江苏省常州市武进区2023-2024学年八年级上学期期中水平测试数学试卷(含解析)

2023-2024学年江苏省常州市武进区八年级（上）期中水平测试数学
试卷
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．（2分）下列各选项中，两个三角形成轴对称的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2．（2分）若二次根式
有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ．x ≥1B ．x ＞1C ．x ≥0D ．x ＞0
3．（2分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A ．2cm ，3cm ，4cm
B ．3cm ，4cm ，5cm
C ．4cm ，5cm ，6cm
D ．5cm ，6cm ，7cm
4．（2分）如图，若△ABC ≌△DEF ，B 、E 、C 、F 在同一直线上，BC ＝7，EC ＝4，则CF 的长是（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
5．（2分）一个正比例函数的图象经过（2，﹣1），则它的表达式为（ ）
A ．y ＝﹣2x
B ．y ＝2x
C ．
D ．6．（2分）到三角形各顶点距离相等的点是（ ）
A ．三条边垂直平分线交点
B ．三个内角平分线交点
C ．三条中线交点
D
．三条高交点
x y 21-=x y 2
1=
7．（2分）等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（ ）
A．70°B．40°C．70°或40°D．70°或55°
8．（2分）如图，∠ABC＝60°，AB＝6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线l 运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0），当△ABP为锐角三角形时，t的取值范围是（ ）
A．t＞3B．t＞6C．6＜t＜12D．3＜t＜12
二、填空题（每小题2分，共20分）
9．（2分）8的立方根是 ．
10．（2分）近年来，5G在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者．截至2021年3月底，中国已建成约819000座5G基站，占全球70%以上．数据819000用科学记数法表示为 ．
11．（2分）已知点P（﹣3，1），则点P关于x轴对称的点的坐标是 ．
12．（2分）比较大小： +1．（填“＞”“＜”或“＝”）
13．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝ °．
14．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC 的中点，连接DE，则△CDE的周长是 ．
15．（2分）如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝98°，∠EAB＝20°，则∠BAD的度数为 ．
16．（2分）若一次函数y＝（1﹣a）x+2的函数值y随自变量x增大而减小，则实数a的取值范围是 ．
17．（2分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，且△ABD的面积为2，则△ABC的面积为 ．
18．（2分）如图，将长方形OABC放置在平面直角坐标系中，点P是折线A﹣B﹣C上的动点（点P不与A、C重合），连接OP，将OP绕点P顺时针旋转90°，点O落到点Q处．已知点B坐标为（24，15），当OP＝25时，则点Q坐标为 ．
三、解答题（共64分）
19．（6分）计算：
（1）．
（2）．
20．（6分）求x的值：
（1）（x﹣2）2﹣16＝0；
（2）（x+3）3＝﹣27．
21．（6分）如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A ，B ，C ，M ，N 均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．
（1）画出△ABC 关于直线MN 对称的△A ′B ′C ′；
（2）△ABC 的面积为 ；
（3）在线段MN 上找一点P ，使得∠APM ＝∠CPN ．（保留必要的画图痕迹，并标出点P 位置）
22．（6分）如图，爷爷家有一块长方形空地ABCD ，空地的长AB 为
m ，宽BC 为m ，爷
爷准备在空地中划出一块长
m ，宽m 的小长方形地种植香菜（即图中阴影部
分），其余部分种植青菜．
（1）求出长方形ABCD 的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）求种植青菜部分的面积．
23．（8分）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°．点B 、D 、E 在同一条直线上，连结CE ．
（1）求证：△ABD ≌△ACE ．
（2）求∠BEC 的度数．
（3）过点A 作AM ⊥DE 于点M ，若AM ＝3.5，BD ＝5，求线段BC 的长．
24．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B．
（1）根据图象，求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；
（2）将直线AB向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值；
（3）P（0，a）为y轴上的一动点，当△ABP的面积为15时，求a的值．
25．（10分）课本再现：
（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：a2+b2＝c2．
类比迁移
（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若a＝3，b＝4，则空白部分的面积为 ．
方法运用
（3）小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若AH＝3，BH＝4，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长．
（4）如图4，分别以Rt△ABC的三条边向外作三个正方形，连接EC，BG，若设S△EBC＝S1，S △BCG＝S2，S正方形BCIH＝S3，则S1，S2，S3之间的关系为 ．
26．（12分）如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．
（2）当射线PE与边AB交于点Q时，
①请直接写出AQ长的取值范围： ；
②是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，
请说明理由．
2023-2024学年江苏省常州市武进区八年级（上）期中水平测试数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．（2分）下列各选项中，两个三角形成轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：各选项中，两个三角形成轴对称的是选项A．
故选：A．
2．（2分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x＞1C．x≥0D．x＞0
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故选：A．
3．（2分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，6cm D．5cm，6cm，7cm
【解答】解：A、22+32＝13≠42，不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、32+42＝25＝52，能构成直角三角形，故本选项正确；
C、42+52＝41≠62，不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、52+62＝61≠72，不能构成直角三角形，故本选项错误；
故选：B．
4．（2分）如图，若△ABC≌△DEF，B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝4，则CF的长是
A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
【解答】解：∵△ABC ≌△DEF ，BC ＝7，
∴EF ＝BC ＝7，
∴CF ＝EF ﹣EC ＝3，
故选：B ．
5．（2分）一个正比例函数的图象经过（2，﹣1），则它的表达式为（ ）
A ．y ＝﹣2x
B ．y ＝2x
C ．
D ．【解答】解：设该正比例函数的解析式为y ＝kx （k ≠0），
∵正比例函数的图象经过点（2，﹣1），
∴﹣1＝2k ，解得k ＝﹣，
∴这个正比例函数的表达式是y ＝﹣x ．
故选：C ．
6．（2分）到三角形各顶点距离相等的点是（ ）
A ．三条边垂直平分线交点
B ．三个内角平分线交点
C ．三条中线交点
D ．三条高交点
【解答】解：∵到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，
∴到三角形各顶点距离相等的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，
故选：A ．
7．（2分）等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（ ）
A ．70°
B ．40°
C ．70°或40°
D ．70°或55°
【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40
°．
x y 21-=x y 2
1=
8．（2分）如图，∠ABC＝60°，AB＝6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线l 运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0），当△ABP为锐角三角形时，t的取值范围是（ ）
A．t＞3B．t＞6C．6＜t＜12D．3＜t＜12
【解答】解：分两种情况：
当∠APB＝90°，如图：
在Rt△ABP中，∠ABC＝60°，AB＝6，
∴，
当∠BAP＝90°，如图：
在Rt△ABP中，∠ABC＝60°，AB＝6，
∴BP＝2AB＝2×6＝12，
∴当3＜BP＜12时，△ABP为锐角三角形，
∴3＜t＜12，
故选：D．
二、填空题（每小题2分，共20分）
9．（2分）8的立方根是　2　．
【解答】解：∵23＝8，
∴8的立方根是2．
故答案为：2．
10．（2分）近年来，5G在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者．截至2021年3月底，中国已建成约819000座5G基站，占全球70%以上．数据819000用科学记数法表示为　8.19×105　．
【解答】解：819000＝8.19×105．
故答案为：8.19×105．
11．（2分）已知点P（﹣3，1），则点P关于x轴对称的点的坐标是　（﹣3，﹣1）　．【解答】解：∵点P（﹣3，1），
∴点P关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣1）．
故答案为：（﹣3，﹣1）．
12．（2分）比较大小：　＜　+1．（填“＞”“＜”或“＝”）
【解答】解：∵，，，
∴，
∴．
故答案为：＜
13．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝　30　°．
【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴BF＝CF，
∴∠B＝∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC＝60°，
∴∠B＝∠BCF＝30°．
故答案为：30．
14．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC
的中点，连接DE，则△CDE的周长是　18　．
【解答】解：∵AB＝AC，BC＝10，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，CD＝BC＝5，
在Rt△ADC中，点E为AC的中点，
∴DE＝AC＝，CE＝AC＝，
∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝18，
故答案为：18．
15．（2分）如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝98°，∠EAB＝20°，则∠BAD的度数为　77°　．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝25°，
∴∠D＝∠B＝25°，
∵∠E＝98°，
∴∠EAD＝180°﹣∠D﹣∠E＝57°，
∵∠EAB＝20°，
∴∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝20°+57°＝77°，
故答案为：77°．
16．（2分）若一次函数y＝（1﹣a）x+2的函数值y随自变量x增大而减小，则实数a的取值范围是　a＞1　．
【解答】解：∵一次函数y＝（1﹣a）x+2的函数值y随自变量x增大而减小，
∴1﹣a＜0，
解得：a＞1，
∴实数a的取值范围是a＞1．
故答案为：a＞1．
17．（2分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，且△ABD的面积为2，则△ABC的面积为　3　．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵S△ABD＝AB•DE，
∴×4×DE＝2，解得DE＝1，
∵AD平分∠BAC，
∴DF＝DE＝1，
∴S△ACD＝AC•DF＝×2×1＝1，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝2+1＝3，
故答案为3．
18．（2分）如图，将长方形OABC放置在平面直角坐标系中，点P是折线A﹣B﹣C上的动点（点P不与A、C重合），连接OP，将OP绕点P顺时针旋转90°，点O落到点Q处．已知点B坐标为（24，15），当OP＝25时，则点Q坐标为　（5，35）或（17，31）　．
【解答】解：如图1，当点P在AB上，过点Q作QE⊥AB于E，
∵点B坐标为（24，15），
∴AB＝OC＝24，AO＝BC＝15，
∴AP＝＝＝20，
∵将OP绕点P顺时针旋转90°，
∴OP＝PQ，∠OPQ＝90°，
∴∠QPE+∠OPA＝90°＝∠APO+∠AOP，
∴∠QPE＝∠AOP，
在△EPQ和△AOP中，
，
∴△EPQ≌△AOP（AAS），
∴EP＝AO＝15，QE＝AP＝20，
∴AE＝AP﹣EP＝5，
∴点Q（5，35）；
当点P在BC上时，过点Q作QF⊥BC，交CB的延长线于F，
∴CP＝＝＝7，
∵将OP绕点P顺时针旋转90°，
∴OP＝PQ，∠OPQ＝90°，
∴∠QPF+∠OPC＝90°，∠OPC+∠POC＝90°，∴∠POC＝∠QPF，
在△OPC和△PQF中，
，
∴△OPC≌△PQF（AAS），
∴QF＝CP＝7，PF＝OC＝24，
∴CF＝31，
∴点Q（17，31），
综上所述：点Q坐标为：（5，35）或（17，31），故答案为：（5，35）或（17，31）．
三、解答题（共64分）
19．（6分）计算：
（1）．
（2）．
【解答】解：（1）
＝2﹣3+2﹣
＝1﹣；
（2）
＝4×﹣2+1
＝2﹣1．
20．（6分）求x的值：
（1）（x﹣2）2﹣16＝0；
（2）（x+3）3＝﹣27．
【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣16＝0，
（x﹣2）2＝16，
∴x＝6或x＝﹣2；
（2）（x+3）3＝﹣27，
x+3＝﹣3，
∴x＝﹣6．
21．（6分）如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A′B′C′；
（2）△ABC的面积为　3　；
（3）在线段MN上找一点P，使得∠APM＝∠CPN．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置）
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．
（2）△ABC的面积＝2×4﹣×2×2﹣×1×2﹣×1×4＝3．
故答案为：3；
（3）如图所示，点P即为所求．
22．（6分）如图，爷爷家有一块长方形空地ABCD，空地的长AB为m，宽BC为m，爷
爷准备在空地中划出一块长m，宽m的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．
（1）求出长方形ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）求种植青菜部分的面积．
【解答】解：（1）长方形ABCD 的周长＝2（
+）＝2（3+4）＝14（m ）．
答：长方形ABCD 的周长是14
m ；（2）种植青菜部分的面积为：
×﹣（+1）（﹣1）＝24﹣（3﹣1）
＝24﹣2
＝22（m 2）．
答：种植青菜部分的面积为22m 2．
23．（8分）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°．点B 、D 、E 在同一条直线上，连结CE ．
（1）求证：△ABD ≌△ACE ．
（2）求∠BEC 的度数．
（3）过点A 作AM ⊥DE 于点M ，若AM ＝3.5，BD ＝5，求线段BC 的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，
∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
在△ABD 和△ACE 中，
，
∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；
（2）解：∵AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣45°＝135°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠AEC＝∠ADB＝135°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝135°﹣45°＝90°；
（3）解：∵AM⊥DE，
∴∠AMD＝∠AME＝90°，
∵∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠DAM＝∠EAM＝45°，
∵AM＝3.5，BD＝5，
∴DM＝AM＝3.5，EM＝AM＝3.5，
∴BE＝BD+DM+EM＝5+3.5+3.5＝12，
∵△ABD≌△ACE，
∴CE＝BD＝5，
在Rt△BEC中，根据勾股定理，
得．
24．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B．
（1）根据图象，求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；
（2）将直线AB向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值；
（3）P（0，a）为y轴上的一动点，当△ABP的面积为15时，求a的值．
【解答】解：（1）由图象可知，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，6）、B（﹣4，﹣3），
∴，
解得，
所以一次函数的表达式为：y＝x+3；
（2）将直线AB向下平移5个单位后得到y＝x+3﹣5，即y＝x﹣2，
∵经过点（m，﹣5），
∴﹣5＝m﹣2，
解得m＝﹣2；
（3）在y＝x+3中，令x＝0，则y＝3，
∵P（0，a）为y轴上的一动点，当△ABP的面积为15时，
∴，
解得a＝13或﹣7．
25．（10分）课本再现：
（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：a2+b2＝c2．
类比迁移
（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若a＝3，b＝4，则空白部分的面积为　13　．
方法运用
（3）小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若AH＝3，BH＝4，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长．
（4）如图4，分别以Rt△ABC的三条边向外作三个正方形，连接EC，BG，若设S△EBC＝S1，S △BCG＝S2，S正方形BCIH＝S3，则S1，S2，S3之间的关系为　2（S1+S2）＝S3　．
【解答】（1）证明：如图1，∵大的正方形的面积可以表示为（a+b）2，大的正方形的面积又可以表示为c2+4×ab，
∴c2+2ab＝a2+b2+2ab，
∴a2+b2＝c2；
（2）解：如图2，空白部分的面积＝边长为c的正方形的面积﹣2个直角三角形的面积＝c2﹣2×
ab，
∵a＝3，b＝4，
∴空白部分的面积＝32+42﹣2×＝13．
故答案为：13．
（3）解：如图3，在Rt△ABH中，AB＝＝＝5，
∵△ABH≌△AFH≌△ADI≌△ADG，
∴AD＝AF＝AB＝5，
∴DH＝AD﹣AH＝5﹣3＝2，BI＝AB﹣AI＝5﹣3＝2，
∴DH＝BI，
∵∠DCH＝∠BCI，∠CHD＝∠CIB＝90°，
∴△CDH≌△CBI（AAS），
∴CD＝BC，
设BC＝x，则CH＝4﹣x，
在Rt△CDH中，CH2+DH2＝CD2，
∴（4﹣x）2+22＝x2，
解得：x＝，
∴BC＝CD＝，
同理可得DE＝EF＝BC＝，
∴“帽子”外围轮廓（实线）的周长为AB+AF+BC+CD+DE+EF＝5+5++++＝20．（4）解：如图4，过点A作AK⊥HI于点K，交BC于点J，
∵RtABC中，∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
∵四边形ABED、四边形ACGF、四边形BCIH均为正方形，
∴S正方形ABED＝AB2，S正方形ACGF＝AC2，S3＝S正方形BCIH＝BC2，
∵正方形ABED与△EBC同底等高，
∴S正方形ABED＝2S△EBC＝2S1，
∴AB2＝2S1，
∵正方形ACGF与△EBC同底等高，
∴S正方形ACGF＝2S△BCG＝2S2，
∴AC2＝2S2，
∵S正方形BCIH＝S3，
∴2S1+2S2＝S3，
即2（S1+S2）＝S3．
26．（12分）如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．
（2）当射线PE与边AB交于点Q时，
①请直接写出AQ长的取值范围：　12≤AQ≤20　；
②是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，
∵AB∥CD，
∴∠DPA＝∠PAB，
由轴对称得：∠DPA＝∠EPA，
∴∠EPA＝∠PAB，
∴BP＝AB＝20，
在Rt△PCB中，由勾股定理得：PC＝＝＝16，
∴PD＝4＝2t，
∴t＝2；
（2）①解法一：如图2，过点P作PH⊥AB于H，过点Q作QG⊥CD于G，
∴PH＝QG＝AD＝12，
∵∠APQ＝∠PAQ，
∴AQ＝PQ，
∵PQ2＝PG2+QG2＝PG2+122＝144+PG2，
∴AQ2＝144+PG2，
∵AQ＝DG＝DP+PG，
∴（DP+PG）2＝144+PG2，
∵PD＝2t，
∴（2t+PG）2＝144+PG2，
解得：PG＝，
∵AQ＝PD+PG＝2t+＝＝t+，
∵t+＝（﹣）2+2≥2＝12，
∴AQ＝t+≥12，
由（1）可知：当t＝2时，Q与B重合，此时AQ＝AB＝20，
∴12≤AQ≤20；
解法二：由（1）可知：当t＝2时，Q与B重合，此时AQ＝AB＝20，如图2，当PQ⊥AB时，E与Q重合，此时AQ＝AD＝12，
∴12≤AQ≤20，
故答案为：12≤AQ≤20；
②存在，分两种情况：
当点E在矩形ABCD内部时，如图3，
∵QE＝PQ﹣PE＝PQ﹣DP＝PQ﹣2t，
∵QE＝QB，PQ＝AQ，
∴QB＝AQ﹣2t，
∵AQ+BQ＝AB＝20，
∴AQ+AQ﹣2t＝20，
∴AQ＝10+t，
由①可知：AQ＝t+，
∴t+＝10+t，
解得：t＝3.6；
当点E在矩形ABCD的外部时，如图4，
∵QE＝PE﹣PQ＝DP﹣PQ＝2t﹣PQ，
∵QE＝QB，
∴BQ＝2t﹣AQ，
∴AB﹣AQ＝2t﹣AQ，
∴AB＝2t，
∴t＝＝10（此时P与C重合），
综上，存在这样的t值，使得QE＝QB，t的值为3.6或10．。