2020届全国100所名校高考模拟金典卷(四)数学(理)试题及答案

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2020届全国100所名校高考模拟金典卷（四）数学（理）
试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知集合，
，则（） A ．
B ．
C ．
D ．
答案：C
先求出集合B ，再利用交集定义和并集定义能求出结果． 解： 由
得x ＞0，所以B ＝{x|x ＞0}．
所以A ∩B ＝{x|0<x<1}．，
故选：C ． 点评：
本题考查交集、并集的求法及应用，涉及指数函数单调性的应用，是基础题． 2．若复数1z i
i
=+（i 为虚数单位），则z z ⋅=（） A ．
12
i B ．1
2 C ．14
D ．1
4
-
答案：B
化简可得z ，而2
z z z ⋅=，计算模长即可． 解：
∵1i 1
111i 2
i i i z i i -+===++-（）（）（）， ∴2
11142
z z z +⋅=== 故选B ． 点评：
本题考查复数的代数形式的运算，涉及模长的求解，属于基础题．
3．袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的红球，则第一次摸到红球的概率为（） A ．
1
6
B ．
13
C ．
12
D ．
15
答案：B
由题意，分别列出第二次摸到的红球的所有可能结果和第一次摸到红球的事件，利用古典概型计算公式确定去概率值即可. 解：
设两个红球为12,R R ，两个白球为12,w w ，
则第二次摸到的红球的所有可能结果为：112121122212,,,,,w R w R R R w R w R R R 共6种， 其中第一次摸到红球的事件包括：2112,R R R R 共2种， 结合排列组合公式可知第一次摸到红球的概率为2
163
P . 点评：
本题主要考查古典概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．已知角θ的终边经过点5,62P ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭（）
A ．7
6-
B ．177
-
C ．2-
D
答案：B
由已知可得tan θ，再由两角和的正切公式，即可求解. 解：
角θ的终边经过点5612,6,tan 5252
P θ-⎛⎫
--∴==
⎪⎝⎭-
， 所以tan tan
174tan 47
1tan tan 4
π
θπθπθ+⎛⎫
+
==- ⎪
⎝
⎭-. 故选：B. 点评：
本题考查三角函数定义的应用、三角恒等变换，考查数学运算能力，属于基础题.
5．若函数()21,0
1,0
x x f x mx m x ⎧+≥=⎨+-<⎩，在其定义域上单调递增，则实数m 的取值范围
是（） A ．(]0,3
B ．()0,3
C ．[)3,+∞
D ．[)0,+∞
答案：A
分段函数()f x 两段均为单调递增，而且右段的最低点不低于左段的最高点，即可求解. 解：
函数()21,0
1,0x x f x mx m x ⎧+≥=⎨+-<⎩在(),-∞+∞上单调递增，
01212
m m >⎧∴⎨-≤+=⎩，解得03m <≤， ∴实数m 的取值范围是(]0,3.
故选：A. 点评：
本题考查分段函数的单调性，要注意分段函数各段单调性相同的区间合并的条件，属于基础题.
6．已知双曲线2
2
:41C x y -=，经点()2,0P 的直线l 与C 有唯一公共点，则直线l 的
方程为（） A ．21y x =- B ．1
12
y x =-
+ C ．112y x =
-或1
12
y x =-+ D ．21y x =-或1
12
y x =-
+ 答案：C
点P 在双曲线内，过点()2,0P 的直线l 与C 有唯一公共点，则直线l 与渐近线平行，即可求解. 解：
由双曲线的几何性质可知，当直线与渐近线平行时， 直线l 与C 有唯一公共点，由于双曲线的渐近线为1
2
y x =±
， 故直线l 的方程为()122y x =-或()1
22
y x =--， 即112y x =-或1
12
y x =-+.
故选：C. 点评：
本题考查双曲线的性质以及直线与双曲线的位置关系，考查数形结合思想，属于基础题. 7．在ABC 中，角A ，B 的对边分别是a ，b ，且60A =︒，2b =，a x =，若解此三角形有两解，则x 的取值范围是（）
A ．x >
B ．02x <<
C 2x <<
D 2x <≤
答案：C
由三角形有两解可得，6090B ︒<<︒或90120B ︒<<︒，得到sin B 的取值范围，再由正弦定理，即可求解. 解：
由正弦定理得sin sin b A B a =
=
，60A =︒，
0120B ∴︒<<︒，要使此三角形有两解，
则60120B ︒<<︒，且90B ≠︒sin 1B <<，
1<<2x <<. 故选：C. 点评：
本题考查正弦定理解三角形，确定角的范围是解题的关系，考查数学运算能力，属于基础题.
8．二项式4
31(2)3n
x x
-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（） A ．7 B ．12
C ．14
D ．5
答案：A
试题分析：展开式的通项为471123r
n r r n r
r n T C x
--+⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，令470n r -=，据题意此方程有解，74
r
n ∴=
，当4r =时，n 最小为7，故选A. 【考点】二项式定理的应用.
9．榫卯（s ǔnm ǎo ）是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用.代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿，山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为（）
A ．8+162+8ππ，
B ．9+1628ππ+，
C ．8+1648ππ+，
D ．9+1648ππ+，
答案：A
由三视图得到组合体的直观图，然后再根据组合体的组合形式及题中数据求出表面积和体积． 解：
由三视图知该榫头是由上下两部分构成：上方为长方体（底面为边长是1的正方形，高为2），下方为圆柱（底面圆半径为2，高为2）． 其表面积为圆柱的表面积加上长方体的侧面积， 所以()(
)()2
22222
412816S πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯=+．
其体积圆柱与长方体体积之和，
所以(
)
2
221128+2V ππ=⨯⨯+⨯⨯=． 故选A ． 点评：
解答本题的关键是由三视图得到组合体的形状，容易出现的错误是求表面积时忽视圆柱和长方体相连的部分的面积，考查空间想象力和计算能力，属于基础题． 10．运行程序框图，如果输入某个正数后，输出的
，那么的值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：B
依次运行框图中给出的程序，根据输出结果所在的范围来判断图中的值．
解：
依次运行框图中的程序，可得：
第一次：；
第二次：；
第三次：；
第四次：；
第五次：；
……
因为输出的，
所以程序运行完第四次即可满足题意，所以判断框中的值为4．
故选B．
点评：
程序框图的补全及逆向求解问题思路：①先假设参数的判断条件满足或不满足；②运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；③根据此时各个变量的值，补全程序框图．此类试题要求学生要有比较扎实的算法初步的基本知识，以及综合分析问题和解决问题的能力，要求较高，属中档题．
11．已知定义在非零实数集上的奇函数，函数与图像共有4个交点，则该4个交点横坐标之和为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
答案：D 先由函数
是奇函数，得到
的对称中心，再根据
得到
的对称中心，由对称性，即可得出结果.
解： 因为函数是奇函数，关于点中心对称；
所以函数关于点中心对称； 又由得到
，
即函数的对称中心为，
因此，点也是函数
的一个对称中心； 由函数
与
图像共有4个交点， 交点横坐标依次设为且
， 所以由函数对称性可知，，
因此.
故选D 点评：
本题主要考查函数对称性、以及奇偶性的应用，熟记概念以及三角函数性质，即可求解，属于常考题型.
12．已知函数()x
f x ax e k =--，若21,k e ⎡⎤∈-⎣⎦时，函数()f x 至少有2个零点，其
中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（） A ．(
)
2
,e +∞ B ．()1,+∞
C ．(
)2
1,e
D ．()0,1
答案：A
由()0f x =，得2
,1,x ax e k k e ⎡⎤-=∈-⎣⎦，令()
x g x ax e ，转化为()g x 与y k =，
2
1,k e ⎡⎤∈-⎣⎦至少有两交点，求出()g x 的单调性，极值最值，结合函数变换趋势，建立
k 的不等量关系，即可求解.
解：
由题意可知方程x ax e k -=，2
1,k e ⎡⎤∈-⎣⎦上至少有两个实数根，
令()
x g x ax e ，则()g x 与2
,1,y k k e ⎡⎤=∈-⎣⎦至少有两交点，
()x g x a e '=-，当0,()0a g x ≤'<在R 恒成立， ()g x ∴在R 上单调递减，
()g x 与2,1,y k k e ⎡⎤=∈-⎣⎦至多只有一个交点，不合题意；
当0a >时，ln ,()0.ln ,()0x a g x x a g x <'>>'<，
()g x 的单调递增区间是(,ln )a -∞，单调递减区间是(ln ,)a +∞，
所以ln x a =时，()g x 取得极大值，也是最大值为ln a a a -， 当,(),,()x g x x g x →-∞→-∞→+∞→-∞，
要使()g x 与2,1,y k k e ⎡⎤=∈-⎣⎦至少有两交点，只需2ln a a a e ->，
ln (ln 1),0,ln 0,,ln 0a a a a a a e a a a a e a a a -=-<≤-≤>->，
而2ln a a a e ->，a e ∴>，设()ln ,,()ln 0h a a a a a e h a a =->'=>
()h a ∴在(,)e +∞是单调递增，而22()h e e =， 2ln a a a e ∴->的解为2a e >，
a ∴的取值范围是()
2,e +∞.
故选：A. 点评：
本题考查零点问题与函数交点的关系，利用导数研究函数的性质是解题的关键，考査分类讨论思想和数学运算、逻辑推理能力，属于较难题.. 二、填空题
13．已知a 、b 为两个单位向量，且0a b ⋅=，则a 与2a b +夹角的余弦值为__________．
. 先求出复数2a b +的模，再由向量夹角公式，即可求出结果. 解：
因为a 、b 为两个单位向量，且0a b ⋅=，
所以22(2)14a b a b +=
+=+=
设a 与2a b +夹角为θ，
则
2
2
(2)
cos
2
a b a
a b a
a a b
θ
+•
+•
====
+
点评：
本题主要考查求向量的夹角，熟记平面向量数量积的运算以及夹角公式即可，属于常考题型.
14．椭圆
22
(0)
167
x y
m m
+=>的离心率为_________．
答案：
3
4
由椭圆方程得到,,
a b c，直接计算离心率即可.
解：
因为椭圆
22
(0)
167
x
y
m m
+=
>，
所以222
16,79
a m
b m
c m
===
，．
所以
3
4
c
c e
a
====，
故答案为：
3
4
点评：
本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的离心率，考查数学运算能力，属于容易题．15．已知,x y∈R，满足
20,
250,
470,
x y
x y
x y
--≤
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪-+≥
⎩
则4
z y x
=-的最大值为__________.
答案：2
-
做出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数的最值.
解：
由约束条件
20
250
470
x y
x y
x y
--≤
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪-+≥
⎩
做出可行域如图（阴影部分）所示，
当目标函数4
z y x
=-过点A时，取得最大值，
由250470
x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得()1,2A ，所以max 242z =-=-. 故答案为：2-.
点评：
本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.
16．如图，在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，2CD =，1AB BC ==，E 是边CD 的中点，ADE 沿AE 翻折成四棱锥D ABCE '-，则点C 到平面ABD '距离的最大值为__________.
答案：
2
2
由已知得CE
平面ABD '，直线CE 上任一点到平面ABD '距离都相等，转化过CE 上
任一点作与平面ABD '垂直的平面，根据面面垂直的性质定理，做出点到平面距离的线段，求出长度关系，进而求出其最大值. 解：
由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥D ABCE '-中， 底面ABCE 为边长是1的正方形，
侧面D EA '中，D E AE '⊥，且1D E AE '==，
AE D E '⊥，AE CE ⊥，D E CE E '=，AE ∴⊥平面D CE '，
作D M CE '⊥于M ，作MN AB ⊥于N ，连接D N '， 则由AE ⊥平面D CE '，可得D M
AE '⊥，CE AE E =
D M '∴⊥平面ABC
E .又AB ⊂平面ABCE ，D M AB '∴⊥，
MN AB ⊥，D M
MN M '=，AB ∴⊥平面D MN '.
AB ⊂平面ABD '，∴平面ABD '⊥平面D MN '，
平面ABD '
平面D MN D N ''=，
在D MN '△中，作MH D N '⊥于H ，则MH ⊥平面ABD '，
,AB
CE AB ⊂平面ABD '，CE ⊄平面ABD '，
CE ∴∥平面ABD '，MH ∴即为点C 到平面ABD '的距离，
在Rt D MN '△中，D M MN '⊥，1MN =， 设D M x '=，则01x D E '<≤=，21D N x '∴=+. 由D M MN D N MH ''⋅=⋅可得21x x MH =
+⋅，
2
2
2
2111MH x x ∴=
=
≤
++，当1x =时等号成立，
此时D E '⊥平面ABCE ，
综上可得，点C 到平面ABD '距离的最大值为
22
. 故答案为：
22
. 点评：
本题考查空间线、面的位置关系，利用基本不等式解决点到面的距离最大问题，注意空间垂直关系的相互转化，做出点面距是解题的关键，属于中档题. 三、解答题
17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为1，公差为2的等差数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足()1212
15452n
n n a a a
n b b b ⎛⎫
++
+=-+ ⎪⎝⎭
，求数列{}n b 的前n 项和n T .
答案：（1）43n a n =-；（2）1
22n n T +=-.
分析：（1）利用1,1,2n n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（2）利用类似1,1,2n n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩的
方法求出
n
n
a b ，进而求出n b ，再利用等比数列的求和公式进行求解. 详解：（1）由题意得：
21n
S n n
=-， 当2n ≥时，143n n n a S S n -=-=-，
1n =时，11a =对上式也成立，
∴43n a n =-.
（2）()121215452n
n n a a a n b b b ⎛⎫++
+=-+ ⎪⎝⎭
， 当2n ≥时，()1
11212
115412n n n a a a
n b b b ---⎛⎫
++
+=-+ ⎪⎝⎭
，
相减可得：()1432n
n n a n b ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，又43n a n =-，
解得2n
n b =，
1n =时，12b =对上式也成立，
∴2n
n b =，
∴(
)1
2122
212
n n n
T +-==--，
∴数列{}n b 的前n 项和1
22n n T +=-.
点睛：利用数列{}n a 的通项公式n a 和前n 项和公式n S 的关系求通项时，要注意
1,1,2n n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩为分段函数，解题时容易忽视验证“1n =”的通项是否满足2
n ≥的通项.
18．在四棱锥AB 中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，CDA 120︒∠=
.
（1）求证：BD PC ⊥；
（2）设E 为PC 的中点，点F 在线段AB 上，若直线EF //平面PAD ，求AF 的长； （3）求二面角A PC B --的余弦值. 答案：（1）见解析；（2）1；（3
）
7
. （1）利用线面垂直的判定定理，证明BD ⊥平面PAC ，可得BD ⊥PC ；（2）取DC 中点G ，连接FG ，证明平面EFG ∥平面PAD ，可得FG ∥平面PAD ，证明三角形AMF 为直角三角形，即可求AF 的长；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PAC 、平面PBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A ﹣PC ﹣B 的余弦值． 解：
（1）∵ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点， ∴BM AC ⊥，即BD AC ⊥.
又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA BD ⊥. 又PA AC A ⋂=，∴BD ⊥平面PAC . ∴BD PC ⊥.
（2）取DC 中点G ，连接FG ，则EG //平面PAD ，
又直线EF //平面PAD ，EG ∩EF=E,所以平面EFG //平面PAD ，所以
FG //AD
∵M 为AC 中点，DM AC ⊥，∴AD CD =.
∵ADC 120︒∠=，AB 4=，∴BAD BAC CAD 90︒∠=∠+∠=，则三角形AMF 为直角三角形，又60AMF ︒∠=，故AF 1=
（3）分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系，
∴()B 4,0,0，()
C 2,23,0，43
D 0,,0⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，()P 0,0,4.
434,,0DB ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
为平面PAC 的法向量. ()
2,23,4PC =-，()4,0,4PB =-.
设平面PBC 的一个法向量为()n x,y,z =，
则00
n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22340440x y z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，
令3z =，得x 3=，3y =
，则平面PBC 的一个法向量为()
3,3,3n =，
设二面角A PC B --的大小为θ，则7
cos ||n PB n PB θ⋅=
=⋅.
所以二面角A PC B --余弦值为
7.
点评：
本题考查线面垂直的判定定理与性质，考查二面角，考查学生分析解决问题的能力，考
查向量法的运用，确定平面的法向量是关键．
19．已知抛物线()2
:20C y px p =>上一点()0,2P x 到焦点F 的距离02PF x =.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点P 引圆(
)(2
2
2
:30M x y r
r -+=<≤的两条切线PA PB 、，切线
PA PB 、与抛物线C 的另一交点分别为A B 、，线段AB 中点的横坐标记为t ，求t 的取
值范围.
答案：（1）2
4y x =（2）见解析
（1）由题意确定p 的值即可确定抛物线方程；
（2）很明显切线斜率存在，由圆心到直线的距离等于半径可得12,k k 是方程
()
2
224840r
k k r --+-=的两根，联立直线方程与抛物线方程可得点D 的横坐标
()()2
01212223x k k k k =+-+-.结合韦达定理将原问题转化为求解函数的值域的问
题即可. 解：
（1）由抛物线定义,得02
p
PF x =+
，由题意得： 0
00
22
240
p x x px p ⎧
=+⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩
解得021p x =⎧⎨=⎩ 所以，抛物线的方程为2
4y x =.
（2）由题意知，过P 引圆(
)2
223(0x y r r -+=<≤
的切线斜率存在，设切线PA
的方程为()112y k x =-+，则圆心M 到切线PA
的距离d r =
=，整理得，
()
2
22114840r
k k r --+-=.
设切线PB 的方程为()212y k x =-+,同理可得()
2
2
2
224840r k k r --+-=.
所以，12,k k 是方程(
)
2
22
4840r k k r --+-=的两根，12122
8
,14
k k k k r +==-. 设()11,A x y ，()22,B x y 由()12
124y k x y x
⎧=-+⎨
=⎩
得，2
114480k y y k --+=，
由韦达定理知，111842k y k -=
，所以11
211
424
242k y k k k -==-=-，同理可得2142y k =-.
设点D 的横坐标为0x ，则()()2
2
22
2112120
4242288
k k x x y y x -+-++=== ()
()()()2
2212121212221223k k k k k k k k =+-++=+-+-.
设12t k k =+，则[)2
8
4,24
t r =∈---， 所以，2
0223x t t =--，对称轴122
t =>-，所以0937x <≤
点评：
本题主要考查抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：
某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三
年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： （1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，950a =，记x 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求x 的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）
（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元:
①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；
②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值. 答案：（1）分布列见解析，942EX ≈（2）①
20
27
，②50万元 （1）由题意列出X 的可能取值为0.9a ，0.8a ，0.7a ，a ，1.1a ，1.3a ，结合表格写出概率及分布列，再求解期望
（2）①建立二项分布求解三辆车中至多有一辆事故车的概率 ②先求出一辆二手车利润的期望，再乘以100即可 解：
（1）由题意可知：X 的可能取值为0.9a ，0.8a ，0.7a ，a ，1.1a ，1.3a 由统计数据可知：
1(0.9)6P X a ==
，1(0.8)12P X a ==，1(0.7)12P X a ==，1()3P X a ==，1( 1.1)4P X a ==，1
( 1.3)12
P X a ==.
所以X 的分布列为：
0.90.80.7 1.1 1.3942
6121234121212
EX a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==≈.
（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故的概率为13
，三辆车中至多有一辆事故车的概率为：
32
1311220133327P C ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭. ②设Y 为给销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为5000,10000- 所以Y 的分布列为：
所以500010000500033
EY =-⨯
+⨯=. 所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为
10050EY ⨯=万元.
点评：
本题考查离散型随机变量及分布列，考查二项分布，考查计算能力，是基础题 21．已知函数1
()ln ,a f x x x -=+
()sin 12(),a x g x a R x
+-=∈. （1）求函数()f x 的极小值；
（2）求证：当11a -≤≤时，()()f x g x >. 答案：（1）见解析（2）见解析 （1）由题意可得()()
2
1,0x a f x x x
'--=>（）分类讨论函数的极小值即可. （
2
）
令
()()()()1211
,(0)a sinx a xlnx asinx F x f x g x lnx x x x x
+---+=-=+
-=>，原问题等价于()0F x >,即证1xlnx asinx >-.据此分类讨论01a <≤，=0a 和10a -≤<三种情况即可证得题中的结论. 解： （1）()()22
111,0x a a f x x x x x
（）---=
-=>' 当10a -≤时，即1a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，无极小值；
当10a ->时，即1a >时，()0,01f x x a <⇒<<-'，函数()f x 在()0,1a -上单调递减；
()0,1f x x a >⇒>-'，函数()f x 在()1,a -+∞上单调递增； ()()()=111f x f a ln a -=+-极小，
综上所述，当1a ≤时，()f x 无极小值；当1a >时，()()11f x ln a =+-极小 （
2
）
令
()()()()1211
,(0)a sinx a xlnx asinx F x f x g x lnx x x x x
+---+=-=+
-=> 当11a -≤≤时，要证：()()f x g x >，即证()0F x >,即证10xlnx asinx -+>， 要证10xlnx asinx -+>，即证1xlnx asinx >-. ①当01a <≤时，
令()h x x sinx =-，()10h x cosx -'=≥，所以()h x 在()0,+∞单调递增， 故()()00h x h >=，即x sinx >. 11*ax asinx ∴->-（）
， 令()1q x xlnx x =-+，()=q x lnx '，
当()()0,1,0x q x ∈'<，()q x 在()0,1单调递减；()()1,,0x q x '∈+∞>，()q x 在
()1,+∞单调递增，故()()10q x q ≥=，即1xlnx x ≥-.当且仅当1x =时取等号
又
01a <≤，11**xlnx x ax ∴≥-≥-（） 由*（）、**（）可知111xlnx x ax asinx ≥-≥->- 所以当01a <≤时，1xlnx asinx >-
②当=0a 时，即证1xlnx >-.令()=m x xlnx ，()=1m x lnx +'，()m x 在10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上单
调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()11
=1min m x m e e
⎛⎫=-
>- ⎪⎝⎭
，故1xlnx >- ③当10a -≤<时，当0,1]x ∈
（时，11asinx -<-，由②知()1
m x xlnx e
=≥-，而1
1e
->-， 故1xlnx asinx >-；
当1,x ∈+∞（）时，10asinx -≤，由②知()()10m x xlnx m =>=，故1xlnx asinx >-；
所以，当0,x ∈+∞（）时，1xlnx asinx >-.
综上①②③可知，当11a -≤≤时，()()f x g x >. 点评：
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为121x t y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），在以坐标
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为sin a ρθ=（a R ∈且0a ≠）.
（I ）求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知()1,A ρθ是直线l 上的一点，2,6B πρθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
是曲线C 上的一点，1R ρ∈，2R ρ∈，若
||
||OB OA 的最大值为2，求a 的值. 答案：(I)1sin 32
πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭；220x y ay +-=.(Ⅱ)2a =± （I ）利用参数方程、极坐标方程和普通方程互化的公式求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）先利用极坐标方程求出11sin 32πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭，2sin 6a πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，再求出
21||||OB OA ρρ==sin 23a πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即得sin 2||=23a a πθ⎛
⎫+≤ ⎪⎝
⎭，解之即得a 的值. 解：
解：（I ）消去参数t ，得直线l
10y -+=， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，
得直线l
的极坐标方程为sin )10ρθθ-+=，即1sin 32
πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭. 曲线C 的极坐标方程为sin a ρθ=（a R ∈且0a ≠），即sin a ρθ=，
由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为220x y ay +-=.
（Ⅱ）∵()1,A ρθ在直线l 上，2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭在曲线C 上， ∴11sin 32πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，2sin 6a πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
， ∴21||2sin sin ||63OB a OA ρππθθρ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 2sin cos sin 2||663a a a πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ ∴||2a =，2a =±.
点评：
本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
23．设函数()13f x x x =--+.
（1）求不等式()1f x ≤的解集；
（2）若函数()f x 的最大值为m ，正实数,p q 满足2p q m +=，求212p q
++的最小值. 答案：（1）32x x ⎧
⎫≥-⎨⎬⎩⎭
（2）见解析 （1）不等式可化为3131x x x ≤-⎧⎨-++≤⎩或31111x x x -<<⎧⎨---≤⎩或1131
x x x ≥⎧⎨---≤⎩，据此求解不等式的解集即可；
（2）由题意可得4m =，结合均值不等式的求解212p q
++的最小值即可，注意等号成立的条件.
解：
（1）不等式可化为3131x x x ≤-⎧⎨-++≤⎩
或31111x x x -<<⎧⎨---≤⎩或1131x x x ≥⎧⎨---≤⎩
解得32x ≥- ()1f x ∴≤的解集为32x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩
⎭ （2）13134x x x x ---≤-++=，
()4,24226m p q p q ∴=+=∴++=，
()2112114222426262q p p q p q p q p q ⎛⎫⎛⎫++=+++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
14463⎛≥+= ⎝. 当且仅当223p q +==时，即132p q =⎧⎪⎨=⎪⎩
时，取“=”， 212p q ∴++的最小值为43
． 点评：
绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。