2020届全国高考数学(文)增分练高考预测卷(二)(附解析)

2020届全国高考数学（文）增分练高考预测卷（二）（附解析）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m<x<5}，若M∩N＝{x|3<x<n}，则m＋n等于( ) A．9 B.8 C．7 D.6
2．若复数z＝1＋i
a－i
(i是虚数单位，a∈R)是纯虚数，则z的虚部为( )
A．1 B.i C．2 D.2i
3．已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是( )
A.3π
20 B.π
20 C.
3π
10 D.
π
10
5．在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，若a＝8，b＝7，B＝60°，则sin C＝( )
A.33
14 B.
53
14 C.
33
14或
53
14 D.
11
14
6．函数f(x)＝
e x＋1
x(e x－1)
的图像大致为( )
7．执行如下图所示的程序框图，若输入的a ，b 分别是2 020，1，则输出的i ＝( )
A ．5 B.6 C ．7 D.8
8．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，官赐金依等次差降之．上三人先入，得金四斤，持出．下三人后入，得金三斤，持出．中间四人未到者，亦依等次更给．问各得金几何？”在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金( )
A ．多1斤 B.少1斤 C ．多13斤 D.少1
3斤
9．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起使D 到达D ′点，当以A ，B ，C ，D ′四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD ′和平面ABC 所成角的大小为( )
A ．90° B.60° C ．45° D.30°
10．已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项a n ＝( )
A ．－3×2n －1 B.3×2n －1 C ．5n ＋3×2n －1 D.5n －3×2n －1
11．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛
⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，f (α)＝－1，f (β)＝1，若|α－β|的最小值为3π4，且f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4，1对称，则函数f (x )的单调递增区间是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π＋2k π，k ∈Z
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋2k π，5π2＋2k π，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π＋3k π，5π2＋3k π，k ∈Z 12．若函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．[2，＋∞) B.[4，＋∞) C ．{4} D.[2,4]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．
14．如下图，∠BAC ＝120°，圆M 与AB 、AC 分别切于点D 、E ，AD ＝1，点P 是圆M 及其内部任意一点，且AP →＝xAD →＋yAE →
(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围为________．
15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为边AB 的中点．将△ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥A 1-DEBC .设线段A 1C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：
①总有BM ∥平面A 1DE ；
②三棱锥C -A 1DE 体积的最大值为42
3； ③存在某个位置，使DE 与A 1C 所成的角为90°. 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)
16．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2
k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|最小时，双曲线的离心率为
________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分
17．(12分)平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝2.
(1)求sin ∠ABD ；(2)若cos ∠BDC ＝1
7，求△BCD 的面积．
18．(12分)某省级示范高中高三年级对考试的评价指标中，有“难度系数”和“区分度”两个指标．其中，难度系数＝
年级总平均分
总分
，
区分度＝实验班的平均分－普通班的平均分
总分
.
(1)在某次数学考试(满分150分)中，从实验班和普通班各随机抽取三人，实验班三人的成绩分别为147分，142分，137分，普通班三人的成绩分别为97分，102分，113分，通过样本估算本次考试的区分度(精确到0.01)．
(2)以下表格是高三年级6次考试的统计数据：
说明，能否利用线性回归模型拟合y 与x 的关系；
②已知t ＝|x －0.74|，求出y 关于t 的线性回归方程，并预报x ＝0.75时y 的值(精确到0.01)．
参考数据：∑i ＝16
x i y i ＝0.930 9,
∑i ＝1
6
(x i －x →
)2
∑i ＝1
6
(y i －y →
)2
≈0.011 2，∑i ＝1
6t i y i ＝0.048 3，∑i ＝1
6
(t i －
t →
)2≈0.007 3.
参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1
n
(x i －x →)(y i －y →
)
∑i ＝1
n
(x i －x →
)2
∑i ＝1
n
(y i －y →
)
2
＝∑i ＝1
n
x i y i －n x →y
→
∑i ＝1
n
(x －x →
)2
∑i ＝1
n
(y i －y →
)2
，线性
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^
＝
∑i ＝1
n
(x i －x →)(y i －y →
)∑i ＝1
n
(x i －x →
)
2
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x →y
→
∑i ＝1
n
(x i －x →
)2
，a ^＝
y →－b ^x →.
19．(12分)(2019·湖南长沙检测)如下图，已知三棱锥P-ABC的平面展开图中，四边形ABCD 2的正方形，△ABE和△BCF均为等边三角形．
(1)求证：平面P AC⊥平面ABC；
(2)求三棱锥P-ABC的表面积和体积．
20．(12分)已知抛物线C：y＝－x2，点A，B在抛物线上，且横坐标分别为－1
2，
3
2，抛物线C
上的点P在A，B之间(不包括点A，点B)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(1)求直线AP的斜率k的取值范围；
(2)求|P A|·|PQ|的最大值．
21．(12分)已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[2，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(10分)(选修4－4：坐标系与参数方程)
已知直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4.
(1)写出直线l 的参数方程的标准形式，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 到点P 的距离．
23．(10分)(选修4－5：不等式选讲) 已知函数f (x )＝x 2－|x |＋3. (1)求不等式f (x )≥3x 的解集；
(2)若关于x 的不等式f (x )－x 2≤⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
x 2＋a 恒成立，求实数a 的取值范围．
2020届全国高考数学（文）增分练高考预测卷（二）（解析版）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m<x<5}，若M∩N＝{x|3<x<n}，则m＋n等于( ) A．9 B.8 C．7 D.6
解析M＝{x|0<x<4}，又N＝{x|m<x<5}，M∩N＝{x|3<x<n}，故m＝3，n＝4，∴m＋n
＝7，选C.
答案 C
2．(2018·唐山二模)若复数z＝1＋i
a－i
(i是虚数单位，a∈R)是纯虚数，则z的虚部为( )
A．1 B.i C．2 D.2i
解析设z＝1＋i
a－i
＝b i(b∈R且b≠0)，
则1＋i＝b＋ab i，∴b＝1.选A.
答案 A
3．(2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析当m与n反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n＝|m·n|，则m·n ＝|m|·|n|·cos〈m，n〉＝|m|·|n|·|cos〈m，n〉|，则cos〈m，n〉＝|cos〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0，即0°≤〈m，n〉≤90°，此时m与n不一定共线，即必要性不成立．故“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D.
答案 D
4．(2019·安徽淮南一模)《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是( )
A.3π
20 B.π
20 C.
3π
10 D.
π
10
解析依题意，直角三角形的斜边长为17.设内切圆半径为r，则由等面积法，可得1 2
×8×15＝1
2×(8＋15＋17)r，解得r＝3，向此三角形内投豆子，豆子落在其内切圆内的概率
是P＝π×32
1
2×8×15＝3π20.
答案 A
5．在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，若a＝8，b＝7，B＝60°，则sin C＝( )
A.33
14 B.
53
14 C.
33
14或
53
14 D.
11
14
解析解法一：8
sin A ＝7
sin60°⇒sin A＝
43
7⇒cos A＝±
1
7.因为sin B＝
3
2
，cos B＝1
2
，sin C＝
sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以当cos A＝1
7
时，sin C＝53
14
；当cos A＝－1
7
时，sin C＝
33
14.故sin C的值为33
14
或53
14.
解法二：设角C的对边为c，由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac cos B⇒49＝64＋c2－8c⇒c
＝3或c＝5.当c＝3时，sin C＝c
b·sin B＝33
14
；当c＝5时，sin C＝c
b·sin B＝
53
14.故sin C的值为
33 14或53
14.
答案 C
6．函数f(x)＝
e x＋1
x(e x－1)
的图像大致为( )
解析由题意，f(－x)＝
e－x＋1
－x(e－x－1)
＝
e x＋1
－x(1－e x)
＝
e x＋1
x(e x－1)
＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，
故f(x)的图像关于y轴对称，排除B，C；当x＝1时，f(1)＝e＋1
e－1
>0，故选A.
答案 A
7．执行如下图所示的程序框图，若输入的a，b分别是2 020，1，则输出的i＝( )
A．5 B.6 C．7 D.8
解析i＝1，a＝2 020＋1，b＝1；
i＝2，a＝2 020＋3，b＝1×2；
……
i＝n，a＝2 020＋n(n＋1)
2
，b＝1×2×3×…×n
当i＝6时，a＝2 020＋21＝2 041，b＝720<a；
当i ＝7时，a ＝2 020＋28＝2 048，b ＝5 040>a . 故输出的i 的值为7. 答案 C
8．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，官赐金依等次差降之．上三人先入，得金四斤，持出．下三人后入，得金三斤，持出．中间四人未到者，亦依等次更给．问各得金几何？”在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金( )
A ．多1斤 B.少1斤 C ．多13斤 D.少1
3斤
解析 等级由高到低的十等人所得黄金由多到少依次记为a 1，a 2，…，a 10，则a 1，a 2，…，a 10成等差数列．由题意得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝4，a 2＝4
3，a 8＋a 9＋a 10＝3a 9＝3，a 9＝1.则a 2－a 9＝43－1＝13，即等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多1
3斤．
答案 C
9．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起使D 到达D ′点，当以A ，B ，C ，D ′四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD ′和平面ABC 所成角的大小为( )
A ．90° B.60° C ．45° D.30°
解析 如下图，当D ′O ⊥平面ABC 时，三棱锥D ′-ABC 的体积最大．
∴∠D ′BO 为直线BD ′和平面ABC 所成的角， ∵在Rt △D ′OB 中，OD ′＝OB ，
∴直线BD ′和平面ABC 所成角的大小为45°. 答案 C
10．已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项a n ＝( )
A ．－3×2n －1 B.3×2n －1 C ．5n ＋3×2n －1 D.5n －3×2n －1
解析 解法一：在递推公式a n ＋1＝2a n ＋3×5n
的两边同时除以5
n ＋1
，得a n ＋15n ＋
1＝25×a n 5n ＋3
5，①
令a n 5n ＝b n ，则①式变为b n ＋1＝25b n ＋35，即b n ＋1－1＝2
5(b n －1)，
所以数列{b n －1}是等比数列，其首项为b 1－1＝a 15－1＝－35，公比为2
5， 所以b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1
，即b n ＝1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1，
所以a n 5n ＝1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1
＝1－3×2n －15n ，
故a n ＝5n －3×2n －1.
解法二：设a n ＋1＋k ·5n ＋1＝2(a n ＋k ×5n )，则a n ＋1＝2a n －3k ×5n ，与题中递推公式比较得k ＝－1，即a n ＋1－5n ＋1＝2(a n －5n )，所以数列{a n －5n }是首项为a 1－5＝－3，公比为2的等比数列，则a n －5n ＝－3×2n －1，故a n ＝5n －3×2n －1.故选D 项．
答案 D
11．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛
⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，f (α)＝－1，f (β)＝1，若|α－β|的最小值为3π4，
且f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4，1对称，则函数f (x )的单调递增区间是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π＋2k π，k ∈Z
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋2k π，5π2＋2k π，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π＋3k π，5π2＋3k π，k ∈Z 解析 由题设条件可知f (x )的周期T ＝4|α－β|min ＝3π，所以ω＝2πT ＝2
3，又f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1对称，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，即sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23×π4＋φ＝0.
因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
23x －π6＋1，再由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈
Z ，得－π
2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z .
答案 B
12．若函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．[2，＋∞) B.[4，＋∞) C ．{4} D.[2,4] 解析 f ′(x )＝3ax 2－3，
当a ≤0时，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；
当0＜a ≤1时，f ′(x )＝3ax 2
－3＝3a ·
⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ，f (x )在[－1,1]上为减函数， f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；
当a ＞1时，f (－1)＝－a ＋4≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a ＝－2a ＋1≥0，解得a ＝4.综上所述，a ＝4.
答案 C
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．
解析 f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， ∵f (x )在x ＝2处有极大值， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
f ′(2)＝0，f ′(x )＜0 (x ＞2)，f ′(x )＞0 (x ＜2).解得c ＝6.
答案 6
14．如下图，∠BAC ＝120°，圆M 与AB 、AC 分别切于点D 、E ，AD ＝1，点P 是圆M 及其内部任意一点，且AP →＝xAD →＋yAE →
(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围为________．
解析
如下图，记平行于直线DE ，且与圆相切的直线分别为NQ 和BF ，则x ＋y 的最大
值为AB AD ＝4＋23，x ＋y 的最小值为AN
AD ＝4－2 3.
答案 [4－23，4＋23]
15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为边AB 的中点．将△ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥A 1-DEBC .设线段A 1C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：
①总有BM ∥平面A 1DE ；
②三棱锥C -A 1DE 体积的最大值为42
3； ③存在某个位置，使DE 与A 1C 所成的角为90°. 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)
解析 取DC 的中点为F ，连接FM ，FB ， 如图所示，可得MF ∥A 1D ，FB ∥DE ，
可得平面MBF ∥平面A 1DE ， 所以BM ∥平面A 1DE ，所以①正确；
当平面A 1DE 与底面ABCD 垂直时，三棱锥C -A 1DE 的体积取得最大值，最大值为13×12A 1D ×A 1E ×EC ＝13×12×2×2×22＝4
32，所以②正确；
假设存在某个位置，使DE 与A 1C 所成的角为90°，因为DE ⊥EC ，所以DE ⊥平面A 1EC ，
可得DE ⊥A 1E ，即AE ⊥DE ，与已知条件矛盾，所以③不正确．故答案为①②. 答案 ①②
16．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2
k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|最小时，双曲线的离心率为
________．
解析 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，
由题意知，点A ，B 为过原点的直线与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的交点， ∴由双曲线的对称性，得A ，B 关于原点对称， ∴B (－x 1，－y 1)，
∴k 1k 2＝y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝y 22－y 2
1
x 22－x 21
，
∵点A ，C 都在双曲线上， ∴x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22
b 2＝1， 两式相减，可得k 1k 2＝b 2
a 2>0，
对于2k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|＝2
k 1k 2＋ln|k 1k 2|，
设函数y ＝2
x ＋ln x ，x >0， 由y ′＝－2x 2＋1
x ＝0，得x ＝2，
当x >2时，y ′>0，当0<x <2时，y ′<0， ∴当x ＝2时，函数y ＝2
x ＋ln x ，x >0取得最小值， ∴当2k 1k 2
＋ln(k 1k 2)最小时，k 1k 2＝b 2
a 2＝2，
∴e ＝
1＋b 2
a 2＝ 3.
答案 3
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分
17．(12分)平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝2.
(1)求sin ∠ABD ；
(2)若cos ∠BDC ＝1
7，求△BCD 的面积．
解析 (1)在△ABD 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝2，
由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝9＋4－6＝7，所以BD ＝7，(2分)
由正弦定理，得BD sin A ＝AD sin ∠ABD
，(4分)
所以sin ∠ABD ＝AD ·sin A BD ＝2×32
7＝37＝21
7.(6分)
(2)因为AB ⊥BC ，所以∠ABC ＝90°，
所以cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝37，所以sin ∠DBC ＝2
7 .
因为cos ∠BDC ＝17，所以sin ∠BDC ＝43
7.(8分) 所以sin C ＝sin(π－∠BDC －∠DBC ) ＝sin(∠BDC ＋∠DBC )
＝sin ∠BDC cos ∠DBC ＋cos ∠BDC sin ∠DBC
＝437×37＋17×27＝2
7
.(10分)
所以sin ∠DBC ＝sin C ，所以∠DBC ＝∠C ， 所以DC ＝BD ＝7，
所以S △BCD ＝12DC ·BD ·sin ∠BDC ＝12×7×7×43
7＝2 3.(12分)
18．(12分)某省级示范高中高三年级对考试的评价指标中，有“难度系数”和“区分度”两个指标．其中，难度系数＝
年级总平均分
总分
，
区分度＝实验班的平均分－普通班的平均分
总分
.
(1)在某次数学考试(满分150分)中，从实验班和普通班各随机抽取三人，实验班三人的成绩分别为147分，142分，137分，普通班三人的成绩分别为97分，102分，113分，通过样本估算本次考试的区分度(精确到0.01)．
(2)以下表格是高三年级6次考试的统计数据：
说明，能否利用线性回归模型拟合y 与x 的关系；
②已知t ＝|x －0.74|，求出y 关于t 的线性回归方程，并预报x ＝0.75时y 的值(精确到0.01)．
参考数据：∑i ＝16
x i y i ＝0.930 9,
∑i ＝1
6
(x i －x →
)2
∑i ＝1
6
(y i －y →
)2
≈0.011 2，∑i ＝1
6t i y i ＝0.048 3，∑i ＝1
6
(t i －
t →
)2≈0.007 3.
参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1
n
(x i －x →)(y i －y →
)
∑i ＝1
n
(x i －x →
)2
∑i ＝1
n
(y i －y →
)
2
＝∑i ＝1
n
x i y i －n x →y
→
∑i ＝1
n
(x －x →
)2
∑i ＝1
n
(y i －y →
)2
，线性
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^
＝
∑i ＝1
n
(x i －x →)(y i －y →
)∑i ＝1
n
(x i －x →
)
2
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x →y
→
∑i ＝1
n
(x i －x →
)2
，a ^＝
y →－b ^x →
.
解析 (1)易求得实验班三人成绩的平均分为147＋142＋137
3＝142(分)，
普通班三人成绩的平均分为97＋102＋113
3＝104(分)，
所以区分度为142－104
150≈0.25.(3分) (2)①由表格数据知，
x →＝0.64＋0.71＋0.74＋0.76＋0.77＋0.826
＝0.74， y →＝
0.18＋0.23＋0.24＋0.24＋0.22＋0.15
6
＝0.21，
r ＝
∑i ＝1
6
x i y i －n x →y
→
∑i ＝1
6
(x i －x →
)2∑i ＝1
6
(y i －y →
)2
≈
0.930 9－6×0.74×0.21
0.011 2≈－0.13，
故|r |<0.75，相关性较弱．(6分)
综上可知，不能利用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(7分) ②y 与t 的值如下表：
则b ^＝
∑i ＝1
6
t i y i －n t →y →
∑i ＝1
6
t i －t
→
2
≈0.048 3－6×0.26
6×0.210.007 3
≈－0.86，
a ^＝y ^－
b ^t →
＝0.21＋0.86×0.266≈0.25.
故所求回归方程为y ＝－0.86t ＋0.25，(11分) 当x ＝0.75时，t ＝0.01，所以y ≈0.24.(12分)
19．(12分)(2019·湖南长沙检测)如下图，已知三棱锥P -ABC 的平面展开图中，四边形ABCD 2的正方形，△ABE 和△BCF 均为等边三角形．
(1)求证：平面P AC ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥P -ABC 的表面积和体积．
解析 (1)证明：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO ，如图．
由题意，得P A ＝PB ＝PC ＝2，又AC ＝AB 2＋BC 2＝2，所以PO ＝1，AO ＝BO ＝CO ＝
1.(2分)
因为在△P AC 中，P A ＝PC ，O 为AC 的中点，所以PO ⊥AC .(3分) 因为在△POB 中，PO ＝1，OB ＝1，PB ＝2，所以PO 2＋OB 2＝PB 2， 所以PO ⊥OB .(5分)
又因为AC ∩OB ＝O ，AC ，OB ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC
.
又PO ⊂平面P AC ，所以平面P AC ⊥平面ABC .(7分)
(2)三棱锥P -ABC 的表面积S ＝2×2＋2×3
4×(2)2＝2＋ 3.(9分)
由(1)知，PO ⊥平面ABC ，所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PO ＝13×1
2×2×2×1＝1
3.(12分)
20．(12分)已知抛物线C ：y ＝－x 2，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为－12，3
2，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间(不包括点A ，点B )，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .
(1)求直线AP 的斜率k 的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．
解析 (1)由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2，－94，
设P (x P ，－x 2P
)，－12<x P <3
2，
所以k ＝
－x 2P ＋14
x P ＋12
＝－x P ＋1
2∈(－1,1)， 故直线AP 的斜率k 的取值范围是(－1,1)．(4分) (2)直线AP ：y ＝kx ＋12k －1
4， 直线BQ ：x ＋ky ＋94k －3
2＝0， 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋12k －1
4，x ＋ky ＋94k －3
2＝0，可知，
点Q 的横坐标为x Q ＝
3－4k －k 22k 2
＋2
，(5分)
|PQ |＝
1＋k 2(x Q －x P )
＝1＋k 2⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫3－4k －k 22k 2＋2＋k －12 ＝(k －1)2(1＋k )
1＋k 2，(6分)
|P A |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x P ＋12＝1＋k 2(1－k )，(7分)
所以|P A |·|PQ |＝(1－k )3(1＋k )，(8分)
令f (x )＝(1－x )3(1＋x )，－1<x <1，
则f ′(x )＝(1－x )2(－2－4x )＝－2(1－x )2(2x ＋1)，
当－1<x <－12时，f ′(x )>0，
当－12<x <1时，f ′(x )<0，
故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，1上单调递减． 故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝2716， 即|P A |·|PQ |的最大值为2716.(12分)
21．(12分)已知f (x )＝ax 2(a ∈R )，g (x )＝2ln x .
(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；
(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不相等的解，求a 的取值范围．
解析 (1)F (x )＝ax 2－2ln x ，
其定义域为(0，＋∞)，
所以F ′(x )＝2ax －2x ＝2(ax 2－1)x
(x ＞0)．(1分) ①当a ＞0时，由ax 2－1＞0，得x ＞
1a ， 由ax 2－1＜0，得0＜x ＜1a ，
故当a ＞0时，F (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，在区间⎝
⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减．(3分) ②当a ≤0时，F ′(x )＜0(x ＞0)恒成立．
故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．(4分)
(2)原式等价于方程a ＝2ln x x 2在区间[2，e]上有两个不等解．(5分) 令φ(x )＝2ln x x 2，由φ′(x )＝2x (1－2ln x )x 4
易知，φ(x )在(2，e)上为增函数，在(e ，e)上为减函数， 则φ(x )max ＝φ(e)＝1e ，(7分)
而φ(e)＝2e 2，φ(2)＝ln 22.
由φ(e)－φ(2)＝2e 2－ln 22＝4－e 2ln 22e 2＝ln e 4－ln 2e 22e 2＜ln 81－ln 272e 2
＜0，
所以φ(e)＜φ(2)．
所以φ(x )min ＝φ(e)，(9分) 如图可知φ(x )＝a 有两个不相等的解时，需ln 22≤a ＜1e .
即f (x )＝g (x )在[2，e]上有两个不相等的解时a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫ln 22，1e .(12分) (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(10分)(选修4－4：坐标系与参数方程) 已知直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程的标准形式，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；
(2)若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 到点P 的距离．
解析 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos π6，
y ＝2＋t sin π6，
即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，
y ＝2＋t 2(t 为参数，t ∈R )．
由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－π4， 得ρ＝2cos θ＋2sin θ，
∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，
∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ，
∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(5分)
(2)把⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝2＋t 2代入(x －1)2＋(y －1)2＝2得，
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t －12＋⎝
⎛⎭⎪⎫2＋t 2－12＝2， 整理得t 2＋t －1＝0，
Δ＝5>0，t 1＋t 2＝－1，
∴|MP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝12
.(10分) 23．(10分)(选修4－5：不等式选讲)
已知函数f (x )＝x 2－|x |＋3.
(1)求不等式f (x )≥3x 的解集；
(2)若关于x 的不等式f (x )－x 2≤⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x 2＋a 恒成立，求实数a 的取值范围．
解析 (1)当x ≥0时，f (x )＝x 2－x ＋3≥3x ，
即x 2－4x ＋3≥0，
解得x ≥3或x ≤1，所以x ≥3或0≤x ≤1；
当x <0时，f (x )＝x 2＋x ＋3≥3x ，
此不等式x 2－2x ＋3≥0恒成立，所以x <0.
综上所述，原不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤1}．(5分)
(2)f (x )－x 2≤⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x 2＋a 恒成立， 即－|x |＋3≤⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x 2＋a 恒成立， 即⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x 2＋a ＋|x |≥3恒成立， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋|x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x 2 ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a －x 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＝|a |＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x 2≥|a |， 当且仅当x ＝0时，等号成立，
∴|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3.
故实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(10分)。