四川省宜宾市第一中学2015-2016学年高二上学期第十七周周考数学试题 含答案

学必求其心得，业必贵于专精
四川省宜宾市一中2015－2016学年上期高二数学第十七周考试题（人教A 版)
注意事项：
1．本试卷共150分,考试时间120分钟；
2．答题前，务必将自己的姓名、考试号写在答卷纸的密封线内。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共计60分，请把答案的代号直接填写在答题纸相应的位置．．．．．．．．
上。

1. 2x <是2
320x x -+<成立的
A. 必要不充分条件 B 。

充分不必要条件 C 。

充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2。

已知双曲线22
2211x y a a
-=-(0)a >的离心率为2，则a 的值为
A 。

12 B. 22
C 。

13 D. 33
3。

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序。

若输出的S 为1112
，
则判断框中填写的内容可以是 A 。

6n = B. 6n <
C 。

6n ≤ D. 8n ≤
4．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π,则球的体积为
A.错误!
B.错误! C ．8错误!π
D 。

错误!
5．一只蚂蚁在边长分别为3，4,5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为 A 、
12π B 、 31π- C 、 6
1π- D 、121π
-
6．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是
A 、103
B 、53
C 、203
D 、4
7．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1，2，…，1000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8，抽到的50人中,编号落入区间[]1,400的人做问卷A ，编号落入区间 []401,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为
A 、12
B 、13
C 、14
D 、15
8．右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为 A 、0 B 、2 C 、4
D 、14
9．已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为(,)MOD n m ，其结果为n 除以m 的余数，例如(8,3)2MOD =。

下面是一个算法的程序框图，当输入的值为25时,则输出的结果为
A 、4
B 、5
C 、6
D 、7
10．若命题“∃x 0∈R，使得x 错误!＋mx 0＋2m －3〈0”为假命题,则实数m 的取值范围是
A ．［2,6]
B ．［－6，－2]
C ．（2,6）
D ．（－6，－2） 11．已知双曲线
22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1
2
,F F ,过点1
F 作直
线l x ⊥轴交双曲线C 的渐近线于点,A B ．若以AB 为直径的圆恰过点2
F ，则该双曲线的离心率为
A ．2
B ．3
C ．2
D ．59．D 12。

设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若||3FB d ≥,则双曲线离心率的取值范围是
A ．(1,
2]
B ．[2,)+∞
C ．(1,3]
D ．[
3,)+∞
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共计20分，请把答案直接填写在答题纸相应的位置．．．．．．．．
上。

结束
开始 输入
2i =
(,)0?MOD n i =
输出i
1i i =+
是
否
13．先后抛掷两枚质地均匀的骰子,设出现的点数之和是12，11,10的概率依次是P1，P2，P3，则P1,P2，P3，的大小关系________．14．已知正方形ABCD，则以A，B为焦点,且过C，D两点的椭圆的离心率为________．
15．考查下列三个命题,在“________"处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题（其中l,m为直线,α，β为平面)，则此条件为________．
①错误!⇒l∥α;②错误!⇒l∥α;③错误!⇒l∥α。

16.如图所示是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形,E,F,分别为PA,PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论:
①直线BE与直线CF异面; ②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD。

其中正确的是______．
三、解答题：本大题共6小题，计70 分。

解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。

17。

(本小题满分12分)已知p：指数函数f（x）＝(2a－6）x在R上是单调减函数;q：关于x的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的两根均大于3，
若p 或q 为真,p 且q 为假，求实数a 的取值范围．
18. (本小题满分12分)设1
F ,2
F 分别是椭圆
C:()222210y x a b a b +=>>的左，右焦
点，M 是C 上一点且2
MF 与x 轴垂直，直线1
MF 与C 的另一个交点为
N 。

（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34
,求C 的离心率；
（Ⅱ)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且15MN F N =，求,.a b .
19. （本小题满分12分)为了了解某年龄段1000名学生的百米成绩情况,随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组［13，14)，第二组［14，15)，…，第五组[17，18],得到如下图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8。

(1）求本次调查一共抽取了多少名学生的百米成绩？
（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩之差的绝对值大于1秒的概率。

20．(本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC,CC 1的中点．
(Ⅰ）证明:1
1
AEF B BCC ⊥平面平面;
（Ⅱ)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，求三棱锥F AEC -的体积．
21. (本小题满分12分）已知A （1，1)是椭圆错误!＋错误!＝1(a 〉b 〉0）上一点,F 1、F 2是椭圆的两焦点,且满足｜AF 1｜＋｜AF 2|＝4。

（1)求椭圆的标准方程；
（2）设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补,求直线CD 的斜率.
22。

（本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF=3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点。

(Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；
（Ⅱ）求二面角G BD C --大小的正切值(或余弦值）。

四川省宜宾市一中2015－2016学年上期高二数学
第十七周考试题答案
一、选择题:
1. A;2。

B ；3。

C ；4。

B ；5。

D ；6。

B ；7。

A;8。

B;9。

B ；10。

A;11。

D ；12。

A 。

一、填空题:
13． P 1〈P 2〈P 3；14．错误!－1;；15．l α⊄;16。

②③。

三、解答题：
17。

解：p 真，则指数函数f (x ）＝（2a －6）x 的底数2a －6满足0<2a －6〈1，所以3<a 〈错误!。

q 真,令g （x ）＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，其为开口向上的二次函数．
因为x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3,
所以①Δ＝(－3a )2－4（2a 2＋1）＝a 2－4>0，a 〈－2或a 〉2；··········································4分
②对称轴x ＝－错误!＝错误!〉3；
③g （3）>0，即32－9a ＋2a 2＋1＝2a 2－9a ＋10〉0,所以（a －2）(2a －5）〉0。

所以a <2或a 〉5
2。

由
错误!
得a >
错误!
. ···············
···························8分
p 真q 假，由3〈a 〈错误!及a ≤错误!，得a ∈∅。

p 假q 真,由a ≤3或a ≥错误!及a 〉错误!，得错误!<a ≤3或a ≥错误!。

综上所述，实数a 的取值范围为（错误!，3］∪［错误!，＋∞) ··········································10分 18。

解：（Ⅰ）
2
123
tan 24
b a MF F
c ∠==
，解得
1
2
e =
· ·······················
·················4分
（Ⅱ）依据题意，原点O 为12
F F 的中点,2
MF 与x 轴垂直,所以直线1
MF
与
y
轴的交点
(0,2)
P 是线段
1
MF 的中点，故
2
24
b MF a
==，即
24b a =···················6分
由15MN F N =，得112PF F N = 设1
1
(,)N x y ,且1(,0)F c -，易知1
0y
<，则
111132()2221
c x c x c y y ⎧
--==-⎧⎪⇒⎨
⎨-=⎩⎪=-⎩,代入椭圆方程得22291
14c a b += 又
2222
4,b a c a b ==-代入上式，解得
7,27
a b ==. ····················
······················12分
19解：（1）设图中从左到右前3个组的频率分别为x 3,x 8，x 19 依题意,得1108.0132.01983=⨯+⨯+++x x x
解得，02.0=x 设调查一共抽取了n 个学生的百米成绩,则
n
8
02.08=⨯.·························
·······4分
解得50=n ,即本次调查一共抽取了50名学生的百米成绩。

（2）百米成绩在第一组的学生数有350102.03=⨯⨯⨯，记他们的成绩为c b a ,,；
百米成绩在第五组的学生数有450108.0=⨯⨯,记他们的成绩为q p n m ,,,. ·····················6分 则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有:
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,m b q a p a n a m a q p q n p n q m p m n m c b c a b a {}{}{}{}{}{}{}q c p c n c m c q b p b n b ,,,,,,,,,,,,,共
21
个。

··········································8分
其中,成绩之差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有
{}{}{}{}q a p a n a m a ,,,,,,,
{},,m b {}{
}{},,,,,,q b p b n b {}{}{}{}q c p c n c m c ,,,,,,,共12个。

所以，成绩之差的绝对值大于1秒的7
421
12==P 。

···················
·······················12分
20解:（Ⅰ）如图a ，因为三棱柱111
-ABC A B C 是直三棱柱，
所以1
AE BB ⊥．
又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE BC ⊥． 因此1
1
AE B BCC ⊥平面．
而
AE AEF
⊂平面,所以，
11
AEF B BCC ⊥平面平面．·····················
··············6分 （Ⅱ）设AB 的中点为D ,连接1
,A D CD ．
因为ABC ∆是正三角形，所以CD AB ⊥．
又三棱柱111
-ABC A B C 是直三棱柱，所以1
CD AA ⊥．
因
此
11CD A ABB ⊥平面，
············
······························8分
于是1
CA D ∠为直线1
AC 与平面1
1
A AB
B 所成的角．
由题设，1
45CA D ∠=︒，所以1
3
32
A D CD A
B ==
=． 在1
Rt AA D ∆中，221
1312AA A D AD =
-=-=，
所以1122
2
FC AA ==
．
故三棱锥-F AEC 的体积
11326·332212
ABC V S FC ∆==⨯=
． ·············
(12)
分
21解: （1）由椭圆定义知｜AF1｜＋|AF2｜＝2a＝4，所以a＝2，即椭圆方程为错误!＋错误!＝1 ①
把A（1，1）代入①式得1
4
＋错误!＝1，所以b2＝错误!,
所以椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1 ··········································4分
（2）由题意知,AC的倾斜角不为90°,故设直线AC的方程为y＝k （x－1)＋1,
联立方程得错误!消去y，
得（1＋3k2）x2－6k(k－1）x＋3k2－6k－1＝0。

∵点A、C在椭圆上,∴1＋x C＝
错误!。

·································6分
∴x C＝
错误!. ··········································8分
∵直线AC、AD的倾斜角互补，
∴直线AD的方程为y＝－k（x－1）＋1。

同理x D＝错误!。

∴x C－x D＝错误!，x C＋x D＝错误!。

又y C＝k（x C－1）＋1，y D＝－k(x D－1）＋1,
∴y C－y D＝k(x C＋x D)－2k。

∴错误!＝错误!。

∴直线CD的斜率为
错误!.··········································12分
［来x22。

解：（Ⅰ）证明:因为四边形ABCD是正方形,
所以AC BD
⊥。

又因为平面BDEF⊥平面ABCD,
且平面BDEF平面ABCD BD
=，
且AC⊂平面ABCD，
所以AC⊥平面BDEF。

············································6分
(Ⅱ）由图形的对称性可作如下求解。

设AC BD O ⋂=，取线段GH 的中点I 。

其射影落在线段OC 的中点.J 13.22IJ FB ∴==1
2.42JO AC ==
,.BD OJ BD IO ⊥⊥
IOJ ∴∠是二面角G BD C --的平面角. 在Rt IOJ ∆中，32
tan .2IJ IOJ JO ∠==·····················
··········12分
解法二:空间直角坐标系法，求出22
cos 11IOJ ∠=也给分。