2017版高考数学(文 全国乙卷)大二轮总复习与增分策略三轮增分练 高考中档大题规范练(一) 含解析

高考中档大题规范练
（一)三角函数与平面向量1．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝错误!，n＝(sin x，cos x)，x∈错误!.
(1)若m⊥n,求tan x的值；
（2）若m与n的夹角为π
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，求x的值．
解(1)因为m＝错误!，n＝(sin x，cos x),m⊥n.
所以m·n＝0，即错误!sin x－错误!cos x＝0，
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
(2)因为|m|＝｜n｜＝1，所以m·n＝cos错误!＝错误!，
即错误!sin x－错误!cos x＝错误!,所以sin错误!＝错误!，
因为0<x〈错误!，所以－错误!〈x－错误!<错误!，
所以x－错误!＝错误!，即x＝错误!。

2．(2016·山东)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知2（tan A＋tan B）＝错误!＋错误!。

(1）证明：a＋b＝2c;
（2）求cos C的最小值．
（1)证明由题意知
2错误!＝错误!＋错误!,
化简得2(sin A cos B＋sin B cos A）＝sin A＋sin B，即2sin（A＋B）＝sin A＋sin B，因为A＋B＋C＝π，所以sin（A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，从而sin A＋sin B＝2sin C，由正弦定理得a＋b＝2c。

(2）解由(1）知c＝错误!,所以cos C＝错误!＝错误!＝错误!错误!－错误!≥错误!,当且仅当a＝b时，等号成立，故cos C的最小值为错误!。

3．（2016·北京）在△ABC中，a2＋c2＝b2＋错误!ac.
（1）求B的大小;
(2）求2cos A＋cos C的最大值．
解(1）由a2＋c2＝b2＋2ac得，a2＋c2－b2＝错误!ac.
由余弦定理得,cos B＝错误!＝错误!＝错误!。

又0＜B＜π，所以B＝错误!.
(2）A＋C＝π－B＝π－错误!＝错误!，
所以C＝错误!－A，0＜A＜错误!。

所以2cos A＋cos C＝错误!cos A＋cos错误!
＝错误!cos A＋cos错误!cos A＋sin 错误!sin A
＝错误!cos A－错误!cos A＋错误!sin A
＝错误!sin A＋错误!cos A
＝sin错误!.
因为0＜A ＜错误!，所以错误!＜A ＋错误!＜π,
故当A ＋π4
＝错误!， 即A ＝π4
时,错误!cos A ＋cos C 取得最大值1. 4．(2016·天津）已知函数f (x ）＝4tan x sin 错误!·cos 错误!－错误!。

(1）求f （x )的定义域与最小正周期；
(2)讨论f （x ）在区间错误!上的单调性．
解 （1)f （x ）的定义域为｛x ｜x ≠错误!＋k π，k ∈Z ｝．
f (x )＝4tan x cos x cos 错误!－错误!
＝4sin x cos 错误!－错误!
＝4sin x 错误!－错误!
＝2sin x cos x ＋23sin 2x －错误!
＝sin 2x ＋错误!(1－cos 2x ）－错误!
＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin 错误!。

所以f (x ）的最小正周期T ＝错误!＝π。

(2)令z ＝2x －错误!,则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是
错误!,k ∈Z 。

由－错误!＋2k π≤2x －错误!≤错误!＋2k π，k ∈Z ,
得－错误!＋k π≤x ≤错误!＋k π，k ∈Z .
设A ＝错误!，B ＝｛x ｜－错误!＋k π≤x ≤错误!＋k π,k ∈Z }，易知A ∩B ＝错误!。

所以当x ∈错误!时，f （x ）在区间错误!上单调递增，在区间错误!上单调递减．
5．（2016·浙江）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .
(1)证明:A ＝2B ；
（2)若△ABC 的面积S ＝a 24
,求角A 的大小． （1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin （A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，
于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0,π），故0＜A －B ＜π,所以B ＝π－（A －B )或B ＝A －B ，
因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .
(2）解 由S ＝a 24
得错误!ab sin C ＝错误!, 故有sin B sin C ＝错误!sin A ＝错误!sin 2B ＝sin B cos B ，
由sin B ≠0，得sin C ＝cos B .
又B ，C ∈（0，π)，所以C ＝错误!±B 。

当B ＋C ＝错误!时，A ＝错误!;
当C －B ＝π2
时，A ＝错误!。

综上,A ＝错误!或A ＝错误!。