浙江财经大学微积分下期末试卷2

x=2
(1,1)
y=
2
1 x
O
x
= ∫1
2
1 2 x ⋅ ( − ) dx = ∫ ( x 3 − 1) dx 1 y 1
2
4 2
x2
x
11 x = ( − x) = . 4 4
1
6
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
2.某厂生产两种型号 的产品, 已知生产A产品 x 单位, B产品 y 单位时 的总成本函数为 C ( x , y ) = 70 x + 30 y + 100, pA pB , y = 30 − , 两种产品 的需要函数分别为 x = 50 − 5 3 (其中 p A , q B 分别为两种产品 的价格). 若限制总产量 为20, 试求两种产品 的产量各 为多少时总利 润最大 . 解: L ( x , y ) = R ( x , y ) − C ( x , y )
设 3x − 1 = t
解:
∫
2 3 1 3
e
3 x −1
t2 + 1 则x = 3
2 1 t 2 ∫ 0 e ⋅ 3 t dt =ห้องสมุดไป่ตู้3 ∫ 0 t e dt
1 t
2 2 1 2 1 t 2 t t 1 t 1 = ∫ t d e = ( t e − ∫ e dt ) = (e − e ) = . 3 0 0 3 0 3 0 3
B． y ′ = e 2 x − y D ． xy ′ = y + x 2 − y 2
∫0 dx ∫0
1
1− x 2
1 − x 2 − y 2 dy = ______
π ________ 。 6 。
∂F ∂F ∂z 4．设 z = f ( x, y ) 由方程 F ( x, y , z ) = 0 所确定，且 = a, = b, = c, ∂x ∂y ∂x 则 ∂z = （ ∂y bc a A ） B． − ac b C． ac b D． − bc a
∴ du (1,1,1)
∂u ∂u ∂u dx + dy + dz = dx − dy . = ∂x (1,1,1) ∂y (1,1,1) ∂z (1,1,1)
4
P D F
c re a te d
w ith
p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
浙江财经大学 2012 ～ 2013 学年第二学期
线
′′ ( x0 , y 0 ) = 2 B = f xy ′′ ( x0 , y0 ) = 0 C = f yy ′′ ( x0 , y0 ) = 2 ， A = f xx 则点 ( x0 , y0 ) （ A．是极小值点 日
评卷人 得分
D ）
《微积分 B 下》课程期末考试试卷（ A 卷）
1 z y
1 −1 x z
x ⋅ − y2 ,
∂u x 1 = ln ⋅ − , ∂z y y z 2 ∂u =1, ∂x (1,1,1) ∂u ∂u = 0, = −1 , ∂z (1,1,1) ∂y (1,1,1)
考核方式：闭卷 适用专业、班级： 12 级经管类各专业
题 得 号 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分
B 是极大值点
C．不是极小值点
D．不是极大值点
考试日期： 2013 年 7 月
二、填空题（每小题 2 分共 20 分） 1．函数 Z =
x
y−x ln( x 2 + y 2 − 1)
−t 2
∂z ∂z 2. 设 z = f ( x , y ) 是由方程 xyz = e 所确定的函数 , 求 ∂x , ∂y .
z
z F ( x , y , z ) = e − x yz 解: 设
则 F x ′ = − y z , F y ′ = − xz ,
Fx ′ yz ∂z ∴ =− = z , ∂x Fz ′ e − x y
x e y=1 解: 原方程为 y ′ + x e +1 线性非齐次方程 , P ( x ) =
通解为 : y = [ ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x )dx dx + C ] e − ∫ P ( x )dx
1 = [ ∫ ( e + 1) dx + C ] x e +1 1 x ( C为任常数 ) = (e + x + C ) x e +1 将 y ( 0) = 1 代入上通解中得 : C = 1 x 所求特解为 : y = 1 + x . e +1
Fz′ = e z − x y , F y′ xz ∂z =− = z . ∂y Fz ′ e − x y
5
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
六、重积分计算题 (每小题 7分共14分)
n +1
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
( −1)n ln n ∴∑ 原级数为交错级数 , 发散 . n n =1 n+1 n = | un+1 | , Q| un | = 2 > 2
2
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
四、级数计算题 (6分)
∞
若收敛 , 是绝对收敛还是还是条件收敛 .
∞ ln n ( −1) n ln n =∑ 解: ∑ n n =1 n n =1 ∞
x
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
ex , Q( x ) = 1 x e +1
−∫ ex
x
=[∫e
∫
ex
x
e +1
dx
dx + C ] e
e +1
dx
8
八、综合应用题 (每小题 8分, 共16分)
( −1)n ln n 判断级数 ∑ 的敛散性 , n n =1
lim 而n →∞
∞
( n + 1) + 1 n = lim lim | u | 且 n→ ∞ n n→∞ 2 = 0, n +1 ∞ ( −1)n 收敛, 且为条件收敛 . ∴由莱布尼兹判别法知 : ∑ 3 n=1 n ( n + 1)
2
2y
2
f ( x, y )dx 交换积分次序后可化为 _____________________ 。
3．下列方程中的齐次微分方程是： A． ( y 2 − x) dy = ydx C． xy ′ + y = x 2
）
8．函数 z = 4( x − y ) − x 2 − y 2 在点 _______ (2,−2) _________ 处取到极大值。 9．由二重积分的几何意义知，
三、定积分计算 (每小题 6分, 共12分)
1. ∫1
e
dx x (1 + ln 2 x )
e
解: ∫1
2 3 1 3
dx e d (ln x ) = = (arctan ln x ) 2 ∫ 2 1 x (1 + ln x ) 1 + ln x
3 x −1
e 1
π = . 4
2. ∫ e
dx dx
= ( p A x + p B y ) − ( 70 x + 30 y + 100 ) = 180 x + 60 y − 5 x 2 − 3 y 2 − 100 设 F ( x , y , λ ) = 180 x + 60 y − 5 x 2 − 3 y 2 − 100 + λ ( x + y − 20 ) Fx ′ = 180 − 10 x + λ = 0 ′ = 60 − 6 y + λ = 0 得唯一驻点 x = 15 , y = 5 由 Fy ′ = x + y − 20 = 0 Fλ 由问题的实际意义 知最大利润必存在 , 所以当生产 15单位
2 y = x , y = 2 − x , x = 0 所围成的图形的面积 , 1.求由曲线
并求此图形绕 x 轴旋转一周 所成的轴旋 体的体积.
y
解: (1) S = ∫0 [ ( 2 − x ) − x ] d x
x2 2 2 1 = 5 . =( 2 x − − x )0 6 2 3
3
1
y2 = x
的定义域是
{( x , y ) y ≥ x且1 < x 2 + y 2 ≠ 2}
。
评卷人 （共九大题） 评卷人 得分
∫ (1 − e 2． lim 0
x→0 1
)dt
x
3
=
1 3 0 0
。 。 。
3． ∫−1 x [ f ( − x ) + f ( x)] dx = 4．若级数
u n cos n 3 = ∑ un 收敛，则 nlim →∞
1 2 d sinθ = sin θ = 2 . 3 π
4
π 2 cosθ π 4 π 2 4
sin3 θ dθ
7
p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
七、微分方程计算题 (6分) 求微分方程 ( e x + 1) y ′ + e x y = e x + 1 满足条件 y ( 0) = 1的特解 .
2.∫∫ x dxdy, 其中D是由曲线 x 2 + y 2 = 2 y 及直线 x = 0, y = x 所围.
D
解: 设 x = r cosθ , y = r sin θ ,
π π 则D →Ω : ≤ θ ≤ , 0 ≤ r ≤ 2 sinθ 4 2
n
y
r = 2 sin θ
D
( 0,1)
y= x
∴ ∫∫ x dxdy = ∫∫ r cosθ ⋅ r drdθ
D
Ω π 2 sinθ 2 = π dθ 0 cosθ ⋅ r 2 dr 4 2 sinθ π 3 8 r 2 = π cosθ ⋅ dθ = 3 3 0 4
n
O
n
x
∫
∫
∫
∫
8 = ∫ 3
P D F c re a te d w ith
π 3 2 sin θ π 4
ln n n 1 n
1 = lim ln n = +∞ , 且 ∑ n 发散, n→ ∞ n =1
∞
五、偏导数计算题 (每小题 6分共12分)
1. 设 u =
z
x , 求 du (1,1,1) . y
1 −1 z x
解:
∂u 1 = ∂x z y
1 x z
1 ⋅ , y
∂u = ∂y
S o
(1,1)
y = 2− x
(2) V x = π ∫ 1[( 2 − x )2− ( 0
x ) ]d x
2
x
( 2 − x ) 3 x 2 1 11 = π [− − ] 0 = 6 π. 3 2
9
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
( x + y ) f1′
。 n 条件收敛。 1 + nk
2．下列级数发散的是： A． ∑ 3
n =1 ∞
6．当 k 满足 1
n
1< k ≤ 2
时，级数
n =1
∑ (−1) n −1
∞
1 n +1
2
B． ∑
∞
1 n
3
n =1
n =1 2
e D． ∑ n =1 π
∞
n
7．二重积分
∫0 dy ∫y
1. ∫∫
D
x2 2 dxdy ， 其中 D 是由 xy = 1 , y = x , x = 2 所围 . 2 y
y
D
y = x2
(2,2)
1 解: Q D = {( x , y ) | 1 ≤ x ≤ 2 , x ≤ y ≤ x 2 } 2 x2 x 2 x2 ∴ ∫∫ 2 dxdy = ∫1 dx ∫ 1 2 dy x y D y
10．微分方程
dx dy + = 0 满足条件 y (2) = 1 的特解是 y 2 x2
x3 + y3 = 9
A．
密
5．设二元函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有连续的二阶偏导数，且
1
P D F
c re a te d
w ith
p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
∞
一、选择题（每小题 2 分共 10 分） 1．下列广义积分收敛的是： A． ∫2
封
+∞
n =1
（
+∞
A
） C ． ∫2 ） C． ∑ （ D
∞ +∞
dx x2
B ． ∫2 （
dx x A
dx x
D ． ∫2
+∞
dx ln x
5．设 z = f ( xy, x − y ) ，则
∂z ∂z + ∂x ∂y