵∠B ＝30°，FO ＝23， ∴OB ＝
OF
tan30°
＝6，AB ＝2OB ＝12.
∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ∴AC ＝1
2
AB ＝6.
(2)由(1)可知AB ＝12，则AO ＝6，即AC ＝AO .
在Rt △ACF 和Rt △AOF 中，⎩
⎪⎨
⎪⎧
AF ＝AF ，
AC ＝AO ，
∴Rt △ACF ≌Rt △AOF (HL)， ∴∠FAO ＝∠FAC ＝30°.
∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ADO ＝30°， ∴∠DOB ＝∠OAD ＋∠ADO ＝60°. 如答图，过点D 作DG ⊥AB 于点G .
∵OD ＝6，∴DG ＝33，
∴S △ACF ＋S △OFD ＝S △AOD ＝1
2×6×33＝93，
即阴影部分的面积是9 3.
5．(2014·某某)如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB ＝60°，连接AO ，BO .
(1)AB ︵
所对的圆心角∠AOB ＝__120°__； (2)求证：PA ＝PB ；
(3)若OA ＝3，求阴影部分的面积． (1)解：120°.
【解法提示】∵PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，
∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝360°－90°－90°－60°＝120°. (2)证明：如答图，连接OP .
在Rt △OAP 和Rt △OBP 中，⎩
⎪⎨
⎪⎧
OA ＝OB ，
OP ＝OP ，
∴Rt △OAP ≌Rt △OBP (HL)，∴PA ＝PB ． (3)解：∵Rt △OAP ≌Rt △OBP ， ∴∠OPA ＝∠OPB ＝1
2∠APB ＝30°.
在Rt △OAP 中，∵OA ＝3，∴AP ＝33， ∴S △OPA ＝12×3×33＝93
2
，
∴S 阴影＝2×932－120π×3
2
360
＝93－3π.。