高考数学一轮复习讲义 第3章 第2节 第1课时 必备知识——导数与函数的单调性、极值与最值

第二节导数在研究函数中的应用
1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).
第1课时必备知识——导数与函数的单调性、极值与最值
利用导数研究函数的单调性
1.函数f(x)
(1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间上是单调递增．
(2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间上是单调递减．
(3)若f′(x)＝0,则f(x)在这个区间内是常数．
2．利用导数判断函数单调性的一般步骤
(1)求f′(x)．
(2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
(3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间．
[提醒](1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则．
(2)有相同单调性的单调区间不止一个时,用“,”隔开或用“和”连接,不能用“∪”连接．
(3)若函数y＝f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f′(x)≥0,且在(a,b)的任意子区间,等号不恒成立;若函数y＝f(x)在区间(a,b)上单调递减,则f′(x)≤0,且在(a,b)的任意子区间,等号不恒成立．
[小题练通]
1.[教材改编题]如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象,则下面判断正确的是()
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D ．当x ＝2时,f (x )取到极小值 答案:C
2.[教材改编题]设f ′(x )是函数f (x )的导函数,y ＝f ′(x )的图象如图所示,则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )
答案:C
3.[教材改编题]函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞,－1)和(0,1) B ．[－1,0]和[1,＋∞) C ．[－1,1]
D ．(－∞,－1]和[1,＋∞)
答案:A
4.[易错题]若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
13＋∞
B.⎝ ⎛⎦
⎥⎥⎤
－∞13 C.⎣⎢⎢⎡⎭
⎪⎪⎫
13＋∞
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
－∞13 解析:选C y ′＝3x 2＋2x ＋m ,由条件知y ′≥0在R 上恒成立,∴Δ＝4－12m ≤0,∴
m ≥13
.
5．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1,＋∞)单调递增,则k 的取值范围是( ) A ．(－∞,－2]
B ．(－∞,－1]
C ．[2,＋∞)
D ．[1,＋∞)
解析:选D 因为f (x )＝kx －ln x ,所以f ′(x )＝k －1
x .因为f (x )在区间(1,＋∞)上单调递增,所以当x >1时,f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立,即k ≥1x 在区间(1,＋∞)上恒成立．因为x >1,所以0<1
x <1,
所以k ≥1.故选D.
6．若函数y ＝－4
3
x 3＋ax 有三个单调区间,则a 的取值范围是________．
解析:∵y ′＝－4x 2＋a ,且y 有三个单调区间,∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根,∴Δ＝02－4×(－4)×a >0,∴a >0.
答案:(0,＋∞)
利用导数研究函数的极值
1.在包含x 0的一个区间(a ,b )内,函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值,称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点,其函数值f (x 0)为函数的极大值．
2．函数的极小值
在包含x 0的一个区间(a ,b )内,函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值,称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点,其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点．
[提醒] (1)极值点不是点,若函数f (x )在x 1处取得极大值,则x 1为极大值点,极大值为f (x 1);在x 2处取得极小值,则x 2为极小值点,极小值为f (x 2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．
(2)极值一定在区间内部取得,有极值的函数一定不是单调函数．
(3)f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的必要而非充分条件．例如,f (x )＝x 3,f ′(0)＝0,但x ＝0不是极值点．
[小题练通]
1.[教材改编题]设函数f (x )＝2
x ＋ln x ,则( )
A ．x ＝1
2为f (x )的极大值点
B ．x ＝1
2为f (x )的极小值点
C ．x ＝2为f (x )的极大值点
D ．x ＝2为f (x )的极小值点 答案:D
2.[教材改编题]如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象,则f (x )的极小值点的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析:选A 由图象及极值点的定义知,f (x )只有一个极小值点．
3.[教材改编题]若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值,则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
解析:选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3,由题意知f ′(－3)＝0,即3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0,解得a ＝5.
4.[易错题]已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2,当x ＝－1时有极值0,则a ＋b 的值为________． 解析:f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0f (－1)＝0即⎩
⎪⎨⎪⎧
－6a ＋b ＋3＝0a 2＋3a －b －1＝0解之,得
⎩⎨⎧ a ＝1b ＝3或⎩⎨⎧
a ＝2
b ＝9.
当a ＝1,b ＝3时,f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立,所以f (x )在x ＝－1处无极值,舍去．所以a ＝2,b ＝9.所以a ＋b ＝11.
答案:11
5．设x 1,x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点,若x 1<2<x 2,则实数a 的取值范围是________．
解析:由题意得f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2的两个零点x 1,x 2满足x 1<2<x 2.所以f ′(2)＝12－8a ＋a 2<0,解得2<a <6.
答案:(2,6)
6．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x
－1
的极值点,则f (x )的极小值为________．
解析:因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －
1,所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －
1＋(x 2＋ax －1)e x －
1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －
1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x
－1
的极值点,所以－2是x 2＋(a ＋2)x
＋a －1＝0的根,所以a ＝－1,f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －
1＝(x ＋2)(x －1)e x －
1.令f ′(x )>0,解得x <－2或x >1,令f ′(x )<0,解得－2<x <1,所以f (x )在(－∞,－2)上单调递增,在 (－2,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,所以当x ＝1时,f (x )取得极小值,且f (x )极小值＝f (1)＝－1.
答案:－1
函数的最值
(1)在闭区间[a ,b ]
(2)若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增,则f (a )为函数的最小值,f (b )为函数的最大值;若函数f (x )在[a ,b ]上单调递减,则f (a )为函数的最大值,f (b )为函数的最小值．
[提醒] 求函数最值时,易误认为极值点就是最值点,不通过比较就下结论．
[小题练通]
1.[教材改编题]函数f (x )＝ln x －x 在区间(0,e]上的最大值为( ) A ．1－e B ．－1 C ．－e
D ．0
解析:选B 因为f ′(x )＝1
x －1＝1－x x ,当x ∈(0,1)时,f ′(x )＞0;当x ∈(1,e]时,f ′(x )＜0,
所以f (x )的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e],所以当x ＝1时,f (x )取得最大值ln 1－1＝－1.
2.[教材改编题]函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值,无最小值 B ．有最大值,也有最小值 C ．无最大值,有最小值
D ．既无最大值,也无最小值
解析:选D f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)．令f ′(x )＝0,得x ＝1.又x ∈(－1,1)且1∉(－1,1),∴该方程无解,故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.
3.[教材改编题]函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
0π2上的最大值是________．
答案:3＋π
6
4.[易错题]已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2,－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值,则m 的取值范围是________．
答案:(－4,－2)
5．函数f (x )＝x e －
x ,x ∈[0,4]的最小值为________．
解析:f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )．令f ′(x )＝0,得x ＝1(e －
x >0),f (1)＝1e >0,f (0)＝0,f (4)
＝4
e
4>0,所以f (x )的最小值为0. 答案:0
6．已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ,则f (x )的最小值是________． 解析:f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)．
∵cos x ＋1≥0,∴当cos x <12时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当cos x >1
2时,f ′(x )>0,f (x )单调递
增．
∴当cos x ＝1
2
,f (x )有最小值．
又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x ), ∴当sin x ＝－
3
2
时,f (x )有最小值, 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭
⎫－32×⎝⎛⎭⎫
1＋12＝－332.
答案:－
33
2
[课时跟踪检测]
1．(2019·厦门质检)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )
A ．(－1,1)
B ．(0,1]
C ．(1,＋∞)
D ．(0,2)
解析:选B 由题意知,函数的定义域为(0,＋∞),由y ′＝x －1
x ≤0,得0<x ≤1,所以函数的单调递减区间为(0,1]．
2．函数f (x )的导函数f ′(x )有下列信息: ①f ′(x )>0时,－1<x <2; ②f ′(x )<0时,x <－1或x >2; ③f ′(x )＝0时,x ＝－1或x ＝2. 则函数f (x )的大致图象是( )
解析:选C 根据信息知,函数f (x )在(－1,2)上是增函数．在(－∞,－1),(2,＋∞)上是减函数,故选C.
3．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( ) A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝1或－1或0
D ．x ＝0
解析:选C ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3,
∴由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0, 得x ＝0或x ＝1或x ＝－1,
又当x <－1时,f ′(x )<0,当－1<x <0时,f ′(x )>0, 当0<x <1时,f ′(x )<0,当x >1时,f ′(x )>0, ∴x ＝0,1,－1都是f (x )的极值点．
4．(2019·成都高三摸底测试)已知函数f (x )＝x 3－ax 在(－1,1)上单调递减,则实数a 的取值范围为( )
A ．(1,＋∞)
B ．[3,＋∞)
C ．(－∞,1]
D ．(－∞,3] 解析:选B ∵f (x )＝x 3－ax ,∴f ′(x )＝3x 2－a .又f (x )在(－1,1)上单调递减,∴3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立,∴a ≥3,故选B.
5.(2019·赤峰模拟)设函数f (x )在定义域R 上可导,其导函数为f ′(x ),若函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)
B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)
C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)
D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)
解析:选D 由题图可知,当x ＜－2时,f ′(x )＞0;当x ＝－2时,f ′(x )＝0;当－2＜x ＜1时,f ′(x )＜0;当1＜x ＜2时,f ′(x )＜0;当x ＝2时,f ′(x )＝0;当x ＞2时,f ′(x )＞0.由此可得函数f (x )在x ＝－2处取得极大值,在x ＝2处取得极小值．故选D.
6．下列函数中,在(0,＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e x C ．f (x )＝x 3－x
D ．f (x )＝－x ＋ln x
解析:选B 对于A,f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π－π
4k π＋π4(k ∈Z);对于B,f ′(x )＝e x
(x
＋1),当x ∈(0,＋∞)时,f ′(x )>0,∴函数f (x )＝x e x 在(0,＋∞)上为增函数;对于C,f ′(x )＝3x 2－
1,令f ′(x )>0,得x >33或x <－33,∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞－33和⎝ ⎛⎭
⎪
⎪⎫
33＋∞上单调递增;对于D,f ′(x )＝－1＋1
x ＝－x －1x ,令f ′(x )>0,得0<x <1, ∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述,应选B.
7.函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图,则函数y ＝ax 2＋3
2bx ＋
c 3的单调递增区间是( )
A ．(－∞,－2]
B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫
12＋∞ C ．[－2,3]
D.⎣⎢⎢⎡⎭
⎪⎪⎫
98＋∞ 解析:选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1,∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ,∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0,f ′(3)＝0,∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0,∴b ＝－3
2
,c ＝－18.∴y ＝x 2－
94x －6,y ′＝2x －94.当x ≥98时,y ′≥0,∴y ＝x 2－9
4x －6的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎭
⎪
⎪⎫
98＋∞.故选D. 8．已知定义在R 上的函数f (x ),f (x )＋x ·f ′(x )<0,若a <b ,则一定有( ) A ．af (a )<bf (b )
B ．af (b )<bf (a )
C ．af (a )>bf (b )
D ．af (b )>bf (a )
解析:选C [x ·f (x )]′＝x ′f (x )＋x ·f ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )<0, ∴函数x ·f (x )是R 上的减函数,∵a <b ,∴af (a )>bf (b )．
9．(2019·广州模拟)若函数f (x )＝e x
(sin x ＋a cos x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4
π2上单调递增,则实数a 的取值范
围是( )
A ．(－∞,1]
B ．(－∞,1)
C ．[1,＋∞)
D ．(1,＋∞)
解析:选A f ′(x )＝e x [sin x ＋cos x －a (sin x －cos x )],当a ＝0时,f ′(x )＝e x (sin x ＋cos
x ),显然x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4π2,f ′(x )>0恒成立,排除C 、D;当a ＝1时,f ′(x )＝2e x
cos x ,x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4
π2时,f ′(x )>0,
故选A.
10．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1,且f (x )的导函数f ′(x )>1
2,则满足2f (x )<x ＋1的
x 的集合为( )
A ．{x |－1<x <1}
B ．{x |x <1}
C ．{x |x <－1或x >1}
D ．{x |x >1}
解析:选B 令g (x )＝2f (x )－x －1,∵f ′(x )>1
2,∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0,∴g (x )为单调增函
数,∵f (1)＝1,∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0,∴当x <1时,g (x )<0,即2f (x )<x ＋1,故选B.
11．已知e 为自然对数的底数,设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2),则( ) A ．当k ＝1时,f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时,f (x )在x ＝1处取到极大值 C ．当k ＝2时,f (x )在x ＝1处取到极小值 D ．当k ＝2时,f (x )在x ＝1处取到极大值
解析:选C 当k ＝1时,f (x )＝(e x －1)(x －1),0,1是函数f (x )的零点．当0<x <1时,f (x )＝(e x
－1)(x －1)<0,当x >1时,f (x )＝(e x －1)(x －1)>0,1不会是极值点．当k ＝2时,f (x )＝(e x －1)(x －1)2,零点还是0,1,但是当0<x <1,x >1时,f (x )>0,由极值的概念,知选C.
12．(2019·湖北咸宁重点高中联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1,a ＋1]上单调递
减,则实数a 的取值范围是( )
A ．(1,2]
B ．(4,＋∞)
C ．(－∞,2)
D ．(0,3]
解析:选A ∵f (x )＝12x 2－9ln x ,∴f ′(x )＝x －9x (x >0),由x －9
x ≤0,得0<x ≤3,∴f (x )在(0,3]
上是减函数,则[a －1,a ＋1]⊆(0,3],∴a －1>0且a ＋1≤3,解得1<a ≤2.
13．函数f (x )＝1
3
x 3＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．
解析:f ′(x )＝x 2＋2x －3,令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去),又f (0)＝－4,f (1)＝－173
,f (2)＝－103,故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－173
.
答案:－
17
3
14．(2019·长治联考)定义在(0,＋∞)上的函数f (x )满足x 2f ′(x )＋1>0,f (1)＝6,则不等式f (lg x )<1lg x
＋5的解集为________．
解析:构造g (x )＝f (x )－1x －5,则g ′(x )＝f ′(x )＋1x 2＝x 2f ′(x )＋1
x 2
>0,所以g (x )在(0,＋∞)
上单调递增,
∵f (1)＝6,∴g (1)＝0,
故g (x )<0的解集为(0,1),即f (x )<1
x ＋5的解集为(0,1),由0<lg x <1,得1<x <10,不等式的解集
为(1,10)．
答案:(1,10)
15．已知函数f (x )＝e x
x 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x ,若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点,则实数k 的取值范围为________．
解析:f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝⎛⎭⎫
－2x 2＋1x ＝(x －2)⎝⎛⎭⎫e x
x －k x 2(x >0)．
设g (x )＝e x
x (x >0),则g ′(x )＝(x －1)e x x 2
,
∴g (x )在(0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增．
∴g (x )在(0,＋∞)上有最小值,为g (1)＝e,结合g (x )＝e x
x 与y ＝k 的图象可知,要满足题意,只需k ≤e.
答案:(－∞,e]
16．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －
1－g (0)x ＋12x 2,且存在实数x 0,使得不等式2m －
1≥g (x 0)成立,则实数m 的取值范围为________．
解析:g ′(x )＝g ′(1)e x －
1－g (0)＋x ,
令x＝1,得g′(1)＝g′(1)－g(0)＋1,
∴g(0)＝1,g(0)＝g′(1)e0－1＝1,∴g′(1)＝e,
∴g(x)＝e x－x＋1
2x
2,g′(x)＝e x－1＋x,
当x<0时,g′(x)<0,当x>0时,g′(x)>0,
∴当x＝0时,函数g(x)取得最小值g(0)＝1. 根据题意得2m－1≥g(x)min＝1,∴m≥1.
答案:[1,＋∞)。