人教A版数学必修二课件：1.3.2 球的体积和表面积
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【审题视角】 过正方体的对角面作一截面,在这个截面中用正方
体的棱长、球半径的关系求解;或将球补为一个整球,利用球内接
长方体求解.
-15-
1.3.2
球的体积和表面积
探究一
探究二
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思想方法
解法一作正方体对角面的截面,如图所示,设半球的半径为R,正方
即 ( + )(-) = 12,
+ = 6,
整理,得 - = 2,
+ = 6,
= 4,
解得
= 2.
4
4
故两球的体积之差的绝对值为 π×43- π × 23
=
4
3 3
π(4
-2 ) =
3
224π
3
3
3
.
224π
答案:
3
-9-
1.3.2
探究一
球的体积和表面积
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倍. (
)
(3)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也
等于圆柱底面圆的直径. (
)
答案:(1)√ (2)× (3)√
-5-
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思想方法
球的表面积和体积
例1过球面上三点A,B,C的截面到球心O的距离等于球的半径的
定.其中球的体积是半径R的三次函数,球的表面积是半径R的二次
函数,并且表面积为半径为R的圆面积的4倍.
2.做一做:已知球的表面积是16π,则该球的体积为
.
解析:设球的半径为R,则由题意可知4πR2=16π,解得R=2.所以球
的半径为2,
4
32π
体积 V=3πR3=
32π
答案:
3
.
3
-4-
1.3.2
题)转化为平面问题(圆的问题)的关键,因此在解决球的有关问题时,
我们必须抓住球的轴截面,并充分利用它来分析解决问题.
-17-
1.3.2
1
2
球的体积和表面积
3
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4
1.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,
则两球的半径之差为(
)
A.1
体的棱长为a,
√2
.
2
则 CC'=a,OC=
在 Rt△C'CO 中,由勾股定理得 CC'2+OC2=OC'2,
即 a2+
从而 V
因此 V
√2
2
2
√6
=R2,所以 R= 2 a.
3
4π 3 2π
√6
√6π 3
=
×
R
=
×
=
a .又
半球
2
3
3
2
2
√6π 3
3
a
∶
a
=√6π∶2.
半球∶V 正方体=
2
1
∵AB=BC=CA=3 cm,
∴O'为正三角形ABC的中心,
√3
∴AO'= 3 AB=√3(cm).
1
设 OA=R,则 OO'=2R,
∵OO'⊥截面ABC,
∴OO'⊥AO',
√3
∴AO'= 2 R=√3(cm),∴R=2 cm,
4
32
∴V 球=3πR3= 3 π(cm3),S 球=4πR2=16π(cm2).
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体,在这一类组合体中,球心与各切点的连线是半径.在解答与球有
关的组合体问题时,要注意这些半径的应用.
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思想方法
延伸探究求本例所给四面体外接球的表面积.
解:设外接球半径为R,由上述例题解题过程可知,
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32
即球的体积为 3 π cm3,表面积为 16π cm2.
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思想方法
反思感悟球的表面积与体积的求法
因为球的表面积与体积都是球半径的函数,所以在解答这类问题
时,设法求出球的半径是解题的关键.
-8-
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R=OS=SO1-OO1=SO1-r=√2 −
√2
4
=
∴外接球的表面积为 S 球=4πR2=4π
3√2
,
4
2
3√2
4
=
9π
2
.
-14-
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思想方法
转化与化归思想在球的接、切问题中的应用
典例 在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体
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球的体积和表面积
-1-
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核心素养培养目标
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核心素养形成脉络
1.记准球的表面积和体积公式,会计算球的
表面积和体积.
2.能解决与球有关的组合体的计算问题.-2-VIP特权福利
1.3.2
特权说明
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球的体积和表面积
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3.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”.
(1)设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为O1,则△AO1O是
以O1为直角顶点的直角三角形. (
)
(2)若将气球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积增大到原来的4
SO1,O1A,则SO1⊥O1A.
2
∵AO1=3 ×
√3
2
× √3=1,
1
∴SO1=√2,∴四面体的体积为 V=3 ×
√3
×(√3)2×√2
4
=
√6
.
4
设内切球球心为 O,半径为 r,连接 OA,OB,OC,
∴VS-ABC=VO-SAB+VO-SBC+VO-SAC+VO-ABC
1
1
√3
√6
=3S 表·r=3×4× 4Biblioteka ×(√3)2×r=√3r= 4 ,
√6
2
得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即 4R2=6a2,所以 R= a.
1
从而 V 半球= ×
2
4π 3 2π
R=
3
3
×
√6
2
3
=
√6π 3
a.
2
又 V 正方体=a3,
√6π
因此 V 半球∶V 正方体= 2 a3∶a3=√6π∶2.
方法点睛球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问
1.3.2
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变式训练若两球的表面积之差为48π,它们的半径之和为6,则两
球的体积之差的绝对值为
.
解析:设两个球的半径分别为R,r(R>r),
4π 2 -4π 2 = 48π,
则由题意得
+ = 6,
V 正方体=a3,
-16-
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思想方法
解法二将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接
一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,则
这个长方体的对角线便是它的外接球的直径.
设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方体的对角线性质,
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1.3.2
球的体积和表面积
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√2
∴r= 4 ,
∴球的体积为 V
4π 3 4π
=
r =3
球
3
×
√2
4
3
=
√2π
.
24
-12-
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思想方法
反思感悟常见的球的组合问题
与球有关的组合体一般有两类,一是与球内接的组合体,在此类
组合体中,球心与多面体顶点的连线是半径;二是与球外切的组合
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思想方法
由三视图求与球有关的组合体的体积与表面积
例2 某个几何体的三视图如图(单位:m).
(1)求该几何体的表面积;
(2)求该几何体的体积.
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1.3.2
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球的体积和表面积
1.球的表面无法像柱、锥、台体一样展成平面图形,怎样求出球
的表面积和体积呢?就目前我们已有的知识水平还解决不了,我们
4
不妨先记住公式,做到熟练运用.设球的半径为R,则它的体积V= 3
πR3,表面积S=4πR2.观察这两个公式,它们都有什么特点?
提示:这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R唯一确
1
2
4π
(2)V=V 半球+V 正方体=2 ×
3
3
×1
+2
= 8+
3
2π
3
m3.
反思感悟球的组合体体积的计算方法
(1)由三视图求与球有关的组合体的表面积或体积时,最重要的是
还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义,根
据组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积.
(2)计算与球有关的组合体的表面积与体积时还要注意恰当地分
思想方法
思路分析:本题条件中给出的是几何体的三视图及数据,解题时
要先根据俯视图来确定几何体的上、下部分形状,再根据侧视图与
正视图确定几何体的形状,最后根据有关数据计算.
解:由三视图可知,此几何体是由一个半径为1的半球和一个棱长
为2的正方体组成.
1
(1)S=S 半球+S 正方体-S 圆= ×4π×12+6×2×2-π×12=(24+π)m2.
割与拼接,避免重叠和交叉等.
-11-
1.3.2
球的体积和表面积
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思想方法
与球有关的组合体
例3 各棱长均为 √3的四面体内有一内切球,求该球的体积.
思路分析:等体积法→内切球的半径→球的体积
解:如图,在四面体S-ABC中,取底面△ABC的中心为O1,连接
球的体积和表面积
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解法一作正方体对角面的截面,如图所示,设半球的半径为R,正方
即 ( + )(-) = 12,
+ = 6,
整理,得 - = 2,
+ = 6,
= 4,
解得
= 2.
4
4
故两球的体积之差的绝对值为 π×43- π × 23
=
4
3 3
π(4
-2 ) =
3
224π
3
3
3
.
224π
答案:
3
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1.3.2
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球的体积和表面积
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倍. (
)
(3)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也
等于圆柱底面圆的直径. (
)
答案:(1)√ (2)× (3)√
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球的表面积和体积
例1过球面上三点A,B,C的截面到球心O的距离等于球的半径的
定.其中球的体积是半径R的三次函数,球的表面积是半径R的二次
函数,并且表面积为半径为R的圆面积的4倍.
2.做一做:已知球的表面积是16π,则该球的体积为
.
解析:设球的半径为R,则由题意可知4πR2=16π,解得R=2.所以球
的半径为2,
4
32π
体积 V=3πR3=
32π
答案:
3
.
3
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题)转化为平面问题(圆的问题)的关键,因此在解决球的有关问题时,
我们必须抓住球的轴截面,并充分利用它来分析解决问题.
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1
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4
1.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,
则两球的半径之差为(
)
A.1
体的棱长为a,
√2
.
2
则 CC'=a,OC=
在 Rt△C'CO 中,由勾股定理得 CC'2+OC2=OC'2,
即 a2+
从而 V
因此 V
√2
2
2
√6
=R2,所以 R= 2 a.
3
4π 3 2π
√6
√6π 3
=
×
R
=
×
=
a .又
半球
2
3
3
2
2
√6π 3
3
a
∶
a
=√6π∶2.
半球∶V 正方体=
2
1
∵AB=BC=CA=3 cm,
∴O'为正三角形ABC的中心,
√3
∴AO'= 3 AB=√3(cm).
1
设 OA=R,则 OO'=2R,
∵OO'⊥截面ABC,
∴OO'⊥AO',
√3
∴AO'= 2 R=√3(cm),∴R=2 cm,
4
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∴V 球=3πR3= 3 π(cm3),S 球=4πR2=16π(cm2).
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即球的体积为 3 π cm3,表面积为 16π cm2.
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√2
4
=
∴外接球的表面积为 S 球=4πR2=4π
3√2
,
4
2
3√2
4
=
9π
2
.
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3.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”.
(1)设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为O1,则△AO1O是
以O1为直角顶点的直角三角形. (
)
(2)若将气球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积增大到原来的4
SO1,O1A,则SO1⊥O1A.
2
∵AO1=3 ×
√3
2
× √3=1,
1
∴SO1=√2,∴四面体的体积为 V=3 ×
√3
×(√3)2×√2
4
=
√6
.
4
设内切球球心为 O,半径为 r,连接 OA,OB,OC,
∴VS-ABC=VO-SAB+VO-SBC+VO-SAC+VO-ABC
1
1
√3
√6
=3S 表·r=3×4× 4Biblioteka ×(√3)2×r=√3r= 4 ,
√6
2
得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即 4R2=6a2,所以 R= a.
1
从而 V 半球= ×
2
4π 3 2π
R=
3
3
×
√6
2
3
=
√6π 3
a.
2
又 V 正方体=a3,
√6π
因此 V 半球∶V 正方体= 2 a3∶a3=√6π∶2.
方法点睛球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问
1.3.2
球的体积和表面积
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变式训练若两球的表面积之差为48π,它们的半径之和为6,则两
球的体积之差的绝对值为
.
解析:设两个球的半径分别为R,r(R>r),
4π 2 -4π 2 = 48π,
则由题意得
+ = 6,
V 正方体=a3,
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解法二将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接
一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,则
这个长方体的对角线便是它的外接球的直径.
设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方体的对角线性质,
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包
权
人书友圈7.三端同步
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√2
∴r= 4 ,
∴球的体积为 V
4π 3 4π
=
r =3
球
3
×
√2
4
3
=
√2π
.
24
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反思感悟常见的球的组合问题
与球有关的组合体一般有两类,一是与球内接的组合体,在此类
组合体中,球心与多面体顶点的连线是半径;二是与球外切的组合
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由三视图求与球有关的组合体的体积与表面积
例2 某个几何体的三视图如图(单位:m).
(1)求该几何体的表面积;
(2)求该几何体的体积.
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球的体积和表面积
1.球的表面无法像柱、锥、台体一样展成平面图形,怎样求出球
的表面积和体积呢?就目前我们已有的知识水平还解决不了,我们
4
不妨先记住公式,做到熟练运用.设球的半径为R,则它的体积V= 3
πR3,表面积S=4πR2.观察这两个公式,它们都有什么特点?
提示:这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R唯一确
1
2
4π
(2)V=V 半球+V 正方体=2 ×
3
3
×1
+2
= 8+
3
2π
3
m3.
反思感悟球的组合体体积的计算方法
(1)由三视图求与球有关的组合体的表面积或体积时,最重要的是
还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义,根
据组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积.
(2)计算与球有关的组合体的表面积与体积时还要注意恰当地分
思想方法
思路分析:本题条件中给出的是几何体的三视图及数据,解题时
要先根据俯视图来确定几何体的上、下部分形状,再根据侧视图与
正视图确定几何体的形状,最后根据有关数据计算.
解:由三视图可知,此几何体是由一个半径为1的半球和一个棱长
为2的正方体组成.
1
(1)S=S 半球+S 正方体-S 圆= ×4π×12+6×2×2-π×12=(24+π)m2.
割与拼接,避免重叠和交叉等.
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与球有关的组合体
例3 各棱长均为 √3的四面体内有一内切球,求该球的体积.
思路分析:等体积法→内切球的半径→球的体积
解:如图,在四面体S-ABC中,取底面△ABC的中心为O1,连接