09年全国数学竞赛赛区赛试卷及答案

首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答
（非数学类，2009）
考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.
注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。

2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。

一、 填空题（每小题5分，共20分）
（1）计算=--++⎰⎰dxdy y
x x y
y x D
1)
1ln()(_____________，其中区域D 由直线x + y = 1与两坐标轴所围三角形区域。

（2） 设f (x ) 是连续函数， 满足⎰--=2
02
2)(3)(dx x f x x f ，则=)(x f _ __ __。

（3）曲面22
22
-+=y x z 平行平面 2x + 2y − z = 0 的切平面方程是_ __ _。

（4）设函数y = y (x )由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，
则22dx
y
d =_________________。

答案：1516，31032
-x ，0522=--+z y x ，3
22)](1[)()](1[y f x y f y f '-''-'--。

二、（5 分）求极限x
e
nx x x x n
e e e )(
lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数。

解：原式=)}ln(
ex p{lim 20n
e e e x e nx
x x x +++→ =}ln )ln({
lim ex p{20x
n
e e e e nx x x x -+++→ ………………….….…（2 分）
其中大括号内的极限是
型未定式，由 L ′Hospital 法则，有nx
x x x x x x nx x x x e e e ne e e e x n e e e e ++++++=-+++→→ 2020)2(lim }ln )ln({lim e n n n e )2
1
()21(+=+++=
于是 原式=e n e )2
1
(+ …….…. . …………………………….………………（5 分)
三 、（15 分） 设函数 f (x) 连续, ⎰=1
)()(dt xt f x g ，且A x
x f x =→)
(lim
， A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在x = 0处的连续性。

解：由题设，知 f (0) = 0，g (0) = 0 . …………………………….…………...（2 分)
令u = xt ，得)0()()(0
≠=
⎰x x
du u f x g x
，. …………………………….…………（5 分）
从而)0()()()(2
0≠-=
'⎰x x
du
u f x xf x g x
. …………………………….………… ( 8 分)
由导数定义有
2
2)(lim
)(lim
)0(0
2
A
x x f x du u f g x x
x ==='→→⎰. …………………………….………….(11 分) 由于
)0(22)(lim )(lim )()(lim
)(lim 2
002
g A A A x du u f x x f x
du
u f x xf x g x
x x x
x x '==-=-=-='⎰⎰→→→→， 从而知)(x g '在 x = 0处连续 . …………………………….…………... …... (15 分) 四、（15分）已知平面区域 }0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）⎰⎰-=---L
x y L
x y dx ye dy xe dx ye dy xe sin sin sin sin ；
（2）2
sin sin 2
5π≥
-⎰-L
x y dx ye dy xe . 证法一：由于区域D 为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.
(1) 左边=dx e e dx e
dy e
x x x
y
⎰⎰⎰--+=-π
ππ
πππ0
sin sin 0
sin 0
sin )(,...…...…...…...….. ( 4分)
右边=dx e e dx e dy e x x x y ⎰⎰⎰
--+=-π
π
π
πππ0
sin sin 0
sin 0
sin )(,…….. …... …….. （8分）
所以, ⎰⎰-=---L
x y L
x y dx ye dy xe dx ye dy xe sin sin sin sin . . ……………………… (10 分)
(2) 由于x e e x x 2sin sin sin 2+≥+-， …….……………………. ……. …... (12 分)
2
sin sin sin sin 2
5)(πππ
≥
+=-⎰⎰--dx e e dx ye
dy xe
x x L
x
y
. ……..……. …..…….… (15 分) 证法二：
（1）根据Green 公式，将曲线积分化为区域D 上的二重积分
⎰⎰⎰--+=-D
x y L
x y d e e dx ye dy xe δ)(sin sin sin sin …………………………….. …... .. (4 分) ⎰⎰⎰+=---D
x y L
x y
d e e dx ye dy xe
δ)(sin sin sin sin …………………………………… (8 分)
因为关于 y = x 对称，所以⎰⎰-+D
x y d e e δ)(sin sin =⎰⎰+-D
x y d e e δ)(sin sin ,故
⎰⎰-=---L
x y L
x y dx ye dy xe dx ye dy xe sin sin sin sin . ………. ………. ………….… (10 分) (2) 由2022)!
2(2t n t e
e n n
t
t +≥=+∑∞
=- . 2sin sin sin sin sin sin 25
)()(πδδ≥+=+=-⎰⎰⎰⎰⎰---D
x x D x y L x y d e e d e e dx ye dy xe .
…….……….………….……….…… (15 分)
五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。

解：根据二阶线性非齐次微分方程解的结构的有关知识，由题设可知：x e 2与x e -是相应齐次方程两个线性无关的解，且x xe 是非齐次的一个特解。

因此可以用下述两种解法 …. ………………………………………. ………………………… (6 分)
解法一： 故此方程式)(2x f y y y =-'-''……..……..…………..……..…… (8 分) 将x xe y =代入上式，得
x x x x x x x x x x xe e xe xe e xe e xe xe xe x f 2222)()()(-=---+=-'-''=，
因此所求方程为. x x xe e y y y 22-=-'-''……..……..…………..……..…(10 分) 解法二：故x x x e c e c xe y -++=2213是所求方程的通解，……………………(8 分) 由x x x x e c e c xe e y --++='2212，x x x x e c e c xe e y -+++=''22142，消去21,c c 得所求方程为x x xe e y y y 22-=-'-''。

. ………………………………………….... (10 分) 六、（10 分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点，当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线x =1所围图形的面积为3
1。

试确定c b a ,,使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小。

解： 因抛物线过原点，故 c =1。

由题设有3123)(1
02=+=
+⎰b a dx bx ax 。

即)1(3
2
a b -=。

………..………….… (2分) 而]3
125[)(2
1
022
2
b ab a dx bx ax V ++
=+=⎰ππ ])1(94
31)1(3151[22a a a a -⋅+-+=π。

……………………………….………… (5分)
令0)]1(27
8323152[=---+=a a a da dv π， 得45-=a ，代入 b 的表达式得2
3
=b 。

所以0≥y ，……………..………… (8分)
又因01354]2783252[4
52
2>=+-=-
=ππa da
v
d 及实际情况，当45-=a ，2
3=b ，1=c 时，
体积最小。

. ………….. . ………….………. ………….………. ………….… (10分)
七、（15 分）已知)(x u n 满足x n n n e x x u x u 1)()(-+='
（n 为正整数），且n
e u n =)1(，
求函数项级数∑∞
=1
)(n n x u 之和。

解：先解一阶常系数微分方程，求出)(x u n 的表达式，然后再求∑∞
=1
)(n n x u 的和。

由已知条件可知x n n n e x x u x u 1)()(-=-'
是关于)(x u n 的一个一阶常系数线性微分方程，故其通解为
)()()(1c n
x
e c dx e e x e x u n
x dx x n dx n +=+⎰=⎰--，…..……………..….. ………… (6 分)
由条件n
e
u n =)1(，得0=c ，故n e x x u x n n =)(，
从而∑∑∑∞
=∞
=∞
===111)(n n x
n x n n n n
x e n e x x u 。

. …………….…….. . …………….……..(8 分) 令∑∞
==1
)(n n
n x x s ，其收敛域为[−1, 1) ， 当x ∈(−1, 1) 时， 有
x
x x s n n -=
='∑∞
=-11
)(1
1，………………………..…………………….…. (10 分) 故⎰
--=-=x
x dt t
x s 0)1ln(11
)(. ………………..…………………. …. …. … (12 分) 当x = −1时，2ln )(11
-∞
=-=∑e x u n n 。

. …………………………...…. ………… (13 分)
于是，当11<≤-x 时，有)1ln()(1
x e x u x n n --=-∞
=∑。

. ……….…..…. ………. (15 分)
八、（10分）求-
→1x 时，与∑∞
=0
2
n n x 等价的无穷大量。

解：dt x x
dt x t n n t ⎰∑⎰+∞
∞
=+∞
+≤≤0
2
2
2
1，………………….…………….….….… (3 分)
dt e
dt x x
t t ⎰⎰
∞
+-∞
+=0
1
ln
22
………………….…….………….....…. ……… ( 7 分)
x
x
dt e x
t -=
=
⎰
∞
+-121~
1ln 2
11ln 10
2
π
π
………………….….. (10 分)。