湖北省孝感市八校教学联盟2024届高一数学第二学期期末调研试题含解析

湖北省孝感市八校教学联盟2024届高一数学第二学期期末调研
试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．设M 和m 分别表示函数1
1cos 3
y x =-+的最大值和最小值，则M m +等于（ ） A ．
2
3
B ．23
-
C ．2-
D ．3
4
-
2．直线310x y --=的倾斜角大小（ ） A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 3．已知数列{}n a 满足120n n a a ++=，21a =，则数列{}n a 的前10项和10S 为（ ） A ．
()10
4213
- B ．
()10
4213
+ C ．
()10
4213
-- D ．
()104
123
-- 4．执行如图所示的程序框图,若输入的6n =，则输出S =
A ．
5
14
B ．
13
C ．
2756
D ．
310
5．已知如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上异于其中点的动点，Q 为棱
1AA 的中点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，以下关系中正确的是（ ）
A ．1//m D Q
B ．1m Q B ⊥
C ．//m 平面11B
D Q
D ．m ⊥平面11ABB A
6．已知圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆22
2:(3)(4)9C x y -+-=，,M N 分别为圆
12,C C 上的点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值为( )
A ．17
B 171
C ．622-
D ．524
7．在ABC ∆中，若30A =︒，4BC =，42AC =B 的大小为（ ） A ．30°
B ．45°或135°
C ．60°
D ．135°
8．将函数cos sin y x x =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到cos 2sin 2y x x =+的图像，则,a ϕ的可能取值为（ ） A ．,22
a π
ϕ=
= B ．3,28
a π
ϕ=
= C ．31,82
a πϕ=
= D ．1
,2
2
a π
ϕ=
=
9．设()f x 是周期为4的奇函数，当01x ≤≤时，()()1f x x x =+，则92f ⎛⎫
-
=
⎪⎝⎭
（ ） A ．3
4
-
B ．14
-
C ．
14
D ．
34
10．已知a ,b ,R c ∈,且a b >,0c >,则( ) A ．ac bc >
B ．ac bc <
C ．22a b >
D ．22a b <
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AA 、AB 的中点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.
12．假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值每年的年增长率均为常数r ，则r =______.（精确到0.1%）（参考数据1
102 1.072≈） 13．函数
的定义域是_______________.
14．若点()1,1A a a -+，(),B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的方程为________.
15．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5
10119122a a a a e +=，则
1220ln ln ln a a a +++等于__________．
16．在四面体ABCD 中，AD ⊥平面ABC ，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，若四面体ABCD 的外接球的表面积为16π，则四面体ABCD 的体积为_______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知ABC 为等边角形，2AB =.点N M 、满足AN AB λ=，()1AM AC λ=-，
R λ∈.设,AC a AB b ==.
()1试用向量a 和b 表示,BM CN ;
()2若3
·
2
BM CN =-,求λ的值. 18．已知两点(4,3)A -，(3,2)B . （1）求直线AB 的方程；
（2）直线l 经过(0,1)P -，且倾斜角为
4
π
，求直线l 与AB 的交点坐标. 19．如图，某地三角工厂分别位于边长为2的正方形ABCD 的两个顶点,A B 及CD 中点M 处.为处理这三角工厂的污水，在该正方形区域内（含边界）与,A B 等距的点O 处建一个污水处理厂，并铺设三条排污管道,,AO BO MO ，记辅设管道总长为y 千米.
（1）按下列要求建立函数关系式： （i ）设BAO θ∠=，将y 表示成θ的函数； （ii ）设2MO x =-，将y 表示成x 的函数；
（2）请你选用一个函数关系，确定污水厂位置，使铺设管道总长最短. 20．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知
2
23cos cos 222
C A a c b += （Ⅰ）求证：a b c 、、成等差数列； （Ⅱ）若,433
B S π
=
=，求b .
21．请你帮忙设计2010年玉树地震灾区小学的新校舍，如图，在学校的东北力有一块地，其中两面是不能动的围墙，在边界OAB 内是不能动的一些体育设施．现准备在此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地，问如何设计，才能使教学楼的面积最大？
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C 【解题分析】
根据余弦函数cos y x =的值域，确定出1
1cos 3
y x =-+的最大值和最小值，即可计算出M m +的值. 【题目详解】
因为cos y x =的值域为[]1,1-，
所以1
1cos 3
y x =-+的最大值121133M =-+⨯=-，
所以1
1cos 3
y x =-+的最小值()141133m =-+⨯-=-，
所以24233M m ⎛⎫⎛⎫
+=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查余弦型函数的最值问题，难度较易.求解形如()cos 0y a x b a =+≠的函数的值域，注意借助余弦函数的有界性进行分析. 2、B 【解题分析】
化简得到1y =-
，根据tan k θ==.
【题目详解】
10y --=
，即1y =-
，tan k θ==[)0,θπ∈，故3
πθ=
.
故选：B . 【题目点拨】
本题考查了直线的倾斜角，意在考查学生的计算能力. 3、C 【解题分析】
由120n n a a ++=判断出数列{}n a 是等比数列，再求出1a ，利用等比数列前n 项和公式求解即可. 【题目详解】
由120n n a a ++=，得11
2
n n a a +=- ， 所以数列{}n a 是以1
2
q =-
为公比的等比数列，
又21a =，所以2
12a a q
=
=-， 由等比数列前n 项和公式，()()101011100
1242131121112a q S q -⎡⎤⎛⎫---⎢⎥
⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===-⎛⎫
- ⎪⎝⎭
--. 故选：C 【题目点拨】
本题主要考查等比数列的定义和等比数列前n 项和公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题. 4、B 【解题分析】
首先确定流程图所实现的功能，然后利用裂项求和的方法即可确定输出的数值. 【题目详解】
由流程图可知，程序输出的值为：1111023344556
S =++++⨯⨯⨯⨯， 即1111111123344556S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111263=-=. 故选B . 【题目点拨】
本题主要考查流程图功能的识别，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5、C 【解题分析】
根据正方体性质，以及线面平行、垂直的判定以及性质定理即可判断. 【题目详解】
因为在正方体1111ABCD A B C D -中，11//D B BD ，且11D B ⊄平面BDP ，BD ⊂平面
BDP ，
所以11//D B 平面BDP ，因为11D B ⊂平面11B D P ，且平面11B D P 平面BDP m =，
所以有11//m D B ，而1111D Q
D B D =，则m 与1D Q 不平行，故选项A 不正确；
若1m Q B ⊥，则111B Q D B ⊥，显然1B Q 与11D B 不垂直，矛盾，故选项B 不正确； 若m ⊥平面11ABB A ，则11D B ⊥平面11ABB A ，显然与正方体的性质矛盾，故D 不正
确；
而因为11D B ⊂平面11B D P ，m ⊄平面11B D P ， 所以有//m 平面11B D P ，所以选项C 正确，. 【题目点拨】
本题考查了线线、线面平行与垂直的关系判断，属于中档题. 6、D 【解题分析】
求出圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得||||PM PN +的最小值，得到答案． 【题目详解】
如图所示，圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标3(2,)A -，半径为1， 圆2C 的圆心坐标为(3,4),，半径为3，
由图象可知，当,,P M N 三点共线时，||||PM PN +取得最小值， 且||||PM PN +的最小值为圆3C 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径之和， 即22231(32)(34)4524AC --=-+---=-， 故选D ．
【题目点拨】
本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题． 7、B
利用正弦定理得到答案. 【题目详解】 在ABC ∆中
正弦定理：4sin 45sin 30B B =⇒=⇒=︒︒或135︒
故答案选B 【题目点拨】
本题考查了正弦定理，属于简单题. 8、D 【解题分析】
由题意结合辅助角公式有：cos sin 4y x x x π⎛
⎫=-=
+ ⎪⎝
⎭，
将函数y cosx sinx =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，
所得函数的解析式为：4y x πϕ⎛
⎫=
-+ ⎪⎝
⎭，
再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，
所得函数的解析式为：1
4y x a
πϕ⎛⎫=
-+ ⎪⎝⎭，
而cos 2sin 224y x x x π⎛
⎫=+=
- ⎪⎝
⎭，
据此可得：1244a ππϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，据此可得：12
2a πϕ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩. 本题选择D 选项. 9、A 【解题分析】
9911113412222224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫-==-+=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
. 故选A. 10、A
利用不等式的基本性质以及特殊值法，即可得到本题答案. 【题目详解】
由不等式的基本性质有，,0a b c ac bc >>⇒>，故A 正确，B 不正确；当2,2
a b ==-时，a b >，但22a b =，故C 、D 不正确. 故选：A 【题目点拨】
本题主要考查不等式的基本性质，属基础题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
π3
【解题分析】
将所求两条异面直线平移到一起，解三角形求得异面直线所成的角. 【题目详解】
连接11,A B BC ，根据三角形中位线得到1//EF A B ，所以11BA C ∠是异面直线EF 与
11A C 所成角.在三角形11A BC 中，1111A B BC AC ==,所以三角形11A BC 是等边三角形，
故11π
3
BAC ∠=. 故填：
π3
.
【题目点拨】
本小题主要考查异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力，属于基础题. 12、7.2% 【解题分析】
根据题意，设10年前的国民生产总值为a ，则10年后的国民生产总值为2a ，结合题
意可得10(1)2a r a +=，解可得r 的值，即可得答案． 【题目详解】
解：根据题意，设10年前的国民生产总值为a ，则10年后的国民生产总值为2a ， 则有10(1)2a r a +=， 即10(1)2r +=， 解可得：0.072r ≈， 故答案为：7.2%． 【题目点拨】
本题考查函数的应用，涉及指数、对数的运算，关键是得到关于r 的方程，属于基础题． 13、
【解题分析】 解方程即得函数的定义域. 【题目详解】 由题得，解之得
故答案为.
【题目点拨】
本题主要考查正切型函数的定义域的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 14、10x y -+= 【解题分析】
利用直线垂直求出对称轴斜率，利用中点坐标公式求出中点，再由点斜式可得结果. 【题目详解】 求得111AB a a
k a a
+-=
=---，
∵点()1,1A a a -+，(),B a a 关于直线l 对称， ∴直线l 的斜率1， 直线l 过AB 的中点2121,2
2a a -+⎛⎫
⎪⎝⎭，
∴直线l 的方程为212122a a y x +-⎛⎫-
=- ⎪⎝
⎭，
即10x y -+=.
故答案为：10x y -+=.
【题目点拨】
本题主要考查直线垂直的性质，考查了直线点斜式方程的应用，属于基础题. 15、50
【解题分析】
由题意可得51011912a a a a e ==，
1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+=105012
1920110ln()ln()ln 50a a a a a a e ===，填50.
16 【解题分析】
易得四面体ABCD 为长方体的一角,再根据长方体体对角线等于外接球直径,再利用对角线公式求解即可.
【题目详解】
因为四面体ABCD 中,AD ⊥平面ABC ,且2AB AC ==,90BAC ∠=︒.故四面体ABCD 是以A 为一个顶点的长方体一角.设AD h =则因为四面体ABCD 的外接球的表面积为16π,设其半径为R ,故()()22222422216S R R h ππππ===++=.解得
h =
故四面体ABCD 的体积2112323
V =⨯⨯⨯=.
故答案为：3
【题目点拨】
本题主要考查了长方体一角的四面体的外接球有关问题,需要注意长方体体对角线等于外接球直径.属于中档题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1) ()1?
BM a b λ=--；CN b a λ=- ；(2) 12
. 【解题分析】 （1）根据向量线性运算法则可直接求得结果；（2）根据（1）的结论将已知等式化为
()()2231112
a b a b λλλλ⎡⎤-+⋅---=-⎣⎦；根据等边三角形边长和夹角可将等式变为关于λ的方程，解方程求得结果.
【题目详解】
（1）()()11BM AM AB AC AB a b λλ=-=--=--
CN AN AC AB AC b a λλ=-=-=-
（2）
()()
()()22311112BM CN a b b a a b a b λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⋅=--⋅-=-+⋅---=-⎣⎦⎣⎦ ABC 为等边三角形且2AB = 2a b ∴==，,60a b <>=
()()()()223111114cos604142
a b a b λλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤∴-+⋅---=-+⨯---=-⎣⎦⎣⎦
即：()22441210λλλ-+=-=，解得：12λ=
【题目点拨】
本题考查平面向量线性运算、数量积运算的相关知识；关键是能够将等式转化为已知模长和夹角的向量的数量积运算的形式，根据向量数量积的定义求得结果.
18、（1）7170x y +-=；（2）()3,2.
【解题分析】
（1）根据A 、B 两点的坐标，得到斜率，再由点斜式得到直线方程；
（2）根据l 的倾斜角和过点P ，得到l 的方程，再与直线AB 联立，得到交点坐标.
【题目详解】
（1）因为点(4,3)A -，(3,2)B ，
所以()231347
AB k -==---， 所以AB 方程为()1237
y x -=-
-， 整理得7170x y +-=； （2）因为直线l 经过(0,1)P -，且倾斜角为4
π， 所以直线l 的斜率为tan 14
πk ==， 所以l 的方程为1y x +=，整理得10x y --=，
所以直线l 与直线AB 的交点为107170x y x y --=⎧⎨+-=⎩
， 解得32x y =⎧⎨=⎩
， 所以交点坐标为()3,2.
【题目点拨】
本题考查点斜式求直线方程，求直线的交点坐标，属于简单题.
19、（1）（i ）2sin 2cos y θθ-=+（00θθ≤≤，其中0tan 2θ=）.（ii)2212,(02)y x x x =+-+≤≤.
（2）污水厂设在与直线AB 距离
33
处 【解题分析】
（1）（i ）设AB 的中点为N ，则1AN =，tan ON θ=，1cos OA θ=
，2tan MO θ=-，由此可得y 关于θ的函数；
（ii ）由题意2MO x =-，则ON x =，21AO x =+，由此可得y 关于x 的函数； （2）设21m x x =++，21(,0)n x x m n =+->，则1mn =，然后利用基本不等式求最值．
【题目详解】
解：
（1）（i ）设AB 中点N ，则1AN =，tan ON θ=，1cos OA θ=
，2tan MO θ=-， ∴2sin 2cos y θθ
-=+（00θθ≤≤，其中0tan 2θ=）； （ii ）2MO x =-，2,1ON x AO x ∴==+
2212,(02)y x x x ∴=++≤≤；
（2）设21m x x =++，21,(,0)n x x m n =+->，则1mn =，
133********
y m n mn ∴=++≥+=+， 当3m n =，即33
x =时，y 取最小值23+， ∴污水厂设在与直线AB 距离
33处时，铺设管道总长最短，最短长度为23+千米． 【题目点拨】
本题主要考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用换元法及基本不等式求最值，属于中档题．
20、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4.
【解题分析】
试题分析：(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(2)在三角兴中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.（4）在解决三角形的问题中，面积公式
最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正
弦定理、余弦定理联系起来.
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得：223sin cos
sin cos sin 222C A A C B += 即1cos 1cos 3sin sin sin 222
C A A C B +++=2分 ∴sin sin sin cos cos sin 3sin A C A C A C B +++=
即sin sin sin()3sin A C A C B +++=4分
∵sin()sin A C B +=
∴sin sin 2sin A C B +=即2a c b +=
∴,,a b c 成等差数列. 6分
（Ⅱ）∵13sin 4324
S ac B ac ===∴8分 又2222222cos (+)3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=-10分
由（Ⅰ）得：2a c b +=∴224484b b b =-⇒=12分
考点：三角函数与解三角形.
21、在线段AB 上取点G ，过点G 分别作墙的平行线，建一个长、宽都为17米的正方形，教学楼的面积最大
【解题分析】
可建立如图所示的平面直角坐标系，根据截距式写出AB 所在直线方程20x y +=， 然后可设G 点的坐标为(),20x x -，再根据题目中的要求可列出教学楼的面积的表达式
26280S x x =-++,(020)x << ,然后利用一元二次函数求最值即可．
【题目详解】
解：如图建立坐标系，
可知AB 所在直线方程为12020
x y +=，即20x y +=. 设(),G x y ，由20y x =-可知(),20G x x -．
∴()()()()395202551420S x x x x =----+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦-⎣
()22620143289x x x =-++⨯=--+.
由此可知，当3x =时，S 有最大值289平方米．
故在线段AB 上取点()3,17G ，过点G 分别作墙的平行线，建一个长、宽都为17米的正方形，教学楼的面积最大．
【题目点拨】
本题考查一元二次函数求最值解决实际问题，属于中档题。