2020-2021学年江苏省常州市八年级上学期期中考试数学试卷

2020-2021学年江苏省常州市八年级上学期期中考试数学试
卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2．下列条件中，不能判断△ABC 为直角三角形的是
A ．21a =，22b =，23c =
B ．a ：b ：c=3：4：5
C ．∠A+∠B=∠C
D ．∠A ：∠B ：∠C=3：4：5
3．如图所示，△ABC ≌△AEF ，AB=AE ，有以下结论：①AC=AE ；②∠FAB=∠EAB ；③EF=BC ；④∠EAB=∠FAC ，其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，将△ABC 沿BD 翻折后，点A 恰好与点C 重合，若BC ＝5，CD ＝3，则BD 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．如图，点P 是AOB ∠外的一点，点,M N 分别是AOB ∠两边上的点，点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN 上，点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上，若2.5,3,4PM cm PN cm MN cm ===，则线段QR 的长为（ ）
A
B C D
A ．4.5
B ．5.5
C ．6.5
D ．7
6．如图，△ABC 是等边三角形，P 是BC 上任意一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，连接DE ．记△ADE 的周长为L 1，四边形BDEC 的周长为L 2，则L 1与L 2的大小关系是 （ ） A
B C P E
D
A ．L l ＝L 2
B ．L 1＞L 2
C ．L 2＞L 1
D ．无法确定
7．在等腰△ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12 两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A ．7
B ．7或11
C ．11
D ．7或10
二、填空题
8．如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点．若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于 ．
9．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，边AC 的垂直平分线分别交边AB 、AC 于点E 、F ．如果∠B ＝75°，那么∠BCE ＝ 度．
10．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，AC ＝4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为 ．
A C D E
11．如图，△ABC 中，∠BAC ＝110°，E 、G 分别为AB 、AC 中点，DE ⊥AB ，FG ⊥AC ，则∠DAF ＝ °．
12．如图，在等边三角形ABC 中，BD=CE,AD,BE 交于点F,则AFE ∠=_________;
13．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AD 是△ABC 的一条角平分线．若CD ＝3，则△ABD 的面积为 ． A
B D C
14．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现直角边沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为________．
A
C D F E G
A
B C D H
E
15．如图，将矩形ABCD 沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的F 处，若△AFD 的周长为9，△ECF 的周长为3，则矩形ABCD 的周长为 ．
三、解答题
16．如图所示，要在公园（四边形ABCD ）中建造一座音乐喷泉，喷泉位置应符合如下要求：
（1）到公园两个出入口A 、C 的距离相等；
（2）到公园两边围墙AB 、AD 的距离相等．
请你用尺规作图的方法确定喷泉的位置P ．（不必写作法，但要保留作图痕迹）
17．如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，求证：△ABC ≌△BAD ．
18．如图，点C 、F 在BE 上，BF ＝CE ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ．求证：∠ACB ＝∠DFE ．
C D
A B 1 2
A
B C D
A B C
D F E
19．如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DE ＝DF ．
求证：（1）△BDE ≌△CDF ；
（2）AB ＝AC ．
20．如图，一架云梯AB 长25分米，斜靠在一面墙上，梯子底端B 离墙7分米.
（1）这个梯子的顶端A 距地面有多高？
（2）如果梯子顶端下滑了4分米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少分米？
21．如图，在△ABC ，△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，点C ，D ，E 三点在同一直线上.
（1）求证：△BAD ≌△CAE ；
（2）猜想BD ，CE 有何特殊位置关系，并说明理由．
22．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，点Q 为斜边AB 的中点．动点P 在直线AB 上（不与A ，B 重合），分别过A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ．
（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是 ，QE 与QF 的数量关系式 ；
A
B C E F D A C F E D
（2）如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
A B C Q F E 图2 P A B
C
Q F
E
P ( )
图1
参考答案
1．B
【详解】
A 图形中三角形和三角形内部图案的对称轴不一致，所以不是轴对称图形；
B 为轴对称图形，对称轴为过长方形两宽中点的直线；
C 外圈的正方形是轴对称图形，但是内部图案不是轴对称图形，所以也不是；
D 图形中圆内的两个箭头不是轴对称图象，而是中心对称图形，所以也不是轴对称图形.故选B.
2．D
【详解】
试题分析：A 、根据勾股定理的逆定理，可知222+=a b c ，故能判定是直角三角形； B 、设a=3x ，b=4x ，c=5x ，可知222+=a b c ，故能判定是直角三角形；
C 、根据三角形的内角和为180°，因此可知∠C=90°，故能判定是直角三角形；
D 、而由3+4≠5，可知不能判定三角形是直角三角形.
故选D
考点：直角三角形的判定
3．B
【分析】
由已知找准对应关系，运用三角形全等的性质“全等三角形的对应角相等，对应边相等”求解即可．
【详解】
∵△ABC ≌△AEF ，
∴BC=EF ，∠BAC=∠EAF ，故③正确；
∴∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF ，
即∠EAB=∠FAC ，故④正确；
AC 与AE 不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出∠FAB=∠EAB ，
故①、②错误，
所以共计2个正确.
故选：B ．
【点睛】
考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．4．D
【解析】
试题分析：由翻折的性质可得：△ABD≌△CBD，得出∠ADB=∠CDB=90°，进一步在Rt△BCD 中，利用勾股定理求得BD的长为=4．
故选D
考点：1．翻折变换，2．勾股定理
5．A
【分析】
根据轴对称性质可得出PM=MQ，PN=RN，因此先求出QN的长度，然后根据QR=QN+NR 进一步计算即可.
【详解】
由轴对称性质可得：PM=MQ=2.5cm，PN=RN=3cm，
∴QN=MN−MQ=1.5cm，
∴QR=QN+RN=4.5cm，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了轴对称性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
6．A
【解析】
试题分析：等边三角形各内角为60°，故∠B=∠C=60°，即可求得BP=2BD，CP=2CE，∴BD+CE=
故选 A．
考点：等边三角形的性质
7．B
【分析】
题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案.
【详解】
解：设这个等腰三角形的腰长为a，底边长为b. ∵D为AC的中点，
∴AD＝DC＝1
2
AC＝
1
2
a.
根据题意得
3
15
2
1
12
2
a
a b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
或
3
12
2
1
15
2
a
a b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
解得
10
7
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
或
8
11
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
又∵三边长为10，10，7和8，8，11均可以构成三角形．
∴这个等腰三角形的底边长为7或11.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质及相关计算.学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15,12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况.注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理.
8．8
【解析】
试题分析：由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD=8．
考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理
9．45
【解析】
试题分析：由边AC的垂直平分线分别交边AB、AC于点E、F，根据线段垂直平分线的性质可得EA=EC，然后由△ABC中，AB=AC，可得∠B=∠BCA=75°，因此可求得
∠A=∠ACE=30°，进而可求得∠BCE=45°．
考点：线段垂直平分线的性质
10．4
【解析】
试题分析：由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD后，证△ADC≌△BDH后求解．BH=AC=4．考点：全等三角形的判定与性质．
11．40
【解析】
试题分析：根据线段垂直平分线性质得出BD=AD ，CF=AF ，推出∠B=∠BAD ，∠C=∠FAC ，求出∠B+∠C=180°-∠A=70°，即可求出∠BAD+∠FAC=70°，即可求出∠DAF=∠BAC-（∠BAD+∠FAC ）=110°-70°=40°．
考点：线段垂直平分线性质
12．60°
【分析】
根据等边三角形的性质可得AB=BC ，∠ABC=∠C=60°，然后利用“边角边”证明△ABD 和△BCE 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CBE ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AFE=∠ABC ，从而得解．
【详解】
解：在等边△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=∠C=60°，
在△ABD 和△BCE 中，
∵60AB BC ABC C BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△BCE （SAS ），
∴∠BAD=∠CBE ，
在△ABF 中，∠AFE=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，
即∠AFE=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，证明△ABD 和△BCE 全等是解本题的难点，也是关键． 13．15
【解析】
试题分析：作DE ⊥AB 于E ．由AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，根据角平分线的性质可得
考点：角平分线的性质
14．3cm
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出AB 的长,设CD ＝x cm ,则()2
8BD x =-cm,再由图形翻折变换的性质可知AE ＝AC ＝6cm,DE ＝CD ＝x cm,进而可得出BE 的长,在t BDE R ∆中利用勾股定理即可求出x 的值,进而得出CD 的长.
【详解】 ABC ∆是直角三角形,AC ＝6cm,BC ＝8cm,
22226810AB AC BC ∴=++=cm,
AED ∆是ACD ∆翻折而成,
6cm AE AC ∴==,
设DE ＝CD ＝x cm, 90AED ∠=︒,
1064cm BE AB AE ∴=-=-=,
在t BDE R ∆中, 222BD DE BE =+,
即()2
2284x x -=+,
解得x ＝3.
故CD 的长为3cm.
【点睛】
本题考查的是翻折变换及勾股定理,解答此类题目时常常设要求的线段长为x ,然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其它线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.
15．12
【解析】
试题分析：根据图形折叠的性质可知AB=AF，BE=EF，再由△AFD的周长为9，△ECF的周长为3即可得出矩形的周长等于△AFD和△CFE的周长的和为9+3=12．
考点：折叠的性质
16．见解析
【解析】
试题分析：首先作出AC的垂直平分线，再作出∠BAD的角平分线两线的交点P为所求作的点．
试题解析：如图所示，点P即为所求．
考点：1．垂直平分线，2．角平分线
17．见解析
【解析】
试题分析：根据已知条件，利用AAS即可判定∴△ABC≌△BAD．
试题解析：∵
()
(
1
)
()
2
C D
AB BA
∠=∠
∠
⎧
=
=
⎨∠
⎪
⎪
⎩
已知
已知
公共边
，
∴△ABC≌△BAD（AAS）．
考点：三角形全等的判定
18．见解析
【解析】
试题分析：若要证明∠ACE=∠DFE，则可转化为证明两个角所在的三角形全等即可△ABC≌△DEF即可．
试题解析：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC．
∴BC＝EF．
在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，
∴△ABC ≌△DEF （SAS ）
．∴∠ACE ＝∠DFE ．
考点：三角形全等的性质与判定
19．见解析
【解析】
试题分析：（1）求出BD=CD ，∠DEB=∠DFC=90°，根据HL 证出Rt △BDE ≌Rt △CDF 即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠B=∠C ，根据等腰三角形的判定推出即可．
试题解析：（1）∵D 是BC 的中点，
∴BD ＝CD ，
∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°，
在Rt △BDE 与Rt △CDF 中
BD DC DE DF
=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），
（2）∵Rt △BDE ≌Rt △CDF ，
∴∠B ＝∠C ，
∴AB ＝AC ．
考点：1．三角形全等的性质与判定，2．等腰三角形的判定
20．（1）24分米；（2）8分米．
【分析】
（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4分米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，即可求得梯子底端水平方向上滑行的距离．
【详解】
（1）根据勾股定理：
所以梯子距离地面的高度为：24AO ==（分米）
； 答：这个梯子的顶端A 距地面有24分米；
（2）梯子下滑了4分米即梯子距离地面的高度为24420OA =-='（分米），
根据勾股定理：15OB '==（分米）
； 所以当梯子的顶端下滑4分米时，梯子的底端水平后移了1578-=（分米），
答：当梯子的顶端下滑4分米时，梯子的底端水平后移了8分米．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用以及直角三角形的性质，利用梯子的总长不变得出等式是解题关键．
21．（1）证明见解析；（2）BD ⊥CE ，理由见解析.
【分析】
（1）要证△BAD ≌△CAE ，现有AB=AC ，AD=AE ，需它们的夹角∠BAD=∠CAE ，而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得；
（2）BD 、CE 有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD ⊥CE ，需证∠BDC=90°，需证∠DBC+∠DCB =90°，可由直角三角形提供．
【详解】
（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAE ，
在△BAD 和△CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAD ≌△CAE （SAS ）；
（2）BD ⊥CE ，理由如下：
由（1）知，△BAD ≌△CAE ，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BDC=90°，即BD ⊥CE ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形中仔细观
察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．
22．见解析
【解析】
试题分析：（1）证△BFQ ≌△AEQ 即可；
（2）证△FBQ ≌△DAQ ，推出QF=QD ，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；
（3）证△AEQ ≌△BDQ ，推出DQ=QE ，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可． 试题解析：（1）AE ∥BF ，QE ＝QF ，
（2）QE ＝QF ，
如图2，延长FQ 交AE 于D ，
∵Q 为AB 中点， ∴AQ ＝BQ ，
∵BF ⊥CP ，AE ⊥CP ， ∴BF ∥AE ，
∴∠QAD ＝∠FBQ ，
在△FBQ 和△DAQ 中
⎪⎩
⎪⎨⎧∠∠∠∠AQD BQF AQ
BQ DAQ FBQ ＝＝＝ ∴△FBQ ≌△DAQ （ASA ），
∴QF ＝QD ，
A B
C
Q
F
E
图2 P
A B
C
Q F
E
P
( ) 图1
∵AE ⊥CP ，
∴EQ 是直角三角形DEF 斜边上的中线， ∴QE ＝QF ＝QD ，
即QE ＝QF ．
⑶ （2）中的结论仍然成立， 证明：如图3，
延长EQ 、FB 交于D ，
∵Q 为AB 中点，
∴AQ ＝BQ ，
∵BF ⊥CP ，AE ⊥CP ，
∴BF ∥AE ，
∴∠1＝∠D ，
在△AQE 和△BQD 中，
⎪⎩
⎪⎨⎧∠∠∠∠BQ AQ D ＝＝＝321
∴△AQE ≌△BQD （AAS ），
∴QE ＝QD ，
∵BF ⊥CP ，
∴FQ 是斜边DE 上的中线，
∴QE ＝QF ．
P
考点：1．全等三角形的性质和判定，2．直角三角形斜边上中线性质的应用。