2017中考数学压轴题-2

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中考数学复习专题四几何变换压轴题试题(2)

中考数学复习专题四几何变换压轴题试题(2)类型一图形的旋转变换几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相结合．解决旋转变换问题，首先要明确旋转中心、旋转方向和旋转角，关键是找出旋转前后的对应点，利用旋转前后两图形全等等性质解题．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.(1)如图1，连接AC分别交DE，DF于点M，N，求证：MN＝AC；(2)如图2，将∠EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′，DF′分别与直线AB，BC相交于点G，P.连接GP，当△DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．【分析】 (1)连接BD，由∠BAD＝60°，得到△ABD为等边三角形，进而证明点E是AB的中点，再根据相似三角形的性质解答；(2)分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，然后根据旋转的性质解题．1．(20__·潍坊)边长为6的等边△ABC中，点D，E分别在AC，BC边上，DE∥AB，EC＝2.(1)如图1，将△DEC沿射线EC方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N.当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．(2)如图2，将△DEC绕点C旋转∠α(0°<α<360°)，得到△D′E′C，连接AD′，BE′.边D′E′的中点为P.①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．(结果保留根号)图1 图22．(20__·成都)如图1，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连接BD.(1)求证：BD＝AC；(2)将△BHD绕点H旋转，得到△EHF(点B，D分别与点E，F对应)，连接AE.①如图2，当点F落在AC上时(F不与C重合)，若BC＝4，tan C＝3，求AE的长；②如图3，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．类型二图形的翻折变换几何图形的翻折变换也是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相结合．翻折变换的实质是对称，翻折部分的两图形全等，找出对应边、对应角，再结合勾股定理、相似的性质与判定解题．(20__·苏州)如图，在△ABC中，AB＝10，∠B＝60°，点D，E分别在AB，BC上，且BD＝BE＝4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内)，连接AB′，则AB′的长为____．【分析】作DF⊥B′E于点F，B′G⊥AD于点G，由∠B＝60°，BD＝BE，得到△BDE是等边三角形，由对称的性质得到△B′DE也是等边三角形，从而GD＝B′F，然后利用勾股定理求解．、3．(20__·安徽)在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30 cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD(如图1)，剪去△CDE后得到双层△BDE(如图2)，再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为40或cm.图1 图24．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.(1)求证：四边形DEFG为菱形；(2)若CD＝8，CF＝4，求的值．类型三图形的相似图形的相似常以三角形、四边形为背景，与旋转、翻折、动点相结合，考查三角形相似的性质及判定，难度较大，是中考中常考的几何压轴题．与动点相关的相似三角形，要根据动点的运动情况讨论相似三角形的对应边、对应角，进而判定相似三角形，再利用相似三角形的性质解题．(20__·青岛)如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F.设运动时间为t(s)(0＜t＜6) ，解答下列问题：(1)当t为何值时，△AOP是等腰三角形；(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2)，试确定S与t的函数关系式．【分析】 (1)根据勾股定理求出AC的值，然后分类讨论：当AP＝PO时，求出t的值；当AP＝AO时，求出t的值；(2)过点E作EH⊥AC于点H，过点Q作QM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AC于点N，交QF于点G，分别用t表示出EH，DN，DG，再利用面积的和差计算即可．5．(20__·常德)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F.(1)如图1，若BD＝BA，求证：△ABE≌△DBE；(2)如图2，若BD＝4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于点M.求证：①GM＝2MC；②AG2＝AF·AC.图1 图2参考答案【例1】 (1)如图，连接BD，设BD交AC于点O，∵在菱形ABCD中，∠D AB＝60°，AD＝AB，∴△ABD为等边三角形．∵DE⊥AB，∴点E为AB的中点．∵AE∥CD，∴＝＝.同理＝.∴M，N是线段AC的三等分点，∴MN＝AC.(2)∵AB∥CD，∠BAD＝60°，∴∠ADC＝120°.∵∠ADE＝∠CDF＝30°，∴∠EDF＝60°.当∠EDF顺时针旋转时，由旋转的性质知，∠EDG＝∠FDP，∠GDP＝∠EDF＝60°.∵DE＝DF＝，∠DEG＝∠DFP＝90°，∴△DEG≌△DFP，∴DG＝DP，∴△DGP是等边三角形．则S△DGP＝DG2.由DG2＝3，又∵DG＞0，解得DG＝2.∴cos∠EDG＝＝＝，∴∠EDG＝60°.∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积是3.同理，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也是3.综上所述，当∠EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积是3.【变式训练】1．解：(1)当CC′＝时，四边形MCND′为菱形．理由：由平移的性质得CD∥C′D′，DE∥D′E′.∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∴∠ACC′＝180°－60°＝120°.∵CN是∠ACC′的角平分线，∴∠NCC′＝60°.∵AB∥DE，DE∥D′E′，∴AB∥D′E′，∴∠D′E′C′＝∠B＝60°，∴∠D′E′C′＝∠NCC′，∴D′E′∥CN.∴四边形MCND′为平行四边形．∵∠ME′C′＝∠MCE′＝60°，∠NCC′＝∠NC′C＝60°，∴△MCE′和△NCC′为等边三角形，故MC＝CE′，NC＝CC′.又E′C′＝2，CC′＝，∴CE′＝CC′＝，∴MC＝CN，∴四边形MCND′为菱形．(2)①AD′＝BE′.理由：当α≠180°时，由旋转的性质得∠ACD′＝∠BCE′.由(1)知AC＝BC，CD′＝CE′，∴△ACD′≌△BCE′，∴AD′＝BE′.当α＝180°时，AD′＝AC＋CD′，BE′＝BC＋CE′，即AD′＝BE′.综上可知，AD′＝BE′.②连接CP，在△ACP中，由三角形三边关系得，AP<AC＋CP，∴当A，C，P三点共线时AP最大，如图所示．此时，AP＝AC＋CP.在△D′CE′中，由P为D′E′中点，得AP⊥D′E′，PD′＝，∴CP＝3，∴AP＝6＋3＝9.在Rt△APD′中，由勾股定理得AD′＝＝＝2.2．解：(1)在Rt△AHB中，∠ABC＝45°，∴AH＝BH.∵∠BHD＝∠AHC＝90°，DH＝CH，∴△BHD≌△AHC，∴BD＝AC.(2)①在Rt△AHC中，∵tan C＝3，∴＝3.设CH＝_，则BH＝AH＝3_，∴BC＝BH＋CH＝4_＝4，∴_＝1，∴AH＝3，CH＝1.由旋转的性质知，∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，CH＝DH＝FH，∴∠EHA＝∠FHC，＝＝1，∴△EHA∽△FHC，∴∠EAH＝∠C，∴tan∠EAH＝tan C＝3.如图，过点H作HP⊥AE于点P，则HP＝3AP，AE＝2AP.在Rt△AHP中，AP2＋HP2＝AH2，即AP2＋(3AP)2＝9.∴AP＝，∴AE＝.②由①知，△AEH和△FHC都为等腰三角形，设AH交CG于点Q，∴∠GAH＝∠HCG，∴△AGQ∽△CHQ，∴＝，∴＝，∠AGQ＝∠CHQ＝90°.∵∠AQC＝∠GQH，∴△AQC∽△GQH.又∵旋转角为30°，∴∠EHA＝∠FHC＝120°，∴∠QAG＝30°，∴＝＝＝＝2.【例2】如图，作DF⊥B′E于点F，B′G⊥AD于点G，∵∠B＝60°，BD＝BE＝4，∴△BDE是边长为4的等边三角形．∵将△BDE沿DE所在的直线折叠得到△B′DE，∴△B′DE也是边长为4的等边三角形，∴GD＝B′F＝2.∵B′D＝4，∴B′G＝＝2.∵AB＝10，∴AG＝10－6＝4，∴AB′＝＝2.故答案为2.【变式训练】3．40或4．(1)证明：由折叠的性质知，DG＝FG，ED＝EF，∠AED＝∠AEF，∵FG∥CD，∴∠FGE＝∠AED，∴∠FGE＝∠AEF，∴FG＝FE，∴DG＝GF＝EF＝DE，∴四边形DEFG为菱形．(2)解：设DE＝_，根据折叠的性质，EF＝DE＝_，EC＝8－_，在Rt△EFC中，FC2＋EC2＝EF2，即42＋(8－_)2＝_2.解得_＝5，CE＝8－_＝3.∴＝.【例3】(1)∵在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，∴AC＝10 cm.①当AP＝PO时，如图，过点P作PM⊥AO，∴AM＝AO＝.∵∠PMA＝∠ADC＝90°，∠PAM＝∠CAD，∴△APM∽△ACD，∴＝，∴AP＝t＝.②当AP＝AO时，t＝5.∵0＜t＜6，∴t＝或t＝5均符合题意，∴当t＝或t＝5时，△AOP是等腰三角形．(2)如图，过点E作EH⊥AC于点H，过点Q作QM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AC于点N，交QF于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PAO＝∠ECO.∵点O是对角线AC的中点，∴AO＝CO.又∵∠AOP＝∠COE，∴△AOP≌△COE，∴CE＝AP＝t.∵△CEH∽△CAB，∴＝，∴EH＝.∵S△ADC＝AD·DC＝DN·AC，∴DN＝＝.∵QM∥DN，∴△CQM∽△CDN，∴＝，即＝.∴QM＝，∴DG＝－＝.∵FQ∥AC，∴△DFQ∽△DOC，∴＝＝，∴FQ＝，∴S＝S△OEC＋S△OCD－S△DFQ＝OC·EH＋OC·DN－DG·FQ＝－t2＋t＋12，即S与t的函数关系式为S＝－t2＋t＋12.【变式训练】5．证明：(1)在Rt△ABE和Rt△DBE中，∴△ABE≌△DBE.(2)①如图，过点G作GH∥AD交BC于H，∵AG＝BG，∴BH＝DH.∵BD＝4DC，设DC＝1，则BD＝4，∴BH＝DH＝2.∵GH∥AD，∴＝＝，∴GM＝2MC.②如图，过点C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴＝.由①知GM＝2MC，∴AG＝2NC.∵∠BAC＝∠AEB＝90°，∴∠ABF＝∠CAN＝90°－∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴＝.∵AB＝2AG，∴＝，∴2CN·AG＝AF·AC，∴AG2＝AF·AC.。

2017届中考数学专题选择填空压轴题总复习最新版

A．1.5cm C．1.8cm
B．1.2cm D．2cm
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6．如图，点G、E、A、B在一条直线上，Rt△EFG 从如图所示的位置出发，沿直线AB向右匀速运动，当点G与B重合时停止运动．设△EFG与矩形 ABCD重合部分的面积为S，运动时间为t，则S与t 的图象大致是（ D ）
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二、填空题
专题一选择填空压轴题
一、选择题
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，
图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结
论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④
当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（ B ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图-1，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为 21 ．
8．如图-2，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为20cm2 ，则△BEF的面积是 5 cm2．
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9．如图-3，在矩形ABCD中，AD=9cm，AB=3cm，
将其折叠，使点D与点B重合，则重叠部分（△BEF）的面积为 7.5cm2 ．
A．
B．
C．
D．
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4．如图，一根长5米的竹杆AB斜立于墙AC的右侧，底端B与墙角C的距离为3米，当竹杆顶端A下滑x 米时，底端B便随着向右滑行y米，反映y与x变化关系的大致图象是（ A ）
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5．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC﹣CB运动，到点B停止，过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y （cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图 2所示，当点P运动5秒时，PD的长是（ B ）

中考数学压轴题重难点突破一规律探索类型二：图形规律

10．★(2022·大庆)观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第 16 个图案中的“ ”的个数是 4949 .
…
11．★(2022·十堰)如图，某链条每节长为 2.8 cm，每两节链条相连接
部分重叠的圆的直径为 1 cm，按这种连接方式，50 节链条总长度为 991 cm. 1
12．★(2022·牡丹江)如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第 5 个图形中所有正三角形的个数是 48485 个．
16．★(2022·遂宁)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 12127.
对于图形个数变化规律探索题，解决的一般步骤： 1．标序号：记每个(组)图形的序数为“1，2，3，…，n”； 2．数图形个数：对应的图形个数用 a1, a2, a3，…，an 表示；
3．观察：a1，a2，a3，…，an 与对应序数之间的关系； ①图形个数与图序数是倍数或平方关系； ②图形个数与图序数关系不明确时，按照以下步骤找寻关系：步骤一：列表表示 an－an－1 的值；步骤二：将所列等式左右相加，得到(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝an－a1 的值；步骤三：表示 an； 4．验证：代入序号检验所得式子是否正确.
类型二：图形规律 (省卷 2017T18；天水 2017T16)
(一题多设问)
(1) ★如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需
要 3 根火柴棍；拼第二个图形共需要 5 根火柴棍；…，照这样拼图，则第 n 个图形需要 ((22n＋n＋1) 根火柴棍；

2017年中考数学相似三角形压轴题

相似三角形中考压轴试题一、选择题1.（2014年江苏宿迁3分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P 为AB 边上一动点，若△P 与A △DPBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是【】A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题1.（2015贺州）如图，在△ABC 中，AB=AC=15，点D 是BC 边上的一动点（不与B 、C 重合），∠ADE=∠B=∠α，DE 交AB 于点E ，且tan ∠α= 3 4．有以下的结论：①△ADE ∽△ACD ；②当CD=9时，△ACD与△DBE 全等；③△BDE 为直角三角形时，BD 为12或 21 4 ；④0＜BE ≤ 24 5，其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．三、解答题1.（2014年福建三明14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+4与x 轴的一个交点为A （﹣ 2，0），与y 轴的交点为C ，对称轴是x=3，对称轴与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B ，C 的直线l 平移后与抛物线交于点M ，与x 轴交于点N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M 的坐标；（3）若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD ≌△PBC ？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2014年湖北十堰12分）已知抛物线C1：2yax12的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．3.（2014年湖南郴州10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°BC，=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CP是D等腰三角形？4.（2014年湖南衡阳10分）二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△的面积为APCS，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△B相O似C？5.（2014年湖南益阳12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．6.（2014年内蒙古呼伦贝尔13分）以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，在点C运动过程中：（1）如图1，当点E与点O重合时，连接OC，试判断△CO的B形状，并证明你的结论；（2）如图2，当DE=8时，求线段EF的长；（3）当点E在线段OA上时，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△A相B似C？若存在，请求出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．7.（2014年山东日照14分）如图1，在菱形OABC中，已知OA=23，∠AOC=60°，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过O，C，B三点．（1）求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式．（2）如图2，点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC于点G，点P在直线AG上．①当OP+PC的最小值时，求出点P的坐标；②在①的条件下，连接PE、PF、EF得△PEF，问在抛物线上是否存在点M，使得以M，B，C为顶点的三角形与△PE相F似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8.（2014年山东威海12分）如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△C相O似B？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BD的A度数．9.（2014年宁夏区10分）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB,垂足为Q，连接AP．△与PB△QABC相似；有（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQ面P积最大，并求出最大值；R t△AOP（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=AC，是否存在一个的值，使既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P410．（2014年新疆区、兵团12分）如图，直线y x83A O方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个从A点出发，以每秒2个单位的速度沿单位的速度沿B A方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3．）（1）写出A，B两点的坐标；（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQ的P面积最大？（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△A相B似O，并直接写出此时点Q的坐标．11．（2014年新疆乌鲁木齐14分）如图．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接O D、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．（1）求证：△OAD≌△EAB；（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；（4）连接O E，若点M是直线BF上的一动点，且△B与M△DOED相似，求点M的坐标．12．（2014年云南省9分）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．（1）当点P运动到线段A C的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM 与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为A C2，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．13．（2014年浙江湖州12分）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P 与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．10.（2013年山东日照14分）已知，如图(a)，抛物线2yaxbxc经过点A(x1，0)，B(x2，0)，C(0，－2)，其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N。

中考数学抛物线压轴题

在中考数学中，抛物线是一个常见的考点，经常以压轴题的形式出现。

以下是一个关于抛物线的中考压轴题的示例：题目：已知抛物线y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)经过点(-1,-1)，(0,1)，当x=-2时，与其对应的函数值y>1。

1. 请你求出abc的值，并判断抛物线的开口方向。

2. 设直线y=kx+d(k≠0)经过点(1,-1)，且与抛物线的对称轴平行。

请你求出该直线的解析式。

3. 设E(m,n)是抛物线y=ax^2+bx+c上的一个动点，且满足∠APE=90°，请你求出m的值。

解析：1. 根据题目条件，抛物线经过点(-1,-1)，(0,1)，可得到方程：$a-b+c=-1$ ①$c=1$ ②将x=-2，y>1代入解析式得：$4a-2b+1>1$化简得：$2a-b>0$ ③由①②③解得：$a>0$$b>0$$c=1$所以，abc=1。

由于a>0，抛物线开口向上。

2. 由题意知：直线y=kx+d经过点(1,-1)，则有：k+d=-1 ④又因为直线与对称轴平行，所以其斜率等于对称轴的斜率，即：k=-b/2a=-1/2 ⑤由④⑤解得：d=-3/2所以，直线的解析式为：y=-x/2-3/2。

3. 根据题意知：E(m,n)在抛物线上，则有：$n=am^2+bm+c$ ⑥由于∠APE=90°，所以AE与PE垂直。

根据两直线垂直的条件：斜率之积等于-1。

即：$(m-1)/(n+1)=-1$ ⑦由⑥⑦解得：m=0或m=-2综上所述，m的值为0或-2。

2017中考数学压轴题福建历年中考压轴精选(2020年7月整理).pdf

式为______________；
（2）判断 △ABC 的形状，并说明理由；（3）若 △ABC 内部能否截出面积最大的矩形 DEFC（顶点 D、E、F、G 在△ABC 各边上）？若能，求出在 AB 边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
[抛物线
y
=
ax2
+
bx
+
c
的顶点坐标是
−
b 2a
,
证明：如图 2 过点 P 作 MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N，因为 AD∥BC，MN⊥AD，所以 Hale Waihona Puke N⊥BC5学海无涯
在 Rt△AMP 中，PA2＝PM2＋MA2
在 Rt△BNP 中，PB2＝PN2＋BN2
在 Rt△DMP 中，PD2＝DM2＋PM2
在 Rt△CNP 中，PC2＝PN2＋NC2
单位长度的速度移动；同时另一个动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动，经过 t 秒的移动，线段 PQ 被 BD 垂直平分，求 t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使 MQ＋MC 的值最小？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
（注：抛物线 y = ax2 + bx + c 的对称轴为 x = − b ） 2a
过点 F 的双曲线为 C1 ，过点 M 且以 B 为顶点的抛物线为 C2 ，过点 P 且以 M 为顶点的抛物线为 C3 .
(1) 如图 10，当 m=6 时，①直接写出点 M、F 的坐标，
图 10
②求 C1 、 C2 的函数解析式；
（2）当 m 发生变化时， ①在 C1 的每一支上，y 随 x 的增大如何变化？请说明理由。

专题14 三角形问题-中考数学压轴题精品专题练(第二期)

一、选择题1．（2017天津，第11题，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）A．BC B．CE C．AD D．AC2．（2017滨州，第11题，3分）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN 恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．13．（2017广西河池市，第12题，3分）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC 于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（）A．3B．4C．8D．94．（2017江苏省宿迁市，第8题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1c m/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（）A．20cm B．18cm C．25cm D．32cm5．（2017江苏省无锡市，第10题，3分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A．2B．54C．53D．756．（2017浙江省宁波市，第11题，4分）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（）A．3B．23C．13D．47．（2017浙江省杭州市，第10题，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（）A．x﹣y2=3B．2x﹣y2=9C．3x﹣y2=15D．4x﹣y2=218．（2017湖北省武汉市，第10题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A ．4B ．5C ．6D ．79．（2017湖北省鄂州市，第10题，3分）如图四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD =90°，AB =BC +AD ，∠DAC =45°，E 为CD 上一点，且∠BAE =45°．若CD =4，则△ABE 的面积为（）A ．712B ．724C ． 748D ．750 10．（2017贵州省毕节市，第15题，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，AD 平分∠CAB 交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE +EF 的最小值为（）A ．340B ．415C ．524 D ．6 11．（2017辽宁省营口市，第7题，3分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD =∠CAB =45°，则下列结论不正确的是（）A ．∠ECD =112.5°B ．DE 平分∠FDC C ．∠DEC =30°D ．AB 2CD12．（2016浙江省湖州市）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（）A．4B．174C．32D．2513．（2016湖北省武汉市）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5B．6C．7D．814．（2016贵州省六盘水市）如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n的度数为（）A．702nB．1702n+C．1702n-D．2702n+15．（2016山东省威海市）如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（）A．512BDBC=B．AD，AE将∠BAC三等分C．△ABE≌△ACD D．S△ADH=S△CEG16．（2016山东省德州市）在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N，设∠AEM=α（0°＜α＜90°），给出下列四个结论：①AM =CN ；②∠AME =∠BNE ；③BN ﹣AM =2；④S △EMN =22cos ．上述结论中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．417．（2016山东省淄博市）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，一等腰直角三角形ABC 的三个顶点A ，B ，C 分别在l 1，l 2，l 3上，∠ACB =90°，AC 交l 2于点D ，已知l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，则AB BD的值为（）A ．425B ．34C ．528D ．20223 18．（2016贵州省铜仁市）如图，正方形ABCD 中，AB =6，点E 在边CD 上，且CE =2DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG =GC ；③EG =DE +BG ；④AG ∥CF ；⑤S △FGC =3.6．其中正确结论的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．519．（2016内蒙古包头市）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，E 是AB 上一点，且DE ⊥CE ．若AD =1，BC =2，CD =3，则CE 与DE 的数量关系正确的是（）A．CE=3DE B．CE=2DE C．CE=3DE D．CE=2DE20．（2016四川省达州市）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A．2B．3C．4D．521．（2016山东省东营市）在△ABC中，AB=10，AC=210，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A．10B．8C．6或10D．8或1022．（2016山东省淄博市）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH 的长为（）A．835B．22C．145D．105223．（2016山东省淄博市）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）A．12B．1C．3D．224．（2016江苏省无锡市）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（）A．7B．22C．3D．2325．（2016浙江省舟山市）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（）A．5B．136C．1D．5626．（2016湖北省武汉市）如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）A2πB．πC．22D．227．（2016贵州省黔东南州）如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，且AB6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D 、E ，则CD +CE =（）A ．2B ．3C ．2D ．628．（2016福建省泉州市）如图，已知点A （﹣8，0），B （2，0），点C 在直线344y x =-+上，则使△ABC 是直角三角形的点C 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．429．（2016青海省）如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 9的值为（）A ．61()2 B ．71()2 C ．62(2 D ．72()230．（2015绵阳）如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC =42°，∠A =60°，则∠BFC =（）A ．118°B ．119°C ．120°D ．121°31．（2015广州）已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（）A ．10B ．14C ．10或14D ．8或1032．（2015百色）△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（）A ．4B ．4或5C ．5或6D ．633．（2015淄博）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB =AD ，CD =12AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（）A ．17B ．16C ．15D ．1434．（2015泰州）如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、AB 于点E 、O 、F ，则图中全等三角形的对数是（）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对35．（2015荆门）如图，点A ，B ，C 在一条直线上，△ABD ，△BCE 均为等边三角形，连接AE 和CD ，AE 分别交CD ，BD 于点M ，P ，CD 交BE 于点Q ，连接PQ ，BM ，下面结论：①△ABE ≌△DBC ；②∠DMA =60°；③△BPQ 为等边三角形；④MB 平分∠AMC ，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个36．（2015柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个37．（2015资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．261cm C．61cm D．234cm38．（2015荆门）如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A ．13B ．21-C ．23-D ．1439．（2015天水）如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =22，CD =2，点P 在四边形ABCD 的边上．若点P 到BD 的距离为32，则点P 的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．540．（2015龙东）△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，点P 是BC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ，则PD +PE 的长是（） A ．4.8 B ．4.8或3.8 C ．3.8 D ．541．（2015安顺）如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC =3，则折痕CE 的长为（）A ．32B ．323C ．3D ．6 42．（2015烟台）如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…按照此规律继续下去，则S 2015的值为（）A ．20122()2 B ．20132()2 C ．20121()2 D ．20131()243．（2015烟台）等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，则n 的值为（）A ．9B ．10C ．9或10D ．8或10 44．（2015眉山）如图，A 、B 是双曲线xky =上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为（） A ．34 B ．38C ．3D ．445．（2015绵阳）如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：D B =1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE ：C F =（）A ．34 B ．45 C ．56 D ．6746．（2015常德）若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB 与扇形A 1O 1B 1是相似扇形，且半径OA ：O 1A 1=k （k 为不等于0的常数）．那么下面四个结论：①∠AOB =∠A 1O 1B 1；②△AOB ∽△A 1O 1B 1；③11ABkA B =；④扇形AOB 与扇形A 1O 1B 1的面积之比为2k ．成立的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个47．（2015黔西南州）在数轴上截取从0到3的对应线段AB ，实数m 对应AB 上的点M ，如图1；将AB 折成正三角形，使点A 、B 重合于点P ，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y 轴对称，且点P 的坐标为（0，2），PM 的延长线与x 轴交于点N （n ，0），如图3，当m =3时，n 的值为（） A ．423- B ．432- C ．332-D ．33248．（2015宁波）如图，将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的A 2处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为h 1；还原纸片后，再将△ADE 沿着过AD 中点D 1的直线折叠，使点A 落在DE 边上的A 2处，称为第2次操作，折痕D 1E 1到BC 的距离记为h 2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D 2014E 2014到BC 的距离记为h 2015，到BC 的距离记为h 2015．若h 1=1，则h 2015的值为（）A ．201521 B ．201421 C ．2015211- D ．2014212-二、填空题49．（2017四川省达州市，第14题，3分）△ABC 中，AB =5，AC =3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ，则m 的取值范围是．50．（2017湖北省咸宁市，第16题，3分）如图，在Rt △ABC 中，BC =2，∠BAC =30°，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM 、ON 上滑动，下列结论： ①若C 、O 两点关于AB 对称，则OA =23； ②C 、O 两点距离的最大值为4； ③若AB 平分CO ，则AB ⊥CO ； ④斜边AB 的中点D 运动路径的长为2；其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）．51．（2017山东省威海市，第18题，3分）如图，△ABC 为等边三角形，AB =2．若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为．52．（2017山东省淄博市，第17题，4分）设△ABC 的面积为1．如图1，分别将AC ，BC 边2等分，D 1，E 1是其分点，连接AE 1，BD 1交于点F 1，得到四边形CD 1F 1E 1，其面积S 1=13．如图2，分别将AC ，BC 边3等分，D 1，D 2，E 1，E 2是其分点，连接AE 2，BD 2交于点F 2，得到四边形CD 2F 2E 2，其面积S 2=16；如图3，分别将AC ，BC 边4等分，D 1，D 2，D 3，E 1，E 2，E 3是其分点，连接AE 3，BD 3交于点F 3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3=1 10；…按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD n E n F n，其面积S= ．53．（2017山西省，第15题，3分）一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB=∠BCD=90°，∠A=60°，∠CBD=45°．E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AD=4cm，则EF的长为cm．54．（2017广西贵港市，第16题，3分）如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，P A=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠P AP'的值为．55．（2017江苏省扬州市，第16题，3分）如图，把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP=4cm，则EC= cm．56．（2017河南省，第15题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=2+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C 为直角三角形，则BM的长为．57．（2017浙江省嘉兴市，第15题，4分）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=13，tan∠BA3C=17，计算tan∠BA4C= ，…按此规律，写出tan∠BA n C= （用含n的代数式表示）．58．（2017浙江省湖州市，第16题，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx（k＞0）分别交反比例函数1yx=和9yx=在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交1yx=的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是．59．（2017浙江省绍兴市，第16题，5分）如图，∠AOB=45°，点M、N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点．若使点P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是．60．（2017海南省，第18题，4分）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是．61．（2017湖北省孝感市，第16题，3分）如图，在平面直角坐标系中，OA=AB，∠OAB=90°，反比例函数kyx（x＞0）的图象经过A，B两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为．62．（2016河北省）如图，已知∠AOB=7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90°-7°=83°．当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1=∠2．若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A=__ ___°．……若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值=___ ____°．[来源：学63．（2016内蒙古包头市）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF，CF，连接BE并延长交CF于点G．下列结论：①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S△ABC=S△ACF+S△DCF；④若BD=2DC，则GF=2EG．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）64．（2016广西贺州市）如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为．65．（2016江苏省常州市）如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是．66．（2016四川省达州市）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若P A=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为．67．（2016辽宁省抚顺市）如图，△A1A2A3，△A4A5A5，△A7A8A9，…，△A3n﹣2A3n﹣1A3n（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，则点A2016的坐标为．68．（2016黑龙江省龙东地区）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为．69．（2016福建省南平市）如图，正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD上的点，且AE=CF=13AB，点O为线段EF的中点，过点O作直线与正方形的一组对边分别交于P、Q两点，并且满足PQ=EF，则这样的直线PQ（不同于EF）有条．70．（2016贵州省遵义市）如图，AC⊥BC，AC=BC，D是BC上一点，连接AD，与∠ACB的平分线交于点E，连接BE．若S△ACE=67，S△BDE=314，则AC= ．71．（2016辽宁省丹东市）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，OA=3，OB=4，连接AB．点P在平面内，若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等（点P与点O不重合），则点P的坐标为．72．（2016内蒙古赤峰市）如图，正方形ABCD的面积为3cm2，E为BC边上一点，∠BAE=30°，F为AE 的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N．若MN=AE，则AM的长等于cm．73．（2016天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．（1）AE的长等于________；（2）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP = PQ = QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）________．74．（2016山东省泰安市）如图，矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为．75．（2016山东省烟台市）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为．76．（2016山西省）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为______．77．（2016广东省）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O 的直径，AB=BC=CD．连接P A、P A、PC，若P A=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF= ．78．（2016广西桂林市）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH= ．79．（2016广西梧州市）如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到A n（n为正整数）点时，则A n的坐标是．80．（2016广西贵港市）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB=6，AD=5，则DE的长为．81．（2016江西省）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．82．（2016湖北省孝感市）如图示我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE 的值为．83．（2016福建省莆田市）魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”，证明了勾股定理．若图中BF＝1，CF＝2，则AE的长为__________．84．（2016湖北省鄂州市）如图，AB=6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1=120°，P是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，AP= ．85．（2016辽宁省葫芦岛市）如图，点A1（2，2）在直线y=x上，过点A1作A1B1∥y轴交直线12y x=于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=x和12y x=于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则等腰直角△A n B n C n的面积为．（用含正整数n的代数式表示）86．（2015广东省）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若ABC 12S=△，则图中阴影部分的面积是．87．（2015昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=3BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．88．（2015福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．89．（2015鄂尔多斯）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=12∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= cm．90．（2015贺州）如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=34．有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或214；④0＜BE≤245，其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．91．（2015攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE 的最小值为．92．（2015淄博）如图，等腰直角三角形BDC 的顶点D 在等边三角形ABC 的内部，∠BDC =90°，连接AD ，过点D 作一条直线将△ABD 分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是度．93．（2015庆阳）在底面直径为2cm ，高为3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm ．（结果保留π）94．（2015南通）如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，12AD AB ，△CEF 的面积为1S ，△AEB 的面积为2S ，则12S S 的值等于．95．（2015扬州）如图，已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且a ＜b ＜c ，若平行于三角形一边的直线l 将△ABC 的周长分成相等的两部分．设图中的小三角形①、②、③的面积分别为1S 、2S 、3S ，则1S 、2S 、3S 的大小关系是．（用“＜”号连接）96．（2015连云港）如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC =90°，直线l 1∥l 2∥l 3，l 1与l 2之间距离是1，l 2与l 3之间距离是2，且l 1，l 2，l 3分别经过点A ，B ，C ，则边AC 的长为．97．（2015盐城）设△ABC 的面积为1，如图①，将边BC 、AC 分别2等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 1；如图②将边BC 、AC 分别3等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 2；…，依此类推，则S n 可表示为．（用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）98．（2015成都）已知菱形1111A B C D 的边长为2，111A B C =60°，对角线11A C ，11B D 相交于点O ．以点O 为坐标原点，分别以1OA ，1OB 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．以11B D 为对角线作菱形1212B C D A ∽菱形1111A B C D ，再以22A C 为对角线作菱形2222A B C D ∽菱形1212B C D A ，再以22B D 为对角线作菱形2323B C D A ∽菱形2222A B C D ，…，按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点1A ，2A ，3A ，．．．．．．，n A ，则点n A 的坐标为________．三、解答题99．（2017内蒙古赤峰市，第24题，12分）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=ADAC，则S△ABC=12BC×AD=12×BC×AC sin∠C=12ab sin∠C，即S△ABC=12ab sin∠C同理S△ABC=12bc sin∠AS△ABC=12ac sin∠B通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c2﹣2bc cos∠Ab2=a2+c2﹣2ac cos∠Bc2=a2+b2﹣2ab cos∠C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．解：S△DEF=12EF×DF sin∠F= ；DE2=EF2+DF2﹣2EF×DF cos∠F= ．（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC 为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．100．（2017四川省成都市，第27题，10分）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，做AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=12∠BAC=60°，于是23BC BDAB AB==；迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠ADE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．①证明△CEF是等边三角形；②若AE=5，CE=2，求BF的长．101．（2017江苏省扬州市，第26题，10分）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB△AC=AO2﹣BO2．（1）在图1中，若∠BAC =90°，AB =8，AC =6，AO 是BC 边上的中线，则AB △AC = ，OC △OA = ；（2）如图2，在△ABC 中，AB =AC =4，∠BAC =120°，求AB △AC 、BA △BC 的值；（3）如图3，在△ABC 中，AB =AC ，AO 是BC 边上的中线，点N 在AO 上，且ON =13AO ．已知AB △AC =14，BN △BA =10，求△ABC 的面积．102．（2017丽水，第23题，10分）如图1，在△ABC 中，∠A =30°，点P 从点A 出发以2c m /s 的速度沿折线A ﹣C ﹣B 运动，点Q 从点A 出发以a （c m /s ）的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x （s ），△APQ 的面积为y （cm 2），y 关于x 的函数图象由C 1，C 2两段组成，如图2所示．（1）求a 的值；（2）求图2中图象C 2段的函数表达式；（3）当点P 运动到线段BC 上某一段时△APQ 的面积，大于当点P 在线段AC 上任意一点时△APQ 的面积，求x 的取值范围．103．（2017浙江省台州市，第24题，14分）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程2520x x -+=，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A （0，1），B （5，2）；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A ，另一条直角边恒过点B ；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x 轴上点C 处时，点C 的横坐标m 即为该方程的一个实数根（如图1）；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x 轴上另一点D 处时，点D 的横坐标n 即为该方程的另一个实数根．（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D （请保留作出点D 时直角三角板两条直角边的痕迹）；（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m 就是方程2520x x -+=的一个实数根；（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程20ax bx c ++= （a ≠0，24b ac -≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m 1，n 1，m 2，n 2与a ，b ，c 之间满足怎样的关系时，点P （m 1，n 1），Q （m 2，n 2）就是符合要求的一对固定点？104．（2017湖北省荆门市，第24题，12分）已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，∠C =90°，OB =25，OC =20，若点M 是边OC 上的一个动点（与点O 、C 不重合），过点M 作MN ∥OB 交BC 于点N ．（1）求点C 的坐标；（2）当△MCN 的周长与四边形OMNB 的周长相等时，求CM 的长；（3）在OB 上是否存在点Q ，使得△MNQ 为等腰直角三角形？若存在，请求出此时MN 的长；若不存在，请说明理由．105．（2017黑龙江省大庆市，第28题，9分）如图，直角△ABC 中，∠A 为直角，AB =6，AC =8．点P ，Q ，R 分别在AB ，BC ，CA 边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P 由点A 出发以每秒3个单位的速度向点B 运动，点Q 由点B 出发以每秒5个单位的速度向点C 运动，点R 由点C 出发以每秒4个单位的速度向点A 运动，在运动过程中：（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；（2）求△PQR面积的最小值；（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．106．（2016广东省）如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．107．（2016上海市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．108．（2016山东省威海市）如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB交EF于点N．（1）求证：A D=AF；（2）求证：B D=EF；（3）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．109．（2016山东省济南市）在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．（一）尝试探究如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别在线段BC、CD 上，∠EAF=30°，连接EF．（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），请直接写出∠E′AF= 度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为．（2）如图3，当但点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD 之间的数量关系，并说明理由．（二）拓展延伸如图4，在等边△ABC中，E、F是边BC上的两点，∠EAF=30°，BE=1，将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′（A′B′与AC重合），连接EE′，AF与EE′交于点N，过点A作AM⊥BC于点M，连接MN，求线段MN的长度．110．（2016山东省日照市）阅读理解：我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM交EF于点P，那么动点P为线段AM中点．理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点．由此你得到动点P的运动轨迹是：．知识应用：如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长．拓展提高：如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△APC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q．（1）求∠AQB的度数；（2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长．111．（2016山东省泰安市）（1）已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60°（如图①）．求证：EB=AD；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由；（3）若将（1）中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”，其它条件不变，则EBAD的值是多少？（直接写出结论，不要求写解答过程）112．（2016内蒙古包头市）如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F 分别是AC、AB边上点，连接EF．（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=3S△EDF，求AE的长；（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长；（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE=47，求AFBF的值．113．（2016北京市）在等边△ABC中：（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有P A=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明P A=PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明P A=PM，只需证△ANP≌△PCM；。

专题18 折叠问题-中考数学压轴题精品专题练(第二期)

一、选择题1．（2017四川省乐山市，第10题，3分）如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别落在x 、y 轴上，点B 坐标为（6，4），反比例函数x y 6=的图象与AB 边交于点D ，与BC 边交于点E ，连结DE ，将△BDE 沿DE 翻折至△B 'DE 处，点B '恰好落在正比例函数y =kx 图象上，则k 的值是（）A ．52-B ．211-C ．51-D ．241- 2．（2017四川省内江市，第11题，3分）如图，在矩形AOBC 中，O 为坐标原点，OA 、OB 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（0，33），∠ABO =30°，将△ABC 沿AB 所在直线对折后，点C 落在点D 处，则点D 的坐标为（）A ．（32，332）B ．（2，332）C ．（332，32）D ．（32，3﹣332） 3．（2017江苏省无锡市，第10题，3分）如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（）A ．2B ．54C ．53D ．754．（2017浙江省台州市，第10题，4分）如图，矩形EFGH 的四个顶点分别在菱形ABCD 的四条边上，BE =BF ，将△AEH ，△CFG 分别沿边EH ，FG 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD 面积的116时，则AE EB为（）A ． 53B ．2C ． 52D ．4 5．（2017衢州，第9题，3分）如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，BC =6，将△ABC 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于（）A ． 53B ． 35C ． 37D ． 45 6．（2017湖南省长沙市，第12题，3分）如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合（H 不与端点C ，D 重合），折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ．设正方形ABCD 的周长为m ，△CHG 的周长为n ，则mn 的值为（）A ．22B ．21 C ．215 D ．随H 点位置的变化而变化7．（2016内蒙古包头市）如图，直线243y x=+与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（）A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（32-，0）D．（52-，0）8．（2016内蒙古呼伦贝尔市，第6题，3分）将点A（3，2）向左平移4个单位长度得点A′，则点A′关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣3，2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）9．（2016内蒙古呼伦贝尔市，第12题，3分）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为（）A．53B．52C．4D．510．（2016天津市）如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（）A．∠DAB′=∠CAB′B．∠ACD=∠B′CD C．AD=AE D．AE=CE 11．（2016四川省南充市）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°12．（2016四川省资阳市）如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕M N恰好过点G若AB=6，EF=2，∠H=120°，则DN的长为（）A．32B．632+C．63-D．236-13．（2016四川省雅安市）如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为（）A．22B．2C．23D．3314．（2016山东省威海市）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．95B．125C．165D．18515．（2016山东省枣庄市）如图，△ABC的面积为6，AC=3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是（）A．3B．4C．5.5D．1016．（2016山东省济宁市）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（）A．613B．513C．413D．31317．（2016山东省聊城市）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（）A．115°B．120°C．130°D．140°18．（2016广西百色市）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（）A．4B．32C．23D．2319．（2016广西钦州市）如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC边的A′处，若AB3，∠EF A=60°，则四边形A′B′EF的周长是（）A ．133+B ．33+C ．43+D ．53+20．（2016江苏省南通市）平面直角坐标系xOy 中，已知A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣1）三点，D （1，m ）是一个动点，当△ACD 的周长最小时，△ABD 的面积为（）A ．13B ．23C ．43D ．8321．（2016江苏省宿迁市）如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为M N ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在M N 上的点F 处，折痕为BE ．若AB 的长为2，则F M 的长为（）A ．2B ．3C ．2D ．122．（2016江苏省苏州市）矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为（3，4），D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为（）A ．（3，1）B ．（3，43）C ．（3，53） D ．（3，2） 23．（2016江苏省镇江市）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O 是正方形OABC 的一个顶点，已知点B 坐标为（1，7），过点P （a ，0）（a ＞0）作PE ⊥x 轴，与边OA 交于点E （异于点O 、A ），将四边形ABCE 沿CE 翻折，点A ′、B ′分别是点A 、B 的对应点，若点A ′恰好落在直线PE 上，则a 的值等于（）A．54B．43C．2D．324．（2016海南省）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A．6B．62C．23D．3225．（2016浙江省台州市）小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（）A．1次B．2次C．3次D．4次26．（2016浙江省温州市）如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C=90°，AC=4，BC=3．现小林将纸片做三次折叠：第一次使点A落在C处；将纸片展平做第二次折叠，使点B落在C处；再将纸片展平做第三次折叠，使点A落在B处．这三次折叠的折痕长依次记为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a27．（2016浙江省湖州市）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（）A．4B．174C．32D．2528．（2016浙江省舟山市）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC 的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°29．（2016湖北省咸宁市）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=45，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，12）C．（65，35）D．（107，57）30．（2016福建省莆田市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC 边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为（）A．13B．223C．24D．3531．（2016贵州省遵义市）如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、CD上的点，且∠CFE=60°，将四边形BCFE沿EF翻折，得到B′C′FE，C′恰好落在AD边上，B′C′交AB于点G，则GE的长是（）A ．334-B ．425-C ．423-D ．523-32．（2016湖北省鄂州市）如图，菱形ABCD 的边AB =8，∠B =60°，P 是AB 上一点，BP =3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点A ′．当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（）A ．5B ．7C ．8D ．13233．（2016福建省龙岩市）如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE =1，AF =2，若P 为对角线BD 上一动点，则EP +FP 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．434．（2016贵州省毕节市）如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC =2：1，则线段CH 的长是（）A ．3B ．4C ．5D ．635．（2016黑龙江省牡丹江市）如图，在平面直角坐标系中，A （﹣8，﹣1），B （﹣6，﹣9），C （﹣2．﹣9），D （﹣4，﹣1）．先将四边形ABCD 沿x 轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四边形A 1B 1C 1D 1，最后将四边形A 1B 1C 1D 1，绕着点A 1旋转，使旋转后的四边形对角线的交点落在x 轴上，则旋转后的四边形对角线的交点坐标为（）A ．（4，0）B ．（5，0）C ．（4，0）或（﹣4，0）D ．（5，0）或（﹣5，0）36．（2015常州）将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A ．338cm 2B ．8cm 2C ．3316cm 2 D ．16cm 2 37．（2015贵港）在平面直角坐标系中，若点P （m ，m ﹣n ）与点Q （﹣2，3）关于原点对称，则点M （m ，n ）在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限38．（2015庆阳）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA 1B 1是边长为2的等边三角形，作△B 2A 2B 1与△OA 1B 1关于点B 1成中心对称，再作△B 2A 3B 3与△B 2A 2B 1关于点B 2成中心对称，如此作下去，则△B 2n A 2n +1B 2n +1（n 是正整数）的顶点A 2n +1的坐标是（）A ．（4n ﹣13）B ．（2n ﹣13）C ．（4n +13D ．（2n +13）39．（2015桂林）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=12，AD⊥BC于D，点E、F分别在AB、AC边上，把△ABC沿EF折叠，使点A与点D恰好重合，则△DEF的周长是（）A．14B．15C．16D．1740．（2015南宁）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MA B=20°，N是弧M B的中点，P 是直径AB上的一动点．若M N=1，则△P M N周长的最小值为（）A．4B．5C．6D．741．（2015北海）如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（）A．（4，8）B．（5，8）C．（245，325）D．（225，365）42．（2015攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE 的最小值为．二、填空题43．（2017四川省成都市，第25题，4分）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC 的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG= cm．44．（2017四川省达州市，第16题，3分）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE 翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC=33，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=92CE；④32S阴影．其中正确结论的序号是．45．（2017山东省潍坊市，第18题，3分）如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD边上，记为B′，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C边上，记为D′，折痕为CG，B′D′=2，BE=13BC．则矩形纸片ABCD的面积为．46．（2017广东省，第16题，4分）如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为．47．（2017南宁，第16题，3分）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=2，BD=23，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为．48．（2017江苏省连云港市，第16题，3分）如图，已知等边三角形OAB与反比例函数kyx（k＞0，x＞0）的图象交于A、B两点，将△OAB沿直线OB翻折，得到△OCB，点A的对应点为点C，线段CB交x轴于点D，则BDDC的值为．（已知sin15°=62）49．（2017江西省，第12题，3分）已知点A（0，4），B（7，0），C（7，4），连接AC，BC得到矩形AOBC，点D的边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应边为A'．若点A'到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点A'的坐标为．50．（2017河南省，第15题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC2+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C 为直角三角形，则BM的长为．51．（2017浙江省宁波市，第18题，4分）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为．52．（2017湖北省武汉市，第15题，3分）如图，在△ABC中，AB=AC=23，∠BAC=120°，点D、E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为．53．（2017湖北省襄阳市，第16题，3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE=∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处．若AC=8，AB=10，则CD的长为．54．（2017贵州省贵阳市，第15题，4分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是．55．（2017辽宁省营口市，第17题，3分）在矩形纸片ABCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为．56．（2017辽宁省锦州市，第15题，3分）如图，正方形ABCD中，AB=2，E是CD中点，将正方形ABCD 沿AM折叠，使点B的对应点F落在AE上，延长MF交CD于点N，则DN的长为．57．（2017重庆，第18题，4分）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是．58．（2017重庆B，第18题，4分）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是．59．（2017青海省西宁市，第20题，2分）如图，将▱ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=4，AB=6，则AE的长为．60．（2016云南省曲靖市）如图，在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，E是CD边上一点，沿AE折叠△ADE，使点D恰好落在BC边上的F处，M是AF的中点，连接B M，则sin∠AB M= ．61．（2016吉林省）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为（用含a的式子表示）．62．（2016宁夏）如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA在x轴上，OB在y轴上，点A，B的坐标分别为（3，0），（0，1），把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，则点O′的坐标为63．（2016四川省内江市）如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是．64．（2016山东省东营市）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=55cm，且tan∠EFC=34，那么矩形ABCD的周长为cm．65．（2016山东省临沂市）如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB=4，BC=8，则△ABF的面积为．66．（2016山东省德州市）如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是．67．（2016山东省日照市）如图，△ABC是一张直角三角形纸片，∠C=90°，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为EF，则tan∠CAE= ．68．（2016山东省济南市）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=83AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为M N，连接M E/NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG= ．69．（2016山东省青岛市）如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm 长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虛线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为cm3．70．（2016广东省）如图，矩形ABCD中，对角线AC=23，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD 沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB= ．71．（2016广西南宁市）如图，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率是．72．（2016广西河池市）如图的三角形纸片中，AB=AC，BC=12cm，∠C=30°，折叠这个三角形，使点B 落在AC的中点D处，折痕为EF，那么BF的长为cm．73．（2016江苏省淮安市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．74．（2016江苏省盐城市）如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF= ．75．（2016河北省）如图，已知∠AOB=7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90°-7°=83°．当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1=∠2．若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A=__ ___°．……若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值=___ ____°．76．（2016江苏省苏州市）如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为．77．（2016江苏省连云港市）如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，E M交AB于N．若AD=2，则M N= ．78．（2016河南省）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE 沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段M N 的三等分点时，BE的长为．79．（2016浙江省绍兴市）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为．80．（2016浙江省金华市）如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是．81．（2016湖北省黄冈市）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP= ．82．（2016贵州省黔东南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y 轴上，OC=3，OA=26，D是BC的中点，将△OCD沿直线OD折叠后得到△OGD，延长OG交AB于点E，连接DE，则点G的坐标为．83．（2016湖北省随州市）如图，直线y=x+4与双曲线kyx（k≠0）相交于A（﹣1，a）、B两点，在y轴上找一点P，当PA+PB的值最小时，点P的坐标为．84．（2016湖南省张家界市）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是cm．85．（2016甘肃省天水市）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB=5，tan∠BOC=12，则点A′的坐标为．86．（2016重庆市）正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE 沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=2．则四边形ABFE′的面积是．87．（2016重庆市）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，DE=13DC，连接AE，将△ADE沿AE翻折，点D落在点F处，点O是对角线BD的中点，连接OF并延长OF交CD于点G，连接BF，BG，则△BFG的周长是．88．（2016黑龙江省齐齐哈尔市）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，点M 是AD 边的中点，连接M C ，将菱形ABCD 翻折，使点A 落在线段CM 上的点E 处，折痕交AB 于点N ，则线段EC 的长为．89．（2016黑龙江省龙东地区）如图，M N 是⊙O 的直径，M N =4，∠A M N =40°，点B 为弧AN 的中点，点P 是直径M N 上的一个动点，则PA +PB 的最小值为．90．（2015宜宾）如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB ．若C （32，32），则该一次函数的解析式为．91．（2015达州）如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，点D 落在D ′处，C ′D ′交AE 于点M ．若AB =6，BC =9，则A M 的长为．三、解答题92．（2017吉林省，第26题，10分）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线24(2)3y a x =--经过原点O ，与x 轴的另一个交点为A ，则a = ．【操作】将图①中抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴折叠到x 轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G ，如图②．直接写出图象G 对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B （0，1）作直线l 平行于x 轴，与图象G 的交点从左至右依次为点C ，D ，E ，F ，如图③．求图象G 在直线l 上方的部分对应的函数y 随x 增大而增大时x 的取值范围．【应用】P 是图③中图象G 上一点，其横坐标为m ，连接PD ，PE ．直接写出△PDE 的面积不小于1时m 的取值范围．93．（2017四川省达州市，第25题，12分）如图1，点A 坐标为（2，0），以OA 为边在第一象限内作等边△OAB ，点C 为x 轴上一动点，且在点A 右侧，连接BC ，以BC 为边在第一象限内作等边△BCD ，连接AD 交BC 于E ．（1）①直接回答：△OBC 与△ABD 全等吗？②试说明：无论点C 如何移动，AD 始终与OB 平行；（2）当点C 运动到使AC 2=AE •AD 时，如图2，经过O 、B 、C 三点的抛物线为y 1．试问：y 1上是否存在动点P ，使△BEP 为直角三角形且BE 为直角边？若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，将y 1沿x 轴翻折得y 2，设y 1与y 2组成的图形为M ，函数33y x m =+的图象l与M 有公共点．试写出：l 与M 的公共点为3个时，m 的取值．94．（2017德州，第23题，10分）如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB =3cm ，AD =5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．95．（2017山东省淄博市，第23题，9分）如图，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD 边上的动点P重合（点P不与点C，D重合），折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，连接MB，MP，BP，BP与MN相交于点F．（1）求证：△BFN∽△BCP；（2）①在图2中，作出经过M，D，P三点的⊙O（要求保留作图痕迹，不写做法）；②设AB=4，随着点P在CD上的运动，若①中的⊙O恰好与BM，BC同时相切，求此时DP的长．96．（2017山西省，第22题，12分）综合与实践背景阅读早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形．例如：三边长分别为9，12，15或32,42,523，4，5）型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．实践操作如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm．第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF．第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF 交于点N ，然后展平．问题解决（1）请在图2中证明四边形AEFD 是正方形．（2）请在图4中判断NF 与ND ′的数量关系，并加以证明．（3）请在图4中证明△AEN 是（3，4，5）型三角形．探索发现（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称．97．（2017广西桂林市，第26题，12分）已知抛物线214y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （4，0）．（1）求抛物线1y 的函数解析式；（2）如图①，将抛物线1y 沿x 轴翻折得到抛物线2y ，抛物线2y 与y 轴交于点C ，点D 是线段BC 上的一个动点，过点D 作DE ∥y 轴交抛物线1y 于点E ，求线段DE 的长度的最大值；（2）在（2）的条件下，当线段DE 处于长度最大值位置时，作线段BC 的垂直平分线交DE 于点F ，垂足为H ，点P 是抛物线2y 上一动点，⊙P 与直线BC 相切，且S ⊙P ：S △DFH =2π，求满足条件的所有点P 的坐标．98．（2017广西贵港市，第26题，10分）已知，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =2，D 是AC 边上的一个动点，将△ABD 沿BD 所在直线折叠，使点A 落在点P 处．（1）如图1，若点D 是AC 中点，连接PC ．①写出BP ，BD 的长；②求证：四边形BCPD 是平行四边形．（2）如图2，若BD =AD ，过点P 作PH ⊥BC 交BC 的延长线于点H ，求PH 的长．99．（2017江苏省宿迁市，第25题，10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x x =--交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将该抛物线位于x 轴上方曲线记作M ，将该抛物线位于x 轴下方部分沿x 轴翻折，翻折后所得曲线记作N ，曲线N 交y 轴于点C ，连接AC 、BC ．（1）求曲线N 所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC 外接圆的半径；（3）点P 为曲线M 或曲线N 上的一动点，点Q 为x 轴上的一个动点，若以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标．100．（2017江苏省宿迁市，第26题，10分）如图，在矩形纸片ABCD 中，已知AB =1，BC =3，点E 在边CD 上移动，连接AE ，将多边形ABCE 沿直线AE 翻折，得到多边形AB ′C ′E ，点B 、C 的对应点分别为点B ′、C ′．（1）当B ′C ′恰好经过点D 时（如图1），求线段CE 的长；（2）若B ′C ′分别交边AD ，CD 于点F ，G ，且∠DAE =22.5°（如图2），求△DFG 的面积；（3）在点E 从点C 移动到点D 的过程中，求点C ′运动的路径长．101．（2017浙江省绍兴市，第24题，14分）如图1，已知□ABCD ，AB ∥x 轴，AB =6，点A 的坐标为（1，-4），点D 的坐标为（-3，4），点B 在第四象限，点P 是□ABCD 边上一个动点．（1）若点P 在边BC 上，PD =CD ，求点P 的坐标．（2）若点P 在边AB 、AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q ，落在直线1y x =-上，求点P 的坐标．（3）若点P 在边AB ，AD ，CD 上，点G 是AD 与y 轴的交点，如图2，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P 的坐标（直接写出答案）．102．（2017金华，第23题，10分）如图1，将△ABC 纸片沿中位线EH 折叠，使点A 对称点D 落在BC 边上，再将纸片分别沿等腰△BED 和等腰△DHC 的底边上的高线EF ，HG 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能合成一个无缝隙，无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．（1）将▱ABCD 纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段，；S 矩形AE S ▱ABCD = ．（2）如图4，四边形ABCD 纸片满足AD ∥BC ，AD ＜BC ，AB ⊥BC ，AB =8，CD =10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD 、BC 的长．103．（2017辽宁省盘锦市，第26题，14分）如图，直线y =﹣2x +4交y 轴于点A ，交抛物线212y x bx c =++ 于点B （3，﹣2），抛物线经过点C （﹣1，0），交y 轴于点D ，点P 是抛物线上的动点，作PE ⊥DB 交DB 所在直线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PDE 为等腰直角三角形时，求出PE 的长及P 点坐标；（3）在（2）的条件下，连接PB ，将△PBE 沿直线AB 翻折，直接写出翻折点后E 的对称点坐标．104．（2017辽宁省葫芦岛市，第26题，14分）如图，抛物线22y ax x c =-+（a ≠0）与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，C 三点，已知点A （﹣2，0），点C （0，﹣8），点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，第四象限的抛物线上有一点P ，将△EBP 沿直线EP 折叠，使点B 的对应点B '落在抛物线的对称轴上，求点P 的坐标；（3）如图2，设BC 交抛物线的对称轴于点F ，作直线CD ，点M 是直线CD 上的动点，点N 是平面内一点，当以点B ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M 的坐标．105．（2017辽宁省辽阳市，第26题，14分）如图1，抛物线213y x bx c =++经过A （3-0）、B （0，﹣2）两点，点C 在y 轴上，△ABC 为等边三角形，点D 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0），过点D 作DE ⊥AC 于点E ，以DE 为边作矩形DEGF ，使点F 在x 轴上，点G 在AC 或AC 的延长线上．（1）求抛物线的解析式；（2）将矩形DEGF 沿GF 所在直线翻折，得矩形D 'E 'GF ，当点D 的对称点D '落在抛物线上时，求此时点D '的坐标；（3）如图2，在x 轴上有一点M （23，0），连接BM 、CM ，在点D 的运动过程中，设矩形DEGF 与四边形ABMC 重叠部分的面积为S ，直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 106．（2017黑龙江省龙东地区，第28题，10分）如图，矩形AOCB 的顶点A 、C 分别位于x 轴和y 轴的正半轴上，线段OA 、OC 的长度满足方程15130x y -+-=（OA ＞OC ），直线y =kx +b 分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点，将△BCN 沿直线BN 折叠，点C 恰好落在直线MN 上的点D 处，且tan ∠CBD =34．（1）求点B 的坐标；（2）求直线BN 的解析式；（3）将直线BN 以每秒1个单位长度的速度沿y 轴向下平移，求直线BN 扫过矩形AOCB 的面积S 关于运动的时间t （0＜t ≤13）的函数关系式．107．（2017黑龙江省龙东地区，第28题，10分）如图，矩形AOCB 的顶点A 、C 分别位于x 轴和y 轴的正半轴上，线段OA 、OC 的长度满足方程15130x y --=（OA ＞OC ），直线y =kx +b 分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点，将△BCN 沿直线BN 折叠，点C 恰好落在直线MN 上的点D 处，且tan ∠CBD =34．（1）求点B 的坐标；（2）求直线BN 的解析式；（3）将直线BN 以每秒1个单位长度的速度沿y 轴向下平移，求直线BN 扫过矩形AOCB 的面积S 关于运动的时间t （0＜t ≤13）的函数关系式．108．（2017湖南省娄底市，第26题，10分）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于两点A （﹣4，0）和B （1，0），与y 轴交于点C （0，2），动点D 沿△ABC 的边AB 以每秒2个单位长度的速度由起点A 向终点B 运动，过点D 作x 轴的垂线，交△ABC 的另一边于点E ，将△ADE 沿DE 折叠，使点A 落在点F 处，设点D 的运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是否存在某一时刻t ，使得△EFC 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）设四边形DECO 的面积为s ，求s 关于t 的函数表达式．109．（2016新疆）如图，▱ABCD 中，AB =2，AD =1，∠ADC =60°，将▱ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点D ′处，折痕交CD 边于点E ．（1）求证：四边形BCED ′是菱形；（2）若点P 时直线l 上的一个动点，请计算PD ′+PB 的最小值．。

2017年挑战中考数学压轴题(全套含答案)

第一部分函数图象中点的存在性问题§1．1 因动点产生的相似三角形问题例1 2014年衡阳市中考第28题例2 2014年益阳市中考第21题例3 2015年湘西州中考第26题例4 2015年张家界市中考第25题例5 2016年常德市中考第26题例6 2016年岳阳市中考第24题例7 2016年上海市崇明县中考模拟第25题例8 2016年上海市黄浦区中考模拟第26题§1．2 因动点产生的等腰三角形问题例9 2014年长沙市中考第26题例10 2014年张家界市第25题例11 2014年邵阳市中考第26题例12 2014年娄底市中考第27题例13 2015年怀化市中考第22题例14 2015年长沙市中考第26题例15 2016年娄底市中考第26题例16 2016年上海市长宁区金山区中考模拟第25题例17 2016年河南省中考第23题例18 2016年重庆市中考第25题§1．3 因动点产生的直角三角形问题例19 2015年益阳市中考第21题例20 2015年湘潭市中考第26题例21 2016年郴州市中考第26题例22 2016年上海市松江区中考模拟第25题例23 2016年义乌市绍兴市中考第24题§1．4 因动点产生的平行四边形问题例24 2014年岳阳市中考第24题例25 2014年益阳市中考第20题例26 2014年邵阳市中考第25题例27 2015年郴州市中考第25题例28 2015年黄冈市中考第24题例29 2016年衡阳市中考第26题例30 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24题例31 2016年上海市徐汇区中考模拟第24题§1．5 因动点产生的面积问题例32 2014年常德市中考第25题例33 2014年永州市中考第25题例34 2014年怀化市中考第24题例35 2015年邵阳市中考第26题例36 2015年株洲市中考第23题例37 2015年衡阳市中考第28题例38 2016年益阳市中考第22题例39 2016年永州市中考第26题例40 2016年邵阳市中考第26题例41 2016年陕西省中考第25题§1．6 因动点产生的相切问题例42 2014年衡阳市中考第27题例43 2014年株洲市中考第23题例44 2015年湘潭市中考第25题例45 2015年湘西州中考第25题例46 2016年娄底市中考第25题例47 2016年湘潭市中考第26题例48 2016年上海市闵行区中考模拟第24题例49 2016年上海市普陀区中考模拟中考第25题§1．7 因动点产生的线段和差问题例50 2014年郴州市中考第26题例51 2014年湘西州中考第25题例52 2015年岳阳市中考第24题例53 2015年济南市中考第28题例54 2015年沈阳市中考第25题例55 2016年福州市中考第26题例56 2016年张家界市中考第24题例57 2016年益阳市中考第21题第二部分图形运动中的函数关系问题§2．1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2014年常德市中考第26题例2 2014年湘潭市中考第25题例3 2014年郴州市中考第25题例4 2015年常德市中考第25题例5 2015年郴州市中考第26题例6 2015年邵阳市中考第25题例7 2015年娄底市中考第26题例8 2016年郴州市中考第25题例9 2016年湘西州中考第26题例10 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第25题例11 2016年哈尔滨市中考第27题第三部分图形运动中的计算说理问题§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2014年长沙市中考第25题例2 2014年怀化市中考第23题例3 2014年湘潭市中考第26题例4 2014年株洲市中考第24题例5 2015年衡阳市中考第27题例6 2015年娄底市中考第25题例7 2015年永州市中考第26题例8 2015年长沙市中考第25题例9 2015年株洲市中考第24题例10 2016年怀化市中考第22题例11 2016年邵阳市中考第25题例12 2016年株洲市中考第26题例13 2016年长沙市中考第25题例14 2016年长沙市中考第26题§3．2 几何证明及通过几何计算进行说理问题例15 2014年衡阳市中考第26题例16 2014年娄底市中考第26题例17 2014年岳阳市中考第23题例18 2015年常德市中考第26题例19 2015年益阳市中考第20题例20 2015年永州市中考第27题例21 2015年岳阳市中考第23题例22 2016年常德市中考第25题例23 2016年衡阳市中考第25题例24 2016年永州市中考第27题例25 2016年岳阳市中考第23题例26 2016年株洲市中考第25题例27 2016年湘潭市中考第25题第四部分图形的平移、翻折与旋转§4．1 图形的平移例1 2015年泰安市中考第15题例2 2015年咸宁市中考第14题例3 2015年株洲市中考第14题例4 2016年上海市虹口区中考模拟第18题§4．2 图形的翻折例5 2016年上海市奉贤区中考模拟第18题例6 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第18题例7 2016年上海市闵行区中考模拟第18题例8 2016年上海市浦东新区中考模拟第18题例8 2016年上海市普陀区中考模拟第18题例10 2016年常德市中考第15题例11 2016年张家界市中考第14题例12 2016年淮安市中考第18题例13 2016年金华市中考第15题例14 2016年雅安市中考第12题§4．3 图形的旋转例15 2016年上海昂立教育中学生三模联考第18题例16 2016年上海市崇明县中考模拟第18题例17 2016年上海市黄浦区中考模拟第18题例18 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟第18题例19 2016年上海市闸北区中考模拟第18题例20 2016年邵阳市中考第13题例21 2016年株洲市中考第4题§4．4 三角形例22 2016年安徽省中考第10题例23 2016年武汉市中考第10题例24 2016年河北省中考第16题例25 2016年娄底市中考第10题例26 2016年苏州市中考第9题例27 2016年台州市中考第10题例28 2016年陕西省中考第14题例29 2016年内江市中考第11题例30 2016年上海市中考第18题§4．5 四边形例31 2016年湘西州中考第11题例32 2016年益阳市中考第4题例33 2016年益阳市中考第6题例34 2016年常德市中考第16题例35 2016年成都市中考第14题例36 2016年广州市中考第13题例37 2016年福州市中考第18题例38 2016年无锡市中考第17题例39 2016年台州市中考第15题§4．6 圆例40 2016年滨州市中考第16题例41 2016年宁波市中考第17题例42 2016年连云港市中考第16题例43 2016年烟台市中考第17题例44 2016年烟台市中考第18题例45 2016年无锡市中考第18题例46 2016年武汉市中考第9题例47 2016年宿迁市中考第16题例48 2016年衡阳市中考第17题例49 2016年邵阳市中考第18题例50 2016年湘西州中考第18题例51 2016年永州市中考第20题§4．7 函数的图象及性质例52 2015年荆州市中考第9题例53 2015年德州市中考第12题例54 2015年烟台市中考第12题例55 2015年中山市中考第10题例56 2015年武威市中考第10题例57 2015年呼和浩特市中考第10题例58 2016年湘潭市中考第18题例59 2016年衡阳市中考第19题例60 2016年岳阳市中考第15题例61 2016年株洲市中考第9题例62 2016年永州市中考第19题例63 2016年岳阳市中考第8题例64 2016年岳阳市中考第16题例65 2016年益阳市中考第14题例66 2016年株洲市中考第10题例67 2016年株洲市中考第17题例68 2016年东营市中考第15题例69 2016年成都市中考第13题例70 2016年泰州市中考第16题例71 2016年宿迁市中考第15题例72 2016年临沂市中考第14题例73 2016年义乌市绍兴市中考第9题例74 2016年淄博市中考第12题例75 2016年嘉兴市中考第16题§1．1 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．图1例 1 2014年湖南省衡阳市中考第28题二次函数y＝a x2＋b x＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m ＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到AC的中点的正下方时，△APC的面积最大．拖动y轴上表示实数m的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD和∠ADC都可以成为直角．思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP，△APC可以割补为：△AOP与△COP的和，再减去△AOC．3．讨论△ACD与△OBC相似，先确定△ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD存在两种情况．图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，设y＝a(x＋3)(x－1)．代入点C(0,－3m)，得－3m＝－3a．解得a＝m．所以该二次函数的解析式为y＝m(x＋3)(x－1)＝mx2＋2mx－3m．（2）如图3，连结OP．当m＝2时，C(0,－6)，y＝2x2＋4x－6，那么P(x, 2x2＋4x－6)．由于S△AOP＝＝(2x2＋4x－6)＝－3x2－6x＋9，S△COP＝＝－3x，S△AOC＝9，所以S＝S△APC＝S△AOP＋S△COP－S△AOC＝－3x2－9x＝．所以当时，S取得最大值，最大值为．图3 图4 图5（3）如图4，过点D作y轴的垂线，垂足为E．过点A作x轴的垂线交DE于F．由y＝m(x＋3)(x－1)＝m(x＋1)2－4m，得D(－1,－4m)．在Rt△OBC中，OB∶OC＝1∶3m．如果△ADC与△OBC相似，那么△ADC是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m．①如图4，当∠ACD＝90°时，．所以．解得m＝1．此时，．所以．所以△CDA∽△OBC．②如图5，当∠ADC＝90°时，．所以．解得．此时，而．因此△DCA与△OBC不相似．综上所述，当m＝1时，△CDA∽△OBC．考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P作x轴的垂线与AC交于点H．由直线AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)．又因为P(x, 2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．因为△P AH与△PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH＝(－2x2－6x)＝．图6例 2 2014年湖南省益阳市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A 向点B运动，设AP＝x．2·1·c·n·j·y（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S＝S1＋S2，求S的最小值.动感体验图1请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段．观察S随点P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求S的函数关系式．图文解析（1）如图2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH．在Rt△BCH中，∠B＝60°，BC＝4，所以BH＝2，CH＝．所以AD＝．（2）因为△APD是直角三角形，如果△APD与△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．①如图3，当∠CPB＝90°时，AP＝10－2＝8．所以＝＝，而＝．此时△APD与△PCB不相似．图2 图3 图4②如图4，当∠BCP＝90°时，BP＝2BC＝8．所以AP＝2．所以＝＝．所以∠APD＝60°．此时△APD∽△CBP．综上所述，当x＝2时，△APD∽△CBP．（3）如图5，设△ADP的外接圆的圆心为G，那么点G是斜边DP的中点．设△PCB的外接圆的圆心为O，那么点O在BC边的垂直平分线上，设这条直线与BC交于点E，与AB 交于点F．设AP＝2m．作OM⊥BP于M，那么BM＝PM＝5－m．在Rt△BEF中，BE＝2，∠B＝60°，所以BF＝4．在Rt△OFM中，FM＝BF－BM＝4－(5－m)＝m－1，∠OFM＝30°，所以OM＝．所以OB2＝BM2＋OM2＝．在Rt△ADP中，DP2＝AD2＋AP2＝12＋4m2．所以GP2＝3＋m2．于是S＝S1＋S2＝π(GP2＋OB2)＝＝．所以当时，S取得最小值，最小值为．图5 图6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题．问题1，为什么设AP＝2m呢？这是因为线段AB＝AP＋PM＋BM＝AP＋2BM＝10．这样BM＝5－m，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S的最小值．问题2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？如图6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是FM＝BM－BF＝(5－m)－4＝1－m．此时OB2＝BM2＋OM2＝．这并不影响S关于m的解析式．例3 2015年湖南省湘西市中考第26题如图1，已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE//y轴，交AB于点E，过点Q作QF//y轴，交抛物线于点F，连结EF，当EF//PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P在OA上运动，可以体验到，△APQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ与△BOP有一次机会相似．思路点拨1．在△APQ中，∠A＝45°，夹∠A的两条边AP、AQ都可以用t表示，分两种情况讨论直角三角形APQ．2．先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F的坐标，根据PE＝QF列方程就好了．3．△MBQ与△BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．图文解析（1）由y＝－x＋3，得A(3, 0)，B(0, 3)．将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得解得所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．（2）在△APQ中，∠P AQ＝45°，AP＝3－t，AQ＝t．分两种情况讨论直角三角形APQ：①当∠PQA＝90°时，AP＝AQ．解方程3－t＝2t，得t＝1（如图2）．②当∠QP A＝90°时，AQ＝AP．解方程t＝(3－t)，得t＝1.5（如图3）．图2 图3（3）如图4，因为PE//QF，当EF//PQ时，四边形EPQF是平行四边形．所以EP＝FQ．所以y E－y P＝y F－y Q．因为x P＝t，x Q＝3－t，所以y E＝3－t，y Q＝t，y F＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t．因为y E－y P＝y F－y Q，解方程3－t＝(－t2＋4t)－t，得t＝1，或t＝3（舍去）．所以点F的坐标为(2, 3)．图4 图5（4）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，得M(1, 4)．由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB＝3．由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM＝．所以∠MBQ＝∠BOP＝90°．因此△MBQ与△BOP相似存在两种可能：①当时，．解得（如图5）．②当时，．整理，得t2－3t＋3＝0．此方程无实根．考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3－t)，Q(3－t, t)，按照P→E方向，将点Q向上平移，得F(3－t, 3)．再将F(3－t, 3)代入y＝－x2＋2x＋3，得t＝1，或t＝3．§1．2 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3例 9 2014年长沙市中考第26题如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0, 2)．（1）求a 、b 、c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P 与x 轴相交于M (x 1, 0)、N (x 2, 0)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在五种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长MN ＝4是定值．2．等腰三角形AMN 存在五种情况，点P 的纵坐标有三个值，根据对称性，MA ＝MN 和NA ＝NM 时，点P 的纵坐标是相等的．图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax 2．所以b ＝0，c ＝0．将代入y ＝ax 2，得．解得（舍去了负值）．（2）抛物线的解析式为，设点P 的坐标为．已知A (0, 2)，所以＞．而圆心P 到x 轴的距离为，所以半径P A ＞圆心P 到x 轴的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分MN ．．4＝2MH ，所以，中，PMH △Rt 在所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．等腰△AMN 存在三种情况：①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O 重合，此时点P 的纵坐标为0．图2 图3．2＝OM ，所以4＝AM ，2＝OA 中，AOM △Rt 时，在MN ＝MA ，当4②如图．的纵坐标为P ．所以点2＝OH ＝x 此时．的纵坐标为也为P 时，根据对称性，点NM ＝NA ，当5如图图4 图5③如图6，当NA＝NM＝4时，在Rt△AON中，OA＝2，AN＝4，所以ON＝2．此时x＝OH＝2．所以点P的纵坐标为．如图7，当MN＝MA＝4时，根据对称性，点P的纵坐标也为．图6 图7考点伸展如果点P在抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0, 1)，那么在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．这是因为：设点P的坐标为．已知B(0, 1)，所以．而圆心P到直线y＝－1的距离也为，所以半径PB＝圆心P到直线y＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．例 10 2014年湖南省张家界市中考第25题如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过O、B、C三点，B、C 坐标分别为(10, 0)和，以OB为直径的⊙A经过C点，直线l垂直x轴于B点．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M是⊙A上一动点（不同于O、B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想mn的值，并证明你的结论；（4）若点P从O出发，以每秒1个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值．图图1动感体验请打开几何画板文件名“14张家界25”，拖动点M在圆上运动，可以体验到，△EAF保持直角三角形的形状，AM是斜边上的高．拖动点Q在BC上运动，可以体验到，△BPQ有三个时刻可以成为等腰三角形．思路点拨1．从直线BC的解析式可以得到∠OBC的三角比，为讨论等腰三角形BPQ作铺垫．2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．3．第（3）题连结AE、AF容易看到AM是直角三角形EAF斜边上的高．4．第（4）题的△PBQ中，∠B是确定的，夹∠B的两条边可以用含t的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形．图文解析（1）直线BC的解析式为．（2）因为抛物线与x轴交于O、B(10, 0)两点，设y＝ax(x－10)．代入点C，得．解得．所以．抛物线的顶点为．（3）如图2，因为EF切⊙A于M，所以AM⊥EF．由AE＝AE，AO＝AM，可得Rt△AOE≌Rt△AME．所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF＝90°．所以∠5＝∠1．由tan∠5＝tan∠1，得．所以ME·MF＝MA2，即mn＝25．图2（4）在△BPQ中，cos∠B＝，BP＝10－t，BQ＝t．分三种情况讨论等腰三角形BPQ：①如图3，当BP＝BQ时，10－t＝t．解得t＝5．②如图4，当PB＝PQ时，．解方程，得．③如图5，当QB＝QP时，．解方程，得．图3 图4 图5考点伸展在第（3）题条件下，以EF为直径的⊙G与x轴相切于点A．如图6，这是因为AG既是直角三角形EAF斜边上的中线，也是直角梯形EOBF的中位线，因此圆心G 到x轴的距离等于圆的半径，所以⊙G与x轴相切于点A．图6例 11 2014年湖南省邵阳市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,－1)，求∠ACB的大小；（3）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．动感体验请打开几何画板文件名“14邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，△ABC保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B在x轴上运动，观察△ABC 的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况．思路点拨1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标．2．第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比．3．第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程．图文解析（1）由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，点A位于点B的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)．若m＝2，n＝1，那么A(2, 0)，B(1, 0)．．（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1．若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以OC2＝OA·OB．所以．所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以∠ACB＝90°．图1 图2 图3（3）在△ABC中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)．讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB2＝(n－2)2，BC2＝5n2，AC2＝4＋4n2．①当AB＝AC时，解方程(n－2)2＝4＋4n2，得（如图2）．。

湖南省衡阳市2017年中考数学试卷及答案解析

2017湖南省衡阳市中考数学试卷1．﹣2的相反数的倒数是（）A． B．C．﹣2 D．2【考点】倒数；相反数．【专题】存在型．【分析】先根据相反数的定义求出﹣2的相反数，再根据倒数的定义进行解答即可．【解答】解：∵﹣2＜0，∴﹣2的相反数是2；∵2×=1，∴2的相反数是，即﹣2的相反数的倒数是．故选B．【点评】本题考查的是相反数及倒数的定义，熟练掌握相反数及倒数的定义是解答此题的关键．2．下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（x3）2=x6 C．3m+2n=5mn D．y3•y3=y【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与合并同类项的知识求解，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：A、a2•a3=a5，故本选项错误；B、（x3）2=x6，故本选项正确；C、3m+2n≠5mn，故本选项错误；D、y3•y3=y6，故本选项错误．故选B．【点评】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与合并同类项的知识．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．3．在坐标平面内，若点P（x﹣2，x+1）在第二象限，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜2【考点】点的坐标．【分析】根据点的坐标满足第二象限的条件是横坐标＜0，纵坐标＞0可得到一个关于x的不等式组，求解即可．【解答】解：因为点P（x﹣2，x+1）在第二象限，所以x﹣2＜0，x+1＞0，解得﹣1＜x＜2．故选D．【点评】解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．4．一个不透明的口袋中装有3个红球和12个黄球，这些球除了颜色外，无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】由一个不透明的口袋中装有3个红球和12个黄球，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一个不透明的口袋中装有3个红球和12个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为： =．故选C．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ 的最小值为（）A．B．2 C．3 D．2【考点】角平分线的性质；垂线段最短．【分析】首先过点P作PB⊥OM于B，由OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，根据角平分线的性质，即可求得PB的值，又由垂线段最短，可求得PQ的最小值．【解答】解：过点P作PB⊥OM于B，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，∴PB=PA=3，∴PQ的最小值为3．故选：C．【点评】此题考查了角平分线的性质与垂线段最短的知识．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．6．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=53°，则∠BCD为（）A．37°B．47°C．45°D．53°【考点】圆周角定理．【分析】连接AC，由AB是直径，可得直角，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ACD的度数，利用两角差可得答案．【解答】解：连接AC，∵AB是圆的直径，∴∠BCA=90°，又∠ACD=∠ABD=53°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣53°=37°．故选A．【点评】本题考查了圆周角定理；直径在题目已知中出现时，往往要利用其所对的圆周角是直角这一结论，做题时注意应用，连接AC是正确解答本题的关键．7．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．正方体C．圆柱D．三棱柱【考点】由三视图判断几何体．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选：D．【点评】此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．8．抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）A． B．C． D．【考点】二次函数图象与系数的关系；反比例函数的图象．【专题】压轴题．【分析】首先观察抛物线y=ax2+bx+c图象，由抛物线的对称轴的位置由其开口方向，即可判定﹣b的正负，由抛物线与x轴的交点个数，即可判定﹣4ac+b2的正负，则可得到一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2的图象过第几象限，由当x=1时，y=a+b+c＜0，即可得反比例函数y=过第几象限，继而求得答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上，∴a＞0，∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，∴x=﹣＞0，∴b＜0，∴﹣b＞0，∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，∴一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2的图象过第一、二、三象限；∵由函数图象可知，当x=1时，抛物线y=a+b+c＜0，∴反比例函数y=的图象在第二、四象限．故选D．【点评】此题考查了一次函数、反比例函数与二次函数的图象与系数的关系．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意函数的图象与系数的关系．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．温家宝总理强调，“十二五”期间，将新建保障性住房36000000套，用于解决中低收入和新参加工作的大学生住房的需求．把36000000用科学记数法表示应是 3.6×107 ．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：36000000=3.6×107．故答案为：3.6×107．【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．在函数y=中，自变量x的取值范围是x≥﹣1且x≠0 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x≠0，解得：x≥﹣1且x≠0．故答案为：x≥﹣1且x≠0．【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．11．已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π．【考点】弧长的计算．【分析】根据弧长公式L=求解．【解答】解：L===3π．故答案为：3π．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式L=．12．如图，这是一个长方体的主视图和俯视图，由图示数据（单元：cm）可以得出该长方体的体积是18 cm3．【考点】由三视图判断几何体．【分析】首先确定该几何体为立方体，并说出其尺寸，直接计算其体积即可．【解答】解：观察其视图知：该几何体为立方体，且立方体的长为3，宽为2，高为3，故其体积为：3×3×2=18，故答案为：18．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，牢记立方体的体积计算方法是解答本题的关键．13．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=8cm，OC=3cm，则⊙O的半径为 5 cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】根据垂径定理可将AC的长求出，再根据勾股定理可将⊙O的半径求出．【解答】解：由垂径定理OC⊥AB，则AC=BC=AB=4cm在Rt△ACO中，AC=4，OC=3，由勾股定理可得AO==5（cm），即⊙O的半径为5cm．故答案为：5．【点评】本题综合考查了圆的垂径定理与勾股定理．14．如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn= ．（用含n的式子表示）【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，即可求得△B1C1Mn的面积，又由BnCn∥B1C1，即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．【解答】解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn 分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×=，∵BnCn∥B1C1，∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即Sn： =，∴Sn=．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共58分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．计算：（﹣2016）0+|﹣2|+（）﹣2+3tan30°．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：原式=1+2﹣+4+，=7．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．16．÷（x﹣），再从1、0、中选一个你所喜欢的数代入求值．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=﹒=，当x=时，原式=+2．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务．若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．【考点】分式方程的应用．【分析】设每人每小时的绿化面积为x平方米，根据施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，列方程求解．【解答】解：设每人每小时的绿化面积为x平方米，根据题意得：﹣=3，解得：x=，经检验x=是原方程的解；答：每人每小时的绿化面积是平方米．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．18．某小学三年级到六年级的全体学生参加“礼仪”知识测试，试题共有10题，每题10分．从中随机抽取了部分学生的成绩进行统计，发现抽测的学生每人至少答对了6题，现将有关数据整理后绘制成如下“年级人数统计图”和尚未全部完成的“成绩情况统计表”．成绩情况统计表100分90分80分70分60分成绩人数21 40 3618 5频率0.1750.3330.3 0.150.04根据图表中提供的信息，回答下列问题：（1）测试学生中，成绩为80分的学生人数有36 名；众数是90 分；中位数是90 分；（2）若该小学三年级到六年级共有1800名学生，则可估计出成绩为70分的学生人数约有270 名．【考点】众数；用样本估计总体；频数（率）分布表；条形统计图；中位数．【专题】数形结合．【分析】（1）先由直方图得到调查的学生总数，然后计算出各成绩的人数或频率，再根据众数、中位数的定义求解即可．（2）利用成绩为70分的学生所占百分数乘以1800即可．【解答】解：（1）学生总人数=28+30+26++36=120（人），21÷120=0.175，40÷120≈0.333，5÷120≈0.04，0.3×120=36，即成绩为80分的学生人数有36人，120﹣21﹣40﹣36﹣5=18，18÷120=0.15，90出现的次数最多，所以众数为90（分），第60和第61个数都是90分，所以中位数为90分；（2）1800×0.15=270名．估计成绩为70分的学生人数约有270名．故答案为36，18，0.175，0.333，0.15，0.04；36，90，90；270．【点评】本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义．19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．【专题】作图题．【分析】（1）根据题意画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1即可；（2）根据题意画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，线段BC旋转过程中扫过的面积为扇形BCC2的面积，求出即可．【解答】解：（1）如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，线段BC旋转过程中所扫过得面积S==．【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，对称轴变换，以及扇形面积，作出正确的图形是解本题的关键．20．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2m，台阶AC的倾斜角∠ACB为30°，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】先根据直角三角形的性质得出AC的长，再由锐角三角函数的定义得出DC的长，进而可得出结论．【解答】解：∵∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2m，∴AC=2AB=4．又∵∠DCE=60°，∴∠ACD=90°．∵AF∥BE，∴∠CAF=∠ACB=30°，∴∠DAC=60°．在Rt△ACD中，∵tan∠DAC=，∴DC=．在Rt△DCE中，∵∠DCE=60°，tan∠DCE=，∴DE=4×=6．答：树DE的高度为6米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．21．如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠BAE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．【考点】平行四边形的判定；矩形的性质．【分析】（1）直接利用矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BE=CF，进而得出答案；（2）利用勾股定理的逆定理得出∠EDF=90°，进而得出•ED•DF=EF•CD，求出答案即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠DCF=90°，∵∠BAE=∠CDF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（ASA），∴BE=CF，∴BC=EF，∵BC=AD，∴EF=AD，又∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形；（2）解：由（1）知：EF=AD=5，在△EFD中，∵DF=3，DE=4，EF=5，∴DE2+DF2=EF2，∴∠EDF=90°，∴•ED•DF=EF•CD，∴CD=．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的逆定理，得出BC=EF是解题关键．22．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于C点，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥CD；（2）若AD=2，，求⊙O的半径R的长．【考点】切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）连接OC，由题意得OC⊥CD．又因为AC平分∠DAB，则∠1=∠2=∠DAB．即可得出AD∥OC，则AD⊥CD；（2）连接BC，则∠ACB=90°，可证明△ADC∽△ACB．则=，从而求得R．【解答】（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于C点，AB是⊙O的直径，∴OC⊥CD．（1分）又∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2=∠DAB．又∠COB=2∠1=∠DAB，∴AD∥OC，∴AD⊥CD．（4分）（2）解：连接BC，则∠ACB=90°，在△ADC和△ACB中∵∠1=∠2，∠3=∠ACB=90°，（6分）∴△ADC∽△ACB．（7分）∴=（9分）∴R==．（10分）【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，是中档题，难度不大．23．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y=x﹣1的零点．已知y=x2+kx﹣4（k为常数）．（1）当k=0时，求该函数的零点；（2）证明：无论k取何值，该函数总有两个零点．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；根的判别式．【专题】计算题．【分析】（1）根据函数的零点的定义，令y=0，解方程即可．（2）令y=0，可得x2+kx﹣4=0．只要证明△=k2﹣4×（﹣4）=k2+16＞0即可．【解答】解：（1）当k=0时，y=x2﹣4．令y=0，x2﹣4=0，解得x=2或x=﹣2∴当k=0时，该函数的零点是2和﹣2．（2）证明：因为y=x2+kx﹣4，令y=0，可得x2+kx﹣4=0．∵△=k2﹣4×（﹣4）=k2+16＞0，∴无论k取何值，方程x2+kx﹣4=0总有两个不相等的实数根，∴无论k取何值，该函数总有两个零点．【点评】本题考查二次函数图象上点的特征、根的判别式、一元二次方程的解等知识，解题的关键是理解题意，用转化的思想思考问题．24．已知抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n．（1）求抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）通过解方程可求出m、n的值，也就求出了点A、B的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．（2）抛物线的解析式中，令y=0可求得C点坐标，利用公式法可求出抛物线顶点D的坐标；由于△BCD的面积无法直接求得，可过D作x轴的垂线，设垂足为E，分别求出△CDE、梯形DEOB、△BCO的面积，那么△CDE、梯形DEOB的面积和减去△BCO的面积，即可得到△BCD的面积．（3）若直线BC平分△PCH的面积，那么直线BC必过PH的中点，因为只有这样平分所得的两个三角形才等底等高，可设出点P的坐标，根据抛物线的解析式可表示出点H的坐标，进而可求得PH中点的坐标，由于PH中点在直线BC上，可将其代入直线BC的解析式中，由此求出点P的坐标．【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+5=0，得x1=5，x2=1，由m＜n，知m=1，n=5，∴A（1，0），B（0，5），∴即；所求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+5．（2）由﹣x2﹣4x+5=0，得x1=﹣5，x2=1，故C的坐标为（﹣5，0），由顶点坐标公式，得D（﹣2，9）；过D作DE⊥x轴于E，得E（﹣2，0），∴S△BCD=S△CDE+S梯形OBDE﹣S△OBC==15．（注：延长DB交x轴于F，由S△BCD=S△CFD﹣S△CFB也可求得）（3）设P（a，0），则H（a，﹣a2﹣4a+5）；直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只须BC等分线段PH，亦即PH的中点，（）在直线BC上，易得直线BC方程为：y=x+5；∴．解之得a1=﹣1，a2=﹣5（舍去），故所求P点坐标为（﹣1，0）．【点评】此题考查了一元二次方程的解法、二次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象上点的坐标意义等基础知识，难度不大．。

中考数学压轴题-二次函数动点问题

二次函数压轴题1.如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1）求抛物线的解析式.（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝31．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.3.如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。

⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。

4.已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）求△ABC的面积；（4）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（5）在（4）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．5.已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，已知抛物线c bx x y ++-=2与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，且OA =OB . （1）求b +c 的值；（2）若点C 在抛物线上，且四边形OABC 是平行四边形，求抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，点P （不与A 、C 重合）是抛物线上的一点，点M 是y 轴上一点，当△BPM 是等腰直角三角形时，求点M 的坐标.7、如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴相交于点A (-2，0)和点B ，与y 轴相交于点C ，顶点D (1，- 92).（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）求四边形ACDB 的面积；（3）若平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线与坐标轴．．．仅有两个交点，请直接写出一个平移后的抛物线的关系式.]8、如图a ，在平面直角坐标系中，A (0，6)，B (4，0).（1）按要求画图：在图a 中，以原点O 为位似中心，按比例尺1:2，将△AOB 缩小，得到△DOC ，使△AOB 与△DOC 在原点O 的两侧；并写出点A 的对应点D 的坐标为 ,点B 的对应点C 的坐标为；（2）已知某抛物线经过B 、C 、D 三点，求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象；（3）连接DB ，若点P 在CB 上，从点C 向点B 以每秒1个单位运动，点Q 在BD 上，从点B向点D 以每秒1个单位运动，若P 、Q 两点同时分别从点C 、点B 点出发，经过t 秒，当t 为何值时，△BPQ 是等腰三角形？9、（2013江苏扬州弘扬中学二模）如图所示，已知抛物线k x x y +-=241的图象与y 轴相交于点B （0，1），点C （m ，n ）在该抛物线图象上，且以BC 为直径的⊙M 恰好经过顶点A ．（1）求k 的值；（2）求点C 的坐标；（3）若点P 的纵坐标为t ，且点P 在该抛物线的对称轴l 上运动，试探索：①当S 1＜S ＜S 2时，求t 的取值范围（其中：S 为△PAB 的面积，S 1为△OAB 的面积，S 2为四边形OACB 的面积）； ②当t 取何值时，点P 在⊙M 上．（写出t 的值即可）备用图图a10 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．11 如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．12 如图1，已知抛物线的方程C1：1(2)()=-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于y x x mm点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．13 .如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．14. 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,。

江苏省十三市2017年中考数学解答题压轴题(汇编)

江苏省十三市2017年中考数学解答题压轴题汇编1．（2017·南京）已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值.该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时.求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．2．（2017·南京）折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步.对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①）.使AB与DC重合.得到折痕EF.把纸片展平（图②）．第二步.如图③.再一次折叠纸片.使点C落在EF上的P处.并使折痕经过点B.得到折痕BG.折出PB、PC.得到△PBC．（1）说明△PBC是等边三角形．【数学思考】（2）如图④.小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现.在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化.可以得到图⑤中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程．（3）已知矩形一边长为3cm.另一边长为a cm.对于每一个确定的a的值.在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图.并写出对应的a的取值范围．【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片.所需正方形铁片的边长的最小值为cm．3．（2017·无锡）如图.以原点O为圆心.3为半径的圆与x轴分别交于A.B两点（点B在点A的右边）.P 是半径OB上一点.过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C.D两点（点C在点D的上方）.直线AC.DB交于点E．若AC：CE=1：2．（1）求点P的坐标；（2）求过点A和点E.且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．4．（2017·无锡）如图.已知矩形ABCD中.AB=4.AD=m.动点P从点D出发.在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动.连接CP.作点D关于直线PC的对称点E.设点P的运动时间为t（s）．（1）若m=6.求当P.E.B三点在同一直线上时对应的t的值．（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中.有且只有一个时刻t.使点E到直线BC的距离等于3.求所有这样的m的取值范围．5．（2017·徐州）如图.将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠.展平后.得折痕AD、BE （如图①）.点O为其交点．（1）探求AO与OD的数量关系.并说明理由；（2）如图②.若P.N分别为BE.BC上的动点．①当PN+PD的长度取得最小值时.求BP的长度；②如图③.若点Q在线段BO上.BQ=1.则QN+NP+PD的最小值= ．6．（2017·徐州）如图.已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.⊙C的半径为.P为⊙C上一动点．（1）点B.C的坐标分别为B（）.C（）；（2）是否存在点P.使得△PBC为直角三角形？若存在.求出点P的坐标；若不存在.请说明理由；（3）连接PB.若E为PB的中点.连接OE.则OE的最大值= ．7．（2017·常州）如图.在平面直角坐标系xOy.已知二次函数y=﹣x2+bx的图象过点A（4.0）.顶点为B.连接AB、BO．（1）求二次函数的表达式；（2）若C是BO的中点.点Q在线段AB上.设点B关于直线CQ的对称点为B'.当△OCB'为等边三角形时.求BQ的长度；（3）若点D在线段BO上.OD=2DB.点E、F在△OAB的边上.且满足△DOF与△DEF全等.求点E的坐标．8．（2017·常州）如图.已知一次函数y=﹣x+4的图象是直线l.设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B．（1）求线段AB的长度；（2）设点M在射线AB上.将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N.以点N为圆心.NA的长为半径作⊙N．①当⊙N与x轴相切时.求点M的坐标；②在①的条件下.设直线AN与x轴交于点C.与⊙N的另一个交点为D.连接MD交x轴于点E.直线m过点N 分别与y轴、直线l交于点P、Q.当△APQ与△CDE相似时.求点P的坐标．9．（2017·苏州）如图.已知△ABC内接于⊙O.AB是直径.点D在⊙O上.OD∥BC.过点D作DE⊥AB.垂足为E.连接CD交OE边于点F．（1）求证：△DOE∽△ABC；（2）求证：∠ODF=∠BDE；（3）连接OC.设△DOE的面积为S1.四边形BCOD的面积为S2.若=.求sinA的值．10．（2017·苏州）如图.二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点.与y轴交于点C.OB=OC．点D 在函数图象上.CD∥x轴.且CD=2.直线l是抛物线的对称轴.E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①.连接BE.线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上.求点F的坐标；（3）如图②.动点P在线段OB上.过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M.与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q.使得△PQN与△APM的面积相等.且线段NQ的长度最小？如果存在.求出点Q的坐标；如果不存在.说明理由．11．（2017·南通）我们知道.三角形的内心是三条角平分线的交点.过三角形内心的一条直线与两边相交.两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似.则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．（1）等边三角形“內似线”的条数为；（2）如图.△ABC中.AB=AC.点D在AC上.且BD=BC=AD.求证：BD是△ABC的“內似线”；（3）在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=4.BC=3.E、F分别在边AC、BC上.且EF是△ABC的“內似线”.求EF的长．12．（2017·南通）已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧）.与y轴正半轴相交于点C.过点A作AD⊥x轴.垂足为D．（1）若∠AOB=60°.AB∥x轴.AB=2.求a的值；（2）若∠AOB=90°.点A的横坐标为﹣4.AC=4BC.求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E.求证：DE=CO．13．（2017·连云港）如图.已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3.0）.B（4.1）.且与y轴交于点C.连接AB、AC、BC．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M.请直接写出圆心M的坐标；（3）若将抛物线沿射线BA方向平移.平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1.△A1B1C1的外接圆记为⊙M1.是否存在某个位置.使⊙M1经过原点？若存在.求出此时抛物线的关系式；若不存在.请说明理由．14．（2017·连云港）问题呈现：如图1.点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上.AE=DG.求证：2S四边形EFGH=S矩形ABCD．（S表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF.点G在CD上移动时.上述结论会发生变化.分别过点E、G作BC边的平行线.再分别过点F、H作AB边的平行线.四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1.得到矩形A1B1C1D1．如图2.当AH＞BF时.若将点G向点C靠近（DG＞AE）.经过探索.发现：2S 四边形EFGH=S矩形ABCD+S．如图3.当AH＞BF时.若将点G向点D靠近（DG＜AE）.请探索S 四边形EFGH、S矩形ABCD与S之间的数量关系.并说明理由．迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如图 4.点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点.已知AH＞BF.AE＞DG.S四边形EFGH=11.HF=.求EG的长．（2）如图5.在矩形ABCD中.AB=3.AD=5.点E、H分别在边AB、AD上.BE=1.DH=2.点F、G分别是边BC、CD 上的动点.且FG=.连接EF、HG.请直接写出四边形EFGH面积的最大值．15．（2017·淮安）【操作发现】如图①.在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中.△ABC的三个顶点均在格点上．（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°.点B的对应点为B′.点C的对应点为C′.连接BB′；（2）在（1）所画图形中.∠AB′B=．【问题解决】如图②.在等边三角形ABC中.AC=7.点P在△ABC内.且∠APC=90°.∠BPC=120°.求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考.对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°.得到△AP′B.连接PP′.寻找PA.PB.PC三条线段之间的数量关系；想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°.得到△AP′C′.连接PP′.寻找PA.PB.PC三条线段之间的数量关系．…请参考小明同学的想法.完成该问题的解答过程．（一种方法即可）【灵活运用】如图③.在四边形ABCD中.AE⊥BC.垂足为E.∠BAE=∠ADC.BE=CE=2.CD=5.AD=kAB（k为常数）.求BD的长（用含k的式子表示）．16．（2017·淮安）如图①.在平面直角坐标系中.二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A.B.C三点.其中点A的坐标为（﹣3.0）.点B的坐标为（4.0）.连接AC.BC．动点P从点A出发.在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时.动点Q从点O出发.在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动.当其中一点到达终点时.另一点随之停止运动.设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b= .c= ；（2）在点P.Q运动过程中.△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方.该二次函数的图象上是否存在点M.使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在.请求出运动时间t；若不存在.请说明理由；（4）如图②.点N的坐标为（﹣.0）.线段PQ的中点为H.连接NH.当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时.请直接写出点Q′的坐标．17．（2017·盐城）【探索发现】如图①.是一张直角三角形纸片.∠B=90°.小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形.经过多次操作发现.当沿着中位线DE、EF剪下时.所得的矩形的面积最大.随后.他通过证明验证了其正确性.并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．【拓展应用】如图②.在△ABC中.BC=a.BC边上的高AD=h.矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上.顶点Q、M在边BC 上.则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a.h的代数式表示）【灵活应用】如图③.有一块“缺角矩形”ABCDE.AB=32.BC=40.AE=20.CD=16.小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角）.求该矩形的面积．【实际应用】如图④.现有一块四边形的木板余料ABCD.经测量AB=50cm.BC=108cm.CD=60cm.且tanB=tanC=.木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN.求该矩形的面积．18．（2017·盐城）如图.在平面直角坐标系中.直线y=x+2与x轴交于点A.与y轴交于点C.抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点.与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；①连接BC、CD.设直线BD交线段AC于点E.△CDE的面积为S1.△BCE的面积为S2.求的最大值；②过点D作DF⊥AC.垂足为点F.连接CD.是否存在点D.使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在.求点D的横坐标；若不存在.请说明理由．19．（2017·扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售.为了得到日销售量p（千克）（1）请你根据表中的数据.用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格.才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用.当40≤x≤45时.农经公司的日获利的最大值为2430元.求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）20．（2017·扬州）如图.已知正方形ABCD的边长为4.点P是AB边上的一个动点.连接CP.过点P作PC的垂线交AD于点E.以 PE为边作正方形PEFG.顶点G在线段PC上.对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP=1.则AE= ；（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；②当点P从点A运动到点B时.点O也随之运动.求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中.△APE的外接圆的圆心也随之运动.求该圆心到AB边的距离的最大值．21．（2017·镇江）如图.在平面直角坐标系中.矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上.点B坐标为（4.t）（t＞0）.二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象经过点B.顶点为点D．（1）当t=12时.顶点D到x轴的距离等于；（2）点E是二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合）.求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F.直线l平行于x轴.交二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象于点M、N.连接DM、DN.当△DMN≌△FOC时.求t的值．22．（2017·镇江）【回顾】如图1.△ABC中.∠B=30°.AB=3.BC=4.则△ABC的面积等于．【探究】图2是同学们熟悉的一副三角尺.一个含有30°的角.较短的直角边长为a；另一个含有45°的角.直角边长为b.小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3）.用了两种不同的方法计算它的面积.从而推出sin75°=.小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH（如图4）.也推出sin75°=.请你写出小明或小丽推出sin75°=的具体说理过程．【应用】在四边形ABCD中.AD∥BC.∠D=75°.BC=6.CD=5.AD=10（如图5）（1）点E在AD上.设t=BE+CE.求t2的最小值；（2）点F在AB上.将△BCF沿CF翻折.点B落在AD上的点G处.点G是AD的中点吗？说明理由．23．（2017·泰州）阅读理解：如图①.图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中.若线段PA1最短.则线段PA1的长度称为点P到图形l的距离．例如：图②中.线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离；线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离．解决问题：如图③.平面直角坐标系xOy中.点A、B的坐标分别为（8.4）.（12.7）.点P从原点O出发.以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒．（1）当t=4时.求点P到线段AB的距离；（2）t为何值时.点P到线段AB的距离为5？（3）t满足什么条件时.点P到线段AB的距离不超过6？（直接写出此小题的结果）24．（2017·泰州）平面直角坐标系xOy中.点A、B的横坐标分别为a、a+2.二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m 的图象经过点A、B.且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点．①当a=1、d=﹣1时.求k的值；②若y1随x的增大而减小.求d的取值范围；（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时.判断直线AB与x轴的位置关系.并说明理由；（3）点A、B的位置随着a的变化而变化.设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D.线段CD的长度会发生变化吗？如果不变.求出CD的长；如果变化.请说明理由．25．（2017·宿迁）如图.在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A.B两点（点A在点B的左侧）.将该抛物线位于x轴上方曲线记作M.将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折.翻折后所得曲线记作N.曲线N交y轴于点C.连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点.点Q为x轴上的一个动点.若以点B.C.P.Q为顶点的四边形是平行四边形.求点Q的坐标．26．（2017·宿迁）如图.在矩形纸片ABCD中.已知AB=1.BC=.点E在边CD上移动.连接AE.将多边形ABCE 沿直线AE翻折.得到多边形AB′C′E.点B、C的对应点分别为点B′、C′．（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1）.求线段CE的长；（2）若B′C′分别交边AD.CD于点F.G.且∠DAE=22.5°（如图2）.求△DFG的面积；（3）在点E从点C移动到点D的过程中.求点C′运动的路径长．。

挑战中考数学压轴题1-2

因动点产生的相似三角形问题1、直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点． (1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2、Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)ky k x=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1图13、如图，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22=++上．y mx mx n（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．4、如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D 的坐标．,5、如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．因动点产生的等腰三角形问题1、如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图22、如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．3、如图1，在直角坐标平面内有点A (6, 0)，B (0, 8)，C (－4, 0)，点M 、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点，点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向A 方向作匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A 向B 方向作匀速运动，MN 交OB 于点P ．(1)求证：MN ∶NP 为定值；(2)若△BNP 与△MNA 相似，求CM 的长； (3)若△BNP 是等腰三角形，求CM 的长．图14、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？5、已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．。

中考数学压轴题全解析

中考数学压轴题全解析中考数学压轴题，那可真是数学试卷里的“大魔王”啊。

咱就说这压轴题，那难度就像是让你去爬一座特别陡峭还云雾缭绕的高山，看着就有点吓人，但一旦征服了，那成就感也是满满的。

先说说这压轴题都有啥类型吧。

一种是函数综合题，这函数就像一个调皮的小精灵，一会儿是一次函数，一会儿是二次函数，它们还会和几何图形凑到一块儿玩。

比如说，给你个抛物线，再在旁边画个三角形，然后问你各种奇奇怪怪的问题，像这个点到那个点的距离最短是多少呀，这个三角形的面积什么时候最大之类的。

还有一种是几何探究题，那几何图形就像一个个小迷宫。

什么三角形旋转啦，四边形变形啦，让你去找出里面隐藏的规律。

就好比一个魔术师在变戏法，你得看穿他的把戏才行。

对于函数综合题的解法呢，你得先把函数的基本性质搞清楚。

一次函数的直线斜率，二次函数的对称轴、顶点坐标，这些都是你的武器。

当遇到和几何图形结合的题时，要善于把几何条件转化成数学表达式。

比如说，看到垂直，就想到斜率相乘等于 - 1；看到线段相等，就可以用两点间距离公式。

再看几何探究题，你得学会动手画草图。

很多时候，你画着画着就发现规律了。

而且要从特殊情况入手，比如先看看等边三角形、正方形这些特殊图形的情况，再慢慢推广到一般情况。

那这压轴题为啥这么难呢？一方面是它知识点涵盖得多，函数、几何、方程啥的都可能混在一起。

另一方面，它还考验你的思维能力，逻辑思维、空间想象思维都得跟上。

我还记得我初中的时候，看到压轴题也是头皮发麻。

但是我就不信邪，我一道一道地做，一道一道地研究。

我把做过的压轴题整理成一个小本子，没事就拿出来看看，看看自己当时是怎么想的，做错的地方是为啥错的。

慢慢地，我就发现这压轴题也不是那么可怕了。

所以啊，对于中考数学压轴题，大家不要害怕。

只要平时多下功夫，把基础打牢，再掌握一些解题的小技巧，就一定能战胜这个“大魔王”。

说不定还能在考试的时候，把压轴题当成是一个展示自己数学才华的舞台呢。

中考数学压轴题及答案(共20题) 2百度文库

一、中考数学压轴题1．在平面直角坐标系中，直线4(0)3y x b b =-+>交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，10AB =．（1）如图1，求b 的值；（2）如图2，经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ，与x 轴交于点R ，//CD OA ，交AB 于点D ，设线段CD 长为d ，求d 与n 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 在第四象限，CF 交OA 于点E ，45AEF ∠=︒,点P 在第一象限，PH OA ⊥，点N 在x 轴上，点M 在PH 上，MN 交PE 于点G ，PH EN =，过点E 作EQ CF ⊥，交PH 于点Q ， 32==EQ EF PM ，∠=∠OBR HNM ，BC CR =，点G 的坐标为1927,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接FN ，求EFN 的面积．2．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，()2,0C ．直线26y x =+与x 轴交于点A ，交y 轴于点B ．过C 点作直线AB 的垂线，垂足为E ，交y 轴于点D ．（1）求直线CD 的解析式；（2）点G 为y 轴负半轴上一点，连接EG ，过点E 作EH EG ⊥交x 轴于点H ．设点G 的坐标为()0,t ，线段AH 的长为d ．求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（3）过点C 作x 轴的垂线，过点G 作y 轴的垂线，两线交于点M ，过点H 作HN GM ⊥于点N ，交直线CD 于点K ，连接MK ，若MK 平分NMB ∠，求t 的值．3．如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标．（3）如图3，点M 的坐标为（32，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标．4．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AD//BC，AD=16，BC=21，CD=13．（1）求直线AD和BC之间的距离；（2）动点P从点B出发，沿射线BC以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长度的速度运动，点P、Q同时出发，当点Q运动到点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．试求当t为何值时，以P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形？（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PQD为等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t值，若不存在，请说明理由．5．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．（1）如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为．（2）如图3，当∠EPF＝90°，F P平分∠EFC时，求证：EP平分∠AEF；（3）如图4，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝．②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；6．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．（概念感知）（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．（问题探究）（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求AB BC的值．（拓展提升）（3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．10AB BC =，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C ''，线段A C '交1l 于点D ．①当30α=︒时，则CD =_________；②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求AD CD 的值．7．如图①，四边形ABCD 中，//,90AB CD ADC ∠=︒．（1）动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿路线A B C D →→→运动到点D 停止，设运动时间为a ，AMD ∆的面积为,S S 关于a 的函数图象如图②所示，求AD CD 、的长．（2）如图③动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿路线A D C →→运动到点C 停止，同时，动点Q 从点C 出发，以每秒5个单位的速度沿路线C D A →→运动到点A 停止，设运动时间为t ，当Q 点运动到AD 边上时，连接CP CQ PQ 、、，当CPQ ∆的面积为8时，求t 的值．8．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ．（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)；（3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由； ②若12,(33)2ADH a S ==+，求sin GAB ∠的值．9．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= °（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D= °．②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由．（3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．10．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a ≤3时，①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________；②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数()10Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．11．问题背景：如图（1），ABC 内接于O ，过点A 作O 的切线l ，在l 上任取一个不同于点A 的点P ，连接PB PC 、，比较BPC ∠与BAC ∠的大小，并说明理由．问题解决：如图（2），A （0，2）、B （0，4），在x 轴正半轴上是否存在一点P ，使得cos APB ∠最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．拓展应用：如图（3），四边形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥于D ，E 是AB 上一点，AE AD =，P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点，若8AB =，11CD =，tan 2C =，9DEP S =，求sin APB ∠的最大值．12．注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．如图，将一个矩形纸片ABCD ，放置在平面直角坐标系中，()0,0A ，()4,0B ，()0,3D ，M 是边CD 上一点，将ADM 沿直线AM 折叠，得到ANM ．（Ⅰ）当AN 平分MAB ∠时，求DAM ∠的度数和点M 的坐标；（Ⅱ）连接BN ，当1DM =时，求ABN 的面积；（Ⅲ）当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF 的最大值．（直接写出答案）在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题．小明：我是这样想的，延长MN 与x 轴交于P 点，于是出现了Rt NAP △．小雨：我和你想的不一样，我过点N 作y 轴的平行线，出现了两个Rt NAP △．13．如图，在等边△ABC 中，AB =BC =AC =6cm ，点P 从点B 出发，沿B →C 方向以1．5cm/s 的速度运动到点C 停止，同时点Q 从点A 出发，沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，连接PQ ，过点P 作BC 的垂线，过点Q 作BC 的平行线，两直线相交于点M ．设点P 的运动时间为x （s ），△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y （cm 2）（规定：线段是面积为0的图形）．（1）当x =（s ）时，PQ ⊥BC ；（2）当点M 落在AC 边上时，x = （s ）；（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．14．新定义，若关于x ，y 的二元一次方程组①111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是00x x y y =⎧⎨=⎩，关于x ，y 的二元一次方程组②111222e x f y d e x f y d +=⎧⎨+=⎩的解是11x x y y =⎧⎨=⎩，且满足1000.1x x x -≤，1000.1y y y -≤，则称方程组②的解是方程组①的模糊解．关于x ，y 的二元一次方程组222104x y m x y m +=+⎧⎨-=+⎩的解是方程组10310x y x y +=⎧⎨+=-⎩的模糊解，则m 的取值范围是________． 15．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ，连接CD 交AB 于E ，（1）如图(1)求证：90AEC ∠=︒；（2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠（3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==∆的面积等于8，求线段MN 的长度16．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点,A D 在坐标轴上，两点的坐标分别是点()0,,A m 点(),0,D m 且m 满足：322m m -+62=边AB 与x 轴交于点,E 点F 是边AD 上一动点，连接FB ，分别与x 轴，y 轴交于点,P 点,H 且FD BE =．（1）求m 的值；（2）若45,APF ∠=︒求证：AHF HFA ∠=∠；（3）若点F 的纵坐标为,n 则线段HF 的长为．(用含n 的代数式表示)17．已知抛物线2y ax bx c =++过点(6,0)A -，(2,0)B ，(0,3)C -．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第三象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且45GQA ∠=︒，求点Q 的坐标．18．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，tanA 3 （1）求弦AC 的长；（2）D 是AB 延长线上一点，且AB ＝kBD ，连接CD ，若CD 与⊙O 相切，求k 的值；（3）若动点P 以3cm/s 的速度从A 点出发，沿AB 方向运动，同时动点Q 以32cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为t （0＜t ＜103），连结PQ ．当t 为何值时，△BPQ为Rt△？19．如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E．（1）如图1，连结AD，求证：∠ADC＝∠DEC．（2）若⊙O的半径为5，求CA•CE的最大值．（3）如图2，连结AE，设tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y，①求y关于x的函数解析式；②若CBBE＝45，求y的值．20．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OACB的顶点A、B分别在x轴和y轴上，已知OA=5，OB=3，点D的坐标是（0，1），点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿折线BCA的方向运动，当点P与点A重合时，运动停止，设运动的时间为t秒．（1）点P运动到与点C重合时，求直线DP的函数解析式；（2）求△OPD的面积S关于t的函数解析式，并写出对应t的取值范围；（3）点P在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP是不以DP为底边的等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（操作发现）如图1，ABC ∆为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，先将三角板的90︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于45︒），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使45DCE ∠=︒，连接AF ，EF ．（1）请求出EAF ∠的度数？（2）DE 与EF 相等吗？请说明理由；（类比探究）如图2，ABC ∆为等边三角形，先将三角板中的60︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使30DCE ∠=︒，连接AF ，EF .（3）直接写出EAF ∠=_________度；（4）若1AE =，2BD =，求线段DE 的长度.22．如图，二次函数23y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为(4,0)B ，另一个交点为A ，且与y 轴相交于C 点（1）则m =_________；C 点坐标为___________；（2）在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ，使得它与B ，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M 点坐标；若不存在，请简要说明理由．（3）P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；②点P 的横坐标为(04)t t <<，当t =________时，四边形PBQC 的面积最大．23．综合与探究：如图1，抛物线24832999y x x =-++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为D ，P 为对称轴右侧抛物线的一个动点，直线AD 与y 轴于点C ，过点P 作//PF AD ，交x 轴于点F ．（1）求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标；（2）如图2，当//PC x 轴时，将AOC ∆以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的正方向平移，当点C 与点P 重合时停止平移．设平移t 秒时，在平移过程中AOC ∆与四边形AFPC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）如图3，过点P 作x 轴的平行线，交直线AD 于点E ，直线DF 与PE 交于点M ，设点P 的横坐标为m ．①当3DM MF =时，求m 的值；②试探究点P 在运动过程中，是否存在值m ，使四边形AFPE 是菱形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．24．（1）探究发现数学活动课上，小明说“若直线21y x =-向左平移3个单位，你能求平移后所得直线所对应函数表达式吗？”经过一番讨论，小组成员展示了他们的解答过程：在直线21y x =-上任取点()01A -，，向左平移3个单位得到点()31，'--A 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为2y x n =+．因为2y x n =+过点()31，'--A ，所以61n -+=-，所以5n =，填空：所以平移后所得直线所对应函数表达式为（2）类比运用已知直线21y x =-，求它关于x 轴对称的直线所对应的函数表达式；（3）拓展运用将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°，请直接写出：旋转后所得直线所对应的函数表达式．25．小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转()0180a a ︒<<︒得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，连接B C ''．当180a β+=︒时，请问AB C ''△边B C ''上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是他的研究过程：特例验证：（1）①如图2，当ABC 为等边三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系为AD =_______BC ；②如图3，当90BAC ∠=︒，8BC =时，则AD 长为________．猜想论证：（2）在图1中，当ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD ，90C ∠=︒，120A B ∠+∠=︒，3BC =6CD =，3DA =P ，使PDC △与PAB △之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC △的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．B解析：（1）8b =；（2）382d n =+；（3）92EFN S =△ 【解析】【分析】（1）先用b 表示出点B 和点A 的坐标，然后利用勾股定理列出方程即可求出b 的值；（2）联立直线BC 的解析式和直线AB 的解析式即可用n 表示出点C 的坐标，从而求出点D 的坐标，从而求出d 与n 的函数关系式；（3）过点C 作CS ⊥x 轴于S ，过点F 作FT ⊥x 轴于T ，过点G 作GD ⊥y 轴于D ，MN 与y 轴交于点I ，根据相似三角形判定可得△RSC ∽△ROB ，列出比例式即可求出OR 和CS ，然后根据等角的锐角三角函数相等求出ON ，再根据等腰直角三角形的性质求出NE ，然后结合已知条件和等角的锐角三角函数相等求出TF ，即可求出结论．【详解】解：（1）当x=0时，y=b ；当y=0时，x=34b∴点B 的坐标为（0，b ），点A 的坐标为（34b ，0） ∴OB=b ，OA=34b 根据勾股定理OB 2＋OA 2=AB 2b 2＋（34b ）2=102 解得：b=8或-8（不符合已知条件，舍去）∴b=8（2）直线BC 的解析式为(4)8=++y n x ，直线AB 的解析式为483y x =-+ 联立(4)8y n x y nx =++⎧⎨=⎩解得：22x y n =-⎧⎨=-⎩∴点C 的坐标为（-2，-2n ）∵//CD OA∴点D 的纵坐标为-2n将y=-2n 代入483y x =-+中，解得：x=362+n ∴点D 的坐标为36,22⎛⎫+- ⎪⎝⎭n n ∴线段CD 长d =362+n －（-2）=382+n （3）过点C 作CS ⊥x 轴于S ，过点F 作FT ⊥x 轴于T ，过点G 作GD ⊥y 轴于D ，MN 与y 轴交于点I∴OD=275，GD=195由（2）知点C 坐标为（-2，-2n ）∴CS=-2n ，OS=2∵BC CR =，CS ∥y 轴∴RB=2RC ，△RSC ∽△ROB ∴12===CS RS RC OB OR RB 即22182--==n OR OR 解得：n=-2，OR=4∴CS=4∵∠=∠OBR HNM ，GD ∥x 轴∴∠=∠OBR HNM =∠DGI∴tan tan ∠=∠OBR HNM =tan ∠DGI ∴==OR OI ID OB ON GD即48927515-==ID ID ON解得：1910,7==ID ON ∵45AEF ∠=︒∴∠CES=∠AEF=45°，∠QEH=∠QEF －∠AEF=45°∴△CES 、△EFT 和△EHQ 都是等腰直角三角形∴CS=SE=4，ET=TF=2EF ， EH=HQ ，设EH=HQ=a ，则∴EN=ON ＋OE=ON ＋SE －OS=9∵3==EQ EF ，PH EN = ∴，PM=a ，PH=9， ∴NH=EN ＋EH=9＋a ，MH=PH －PM=9－a ∴tan ∠HNM =12==MH OI NH ON ∴9192-=+a a 解得：a=3∴EF=33⨯=∴TF=12=∴S△EFN =12EN·TF=12×9×1=92【点睛】此题考查的是一次函数与几何图形的综合题型，此题难度较大，掌握勾股定理、联立方程求交点坐标、锐角三角函数的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．2．C解析：（1）112y x=-+；（2）1d t=-+；（3）64215t-=【解析】【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率积为-1，设出直线CE的解析式，再将点C坐标代入即可求解；（2）过点E作EM⊥y轴于点M，过点E作EN x⊥轴于点N，通过解直角三角形可证EDM≌EAN，ENH≌EMG，得到AN=DM，HN=GM，进而得到AH DG=，再根据CE解析式求出D点坐标，即可找出d与t之间的函数关系式；（3）过点B作BT CM⊥于点T，在直线BT上截取TL NK=，证四边形BGMT与四边形HNMC均为矩形，得MN MT=，再进一步证明ENH≌EMG，利用全等三角形的性质通过角度计算，得出△BML为等腰三角形且BM BL=，再用含有t的代数式表示BM，最后在Rt△BMG中利用勾股定理建立等式，求出t的值．【详解】解：（1）∵CE⊥AB，∴设直线CE的解析式为：12y x c=-+，把点C（2，0）代入上述解析式，得1c=，∴直线CD的解析式为：112y x=-+；（2）过点E作EM⊥y轴于点M，过点E作EN x⊥轴于点N，令26112y xy x=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩， ∴()2,2E -，易证EDM ≌EAN ，ENH ≌EMG ，∴AN =DM ，HN =GM ，∴AH DG =，由直线CE 的解析式112y x =-+，可求点D （0，1） ∴DG =1—t ，∴1d t =-+；（3）过点B 作BT CM ⊥于点T ，在直线BT 上截取TL NK =，易证四边形BGMT 与四边形HNMC 均为矩形，由（2）问可知1t AH GD ==-，则6t HC =-∴6t BG MT ==-，∴MN MT =，∵90KNM LTM ∠=∠=︒，∴ENH ≌EMG ，∴L NKM ∠=∠，设KMN α∠=，则KMB KMN α∠=∠=，∴90NKM α∠=︒-，∴90NKM L α∠=∠=︒-， ∵//BL MN ，∴2MBL BMN α∠=∠=，∴18090BML MBL L α∠=︒-∠-∠=︒-，∴BM BL =，∵1tan 2KCH ∠=， ∴11322KH CH t ==-，∴133322KN KH HN t t t TL =+=--=-=， ∴352BL BT TL t BM =+=-=，在Rt BMG △中， 222BM BG GM =+，解得65t +=（不合题意舍去）或65t -=故，65t -=．【点睛】本题一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等，利用已知条件求相等交，相等线段是解决本题的关键．3．E解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）E （2，3）或（1，4）；（3）P 点横坐标为【解析】【分析】(1) 抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+，由抛物线过点B,（3，0），即可求出a 的值，即可求得解析式；（2）过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为()2,23x xx -++，求出A 、D 点的坐标，得到OM=x ，则AM=x+1，由AF=2EF 得到22(1)33x AN AM +==，从而推出点F 的坐标21210(,)3333x x --+，由23FN EM =，列出关于x 的方程求解即可；（3）先根据待定系数法求出直线DM 的解析式为y=-2x+3，过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ，过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ，交直线CE 于点H.证明△FGP ≌△FHQ ，得到FG=FH ，PT=45GH.设点P （m ，-m²+2m+3），则T （m ，-2m+3），则PT=m²-4m ，GH=1-m ，可得m²-4m=45（1-m ），解方程即可. 【详解】（1）∵抛物线的顶点为C （1，4），∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+，∵抛物线过点B,（3，0），∴20(31)4a =-+，解得a=-1，∴设抛物线的解析式为2(1)4y x =--+，即2y x 2x 3=-++；（2）如图，过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为()2,23x x x -++，∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++，当y=0时，2023x x =-++，解得x=-1或x=3，∴A （-1.0），∴点D （0,3），∴过点BD 的直线解析式为3y x =-+，点F 在直线BD 上，则OM=x ，AM=x+1， ∴22(1)33x AN AM +==， ∴2(1)2111333x x ON AN +=-=-=-， ∴21210(,)3333x x F --+， ∴2210332233FN EM x x x +--++==，解得x=1或x=2， ∴点E 的坐标为（2，3）或（1，4）；（3）设直线DM 的解析式为y=kx+b ，过点D （0,3），M （32，0），可得，3023k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得k=-2，b=3，∴直线DM的解析式为y=-2x+3，∴32OM=，3OD=，∴tan∠DMO=2，如图，过点P作PT∥y轴交直线DM于点T，过点F作直线GH⊥y轴交PT于点G，交直线CE于点H.∵PQ⊥MT，∴∠TFG=∠TPF，∴TG=2GF，GF=2PG，∴PT=25 GF，∵PF=QF，∴△FGP≌△FHQ，∴FG=FH，∴PT=45 GH.设点P（m，-m²+2m+3），则T（m，-2m+3），∴PT=m²-4m，GH=1-m，∴m²-4m=45（1-m），解得：111201m-=211201m+=（不合题意，舍去），∴点P的横坐标为112018-.【点睛】本题考查二次函数综合题、平行线分线段成比例定理、轴对称性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会用数形结合的思想解决问题，有一定难度.4．A解析：（1）12；（2）5s或373s；（3）163s或685s或72s【解析】【分析】（1）AD与BC之间的距离即AB的长，如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点E，在RtDEC中可求得DE的长，即AB的长，即AD与BC间的距离；（2）四边形QDCP为平行四边形，只需QD=CP即可；（3）存在3大类情况，情况一：QP=PD，情况二：PD=QD，情况三：QP=QD，而每大类中，点P存在2种情况，一种为点P还未到达点C，另一种为点P从点C处返回．【详解】（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点E∵∠B=90°，AD∥BC∴AB⊥BC，AB⊥AD∴AB的长即为AD与BC之间的距离∵AD=16，BC=21，∴EC=5∵DC=13∴在Rt DEC中，DE=12同理，DE的长也是AD与BC之间的距离∴AD与BC之间的距离为12（2）∵AD∥BC∴只需QD=PC，则四边形QDCP是平行四边形QD=16－t，PC=21－2t或PC=2t－21∴16－t=21－2t或16－t=2t－21解得：t=5s或t=37 3s（3）情况一：QP=PD图形如下，过点P作AD的垂线，交AD于点F∵PQ=PD，PF⊥QD，∴QF=FD∵AF ∥BP ，AB ∥FP ，∠B=90°∴四边形ABPF 是矩形，∴AF=BP由题意得：AQ=t ，则QD=16－t ，QF=8－2t ，AF=8+2t BP=2t 或BP=21－(2t －21)=42－2t∵AF=BP∴8+2t =2t 或8+2t =42－2t 解得：t=163或t=685情况二：PD=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F同理QD=16－t ，PF=AB=12BP=2t 或21－(2t －21)=42－2t则FD=AD －AF=AD －BP=16－2t 或FD=16－(42－2t)=2t －26∴在Rt PFD 中，()22212162PD t =+-或()22212226PD t =+-∵PD=QD ，∴22PD QD =∴()()22216t 12162t =+-－或()()22216t 12226t =+-－解得：2个方程都无解情况三：QP=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F同理：QD=16－t ，FP=12BP=2t 或BP=42－2tQF=AF －AQ=BP －AQ=2t －t=t 或QF=42－2t －t=42－3t在Rt QFP 中，22212PQ t =+或()22212423PQ t =+- ∵PQ=QD ，∴22PQ QD =∴()22216t 12t =+－或()()22216t 12423t =+-－第一个方程解得：t=72，第二个方程解得：无解综上得：t=163或685或72 【点睛】本题考查四边形中的动点问题，用到了勾股定理、平行四边形的性质、矩形的性质，解题关键是根据点Q 运动的轨迹，得出BP 的长度． 5．E解析：（1）∠EPF=∠AEP+∠PFC，∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（2）见解析；（3）①150°，∠EQF=180°－12∠EPF 【解析】【分析】（1）如下图，过点P 作AB 的平行线，根据平行线的性质可推导出角度关系；（2）如下图，根据（1）的结论，可得∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°，利用△EPF 内角和为180°可推导得出∠PEF+∠PFE=90°，从而得出∠PEF=∠AEP ；（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°，再利用角平分线的性质得出∠PEQ+∠PFQ=150°，最后在四边形EPFQ 中得出结论；②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF°，再利用角平分线的性质得出∠PEQ+∠PFQ=180°－1EPF 2∠，最后在四边形EPFQ 中得出结论．【详解】（1）如下图，过点P 作PQ ∥AB∵PQ ∥AB ，AB ∥CD ，∴PQ ∥CD∴∠AEP=∠EPQ ，∠QPF=∠PFC又∵∠EPF=∠EPQ+∠QPF∴∠EPF=∠AEP+∠PFC如下图，过点P 作PQ ∥AB同理，AB ∥QP ∥CD∴∠AEP+∠QPE=180°，∠QPF+∠PFC=180°∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=∠AEP+∠EPQ+∠QPF+∠PFC=360°（2）根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°∵PF 是∠CFE 的角平分线，∴∠PFC=∠PFE在△PEF 中，∵∠EPF=90°，∴∠PEF+∠PFE=90°∴∠PEF+∠PFE=∠AEP+∠PFC∴∠PEF=∠AEP ，∴PE 是∠AEF 的角平分线（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=300°∵EQ 、QF 分别是∠PEB 和∠PFD 的角平分线∴∠PEQ=QEB ，∠PFQ=∠QFD∴∠PEQ+∠PFQ=150°在四边形PEQF 中，∠EQF=360°－∠EPF －(∠PEQ+∠PFQ)=360°－60°－150°=150° ②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=360°－∠EPF∵EQ 、QF 分别是∠PEB 和∠PFD 的角平分线∴∠PEQ=∠QEB ，∠PFQ=∠QFD∴∠PEQ+∠PFQ=()1360EPF 2∠︒－=180°－1EPF 2∠ ∴在四边形PEQF 中： ∠EQF=360°－∠EPF －(∠PEQ+∠PFQ)=360°－EPF ∠－(180°－1EPF 2∠)=180°－1EPF 2∠ 【点睛】本题考查“M ”型模型，解题关键在过两条平行线中间的点作已知平行线的平行线，然后利用平行线的性质进行角度转化可推导结论．6．A解析：（1）ABC 是“准黄金”三角形，理由见解析；（2）329AB BC =3）①12561535AD CD =．【解析】【分析】（1）过点A 作AD BC ⊥于点D ，先求出AD 的长度，然后得到61035AD BC ==，即可得到结论；（2）根据题意，由“金底”的定义得:3:5AE BC =，设3AE k =，5BC k =，由勾股定理求出AB 的长度，根据比值即可求出AB BC的值；（3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，先求出AC 的长度，由相似三角形的性质，得到AF=2DF ，由解直角三角形，得到3CF DF =，则(23)35AC x =+=，即可求出DF 的长度，然后得到CD 的长度；②由①可知，得到CE 和AC 的长度，分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，然后根据相似三角形的判定和性质，得到DF AF AE EC=，然后求出CD 和AD 的长度，即可得到答案．【详解】解：（1）ABC 是“准黄金”三角形．理由：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，∵12AC =，30ACB ∠=︒， ∴162AD AC ==． ∴:6:103:5AD BC ==． ∴ABC 是“准黄金”三角形．（2）∵点A ，D 关于BC 对称，∴BE AD ⊥，AE ED =．∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，∴:3:5AE BC =．不防设3AE k =，5BC k =，∵点C 为ABD △的重心，∴:2:1BC CE =．∴52k CE =，152k BE =． ∴2215329(3)22k AB k k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．∴329329:5210AB k k BC ==．（3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图：由题意得AE=3， ∵35AE BC =， ∴BC=5， ∵10AB BC =， ∴10AB ，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：22(10)31BE =-=，∴156EC =+=， ∴223635AC =+=∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF ，∴△ACE ∽△DAF ， ∴3126AE E D C F AF ===，设DF x =，则2AF x =，∵∠ACD=30°， ∴3CF x =， ∴(23)35AC x ==解得：65315DF x == ∴2125615CD DF == ②如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，则3AE =．∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，∴:3:5AE BC =．∴5BC =．∵10AB BC =，∴10AB． ∴221BE AB AE =-=．∴6CE BE BC =+=，2236935AC CE AE =+=+=．分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，∴90B GC DFC '∠=∠=︒，3B G '=，5C B B C '==，则CG 4=．∵GCB FCD α'∠=∠=，∴AEC DFA ∽△△．∴::::3:4:5DF FC CD B G GC CB ''==． ∴设3DF k =，4FC k =，5CD k =．∵12l l //，∴ACE CAD ∠=∠，且90AEC AFD ∠=∠=︒．∴AEC DFA ∽△△．∴DF AF AE EC =． ∴335436k k =，解得3510k =． ∴3552CD k ==，2222959595102AF DF AD ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=． ∴93525355AD CD ===．【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据数形结合的思想进行解答．7．C解析：（1）12,16AD CD ==；（2）277和297. 【解析】【分析】（1）根据题意由函数图象可知动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度从C 到D 耗时16秒求出CD ，再利用三角形面积公式求得AD 即可；（2）由题意可知只能有P 和Q 点都在AD 边上，此时分当P 在Q 上方时以及当P 在Q 下方时两种情况运用数形结合思维进行分析得出答案.【详解】解：（1）由函数图象可知动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度从C 到D 耗时36-20=16秒，即CD=16，而此时AMD ∆的面积为96，又因为90ADC ∠=︒，即有11169622CD AD AD =⨯=,解得12AD =. 所以12,16AD CD ==. （2）由题意可知Q 运动到点A 停止的时间为285，而P 运动到点D 停止的时间为6，所以只能有P 和Q 点都在AD 边上，此时以PQ 为底边，CD 为高，设运动时间为t ，则AP=2t ，QD=5t-16，（162855t ≤<）， ①当P 在Q 上方时，则有PQ=AD-AP-QD= 122516287t t t --+=-，可知CPQ ∆的面积为8时即11(287)16822PQ CD t =⨯-⨯=，解得277t =（满足条件）；②当P 在Q 下方时，则有PQ=QD-（AD-AP ）= 516(122)728t t t ---=-，可知CPQ ∆的面积为8时即11(728)16822PQ CD t =⨯-⨯=，解得297t =（满足条件）. 所以当CPQ ∆的面积为8时，t 的值为277和297. 【点睛】本题考查四边形动点问题和一次函数结合，熟练掌握四边形动点问题的解决办法和一次函数图象的相关性质，运用数形结合思维分析是解题的关键.8．E解析：（1）EF =，见解析；（2）BK =；（3）①AGH 是等边三角形，见解析；②14【解析】【分析】（1）连接EF ，AC ，由菱形的性质，可证Rt AEB Rt AFD ∆≅∆，然后得到AEF ∆为等边三角形，由解直角三角形得到3AE EC =，即可得到答案；（2）由菱形的性质和等边三角形的性质，求出AF 的长度，然后得到BF 的长度，然后由相似三角形的性质，得到AB BK FB BA=，即可求出答案；（3）①由等边三角形的性质，先证明ABG ACH ≅，然后得到AG AH =，然后得到60BAH GAB GAH ︒∠+∠=∠=，即可得到答案；②由三角形的面积公式得到31DH =+，然后得到AHF △为等腰直角三角形，再由解直角三角形的性质，即可求出答案．【详解】解：（1）3EF EC =；理由：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,60,//AB AD BC ABC ADC AD BC ︒∴==∠=∠=，120BAD ︒∴∠=，∵AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ，90AEB AFD ︒∴∠=∠=Rt AEB Rt AFD ∴∆≅∆，,30AE AF BAE DAF ∴=∠=∠=︒，60EAF ∴∠=︒，AEF ∴∆为等边三角形，EF AE ∴=.连接AC ，1602BAC BAD ︒∴∠=∠= 30EAC ︒∴∠= 在Rt AEC ∆中，tan EC EAC AE ∠=3AE EC ∴=，3EF EC ∴=（2）如图：∵四边形ABCD 是菱形，60,ABC AB a ︒∠==， ACD ∴是等边三角形，//,,60AB CD AD CD a ADC ︒==∠=. AF CD ⊥，垂足为F ， 1,902CF DF a BAF AFD ︒∴==∠=∠= 在Rt ADF 中，sin AF ADF AD ∠=， 23AF a ∴=在Rt ABF 中，22BF AB AF =+， 7BF a ∴= AK BF ⊥，垂足为K ，90AKB FAB ︒∴∠=∠=ABK FBA ∠=∠~Rt AKB Rt FAB ∴∆∆，AB BK FB BA∴=， 27BK a ∴=，（3）如图：①AGH 是等边三角形.理由：连接AC .,60AB BC ABC ︒=∠=，ABC ∴为等边三角形，,60AB AC ABC ACB ︒∴=∠=∠=，120ABG ︒∴∠=.//AB CD ，60BCH ABC ︒∴∠=∠=，120ACH ︒∴∠=ABG ACH ∴∠=∠，又BG CH =，ABG ACH ∴≅，,AG AH GAB HAC ∴=∠=∠.60BAH HAC BAC ︒∠+∠=∠=，60BAH GAB GAH ︒∴∠+∠=∠=，AGH ∴为等边三角形；②ADC 为等边三角形，2,1AD DC AC CF DF ∴=====，AF ∴=.1(32ADH S =， 11(322DH ∴⨯=，1DH ∴=1CH DH CD ∴=-=，HF DH DF =-=AF HF ∴=，AHF ∴为等腰直角三角形，45AHF ︒∴∠=.过点C 作CM AH ⊥，垂足为M .在Rt CMH 中，sin CM CHM CH∠=， 12CM ∴=，在Rt AMC 中，sin CM MAC AC ∠=， 1sin 4MAC ∴∠=. 又GAB HAC ∠=∠， 1sin sin 4GAB HAC ∴∠=∠=；【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，正确作出辅助线进行解题．9．A解析：（1）135°；（2）①45°，②不发生变化，45°；（3）60°或45°【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；（2）①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；②证明和推理过程同①的求解过程；（3）由（2）的证明求解思路，不难得出EAF ∠=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO 一定要小于90°，注意解得取舍.【详解】（1）()11801802118090180451352AEB EBA BAE OBA BAO ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒-︒=︒（2）①如图所示AD 与BO 交于点E ，()9060301180307521909030602180180756045OBA DBO NBC DEB OEA OAB D DBE DEB ∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒②∠D 的度数不随A 、B 的移动而发生变化设BAD α∠=，因为AD 平分∠BAO ，所以2BAO α∠=，因为∠AOB=90°，所以180902ABN ABO AOB BAO α∠=︒-∠=∠+∠=+。

中考数学压轴题二

1．如图，点P是反比例函数y＝－2x（x＜0）图象上一动点，点A、B分别在x轴，y轴上，且OA＝OB＝2，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F．（1）当动点P的纵坐标为53时，连接OE（2）设动点P的坐标为P（a，b）（－2＜探索：以AE、EF、BF2、如图，在△OAB中，OA＝OB，点A坐标为（－33，3），点B在x轴负半轴上．（1）将△OAB沿x轴向右平移a个单位后，点A恰好落在反比例函数y＝63x的图象上，求a的值；（2）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）．①当α＝30°时，点B恰好落在反比例函数y＝k的图象上，求k的值；②点A、B请说明理由．3．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，E是AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F．（1）如图2，若点D是边AB的中点，求证：DE＝DF；（2）若AD:DB＝m，求DE:DF的值；（3）若AC＝BC＝6，AD:DB＝1:2，设AE＝x，BF＝y．①求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②以CE为直径的圆与直线AB是否可相切，若可能，求出此时x的值，若不可能，请说明理由．B图1B图2B 备用图B 备用图4．Rt △ABC 的直角顶点B 在Rt △DEF 的斜边DF 上，已知AB ＝DF ，DE ＝EF ，∠A ＝30°．固定△DEF 不动，将△ABC 绕点B 旋转，并使边AB 与边DE 交于点P ，边BC 与边EF 于点Q ．（1）如图1，若FBBD ＝m ，求BPBQ的值，并确定m 的取值范围；（2）若DF ＝30， FBBD＝2，连接PQ ，设△BPQ 的面积为S ，在旋转过程中：①如图2，当点E 恰好落在边AC 上时，求AE 的长；②S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由； ③随着S 取不同的值，对应△BPQ 的个数有哪些变化？求相应S 值的取值范围．Q E D F B A PC 图1 Q ED FBA PC图2 H5．如图，已知抛物线y＝(3－m)x2＋2(m－3)x＋4m－m2的顶点A在双曲线y＝3x上，直线y＝mx＋b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C．（1）求直线AB的解析式；（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交与点E，求sin∠BDE 的值；（3）过点B作x轴的平行线与双曲线交于点F，点M在直线BF上，且到抛物线的对称轴的距离为6．若点N在直线BF上，直接写出使得∠AMB＋∠ANB＝45°的点N的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx（m＞0）与双曲线y＝kx交于A、B两点，过点A作AC∥x轴，过点B作BC∥y轴，AC与BC交于点C，AC与y轴交于点M，BC与x 轴交于点N，若∠BAC＝60°，AB＝4．（1）求m、k的值；（2）将一把三角尺的直角顶点放在原点O处，绕着点O旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线CA、射线BC于点P、Q，设点P的横坐标为x，PQ的长为L，当点P在边AC上运动时，求L与x的函数关系式；（3）当△PQC的面积为32时，求点P的坐标．7．如图，矩形ABCD的顶点A在坐标原点，顶点B坐标为（－2，1），顶点C在y轴上．（1）求顶点D的坐标；（2）将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的点G处，得到矩形AEFG，EF 与AD交于点M，过点M的反比例函数图象交FG于点N（3）求证：△AMN是直角三角形．8．在平面直角坐标系中，点A （3，0），B （0，4）．以点A 为旋转中心，把△ABO 顺时针旋转，得△ACD ．记旋转转角为α，∠ABO 为β．（1）如图①，当旋转后点D 恰好落在AB 边上时，求点D 的坐标；（2）如图②，当旋转后满足BC ∥x 轴时，求α与β之间的数量关系；（3）当旋转后满足∠AOD ＝β时，求直线CD 的解析式．图①图②9．已知∠MON ＝60°，射线OT 是∠MON 的平分线，点P 是射线OT 上的一个动点，射线PB 交射线ON 于点B ．（1）如图，若射线PB 绕点P 顺时针旋转120°后与射线OM 交于点A ，求证：P A ＝PB ；（2）在（1）的条件下，若点C 是AB 与OP 的交点，且满足PC ＝32PB ，求△POB 与△PBC 的面积之比；（3）当OB ＝2时，射线PB 绕点P 顺时针旋转120°后与直线OM 交于点A （点A 不与点O 重合），直线P A 交射线ON 于点D ，且满足∠PBD ＝∠ABO ，求OP 的长．B C M A N PT M N T 备用图MNT 备用图10．已知一次函数y＝－12x＋b的图象与反比例函数y＝6x（x＞0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．（1）如图1，若AB＝2AC，求b的值；（2）在（1）的条件下，将一块直角三角板的直角顶点P放在反比例函数y＝6x（x＞0）图象的AB段上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB分别交于Q、R两点．设点P 的横坐标为x，QR的长为L，求L关于x的函数关系式，并求L的最大值；（3）如图2，过点A作直线AE∥x轴，交轴于点E；过点B作直线BF∥轴交x轴于点F，交直线AE于点并说明理由．11．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝AB ＝1，BC ＝2．将点A 折叠到CD 边上，记折叠后A 点对应的点为P （P 与D 点不重合），折痕EF 只与边AD 、BC 相交，交点分别为E 、F ．过点P 作PN ∥BC 交AB 于N ，交EF 于M ，连结P A 、PE 、AM ，EF 与P A 相交于O ．（1）指出四边形PEAM 的形状（不需证明）；（2）记∠EPM ＝α，△AOM 、△AMN 的面积分别为S 1、S 2．①求证：S 1tanα2＝18P A 2；②设AN ＝x ，y ＝S 1－S 2tanα2，试求出以x 为自变量的函数y 的解析式，并确定y 的取值范围．OABCDPE FMN12．已知：在△ABC 中，BC ＝2AC ，∠DBC ＝∠ACB ，BD ＝BC ，CD 交线段AB 于点E ．（1）如图l ，当∠ACB ＝90°时，则线段DE 、CE 之间的数量关系为____________________；（2）如图2，当∠ACB ＝120°时，求证：DE ＝3CE ；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 是BC 边的中点，连接DF ，DF 与AB 交于点G ，△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称（点B 的对称点是点K ），延长DK 交AB 于点H ．若BH ＝10，求CE 的长．C A B DE 图1C A BDE 图2C AB D E 图3K HG F13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－1，0），点B（9，0），以AB为直径作⊙M，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，抛物线经过A、B、C三点．（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙M于点D，连接BD，求直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，二次函数y＝ax2＋bx（a＞0）的图象与反比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（1，4），点B在第三象限．（1）求该二次函数的表达式；（2）设二次函数图象与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不重合），过E点作EF∥OB，交BD于F，连接BE①设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S②当△BEF为等腰三角形时，求点E15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．（1）当DF∥AB时，连接EF，求cos∠DEF的值；（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．ACB DEF16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，CB＝4cm．点P、Q分别是AB、CB上动点，它们分别从A、C同时出发向B点匀速移动，移动速度为1cm/秒，设P、Q移动时间为t秒（0≤t≤4）．（1）当∠CPQ＝90°时，求t的值；（2）是否存在t，使△CPQ成为等边三角形？若存在，求出t的值；若不存在，能否改变Q 的运动速度（P的速度不变），使△CPQ成为等边三角形？如何改变？并求出相应的t值．17．如图，抛物线y＝－14x2＋4交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接AC、BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连接BF，交DE于点P．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求证：BF⊥AB；（3）连接CP，记△CPF的面积为S1，△CPB的面积为S2，若S＝S1－S2，试探究S的最小值．18．如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：△PQE∽△PMF；（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；（3）设BP＝x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．EQAC19．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是BC上一动点（不与B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α后到达AE位置，连接DE、CE，设∠BCE＝β．（1）如图1，若α＝90°，求β的大小；（2）如图2，当点D在线段BC上运动时，试探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点D在线段BC的反向延长线上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出α与β之间的数量关系，并说明理由．EA图1E A图220．如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）图121．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，设锐角∠DOC ＝α，将△DOC 绕点O 按逆时针方向旋转得到△D ′OC ′（0°＜旋转角＜90°），连接AC ′、BD ′，AC ′ 与BD ′ 相交于点M ．（1）当四边形ABCD 是矩形时，如图1，请猜想AC ′ 与BD ′ 的数量关系以及∠AMB 与α的大小关系，并证明你的猜想；（2）当四边形ABCD 是平行四边形时，如图2，已知AC ＝kBD ，请猜想此时AC ′ 与BD ′ 的数量关系以及∠AMB 与α的大小关系，并证明你的猜想；（3）当四边形ABCD 是等腰梯形时，如图3，AD ∥BC ，此时（1）AC ′ 与BD ′ 的数量关系是否成立？∠AMB 与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．M B C A O D C ′ D ′ 图1MB C A O D C ′D ′ 图2MB C A O D C ′ D ′图322．在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．动点M从点E出发沿射线ED运动，过点M作MN∥BD交直线BE于点N．（1）如图1，当点M在线段ED上时，求证：BE＝PD＋33MN；（2）若BC＝6，设MN长为x，以M、N、D为顶点的三角形面积为y，求y关于x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当点M运动到线段ED的中点时，连接NC，过点M作MF⊥NC 于F，MF交对角线BD于点G（如图2），求线段MG的长．A E M DNC图1 A E DC备用图A E M DN图2GF23．如图1，边长为2的正方形ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，且AE ＝AB ，点P 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿D →C →B 向终点B 运动，直线EP 交AD 于F ，过点F 作直线FG ⊥DE 于G ，交AB 于Q ．设点P 运动时间为t （秒）．（1）求证：AF ＝AQ ；（2）当t 为何值时，四边形PQBC 是矩形？（3）如图2，连接PB ，当t 为何值时，△PQB 是等腰三角形？A B C E D F G Q P 图1 A B C E D FG Q P 图224．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋8（a≠0）与x轴交于点A（－2，0）、B，与y轴交于点C，tan∠ABC＝2．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P 的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF25．已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且始终保持PE＝PD．（1）如图1，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；（2）如图2，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）B 图1B 图226．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，AD ＝14，点E 、F 、G 分别在BC 、AB 、AD 上，且BE ＝3，BF ＝2，以EF 、FG 为邻边作□EFGH ，连接CH 、DH ．（1）直接写出点H 到AD 的距离；（2）若点H 落在梯形ABCD 内或其边上，求△HGD 面积的最大值与最小值；（3）当△EHC 为等腰三角形时，求AG 的长．A D C GB F E H27．如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（8，0），B（4，4），C（0，4），直线l：y＝kx＋b保持与四边形OABC的边交于点M、N（M在折线AOC上，N在折线ABC上）设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1，在l左上方部分的面积为S2，记S＝|S1－S2|．（1）求∠OAB的大小；（2）当M、N重合时，求l的解析式；（3）当b≤0时，问线段AB上是否存在点N使得S＝0？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由；（4）求S与b的函数关系式。

中考数学二次函数压轴题

中考数学二次函数压轴题
一道典型的中考数学二次函数压轴题如下：
某种植物的数量随时间变化的规律可以用函数模型表示为：$y = -2x^2 + 8x + 3$，其中$y$表示植物的数量（单位：个），$x$表示时间（单位：月）。

（1）求植物数量在何时达到最大值？
（2）在上述最大值时，植物的数量是多少？
解答：
（1）由函数模型$y = -2x^2 + 8x + 3$可以看出，这是一个抛物线函数，开口向下。

而抛物线的最高点就是最大值的点。

最高点的横坐标$x$可以通过求解二次函数的顶点来得到。

二次函数的顶点公式为：$x = -\frac{b}{2a}$。

对于函数模型$y = -2x^2 + 8x + 3$，其中$a = -2$，$b = 8$，$c = 3$。

将这些值带入顶点公式，得到$x = -
\frac{8}{2 \cdot (-2)} = 2$。

所以，植物数量在$x = 2$时达到最大值。

（2）将$x = 2$代入函数模型$y = -2x^2 + 8x + 3$中，得到
$y = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 + 3 = 11$。

所以，在最大值时，植物的数量为11个。

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【011】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）【011】解：（1）证明：在Rt △FCD 中，∵G 为DF 的中点，∴ CG= FD ．………1分同理，在Rt △DEF 中，EG= FD ．…………2分∴ CG=EG ．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG ．…………………………4分证法一：连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点．在△DAG 与△DCG 中，∵ AD=CD ，∠ADG=∠CDG ，DG=DG ，∴△DAG ≌△DCG ．∴ AG=CG ．在△DMG 与△FNG 中，∵∠DGM=∠FGN ，FG=DG ，∠MDG=∠NFG ，∴△DMG ≌△FNG ．∴ MG=NG 在矩形AENM 中，AM=EN ．……………6分在Rt △AMG 与Rt △ENG 中，∵ AM=EN ， MG=NG ，∴△AMG ≌△ENG ．∴ AG=EG ．∴ EG=CG ．证法二：延长CG 至M,使MG=CG ，连接MF ，ME ，EC ，……………………4分在△DCG 与△FMG 中，∵FG=DG ，∠MGF=∠CGD ，MG=CG ， ∴△DCG ≌△FMG ．∴MF=CD ，∠FMG ＝∠DCG ．∴MF ∥CD ∥AB ．………………………5分∴在Rt △MFE 与Rt △CBE 中，∵ MF=CB ，EF=BE ，∴△MFE ≌△CBE ．∴∠MEC ＝∠MEF ＋∠FEC ＝∠CEB ＋∠CEF ＝90°．∴△MEC 为直角三角形．∵ MG = CG ，∴ EG= MC ．………8分（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG ．其他的结论还有:EG ⊥CG ．……10分D第24题图①DE 第24题图② 第24题图③【012】如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O与两坐标轴分别交于A B CD 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 点D ，与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长．（3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P物线上，说明理由．【012】解：（1）圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为1，∴点A B C D 、、、的坐标分别为(10)(01)(10)(01)A B C D --，、，、，、，抛物线与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ，∴(11)(11)M N --，、，．点D M N 、、在抛物线上，将(01)(11)(11)D M N --，、，、，的坐标代入2y ax bx c =++，得：111c a b c a b c =⎧⎪-=-+⎨⎪=++⎩解之，得：111a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：21y x x =-++．4分（2）2215124y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭ ∴抛物线的对称轴为12x =， 122OE DE ∴===，． 6分连结90BF BFD ∠=，°，BFD EOD ∴△∽△，DE OD DB FD ∴=，又122DE OD DB ===，，5FD ∴=，5210EF FD DE ∴=-=-=．（3）点P 在抛物线上．设过D C 、点的直线为：y kx b =+，将点(10)(01)C D ，、，的坐标代入y kx b =+，得：11k b =-=，，∴直线DC 为：1y x =-+．过点B 作圆O 的切线BP 与x 轴平行，P 点的纵坐标为1y =-，将1y =-代入1y x =-+，得：2x =．∴P 点的坐标为(21)-，，当2x =时，2212211y x x =-++=-++=-，所以，P 点在抛物线21y x x =-++上． 12分【013】如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（1）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．图）图）【013】解：（1）该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-．将(40)A ，，(10)B ，代入，得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-（2）存在．如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-，当14m <<时，4AM m =-，215222PM m m =-+-．又90COA PMA ∠=∠= °，∴①当21AM AO PM OC ==时，APM ACO △∽△，即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，．（6分） ②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m m m -=-+-．解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，．类似地可求出当4m >时，(52)P -，．当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，．（9分）（3）如图，设D 点的横坐标为(04)t t <<，则D 点的纵坐标为215222t t -+-．过D 作y 轴的平行线交AC 于E ．由题意可求得直线AC 的解析式为122y x =-．（10分）E ∴点的坐标为122t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．2215112222222DE t t t t t ⎛⎫∴=-+---=-+ ⎪⎝⎭．（11分）22211244(2)422DAC S t t t t t ⎛⎫∴=⨯-+⨯=-+=--+ ⎪⎝⎭△．∴当2t =时，DAC △面积最大．(21)D ∴，．（13分）图）【014】在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）.（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形 OABC 旋转的度数；（3）设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.【014】（1）解：∵A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，∴OA 旋转了045.∴OA 在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=.……………4分（2）解：∵MN ∥AC ，∴45BMN BAC ∠=∠=︒,45BNM BCA ∠=∠=︒. ∴BMN BNM ∠=∠.∴BM BN =.又∵BA BC =，∴AM CN =.又∵O A O C =,OAM OCN ∠=∠,∴OAM OCN ∆≅∆.∴AOM CON ∠=∠.∴1(90452AOM ∠=︒-︒)=22.5︒.∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为45︒-22.5︒=22.5︒.……………………………………………8分（3）答：p 值无变化. 证明：延长BA 交y 轴于E 点，则045AOE AOM ∠=-∠， 000904545CON AOM AOM ∠=--∠=-∠，∴A O E C O ∠=∠.又∵O AO C=，0001809090OAE OCN ∠=-==∠.∴OAE OCN ∆≅∆.∴,OE ON AE CN ==.又∵045MOE MON ∠=∠=,OM OM =, ∴OME OMN ∆≅∆.∴MN ME AM AE ==+.∴MN AM CN =+，∴4p MN BN BM AM CN BN BM AB BC =++=+++=+=. ∴在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化. ……………12分(第26题)x（第26题）x【015】如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【015】⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k ∵顶点C 的横坐标为4，且过点(0，397)∴y=a(x-4)2+k k a +=16397………………① 又∵对称轴为直线x=4，图象在x 轴上截得的线段长为6 ∴A(1，0)，B(7，0)∴0=9a+k …②由①②解得a=93，k=3－∴二次函数的解析式为：y=93(x-4)2－3⑵∵点A 、B 关于直线x=4对称∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD ≥DB ∴当点P 在线段DB 上时PA+PD 取得最小值∴DB 与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x 轴交于点M ∵PM ∥OD ，∴∠BPM=∠BDO ，又∠PBM=∠DBO∴△BPM ∽△BDO ∴BO BM DO PM =∴3373397=⨯=PM ∴点P 的坐标为(4，33) ⑶由⑴知点C(4，3-)，又∵AM=3，∴在Rt △AMC 中，cot ∠ACM=33，∴∠ACM=60o ，∵AC=BC ，∴∠ACB=120o①当点Q 在x 轴上方时，过Q 作QN ⊥x 轴于N 如果AB=BQ ，由△ABC ∽△ABQ 有BQ=6，∠ABQ=120o ，则∠QBN=60o ∴QN=33，BN=3，ON=10，此时点Q(10，33)，如果AB=AQ ，由对称性知Q(-2，33)②当点Q 在x 轴下方时，△QAB 就是△ACB ，此时点Q 的坐标是(4，3-)，经检验，点(10，33)与(-2，33)都在抛物线上综上所述，存在这样的点Q ，使△QAB ∽△ABC 点Q 的坐标为(10，33)或(-2，33)或(4，3-)．【016】如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，．（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（1）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，（2）使四边形O ECD 的面积1S 与四边形O ABD 的面积S 满足：123S S =？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【016】解：（1）设正比例函数的解析式为11(0)y k x k =≠，因为1y k x =的图象过点(33)A ，，所以133k =，解得11k =．这个正比例函数的解析式为y x =．设反比例函数的解析式为22(0)k y k x =≠．因为2ky x =的图象过点(33)A ，，所以 233k =，解得29k =．这个反比例函数的解析式为9y x =．（2分）（2）因为点(6)B m ，在9y x =的图象上，所以9362m ==，则点362B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（3分）设一次函数解析式为33(0)y k x b k =+≠．因为3y k x b =+的图象是由y x =平移得到的，所以31k =，即y x b =+．又因为y x b =+的图象过点362B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以 362b =+，解得92b =-，∴一次函数的解析式为92y x =-．（4分）（3）因为92y x =-的图象交y 轴于点D ，所以D 的坐标为902⎛⎫- ⎪⎝⎭，．设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠．因为2y ax bx c =++的图象过点(33)A ，、362B ⎛⎫⎪⎝⎭，、和D 902⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以933336629.2a b c a b c c ⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪⎪=-⎪⎩，，（5分）解得1249.2a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩，，这个二次函数的解析式为219422y x x =-+-．（6分）（4）92y x =-交x 轴于点C ，∴点C 的坐标是902⎛⎫ ⎪⎝⎭，，如图所示，15113166633322222S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 99451842=---814=．假设存在点00()E x y ，，使12812273432S S ==⨯=．四边形CDOE 的顶点E 只能在x 轴上方，∴00y >，1OCD OCE S S S ∴=+△△01991922222y =⨯⨯+⨯ 081984y =+．081927842y ∴+=，032y ∴=．00()E x y ，在二次函数的图象上， 2001934222x x ∴-+-=．解得02x =或06x =．当06x =时，点362E ⎛⎫⎪⎝⎭，与点B 重合，这时CDOE 不是四边形，故06x =舍去， ∴点E 的坐标为322⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（8分）【017】如图，已知抛物线2y x bx c =++经过(10)A ，，(02)B ，两点，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）将OAB △绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为1B ，顶点为1D ，若点N 在平移后的抛物线上，且满足1NBB △的面积是1NDD △面积2倍，求点N 的坐标．【017】解：（1）已知抛物线2y x bx c =++经过(10)(02)A B ，，，， 01200b cc =++⎧∴⎨=++⎩解得32b c =-⎧⎨=⎩∴所求抛物线的解析式为232y x x =-+．（2）(10)A ，，(02)B ，，12OA OB ∴==，可得旋转后C 点的坐标为(31)，当3x =时，由232y x x =-+得2y =，可知抛物线232y x x =-+过点(32)，∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C ． ∴平移后的抛物线解析式为：231y x x =-+．5分（3）点N 在231y x x =-+上，可设N 点坐标为2000(31)x x x -+，将231y x x =-+配方得23524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴其对称轴为32x =． 6分 ①当0302x <<时，如图①，112NBB NDD S S = △△ 00113121222x x ⎛⎫∴⨯⨯=⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭01x =此时200311x x -+=-N ∴点的坐标为(11)-，． ②当032x >时，如图②同理可得0011312222x x ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯- ⎪⎝⎭ 03x ∴=此时200311x x -+=∴点N 的坐标为(31)，．综上，点N 的坐标为(11)-，或(31)，．【018】如图，抛物线经过、与轴交于另一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点24y ax bx a =+-(10)A -，(04)C ，x B (1)D m m +，D BC （第26图①的坐标；（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．【018】解：（1）抛物线经过，两点，解得抛物线的解析式为．（2）点在抛物线上，，即，或．点在第一象限，点的坐标为．由（1）知．设点关于直线的对称点为点．，，且，点在轴上，且．，．即点关于直线对称的点的坐标为（0，1）．（3）方法一：作于，于．由（1）有：，．，且，．，，．设，则，．点在抛物线上，，（舍去）或，．方法二：过点作的垂线交直线于点，过点作轴于．过点作于．．，又，．，，．由（2）知，．，直线的解析式为．解方程组得点的坐标为．【019】如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由(2)令；四边形四边形CNMNCFGHSSm=，请问m是否为定值？若是，BD P45DBP∠=°P24y ax bx a=+-(10)A-，(04)C，404 4.a b aa--=⎧∴⎨-=⎩，13.ab=-⎧⎨=⎩，∴234y x x=-++(1)D m m+，2134m m m∴+=-++2230m m--=1m∴=-3m=D∴D(34)，45OA OB CBA=∴∠=，°D BC E(04)C，CD AB∴∥CD=45ECB DCB∴∠=∠=°E∴y3CE CD==1OE∴=(01)E∴，D BCPF AB⊥F DE BC⊥E445OB OC OBC==∴∠=，°45DBP CBD PBA∠=∴∠=∠°，(04)(34)C D，，，CD OB∴∥45DCE CBO∴∠=∠=°DE CE∴==4OB OC==BC∴=2BE BC CE∴=-=3tan tan5DEPBF CBDBE∴∠=∠==3PF t=5BF t=5OF∴=(543)P t t∴-+，P∴23(54)3(54)4t t t=--++-++t∴=2225t=266525P⎛⎫∴-⎪⎝⎭，D BD PB Q D DH x⊥H Q QG DH⊥G45PBD QD DB∠=∴=°，QDG BDH∴∠+∠90=°90DQG QDG∠+∠=°DQG BDH∴∠=∠QDG DBH∴△≌△4QG DH∴== 1DG BH==(34)D，(13)Q∴-，(40)B，∴BP31255y x=-+23431255y x xy x⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，，114xy=⎧⎨=⎩，；222566.25xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴P266525⎛⎫- ⎪⎝⎭，请求出m 的值；若不是，请说明理由 (3)在(2)的条件下，若CO ＝1，CE ＝31，Q 为AE 上一点且QF ＝32，抛物线y ＝mx 2+bx+c 经过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式.(4)在(3)的条件下，若抛物线y ＝mx 2+bx+c 与线段AB 交于点P ，试问在直线BC 上是否存在点K ，使得以P 、B 、K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在，请求直线KP 与y 轴的交点T 的坐标?若不存在，请说明理由。