2016年上海市高考数学·二模汇编 函数

2016届上海高中数学·二模汇编 函数
一、填空题
1、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模理文1）设集合},2||{R ∈<=x x x A ，},034{2
R ∈≥+-=x x x x B ，则
=B A _________．
2、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模理文3）设0>a 且1≠a ，若函数2)(1+=-x a x f 的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是___________．
3、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模理7）设定义在R 上的奇函数)(x f y =，当0>x 时，42)(-=x x f ，则不等式0)(≤x f 的解集是__________________．
4、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模文7）设定义在R 上的偶函数)(x f y =，当0≥x 时，42)(-=x x f ，则不等式0)(≤x f 的解集是__________________．
5、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模理14）已知0>a ，函数x
a
x x f -=)(（]2,1[∈x ）的图像的两个端点分别为A 、
B ，设M 是函数)(x f 图像上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若1||≤MN 恒成立，则a 的最大值是_________________．
6、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模文14）对于函数bx ax x f +=2)(，其中0>b ，若)(x f 的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为_____________．
7、（2016年崇明二模文理1）已知全集U R =，{}
2|20A x x x =-<，{}|1B x x =≥，则U A C B = 8、（2016年崇明二模文8理6）已知,x y R +∈，且满足
134
x y
+=，则xy 的最大值为 9、（2016年崇明二模文9理8）已知函数22,0
(),0
x a x f x x ax x ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩≥，若()f x 的最小值是a ，则a =
10、（2016年崇明二模文14）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x R ∈，都有(4)()f x f x +=，当[]
4,6x ∈的时候，()21x f x =+，()f x 在区间[]2,0-上的反函数为1()f x -，则1(19)f -= ．
11、（2016年崇明二模理14）已知函数()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且123,12
()11,222x x f x f x x ⎧--<⎪
=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭
⎩≤≥，则函数
2()3y x f x =-在区间(1,2016)上的零点个数为 ．
12、（2016年黄埔二模文理1）已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m = ．
13、（2016年黄埔二模文理3）函数3()1f x x =+的反函数1()f x -= ．
14、（2016年黄埔二模文理8）已知函数32()lg(1)f x x x x =+++，若()f x 的定义域中的a 、b 满足
f (-a )+f (-b )-3=f (a )+f (b )+3，则()()f a f b += ．
15、（2016年黄埔二模文14理13）正整数a 、b 满足1a b <<，若关于x 、y 的方程组24033,|1|||||
y x y x x a x b =-+⎧⎨
=-+-+-⎩有且只有一组解，则a 的最大值为 ．
16、（2016年徐汇金山松江二模文理2）若集合{}
{}
310,12A x x B x x =+>=-<，则A B =_______________．
17、（2016年徐汇金山松江二模文7）函数22
122
y x x =
++
+的最小值=__________________．
18、（2016年徐汇金山松江二模文14理13）定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时，[)[)12
log (1),0,1,
()13,1,,
x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩
则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为________________（结果用a 表示）．
19、（2016年杨浦二模文理1）函数2
()1x f x x +=
-的定义域为 . 20、（2016年杨浦二模理13）若关于x 的方程5445x x m x x
⎛⎫+--= ⎪⎝
⎭在(0,)+∞内恰有三个相异实根，则实数m 的取值范围为 .
21、（2016年杨浦二模文13）若关于x 的方程5454x x m x x
⎛⎫+
--= ⎪⎝⎭在(0,)+∞内恰有四个相异实根，则实数m 的取值范围为 .
22、（2016年奉贤二模文理2）函数21x y =
-的定义域是_______．(用区间表示)
23、（2016年奉贤二模文理10）已知函数()22x
x
f x a -=-⋅的反函数是()1
f x -，()1f x -在定义域上是奇函数，
则正实数a =_____．
24、（2016年奉贤二模文11）已知1,
0x y ≥≥，集合{(,)|4}A x y x y =+≤,{(,)|0}B x y x y t =-+=，如果
A B φ⋂≠,则t 的取值范围是_______．
25、（2016年虹口二模文理1）设集合{}
2
M x x x ==，{}20
N x log x =≤，则=N M __________.
26、（2016年虹口二模文理5）已知函数()f x 的对应关系如下表：
x
2-
1-
1
2
()f x
3
2-
1
5
m
27、（2016年虹口二模文13）设函数2,1()(0,1),2,1
x a x f x a a x x x ⎧<⎪=>≠⎨-≥⎪⎩其中若不等式()3f x ≤的 解集为(],3,-∞则实数a 的取值范围为___________.
28、（2016年虹口二模理14） 已知对任意的[](,0)(0,),1,1x y ∈-∞⋃+∞∈-，不等式
222168
210x xy y a x x
+
----≥恒成立，则实数a 的取值范围为_________. 29、（2016年静安二模文1）已知全集U R =，集合{}
(1)(4)0A x x x =--≤，则集合A 的补集U C A = . 30、（2016年静安二模文2）指数方程462160x x -⨯-=的解是 .
31、（2016年静安二模文7）设函数()23f x x =-，则不等式()5f x <的解集为 . 32、（2016年静安二模文理8）关于θ 的函数2
()cos 2cos 1f x θθθ=--的最大值记为()M x ，则()M x 的解析式
为
33、（2016年静安二模文理14）设关于x 的实系数不等式2(3)()0ax x b +-≤对任意[0,)x ∈+∞恒成立，则2a b = .
34、（2016年闵行二模文理1）函数3log (1)y x =-的定义域是 .
35、（2016年闵行二模文理2）集合{}2
|30A x x x =-<，{}
2B x x =<，则A
B 等于 .
36、（2016年闵行二模文理4）已知函数3log 1()21
x f x =
，则1
(0)f -= .
37、（2016年闵行二模文理9）若0m >，0n >，1m n +=，且
1
t m n
+（0t >）的最小值为9，则t = . 38、（2016年闵行二模理14）若两函数y x a =+与212y x =-的图像有两个交点A 、B ，O 是坐标原点，
OAB △是锐角三角形，则实数a 的取值范围是 .
39、（2016年闵行二模文14）若两函数y x a =+与212y x =-的图像有两个交点A 、B ，
O 是坐标原点，当OAB △是直角三角形时，则满足条件的所有实数a 的值的乘积为 . 40、（2016年浦东二模文理1）已知全集U R =,若集合|
01x A x x ⎧
⎫
=>⎨⎬-⎩⎭
，则U C A = . 41、（2016年浦东二模文理5）方程22log (97)2log (31)x x +=++的解为 . 42、（2016年浦东二模文理6）已知函数311()=3x f x a x a +⎛⎫≠ ⎪+⎝⎭
的图像与它的反函数的图像重合，则实数a 的值
为 .
43、（2016年浦东二模理14）关于x 的方程
11
sin 211
x x π=--在[]2016,2016-上解的个数是 ．
44、（2016年普陀二模文14）关于x 的方程
11
sin x π=在[]6,6-上解的个数是 ．
45、（2016年普陀二模文理1）若集合{
}
R x x y x A ∈-==,1|，{}R x x x B ∈≤=,1|||，则=B A .
46、（2016年普陀二模文理2）若函数x
x f 1
1)(+=()0>x 的反函数为)(1x f -，则不等式2)(1>-x f 的解集为 .
47、（2016年普陀二模文理4）. 若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则
=)2016(f .
48、（2016年普陀二模文理13）设函数⎩⎨⎧>-≤+=-0
),1(0,2)(x x f x a x f x ，记x x f x g -=)()(，若函数)(x g 有且仅有两个
零点，则实数a 的取值范围是 .
49、（2016年闸北二模文理1）设函数()(01x x f x a a a a -=+>≠且），且(1)3f =，则(0)(1)(2)f f f ++的值是 ．
50、（2016年闸北二模文理2）已知集合{||2|}A x x a =-<，2{|230}B x x x =--<，若B A ⊆，则实数a 的取
值范围是 ．
51、（2016年闸北二模文9）已知函数2cos ,||1()2
1,||1
x
x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩，则关于x 的方程2
()3()20f x f x -+=的实根的个数是 个．
52、（2016年闸北二模理10）设函数2()1f x x =-，对任意⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23
x ，2
4()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+
⎪⎝⎭
恒成立，则实数m 的取值范围是 ．
53、（2016年闸北二模文10）（文）设函数1
()f x x x
=-,对任意[1,)x ∈+∞，()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是 ．
二、选择题
1、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模理18）已知函数⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤⎪
⎭⎫ ⎝
⎛<<=,153,6sin ,30,|log |)(3x x x x x f π 若存在实数1x ，2x ，3x ，4
x 满足)()()()(4321x f x f x f x f ===，其中4321x x x x <<<，则4321x x x x 的取值范围是（ ）． （A ）)96,60( （B ）)72,45( （C ）)48,30( （D ）)24,15(
2、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模文18）已知直线l ：b x y +=2与函数x
y 1
=的图像交于A 、B 两点，设O 为坐标原点，记△OAB 的面积为S ，则函数)(b f S =是（ ）．
（A ）奇函数且在),0(∞+上单调递增 （B ）偶函数且在),0(∞+上单调递增 （A ）奇函数且在),0(∞+上单调递减 （D ）偶函数且在),0(∞+上单调递减
3、（2016年崇明二模文理15）“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不不充分也不必要条件
4、（2016年崇明二模文理18）函数()y f x =的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个
不同的数12,,
,n x x x ，使得
1212
()
()()
n n
f x f x f x x x x ===
，则n 的取 值范围是 （ ） A ．{3,4}
B ．{2,3}
C ．{3,4,5}
D ．{2,3,4}
5、（2016年徐汇金山松江二模文理15）已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的
（A ） 充分非必要条件
（B ） 必要非充分条件 （C ） 充要条件
（D ）既非充分也非必要条件
6、（2016年徐汇金山松江二模文17理16）函数y =2
2,0,
,0
x x x x ≥⎧⎨
-<⎩的反函数是 （ ） （A ）,02,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩（B ）,0
2,0
x x y x x ⎧≥⎪=⎨⎪--<⎩
（C ）2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩ （D ）2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩
7、（2016年杨浦二模文理15）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,)+∞上递增的是 （ ）.
A 、2x
y = B 、ln y x = C 、1
3
y x = D 、1y x x
=+
8、（2016年杨浦二模文理17）设,,x y z 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．
的是 （ ）. A 、2
211x x x x
+
≥+ B 、312x x x x +-+≤+- C 、1
||2x y x y
-+
≥- D 、||||||x y x z y z -≤-+- y
x
a
b O （第18题图）
9、（2016年杨浦二模理18）方程935x x
b ++=()b R ∈两个负实数解,则b 的取值范围为 （ ）
A ．()3,5
B ．()5.25,5--
C ．[)5.25,5-
D ．前三个都不正确
10、（2016年杨浦二模文18）方程935x x b ++=()b R ∈有一个正实数解,则b 的取值范围为 （ ）
A ．()5,3-
B ．()5.25,5--
C ．[)5,5-
D ．前三个都不正确
11、（2016年静安二模理15）下列不等式一定成立的是 （ ）
A ．2
1lg()lg (0)4
x x x +>>
B ．1
sin 2(,)sin x x k k Z x
π+≥≠∈ C ．2
12||()x x x R +≥∈
D ．
2
1
1()1
x R x >∈+ 12、（2016年静安二模文理17）若函数()()2
F x f x x =+为奇函数，且g (x )= f (x )＋2，已知 f (1) =1，则g (－1)的值为 （ ） A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2
13、（2016年闵行二模文理15）如果a b >，那么下列不等式中正确的是 （ ） (A)
11
a b
> (B) 22a b > (C) ()()lg 1lg 1a b +>+ (D) 22a b > 14、（2016年浦东二模文理15）“
1
12
x <<”是“不等式11x -<成立”的 （ ） （A ）充分非必要条件. （B ）必要非充分条件. （C ）充要条件. （D ）既非充分亦非必要条件.
15、（2016年浦东二模文理18）已知平面直角坐标系中两个定点(3,2),(3,2)E F -，如果对于常数λ，在函数
224,[4,4]y x x x =++--∈-的图像上有且只有6个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，那么λ的取值范围
是 ( )
（A ）95,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）9,115⎛⎫- ⎪⎝⎭
（C ）9,15⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （D ）()5,11-
16、（2016年普陀二模文理18）对于正实数α，记αM 是满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：对于任意的实数
R x x ∈21,且21x x <，都有()()121212)()(x x x f x f x x -<-<--αα成立.下列结论中正确的是 （ ）
（A ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x f （B ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则
2
1)()
(ααM x g x f ∈ （C ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x f
（D ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f
三、解答题
1、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模理21）定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0>M ，都有M x f ≤)(成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界．
（1）设1)(+=
x x x f ，判断)(x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-21,21上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出)(x f 的所有上界M 的集合；若不是，也请说明理由；
（2）若函数x x a x g 421)(⋅++=在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．
2、（2016年长宁宝山青浦嘉定二模文21）定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0>M ，都有M x f ≤)(成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界．
（1）设1)(+=
x x x f ，判断)(x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-21,21
上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出)(x f 的所有上界M 的集合；若不是，也请说明理由；
（2）若函数x
x a x g ⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=41211)(在),0[∞+上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．
3、（2016年崇明二模文理20）已知函数()33x x f x λ-=+⋅()R λ∈ （文）（1）当4λ=-时，求解方程()3f x =；
（2）根据λ的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由． （理）（1）根据λ的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式()6f x ≤在[]0,2x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围．
4、（2016年黄埔二模文理21）
已知函数2
()1
x x f x a x -=+
+，其中1a >． （1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．
（2）证明：不存在负实数0x 使得0()0f x =．
5、（2016年徐汇金山松江二模文理21）已知函数()2f x x a a =-+． （1）若不等式()6f x <的解集为()1,3-，求a 的值；
（2）在（1）的条件下，若存在0,x R ∈使00()()f x t f x ≤--，求t 的取值范围．
6、（2016年杨浦二模理21）
已知函数2()log (21)x f x ax =++，其中R a ∈. （1）根据a 的不同取值，讨论()f x 的奇偶性，并说明理由；
（2）已知0a >，函数()f x 的反函数为1()f x -，若函数1
()()y f x f x -=+在区间[1,2]上的最小值为21log 3+，
求函数()f x 在区间[1,2]上的最大值.
7、（2016年杨浦二模文21）
已知函数2()log (21)x f x ax =++，其中R a ∈. （1）当1
2
a =-
，求证：函数()f x 是偶函数；
（2）已知0a >，函数()f x 的反函数为1()f x -，若函数1()()y f x f x -=+在区间[1,2]上的最小值为21log 3+，
求函数()f x 在区间[1,2]上的最大值.
8、（2016年奉贤二模文理22）（1）已知120x x <<，求证：11
22
11x x x x +>+； （2）已知()()31
lg 1log 2
f x x x =+-
,求证：()f x 在定义域内是单调递减函数； （3）在（2）的条件下，求集合(
)
{}
2
21419980,M n f n n n Z =--≥∈的子集个数.
9、（2016年奉贤二模文理21）
已知函数131()log 1ax f x x -⎛⎫= ⎪-⎝
⎭满足(2)1f -=，其中a 为实常数. （1）求a 的值，并判定函数()f x 的奇偶性；
（2）若不等式1()2x
f x t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭
在[]2,3x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.
10、（2016年静安二模文理22）已知函数()y f x =，若在区间I 内有且只有一个实数c (c I ∈)，使得()0f c =成立，则称函数()y f x =在区间I 内具有唯一零点.
（1）（文）判断函数()2log f x x =在定义域内是否具有唯一零点，并说明理由； （理）判断函数()22
1,01,log ,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨≥⎩在区间(0,)+∞内是否具有唯一零点，并说明理由； （2）已知向量31(
,)22
m =，(sin 2,cos2)n x x =，(0,)x π∈，证明()1f x m n =⋅+在区间(0,)π内具有唯一零点；
（3）若函数2()22f x x mx m =++在区间(2,2)-内具有唯一零点，求实数m 的取值范围.
11、（2016年闵行二模文理21）为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型()n ∈*N ： 以8122002000,(18)()36033000,(932)32400720,(3345)n n n f n n n n -⋅+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-⋅≤≤⎪⎩
表示第n 个时刻进入园区的人数；
以0,(118)()5009000,(1932)8800,(3345)n g n n n n ≤≤⎧⎪=⋅-≤≤⎨⎪≤≤⎩
表示第n 个时刻离开园区的人数．
设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即1=n ；9点30分作为第2个计算单位，即2=n ；依次类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．
（1）试计算当天14点至15点这一小时内，进入园区的游客人数(21)(22)(23)(24)f f f f +++、离开园区的游客人数(21)(22)(23)(24)g g g g +++各为多少？
（2）（理科）从13点45分（即19n =）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．
（文科）假设当日园区游客总人数达到或超过8万时，园区将采取限流措施．该单位借助该数学模型知晓当天16点（即28n =）时，园区总人数会达到最高，请问当日是否要采取限流措施？说明理由．
1i =函数”。

注：121n i n i a
a a a ==+++∑L 。

（1）证明函数()sin cos f x x x =+在,02π⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦上是“绝对差有界函数”。

（2）证明函数cos ,01,()20,0
x x f x x x π⎧<≤⎪=⎨⎪=⎩不是[]0,1上的“绝对差有界函数”。

（3）记集合{[]121212()|0,,,()()}A f x k x x a b f x f x k x x =>∈-≤-存在常数，对任意的有成立证明集合
A 中的任意函数()f x 为“绝对差有界函数”
，并判断()()2016sin 2016g x x =是否在集合A 中，如果在，请证明并求k 的最小值；如果不在，请说明理由。

1i =注：121n i n i a
a a a ==+++∑L 。

（1） 证明函数()sin cos f x x x =+在,02π⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦上是“绝对差有界函数”。

（2） 记集合
{[]121212()|0,,,()()}A f x k x x a b f x f x k x x =>∈-≤-存在常数，对任意的有成立证明集合A 中的任意函数()f x 为“绝对差有界函数”。

当[][],1,2a b =时，判断()g x x =
是否在集合A 中，如果在，请证明并求k 的
最小值；如果不在，请说明理由。

（3） 证明函数cos ,01,()20,0
x x f x x x π⎧<≤⎪=⎨⎪=⎩不是[]0,1上的“绝对差有界函数”。

14、（2016年普陀二模文理21）某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-500310x a 万元（0>a ），A 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高%2.0x
（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出 多少人参加B 项目从事售后服务工作？
（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的%40时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围.
15、（2016年闸北二模文理15）
某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足4
2+=x P (其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本)1(6P P +
万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为)204(P
+元／件． （1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；
（2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？。