1984年全国高考数学试题及其解析

1984年全国高考数学试题及其解析
理工农医类试题
（本试卷共八大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）
一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分
1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k 1）π，k 是整数}之间的关系是 （ ）
±（A ）X Y （B ）X Y （C ）X=Y （D ）X≠Y ⊂⊃2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ ）（A ）F=0，G≠0，E≠0. （B ）E=0，F=0，G≠0. （C ）G=0，F=0，E≠0. （D ）G=0，E=0，F≠0.3.如果n 是正整数，那么的值 （ ）
)1]()1(1[8
1
2
---n n （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）不一定是整数（D ）是整数但不一定是偶数
4.大于的充分条件是 （ ）
)arccos(x -x arccos （A ） （B ） （C ） （D ）]1,0(∈x )0,1(-∈x ]1,0[∈x ]2
,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足那么（ ）,sin 12sin 2cos
θ-=θ-θ2
θ
（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角
（C ）是第二象限角 （D ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积
2.函数在什么区间上是增函数？ )44(log 2
5.0++x x 3．求方程的解集 2
1
)cos (sin 2
=+x x 4．求的展开式中的常数项3)2|
|1
|(|-+
x x 5．求的值
1
321lim +-∞→n n
n 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，
三．（本题满分12分）本题只要求画出图形
1．设画出函数y=H(x-1)的图象
⎩⎨
⎧>≤=,
0,1,
0,0)(x x x H 当当2．画出极坐标方程的曲线)0(0)4
)(2(>ρ=π
-
θ-ρ四．（本题满分12分）
已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行五．（本题满分14分）
设c,d,x 为实数，c≠0，x 为未知数讨论方程在什么情况下有解有解时
1log
)
(-=+x x
d cx 求出它的解
六．（本题满分16分）
1．设，实系数一元二次方程有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平
0≠p 022
=+-q pz z 面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）
2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为
的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）2
1
七．（本题满分15分）
在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为,b,c ，且c=10，
a ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的3
4
cos cos ==a b B A 最大值与最小值八．（本题满分12分）
设＞2，给定数列{x n },其中x 1=,求证：a a )2,1()
1(221
=-=+n x x x n n
n 1．);2,1(1,21
=<>+n x x x n
n n 且
2．);
2,1(21
2,31
=+
≤≤-n x a n n 那么如果3．.3,3
4lg 3lg
,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）
如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点A ，一动
点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为
直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP=
时，点P 的速度为V 4
3
π
求这时点M 的速度
文史类试题
（本试卷共八道大题，满分120分）
一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k 1）π，k 是整数}之间的关系是 （ ）±（A ）X Y （B ）X Y （C ）X=Y （D ）X≠Y
⊂⊃2.函数y=f(x)与它的反函数y=f -1(x)的图象 （ ）
（A ）关于y 轴对称 （B ）关于原点对称 （C ）关于直线x+y=0对称 （D ）关于直线x-y=0对称
3复数
的三角形式是 （ ）i 2
321-（A ） （B ） （C ） （D ）)3sin()3
cos(π
-+π-i 3sin 3cos
π+πi 3
sin 3cos π
-πi 6
5sin
3cos π+πi 4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 （ ）
（A ）一条直线不相交 （B ）两条直线不相交 （C ）任意一条直线都不相交 （D ）无数条直线不相交
5．方程x 2-79x+1=0的两根可分别作为 （ ）（A ）一椭圆和一双曲线的离心率 （B ）两抛物线的离心率（C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）
1．已知函数，求x 的取值范围
0)32(log 5.0>-x 2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积3．已知实数m 满足2x 2-(2i-1)x+m-i=0,求m 及x 的值
4.求的值
)
2)(1()
()2()1(lim 222--++++++∞→n n n n n n n n 5．求的展开式中x 的一次幂的系数
6)12(x
x -
6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．画出方程y 2=-4x 的曲线
2．画出函数的图象2
)
1(1
+=
x y
四．（本题满分12分）
已知等差数列,b,c 中的三个数都是正数，且公差不为零求证它们的倒数所组成的
a 数列
c
b a 1
,1,1五．（本题满分14分）
把化成三角函数的积的形式(要求结果最简）α-β-α-
422
cos sin 2sin 4
11六．（本题满分14分）
如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD 的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D-ABC 的体积
七．（本题满分14分）
某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知
lg2=0.3010,lg3=0.4771)
八．（本题满分15分）
已知两个椭圆的方程分别是 C 1:x 2+9y 2-45=0, C 2:x 2+9y 2-6x-27=0.1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标
2．求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程
理工农医类参考答案
一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)C;(3)B;(4)A;(5)B.
二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.
（1） （2）x ＜-2.
（3）
.84ππ或}
,12
|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π
-=⋃∈π+π=（4）-20 （5）0 （6）!
64
7⋅P 三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.
解:
四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证明：设三个平面为α,β,γ,
且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.
∵α∩β=c,α∩γ=b,
从而c 与b 或交于一点或互相平行.
(1)若c 与b 交于一点,设c ∩b=P.由P ∈c,且c β,有
P ∈β;又由P ∈b,且b γ,有P ∈γ.于是P ∈β∩γ=a.
所以a,b,c 交于一点(即P 点).
(2)若c ∥b,则由b γ,有c ∥γ.又由c β,且β∩γ=a,可知c ∥a.
所以a,b,c 互相平行.
五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.
解：原方程有解的充要条件是：
⎪
⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4) )((3) ,0(2) ,0(1) ,01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知，所以c≠0，可得1)(=+
x d cx x 2=+
d
cx .12c
d x -=
又由及x ＞0，知，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中1)(=+
x d cx x 0>+x
d
cx 再由条件（3）及，知因此，原条件可简化为以下的等价条件组：
1(=+x
d
cx x .1≠x ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
-=≠>(6) .1x (5) 1,x (1) ,02c d x 由条件（1）（6）知这个不等式仅在以下两种情形下成立：.01>-c
d
①c＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1;②c＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1.
再由条件（1）（5）及（6）可知d
c -≠1从而，当c ＞0,
d ＜1且时，或者当c ＜0,d ＞1且时，原方程有解，它的解
d c -≠1d c -≠1是c
d x -=
1六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.
解：1.因为p,q 为实数，，z 1,z 2为虚数，所以0≠p 0
,04)2(2
2>><--p q q p 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称，所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点
根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,
焦距离=2c=|z 1-z 2|=,
2
212
212|4)(|p q z z z z -=-+长轴长=2a=.
222
2q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴
设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为
，2
1
所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的，
2
1
从而左焦点F 的坐标为,2
3(y x
设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1
根据
及两点间距离公式，可得21
||=d MF 22222312
(1)(2)(,9()4(2)1223
x y x y -+-=-+-=即这就是所求的轨迹方程
七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.
解：由
，运用正弦定理，有a b
B A =cos cos .2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A A
B
B A =∴=∴=
因为A≠B，所以2A=π-2B，即由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，
.8,60,0,3
4222
==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则
AD+DB+EC=
但上式中AD+DB=c=10，.12)6810(2
1
=++所以内切圆半径r=EC=2.
如图建立坐标系，则内切圆方程为:
(x-2)2+(y-2)2=4
设圆上动点P 的坐标为(x,y),则
2222222222222||||||(8)(6)3316121003[(2)(2)]47634476884.
S PA PB PC x y x y x y x y x y x y x x x =++=-+++-++=+--+=-+--+=⨯-+=-因为P 点在内切圆上，所以，40≤≤x S 最大值=88-0=88，S 最小值=88-16=72
解二：同解一，设内切圆的参数方程为),
20(sin 22cos 22π<α≤⎩
⎨⎧α+=α
+=y x 从而2
2
2
|
|||||PC PB PA S ++=222222(2cos 6)(22sin )(22cos )(2sin 4)(22cos )(22sin )808cos ααααααα
=-+++++-++++=-因为，所以 S 最大值=80+8=88，S 最小值=80-8=72πα20<≤八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.
1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法
由条件＞2及x 1=知不等式当n=1时成立a a 假设不等式当n=k(k≥1)时成立
当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(04422
21>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x 再由归纳假设知不等式成立，所以不等式也成立从而不等式x n ＞2
0)2(2
>-k x 21>+k x 对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样）证：
2
)22(2
1]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x 所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立再证明
由条件及x n >2(n=1,2,…）知).2,1(11
=<+n x x n
n 因此不等式也成立,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x ).2,1(11 =<+n x x n
n （也可这样证：对所有正整数n 有
.1)1
211(21111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有
所以）
,0)1(2)2(1>--=
-+n n n n n x x x x x ).2,1(11 =<+n x x
n
n 2．证一：用数学归纳法x 1=≤3知不等式当n=1时成立a 假设不等式当n=k(k≥1)时成立
当n=k+1时，由条件及知
2>k x 22
111111112(1)(22(2)2(2)0(2)[(2)]0,22222
k k k k k k k k k k k k x x x x x x x +-≤+
⇔≤-+⇔-+++≤⇔--+≤再由及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式也
2>k x k k x 2
1
21+≤+成立，从而不等式对所有的正整数n 成立
12
1
2-+≤n n x 证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：
由条件知再由及归纳假设可得)1
11(211-++=
+k k k x x x 2>k x k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+++≤
-+3．证：先证明若这是因为.43,31<>+k k k x x x 则
.4
3
1311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当时，有则由第1小题知3
4lg 3lg
a
n >,31≥+k x .
3121≥>>>>+n n x x x x
因此，由上面证明的结论及x 1=可得a ,)4
3
(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅
=≤++ 即，这与假设矛盾所以本小题的结论成立3
4lg 3lg
a
n <九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.
解：作CD⊥AM，并设AP=x ，AM=y ，∠COD=θ由假设，
AC 的长为
，x AP 3
2
32=半径OC=1，可知θ3
2
=考虑)
,0(π∈x ∵△APM∽△DCM，DC
DM
AP AM =∴
而.)43()843(2,,43])3
2sin ()
32
cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([
/.32sin )
32
cos 1(.3
2sin )
32cos 1(,32sin ),32cos 1(2
22
v dt dy M v dt
dx x dt
dx x x x x x x x x x x dt dy x
x x x y x x y x
y x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=
--=
∴=--=点的速度
代入上式得时
当解得
文史类参考答案
一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)D;(3)A;(4)C;(5)A.
二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.
（1）
（2） （3）m=0,x=-..223<<x ππ8
4或2
1（4）1 （5）240 （6）!
64
7⋅P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形解：
四．（本题满分12分）
证：如果
成等差数列，那么c
b a 1
,1,1,,,1111c
c b a b a b cb c b bc b a b c a b -=--=--=-得两边乘以即又因为,b,c 成等差数列，且公差不为零，所以由以上两式，可知a .0≠-=-c b b a .11c
a =两边都乘以c ，得=c.
a a 但由数列,b,c 的公差不为零，知≠c，这就得出矛盾
a a 从而c
b a 1
,1,1五．（本题满分14分）
六．（本题满分14分）
解：因为这个三棱锥是正三棱锥，所以△ABC 是正三角形，且DC 所在直线与△ABC 所在平面垂直如图，作△ABC 的高CE ，连结DE 由三垂线定理，知DE⊥AB，所以∠DEC 是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=300CE=
AB AB CE DE AB tg AB =⨯=︒==︒233230cos ,23602用S 截表示△ABD 的面积，则.8,2121322=∴=⋅=
=AB AB DE AB S 截用S 底表示△ABC 的面积，则S 底=.31643212==⋅AB CE AB ∵∠DEC=300，所以DC=4. ∴)(3364431631312cm DC S V =⨯⨯=⋅=底三棱锥七．（本题满分14分）解：设1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即1=2.a a 并将这家工厂1984，1985，…年生产这种产品的年产量分别记为2,3, ….根据题意，a a 数列{n }是一个公比为1.2的等比数列，其通项公式为a 12.12-⨯=n n a 根据题意，设 两边取常用对数，得122.121=⨯-n 84.1010791
.07781.0112lg 23lg 2lg 2lg 23lg 12.1lg 2lg 12lg .12lg 2.1lg )1(2lg ≈+=+-+-+=+-=
=-+x x 因为是增函数，现x 取正整数，可知从1993年开始，这家工厂生产这种产品x y 2.12⨯=的产量超过12万台 答：略八．（本题满分15分）1．解：把C 1的方程化为标准方程，得.102,5,531545:221===∴=+c b a y x C 可知椭圆C 1的中心是原点，焦点坐标分别是0,102(),0,102(-把C 2的方程化为标准方程，得.24,2,61436)3(:222===∴=+-c b a y x C 可知椭圆C 2的中心坐标是（3，0），焦点坐标分别0,243(),0,243(-+2．解一：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=====--+=-+,2,3,2,3,02769,04592222y x y x x y x y x 或
解得
所以两椭圆C 1，C 2的交点坐标是A （3，2），B （3，-2）设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.
因为A ，B 两点在圆上，所以有⎩⎨⎧--===++-=+++133,0.01323,01323D F E F E D F E D 解得从而所求圆的方程为x 2+y 2+Dx-3D-13=0由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程28,205626006912)422(50133211(2222-===-+=+-++=--+++D D D D D x D x D Dx x x 或解得就是的判别式为即从而所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0,或x 2+y 2-28x+71=0.解二：同解一，求出两椭圆交点坐标为A （3，2），B （3，-2）所求圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上即x 轴上，因此可设圆心为（m,0)由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知点（m,0)到直线x-2y+11=0的距离等于点（m,0)与点A （3，2）之间的距离（都等于所求圆的半径），所以解得m=-1,或m=14.01413:,2)3(4
1|
11|222=--+-=++m m m m 化简得整理当m=-1时，圆的半径，所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0;52=r 当m=14时，圆的半径，所求圆的方程是x 2+y 2-28x+71=0.55=r。