2020年高考数学一轮复习 第十章 第2讲 直接证明和间

4．若三角形能被分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角
形一定是( B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
解析：过直角三角形的直角顶点作斜边的高，所得的三角
形与原三角形相似．
5．要证明不等式 6＋ 7>2 2＋ 5成立，只需证明(__6_ ＋ ____7_)_2>_(_2___2_＋____5_)2_.
(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要 保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．综合 法的特点是“由因导果”，本题就是根据函数的解析式(条件)， 推出该函数满足“理想函数的所有条件”．
【互动探究】 1．在锐角 ABC 中，求证：sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB
1．下列说法不正确的是( D ) A．综合法是由因导果的顺推证法 B．分析法是执果索因的逆推证法 C．综合法与分析法都是直接证法 D．综合法与分析法在同一题中不可能同时采用 2．用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是( C ) A．将结论与条件同时否定，推出矛盾 B．肯定条件，否定结论，推出矛盾 C．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论与原条件 或与公理、定理矛盾，是反证法的正确运用 D．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件
(1)注意分析法的“格式”是“要证…，只 需证…，”而不是“因为…，所以…”；(2)注意分析法的适用 范围，如含根式、分式的不等式的证明，常常用分析法；(3)综
合法与分析法相结合，对证明较复杂的命题有很好的效果．先
用分析法寻找命题成立的一个充分条件，再用综合法从条件出
发，推出一些间接结论，两者接轨时，命题就得以证明．
第2讲 直接证明与间接证明
1．直接证明 (1)_综__合__法_是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知 条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证， 最后推导出所要证明的结论成立的证明方法． (2)_分__析__法_是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充 分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立 的条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止的证明方法．
解析：利用分析法．
考点 1 综合法 例 1: 已知 a、b、c 为正实数，a＋b＋c＝1. 求证：(1)a2＋b2＋c2≥13； (2) 3a＋2＋ 3b＋2＋ 3c＋2≤6.
解析：(1)方法一：a2＋b2＋c2－13 ＝13(3a2＋3b2＋3c2－1) ＝13[3a2＋3b2＋3c2－(a＋b＋c)2] ＝13(3a2＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc) ＝13[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0. ∴a2＋b2＋c2≥13.
方法二：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc ≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1 ∴a2＋b2＋c2≥13. 方法三：设 a＝13＋α，b＝13＋β，c＝13＋γ. ∵a＋b＋c＝1，∴α＋β＋γ＝0. ∴a2＋b2＋c2＝13＋α2＋13＋β2＋13＋γ2 ＝13＋23(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2
3．用反证法证明命题：“三角形的外角至少有两个钝角” 时，应假设( C )
A．三个内角都是钝角 B．三个内角都不是钝角 C．三个内角至多有一个钝角 D．三个内角至多有两个钝角
解析：命题：“三角形的外角至少有两个钝角”等价于“三 角形的外角有两个钝角或三个钝角”，应假设“三角形的三个 内角至多有一个钝角”．
解题思路：本小题考查等差数列的概念、通项公式与前 n 项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想 方法以及推理和运算能力．
a2＋a12≥ 2a＋1a，
只要证 4a2＋a12≥2a2＋2＋a12，
即 a2＋a12Байду номын сангаас2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．
考点 3 反证法
例 3：等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1＝1＋ 2，S3＝ 9＋3 2.
(1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn；
(2)设 bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都 不可能成为等比数列．
【互动探究】
2．已知 a＞0，求证： a2＋a12－ 2≥a＋1a－2.
解：要证 a2＋a12－ 2≥a＋1a－2，
只要证 a2＋a12＋2≥a＋1a＋ 2.
∵a＞0，故只要证
a2＋a12＋22≥a＋1a＋
22，
即 a2＋a12＋4
a2＋a12＋4≥a2＋2＋a12＋2 2a＋1a＋2，
从而只要证 2
2．间接证明 _反__证__法_是假设命题的结论不成立，经过正确的推理，最后 得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明 方法，它是一种间接的证明方法，用这种方法证明一个命题的
一般步骤： ①假设命题的结论不成立； ②根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止； ③断言假设不成立； ④肯定原命题的结论成立．
＝13＋α2＋β2＋γ2≥13.
∴a2＋b2＋c2≥13. (2)∵ 3a＋2＝ 3a＋2×1≤3a＋22＋1＝3a2＋3， 同理 3b＋2≤3b2＋3， 3c＋2≤3c＋2 3， ∴ 3a＋2＋ 3b＋2＋ 3c＋2≤3a＋b2＋c＋9＝6. ∴原不等式成立．
(1)综合法证不等式时，以基本不等式为基 础，以不等式的性质为依据，进行推理论证．因此，关键是找 到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质．
＋cosC.
解：∵△ABC 为锐角三角形，∴A＋B>π2，∴A>π2－B. ∵y＝sinx 在0，π2上是增函数， ∴sinA>sinπ2－B＝cosB. 同理可得 sinB>cosC，sinC>cosA. ∴sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.
考点 2 分析法
例 2：已知 a>b>0，求证： a－ b< a－b. 解析：要证 a－ b< a－b， 只需证( a－ b)2<( a－b)2. 即证 a＋b－2 ab<a－b，只需证 b< ab，即证 b<a. 显然 b<a 成立， 因为 b<a，因此 a－ b< a－b成立．