高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.2.2 椭圆的几何性质》4

课题：椭圆的几何性质
授课教师：何晓勤
教材：苏教版高中数学选修2-1第二章第2节〔〕【教学目标】
1给定椭圆标准方程，能说出椭圆的范围，对称性，顶点坐标和离心率；在图形中，能清晰解释椭圆标准方程中a,b,c,e的几何意义及其相互关系2通过方程研究椭圆的几何性质，让学生感受到解析几何的目的——代数法研究几何问题；对椭圆的几何性质从数和形两个角度进行分析，让学生进一步体会数形结合思想的应用；通过设置思考探究问题和填表，让学生体会类比法的应用
3合作讨论突破难点，培养学生合作意识；通过对椭圆对称性及离心率对椭圆形状影响的研究，让学生感受到数学美；培养学生用数学家的眼光看数学、学数学的数学思维
【教学重点、难点】
1重点：椭圆的几何性质；用方程研究椭圆上点的横、纵坐标范围及对称性
2难点：用方程研究椭圆的范围和对称性及离心率的引入
【教学方法与教学手段】
1思考问题引导学生探究式法，活动和探究相结合，引发积极思考
2利用现代教学手段，关注教学内容与现代教育手段的合理整合利用几何画板软件感受动态过程，利用实物投影仪投影学生的作图情况，提高课堂效率
3在研究范围和离心率时，学生自主探究与合作讨论相结合突破重、难点
【教学过程】
一问题情境
问题1：前面学习了椭圆的哪些知识？接下来要研究什么？
【设计意图】从数学的内部提出问题，引导学生回忆椭圆的定义和方程，并引出今天的研究任务——椭圆的几何性质
问题2：如何研究椭圆的几何性质呢？研究椭圆的哪些性质呢？
【设计意图】学生可能会说“画图→观察→猜测→证明〞，给予肯定突出本节课的研究方法为解析法，即通过方程来研究椭圆的性质明确研究的目标，从椭圆的范围和形状出发进行研究
二构建数学
1椭圆的范围
思考1：椭圆的范围是指什么？如何通过方程研究其范围？
预案一：利用和的特点，即：设P,是椭圆上任意一点，由可得=1﹣≤1，即-a≤≤≤≤b
预案二：与函数定义域和值域联系，
预案三：观察方程的形式，由联系到〕
学生活动：画出不等式组表示的平面区域，通过形体验椭圆的范围
由此可见，椭圆位于直线=±a和=±b所围成的矩形区域〔含边界〕内研究了范围给我们带来了好处，如：该椭圆在该矩形框内，方便于画图【设计意图】学生观察方程形式特点，利用方程去说明范围，能体会到方程研究性质的应用，同时通过作图加以体验
2椭圆的对称性
问：椭圆方程还有什么特点呢？
思考2：在椭圆方程中，把换成-方程是否改变？这说明什么？
指明图形对称的本质是点的对称，在学生答复过程中，强调“任意取一点〞，并引导学生从方程角度判断曲线的对称性
椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
【设计意图】用代数法判断对称性具有相当难度，老师适当引导，突出“任意取一点〞，让学生感知如何通过方程来研究椭圆的对称性，并让学生体会到用方程判断曲线对称性的好处
3椭圆的顶点
思考3：从方程角度来看，你能否得到椭圆的一些特殊点？它们的坐标是什么？
指出轴和轴为该椭圆的对称轴，这四个交点为椭圆的顶点；指出长轴长，短轴长和长半轴长，短半轴长
由于坐标轴为椭圆的对称轴，我们把椭圆与其对称轴的交点成为椭圆的顶点
【设计意图】让学生明确椭圆方程中的几何意义；让学生明白求两曲线的交点坐标即为求两曲线方程构成的方程组的解
学生活动：利用描点法作出椭圆
【设计意图】通过实际具体的椭圆，运用几何性质作图，进一步体会数形结合思想
4椭圆的离心率
思考4：所有的圆都是相似的，那椭圆呢？〔椭圆有的比拟“圆〞，有的比拟“扁〞〕从方程角度看，用什么量来刻画椭圆的“扁〞的程度呢？学生探究
同学说用的大小衡量椭圆的圆扁程度，给予肯定〕为什么采用来刻画椭圆的扁平程度？a和c是椭圆定义中的原始量，另外也为了后边研究圆锥曲
线的统一定义的方便
椭圆的离心率的定义：焦距与长轴长的比值，即e ==∈0,1
思考5：离心率e的大小如何影响椭圆“扁〞的程度呢？
先独立思考，再小组合作探究
学生猜测：离心率越小，椭圆越接近于圆；离心率越大，椭圆越扁
实验：用几何画板验证上述猜测的正确性
思考6：长轴A1A2和短轴B1B2，怎样确定椭圆的焦点？
【设计意图】让学生熟知椭圆的焦点到短轴的端点的距离为长半轴长学生活动：填下表：
【设计意图】通过填表，一方面让学生稳固刚学椭圆的性质；另一方面让学生类比已有的知识，研究椭圆的性质
三数学应用
例题求以下椭圆的长轴长,短轴长，离心率，焦点坐标和顶点坐标：1；2
【设计意图】稳固学生对研究椭圆几何性质的方法的掌握；学会研究椭
圆的几何性质；学会先通过方程研究曲线的几何性质
四回忆反思
本节课有何收获？
1知识
椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率
对椭圆知识的学习过程：定义→方程→几何性质
2方法
数形结合思想
华罗庚：数缺形时少直观，形少数时难入微
五分层作业
1必做局部：课本P37习题2 第1，2，3，4，5，8题
2选做局部：收集有关笛卡尔与解析几何，费马与解析几何的资料，了解与本节课有关的数学史知识，撰写数学小论文
【教学设计说明】
用代数方法研究几何问题是解析几何的核心思想，本课的设计始终围绕这条主线出发，椭圆的所有几何性质都是通过椭圆的方程研究出来的，研究过程中充分表达了椭圆的几何性质在“数〞和“形〞上的本质联系，并通过学生作图加以体验，让学生进一步体会数形结合思想
用方程研究椭圆的范围时，通过引导学生观察方程的形式特征，学生独立思考和小组合作相结合，此时学生发现了多种方法，特别函数法的出现，更加激起了学生用方程研究性质的兴趣同时，结合图形加以说明研究对称性时，用代数法说明具有相当的难度，所以设计思考问题“在椭圆方程中，把换成-方程是否改变？这说明什么？〞一方面引导学生从代数
上研究椭圆的对称性，另一方面让学生明白“图形对称的本质是构成图形的点的对称性〞，让学生理解关键是椭圆上“任意取一点〞轴对称之后，启发学生用类似的方法自主推导出椭圆的其它对称性并揭示对称性在作图中的应用研究顶点时，设计问题“从方程上看，椭圆上有没有一些比拟特殊的点？它们的坐标是什么？〞这样做使学生理解得更自然和深刻并引出长轴、短轴的概念，理解椭圆方程中的a,b的几何意义，并在图形中加以说明探究离心率时，提出“所有的圆都是相似的，椭圆呢？〞，进而提出思考“用什么量可以刻画椭圆的‘扁’的程度？如何影响的？〞同时，通过几何画板验证学生猜测的结论，培养学生严谨的学习态度
通过学生活动和例题稳固学生对研究椭圆几何性质的方法的掌握，让学生学会先通过方程研究曲线的几何性质，再运用几何性质解决有关问题〔如作图等〕，进一步体会数形结合思想
在课堂小结时，注意让学生总结研究的方法，并强调这是解析几何问题的一般方法，在后面的学习中还会继续用作业设计方面做到分层，特别是布置搜集笛卡尔、费马与解析几何有关的数学史料，并撰写小论文，让学生体会数学文化的魅力。