用空间向量研究距离、夹角问题全文

MN ( 1 1 )2 (0 1 )2 ( 1 0)2 2 .
22
22
2
y
x
【巩固训练3】如图，正方体ABCD和ABEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂 直，点M在AC上，点N在BF上，若CM = BN = 2，求MN的长.
2
解2：设 AB a, AD b, AF c . 则
2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1
的中点.
z
(4) 求直线FC1到平面AB1E的距离.
D1
C1
解 : FC1 //平面AB1E,直线FC1到平面AB1E的距离 A1
B1
等于点C1到平面AB1 E的距离.
E
由(3)知平面AB1E的一个法向量为n (1, 2, 2). 易知C1(0,1,1), B1(1,1,1),C1B1 (1,0,0).
D1 A1
E
D
C1 B1
F
C
A
B
2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1
的中点.
z
(1) 求点A1到直线B1E的距离;
D1
C1
解 : 如图示,以D为原点建立空间直角坐标系, 则有
A1
B1
1 A1(1, 0,1), B1(1,1,1), E(0, 0, 2).
z0 ,
0
取y
1, 则z
1,
x
1.
∴平面D1CB1的一个法向量为n (1,1,1).
D
A x
C y
B
点B到平面D1CB1
的距离为
|
BC n |n|
|
3. 3
即平面A1 DB到平面D1CB1的距离为
3. 3
【巩固训练1】已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E, F分别
是AB, AD的中点，求点B到平面GEF的距离.
的距离PQ.
A
Ql
设 AP a ，则向量AP在直线l上的投影向量AQ | a | cosa, uu (a u)u. 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 PQ | AP |2 | AQ |2 a 2 (a u)2 .
若直线l的法向量为 n，则点P到直线l的距离为d PQ |AP||cos AP, n| |AP n| .
z
解：如图，建立空间直角坐标系Cxyz．由题设得
G
B(0,4,0), E(2,4,0), F(4,2,0), G(0,0,2)．则
EF (2, 2, 0), EG (2, 4, 2),
设平面EFG的一个法向量为n ( x, y, z).
∴22xx24y
0 y 2z
, 0
取x=1, 则y=1, z=3.
探究 已知直线l的单位方向向量为u, A是直线l上的定点，P是直线l外一点. 如何利
用这些条件求点P到直线l的距离? 如图示，向量AP在直线l上的投影向量为 AQ ，则△APQ是直角
u
P
三角形，因为A，P都是定点，所以|AP|，AP 与 u 的夹角∠PAQ都
dn
是确定的. 于 是可求 |AQ|. 再利用勾股定理，可以求出点P到直线l
P• β
d
n Q
αA
例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段
AB的中点.
z
(1) 求点B到直线AC1的距离;
D
C
(2) 求直线FC到平面AEC1的距离.
解 : (1) 如图示,以D1为原点建立空间直角坐标系, 则有
A
F
B
B(1,1,1), A(1, 0,1), C1(0,1, 0).
z
D1 A1
C1 B1
D
A
x
C
y
B
2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1 的中点.
(1) 求点A1到直线B1E的距离; (2) 求直线FC1到直线AE的距离; (3) 求点A1到平面AB1E的距离; (4) 求直线FC1到平面AB1E的距离.
D1
∴AB (0,1,0), AC1 (1,1, 1).
A1
直线AC1 的单位方向向量为u
|
AC1 AC1
|
(
3 ,
3
3 , 3
3 ).
3
x
E
C1 y
B1
设AB a,则点B到直线AC1的距离为
d a 2 (a u)2 = 1 1 6 . 33
例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段
来求得. 也就是说，若异面直线l1, l2所成的角为θ，其方向向量分别是 u, v，则
l1
l1
u
易得C1 (0, 1, 1),
A(1,
0, 0),
E(0,
0,
1 ). 2
E
∴C1 A
(1,
1, 1),
AE
(1, 0,
1 ). 2
D
F
C
y
直线AE的单位方向向量为v
AE
(
2
1A
, 0, ). x
B
| AE |
55
设C1A m,则点C1直线AE的距离为
m2 (m v )2 =
30 .
5
直线FC1到AE的距离为
n (1,1, 3), 又BE (2, 0, 0)，
设点B到平面GEF的距离为d，则
D x
F
A
E
C
B y
d | n BE | 2
11 .
n
11
∴点B到平面GEF的距离为 2 11 . 11
【巩固训练2】已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E, F分别
是AB, AD的中点，求点BD到平面GEF的距离.
即直线FC到平面AEC1的距离为
6. 6
用向量法求平面α一个点P到平面α的距离的步骤：
(1) 求出该平面α的一个法向量n ；
(2) 找出从点P出发的平面的任一条斜线段对应的向量PA；
(3) 利用点到平面的距离公式即可求出点到平面的距离d．
P
n
d |AP n| .
d
α
|n|
A
Q
1. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面B1C的距离等于__1___；直线 DC到平面AB1的距离等于___1____ ； 平面DA1到平面CB1的距离等于____1___.
点C1到平面AB1 E
的距离为 |
C1B1 |n|
n
|
1 3
.
D
A x
F
C
y
B
即直线FC1到平面AB1
E的距离为
1 3
.
3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离.
解 : 平面A1DB//平面D1CB1,平面A1DB与平面D1CB1的距离 z
的中点.
(1) 求点A1到直线B1E的距离;
D1
C1
解2 : 连接A1E,过点A1作A1M⊥B1E,垂足为M .
A1
B1
由已知可得A1B1 1, A1E
5
3
2 , B1E 2 ,
EM
D
F
C
又B1 A1 A1E , ∴A1M B1E B1 A1 A1E ,
A
B
5
∴A1 M
B1 A1 A1E B1 E
AB的中点.
z
(2) 求直线FC到平面AEC1的距离.
D
C
解 :(2) FC //EC1,∴FC //平面AEC1,直线FC到平面AEC1 A 的距离等于点C到平面AEC1的距离.
F
B
由题意得C
(0,
1,
1),
A(1,
0,
1),
E
(1,
1 2
,
0),
C1(0,
1,
0).
∴AE
(0,
1 2
, 1),
AC1
1 2
3
5 .
3
2
∴点A1到直线B1 E 的距离为
5. 3
2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1
的中点.
z
(2) 求直线FC1到直线AE的距离;
D1
C1
解 : FC1 //AE ,直线FC1到AE的距离等于点C1到直线 A1
B1
AE的距离.
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
——夹角问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量. 下 面我们用向量方法研究直线 与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角，先看线线角.
1. 线线角 (异面直线所成的角)
一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角
|n|
2. 两平行直线间的距离：
m
思考 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离? A •
两条平行直线之间的距离可转化为点到直线距离求解.
d
n
3. 点到平面的距离：
立体几何中点到平面距离的求法：1. 直接法；2. 等体积法； 3. 向量法.
下面我们探究用空间向量求平面α外一点P到平面α的距离.
30 . 5
2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1
的中点.
z
(3) 求点A1到平面AB1E的距离;
D1
C1
解
:由题意得A1
(1,
0,
1),
A(1,
0,
0),
B1
(1,
1,
1),
E
(0,
0,
1 2
).
A1 E
B1
∴ AB1
(0,1,1),
AE
∴A1 B1
(0,1, 0),
EB1
(1,1,
1 ). 2
直线B1
E
的单位方向向量为u
|
EB1 EB1
|
(
2 3
,
2 3
,
1 3
).
E
D A x
F
C
y
B
设A1B1 a,则点A1到直线B1E的距离为
d a 2 (a u)2 = 1 4 5 . 93
2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1
EF=l，求公垂线AA′的长.
A′ m E
a
解：∵ EF =EA+ AA+ AF， ∴EF 2 =(EA+ AA+ AF )2
A
n
Fb
2
2
2
=EA + AA + AF +2(EA AA+AA AF +AF AA)
m2 d 2 n2 2mncos .
∴d l2 m2 n2 2mncos .
等于点B到平面D1CB1的距离.
易知B(1,1, 0), C(0,1, 0), D1(0, 0,1), B1(1,1,1).
∴CD1 (0, 1,1), CB1 (1,0,1), BC (1,0,0).
D1 A1
C1 B1
设平面D1CB1 的一个法向量为n ( x, y, z) ,则
∴x
y z
MN AN AM
1 ( AB AF ) 1 ( AB AD)
2
2
1 (c b) 2
∴|MN|2 1 (c b )2 1 ,
4
2
∴|MN| 2 ,即MN 2 .
2
2
【巩固训练4】如图，两条异面直线a, b所成的角为θ，在直线a, b上分别取点A′, E和
点A, F，使AA′⊥a，且AA′⊥b (AA′称为异面直线a, b的公垂线). 已知A′E=m, AF=n，
(1,1,
1), CC1
(0, 0,
1).
D1
A1
x
E
C1 y
B1
设平面AEC1的一个法向量为n ( x, y, z) ,则
∴
1 2
y
z
0
, 取y 2,则z 1, x 1.
点C到平面AEC1
的距离为
|
CC1 |n
|
n
|
6 .
6
x y z 0 ∴平面AEC1的一个法向量为n (1, 2,1).
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
——距离问题
空间的距离问题有：线线距、线面距、面面距
我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以
及两个平行平面的距离问题等，如何用空间向量解决这些距离问题呢?
下面我们先研究用向量方法求直线l外一点P到直线l的距离.
1. 点到直线的距离：
如图示，已知平面α的法向量为n ，A是平面α内的定点，P是平面α外一点. 过点P
作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则 n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离d
就是AP在直线l上的投影向量 PQ 的长度. 因此
l
d PQ |AP||cos AP, n| |AP| |AP n| |AP n| . |AP||n| |n|
(1, 0,
1 ), 2
A1 A
(0, 0, 1).
设平面AB1E的一个法向量为n ( x, y, z) ,则
y z 0
∴
x
1 2
z
0
,
取z
2, 则x
1,
y
2.
D
A x
F
C
y
B
∴平面AB1E的一个法向量为n (1, 2, 2).
点A1到平面AB1E 的距离为 |
A1 A n |n|
|
2 3
.
或d PQ |AP n | |AP n| . |n| |n|
P n
d
α
A
Q
4. 直线到平面的距离： 直线到平面的距离可转化为点到平面的距离求解.
d |AP n| . |n|
P•
l
n
d
αQ ABiblioteka 3. 两个平行平面之间的距离：
两个平行平面之间的距离也可转化为点到平面的距离求解.
d |AP n| . |n|
z
G
d | n BE | 2 11 .
n
11
D x
F
A
E
C
B y
【巩固训练3】如图，正方体ABCD和ABEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂
直，点M在AC上，点N在BF上，若CM = BN = 2，求MN的长.
2
解1：建立如图所示的空间直角坐标系. 则有
z
M( 1 , 0, 1), N ( 1 , 1 , 0), 2 2 22