-cotx的原函数

-cotx的原函数
cotx是三角函数的一种常见形式，表示余切函数，其定义域为x≠kπ（k∈Z），也就是说，当x=kπ时，其值不存在。

而这一函数的导数为−csc^2x，也就是余割平方函数，因此，我们需要求出cotx的原函数，才能进行积分运算。

cotx的积分公式为：∫cotxdx=ln|sinx|+C（C为常数）
其中，ln表示自然对数函数，|sinx|表示绝对值。

可以用导数验证，其导数为cotx。

求cotx的原函数的方法有很多种，我们在下面介绍其中较为常用的几种方法。

方法一：利用对数函数的性质
cotx的倒数函数是tanx，我们知道：∫tanx dx=-ln|cosx|+C。

如果将这个式子中的cosx换成sinx，就可以求得cotx的原函数：
∫cotxdx=∫(cosx/sinx)dx=-ln|cosx|+C=-ln|sinx/cosx|+C=-ln|sinx|+ln|cosx|+C=ln| sinx|−ln|cosx|+C=ln|sinx|/|cosx|+C
∵|cosx|与cosx同号，∴|cosx|/cosx=sgn(cosx)
方法二：利用换元法
将cotx转换成对sinx的表达式，用u=sinx进行代换，即：u=sinx，du=cosxdx
则∫cotxdx=∫cosx/sinx dx
令y=cosx，dy=-sinxdx
则∫cotxdx=∫-dy/u=-ln|u|+C=-ln|sinx|+C
方法三：利用复合函数积分法
cotx可以看做是1/tanx，而tanx又可以看做是sinx/cosx，因此，将cotx带入复合函数积分法中即可：
其中，secx表示secant函数，即余割函数的倒数。

方法四：利用级数展开
cotx可以按照级数展开的形式表示为：
cotx=1/(tanx)=1/∑(n=0, +∞)(-1)^n*(2n+1)*x^(2n+1)/(2n+1)!
则
∫cotxdx=∫1/∑(n=0, +∞)(-1)^n*(2n+1)*x^(2n+1)/(2n+1)!dx=∑(n=0,
+∞)∫x^(2n+1)/[(2n+1)*(-1)^n*(2n+1)!]dx=∑(n=0,
+∞)-1/[(2n+1)*(-1)^n*(2n+1)!]x^(2n+2)/(2n+2)+C
这种方法比较麻烦，一般情况下不太适用。

总结
以上四种方法可以求得cotx的原函数，其中对数函数的性质和复合函数积分法是最为常用的方法，可根据实际情况选取。

需要注意的是，由于cotx定义域中有一个除数为零的点，因此在积分时需要避开该点，以免出现无解或无限大等不合法的结果。