人教版数学高二A版选修4-1自我小测第三讲一平行射影

自我小测
1．下列说法正确的是( )
A ．正射影和平行射影是两种截然不同的射影
B ．投影线与投影平面有且只有一个交点
C ．投影方向可以平行于投影平面
D ．一个图形在某个平面上的平行射影是唯一的
2．线段AB ，CD 在同一平面内的正射影相等，则线段AB ，CD 的长度关系为( )
A ．A
B ＞CD B ．AB ＜CD
C ．AB ＝C
D D ．无法确定
3．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论正确的是( )
A ．内心的平行投影还是内心
B ．重心的平行投影还是重心
C ．垂心的平行投影还是垂心
D ．外心的平行投影还是外心
4．下列结论中正确的是( )
①圆的平行射影可以是椭圆，但椭圆的平行射影不可能是圆；②平行四边形的平行射影仍然是平行四边形；③两条平行线段之比等于它们的平行射影(不是点)之比；④圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影，反之亦然．
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②③④
5．Rt △ABC 的斜边BC 在平面α内，则△ABC 的两条直角边在平面α内的正射影与斜边组成的图形只能是( )
A ．一条线段
B ．一个锐角三角形或一条线段
C ．一个钝角三角形或一条线段
D ．一条线段或一个钝角三角形
6．用平面α截圆柱OO ′，当OO ′与平面α所成的角等于__________时，截面是一个圆．
7．如图所示，设C 是线段AB 上任意一点，C ′，A ′，B ′分别是C ，A ，B 沿直线l 的方
向在平面α上的平行射影．若AC ＝4，CB ＝6，则A ′C ′C ′B ′
＝__________.
8．设P为△ABC所在平面外一点，点O为P在平面ABC上的正射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心．
9．如图所示，已知DA⊥平面ABC，△ABC是斜三角形，点A′是点A在平面BCD上的正射影，求证：点A′不可能是△BCD的垂心．
参考答案
1．解析：正射影是平行射影的特例，本质是相同的，故选项A错误；投影线与投影平面只能相交，选项B是正确的，选项C是错误的；一个图形在一个平面上的平行射影与投影方向有关，方向改变了，就可能得到不同的平行射影，故选项D错误．答案：B
2．解析：由线段AB，CD与平面所成的角来确定，虽然射影相等，但线段AB，CD的长度无法确定，故它们的长度关系也无法确定．
答案：D
3．解析：如果三角形的平行投影仍是三角形，但三角形的形状通常将发生变化，此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化，而重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常随着发生变化，而内心则始终是原先角平分线的交点，所以仍是新三角形的内心．答案：A
4．解析：由于平面图形的平行射影具有可逆性，即当一平面图形所在平面与投影平面不垂直时，该图形与其平行射影可以相互看作为对方的平行射影，只是投影方向相反罢了，因而①是错误的，④是正确的．当平行四边形所在平面平行于投影方向时，平行四边形的平行射影是一条线段，故②错误．很明显③正确．
答案：C
5．解析：(1)当顶点A在平面α内的正射影A′在BC所在直线上时，两条直角边在平面α内的正射影是一条线段，与斜边组成的图形是线段，如图(1)．
(2)当顶点A在平面α内的正射影A′不在BC所在直线上时，如图(2)．
∵AA′⊥α，∴AA′⊥A′B，AA′⊥A′C.
∴A′B＜AB，A′C＜AC.
在Rt△ABC中，AB2＋AC2＝BC2，
∴BC 2＞A ′B 2＋A ′C 2.
∴A ′B 2＋A ′C 2－BC 2＜0.
∴∠BA ′C 为钝角，
∴△A ′BC 为钝角三角形．
答案：D
6．90°
7．解析：∵AA ′∥l ，BB ′∥l ，CC ′∥l ，
∴AA ′∥BB ′∥CC ′.
由平行线分线段成比例定理，
得A ′C ′C ′B ′＝AC CB ＝46＝23
. 答案：23
8．解析：连接AO ，BO ，CO ，则AO ，BO ，CO 分别为PA ，PB ，PC 在平面ABC 内的正射影．
又PA ＝PB ＝PC ，由射影长定理，则OA ＝OB ＝OC ，
故O 为△ABC 的外心．
答案：外
9．分析：直接证明有困难，利用反证法证明．
证明：假设点A ′是△BCD 的垂心，则A ′B ⊥CD .
因为AA ′⊥平面BCD 于点A ′，则AB ⊥CD .又因为DA ⊥平面ABC ，则AB ⊥AC ，这与△ABC 是斜三角形的条件矛盾，故点A ′不可能是△BCD 的垂心．。