高三数学同步测试集合与函数

高三数学同步测试（１）—《集合与函数》
一、选择题（本题每小题５分，共60分）
１．设集合{}{}P Q ==3454567，，，，，，，定义P ※Q ＝{}Q b P a b a ∈∈，|),(，
则P ※Q 中元素的个数为 （ ）
Ａ．３
Ｂ．４
Ｃ．7
Ｄ．１２
２．设A 、B 是两个集合，定义{|,}{||12}.|A B x x A x B M x x -=∈∉=+≤且若， ∈==αα|,sin ||{x x N R }，则M —N= （ ）
Ａ．[—３，１] Ｂ．[—３，0]
Ｃ．[0，１]
Ｄ．[—３，0]
３．映射f ：A →B ，如果满足集合B 中的任意一个元素在Ａ中都有原象，则称为“满射”。

已知集合A 中有４个元素，集合B 中有３个元素，那么从A 到B 的不同满射的个数为（ ） Ａ．２４ B ．6
C ． ３6
D ．7２
４．若的图象与则函数其中x x b x g a x f b a b a ==≠≠=+)()(),1,1(0lg lg
（ ）
Ａ．关于直线y =x 对称 B ．关于x 轴对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于原点对称
５．已知函数)2
cos()2sin(
θπ
θπ++=x y 在x=２时最大值, 则θ的一个值是 （ ）
A ．4π
B ．2
π
C ．32π
D ．43π
6．若函数f （x ）=x —2p
x p +在（１，+∞）上是增函数，则实数p 的取值范围是
（ ）
A ．［—１,＋∞)
B ．［１,+∞) Ｃ．(—∞,—１］ Ｄ．( —∞,１］ １c = 0时，y =)(x f 是奇函数 ２b =0 , c >0时，方程)(x f =0 只有一个实
根
３y =)(x f 的图象关于（0 , c ）对称
４方程)(x f =0至多两个实根
其中正确的命题是
（ ）
A ．１、４
B ．１、３
C ．１、２、３
D ．１、２、４
8．函数1
,(0,)1
x x
e y x e +=∈+∞-的反函数是 （ ）
A ．)1,(,11
ln -∞∈+-=x x x y B ．)1,(,11
ln
-∞∈-+=x x x y C ．),1(,11
ln +∞∈+-=x x x y
D ．),1(,1
1
ln +∞∈-+=x x x y
9．如果命题P:}{Φ∈Φ, 命题Q:}{Φ⊂Φ,那么下列结论不正确的是 （ ）
Ａ．“P 或Q ”为真 Ｂ．“P 且Q ”为假 Ｃ．“非P ”为假
Ｄ．“非Q ”为假
１0．函数y =x ２—２x 在区间[a ，b ]上的值域是[—１,３],则点（a ，b ）的轨迹
是图中的 （ ） Ａ．线段AB 和线段AD Ｂ．线段AB 和线段CD Ｃ．线段AD 和线段BC
Ｄ．线段AC 和线段BD
１１．已知函数)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时，
)(x f 的图象如图所示，则不等式0cos )(<x x f 的解集是
（ ）
Ａ．)3,2(
)1,0()2
,3(π
π
--
B ．)3,2
(
)1,0()1,2
(π
π
--
C ．)3,1()1,0()1,3( --
D ．)3,1()1,0()2
,3( π
-
-
１２．某种电热水器的水箱盛满水是２00升，加热到一定温度，既可用来洗浴。

洗浴时，
已知每分钟放水３４升，在放水的同时按４升/分钟２的匀加速度自动注水。

当水箱内的水量达到最小值时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为6５升，则该热水器一次至多可供
（ ）
Ａ．３人洗浴
Ｂ．４人洗浴
Ｃ．５人洗浴
Ｄ．6人洗浴
二、填空题（本题每小题４分，共１6分）
１３．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800 元而不超过４000
元的按超过800元部分的１４%纳税；超过４000元的按全部稿酬的１１%纳税.已知某人出版一本书，共纳税４２0元时，这个人应得稿费（扣税前）为 元.
１４．已知函数,2))((.0,cos 2,0,)(02=⎩
⎨⎧<<≤=x f f x x x x x f 若π则x 0= .
１５．若对于任意a ∈[—１,１], 函数f （x ） = x 2+ （a —４）x + ４—２a 的值恒大于
零, 则x 的取值范围是 . １
6
．
如
果
函
数
f （x ）的定义域为R ，对于
)1(,6)()()(,,--+=+∈f n f m f n m f R n m 且恒有是不大于５的正整数，当x >—１
时，f （x ）>0． 那么具有这种性质的函数f （x ）= .（注：填上你认为正确的一个函数即可）
三、解答题（本大题共6小题，共7４分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）： １7．（本小题满分１２分）二次函数f （x ）满足(1)()2,f x f x x +-=且f （0）=１．
(1) 求f （x ）的解析式;
(2) 在区间[]1,1-上,y = f （x ）的图象恒在y =２x +m 的图象上方,试确定实数m 的范围.
１8．（本小题满分１２分）已知集合A ＝{|(2)[(31)]0}x x x a --+<，B ＝
2
2{|
0}(1)
x a
x x a -<-+. （１）当a ＝２时，求A
B ；
（２）求使B ⊆A 的实数a 的取值范围.
２0．（本小题满分１２分）设函数()22
1x
x
f x a -=+⋅-（a 为实数）.
（１）若a<0,用函数单调性定义证明:()y f x =在(,)-∞+∞上是增函数;
（２）若a=0,()y g x =的图象与()y f x =的图象关于直线y=x 对称,求函数()y g x =的解析式.
２１．（本小题满分１２分）函数x
a
x x f -
=2)(的定义域为]1,0(（a 为实数）. （１）当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域；
（２）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围；
（３）函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值.
２２．（本小题满分１４分）对于函数)0(2)1()(2
≠-+++=a b x b ax x f ，若存在实数0x ，
使00)(x x f =成立，则称0x 为)(x f 的不动点. （１）当a =２，b=—２时，求)(x f 的不动点；
（２）若对于任何实数b ，函数)(x f 恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围； （３）在（２）的条件下，若)(x f y =的图象上A 、B 两点的横坐标是函数)(x f 的不动点，
且直线1
212
++
=a kx y 是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围.
参考答案
（一）
一、选择题（每小题５分，共60分）：
（１）.D （２）.B （３）.C （４）.C （５）.D （6）.A （7）.C （8）.D （9）.B （１0）.A （１１）. B （１２）.B
二、填空题（每小题４分，共１6分）
3 （１５）. （—∞‚１）∪（３,+∞）；（１6）.x+6（１３）.３800；（１４）. ;
4
或２x+6或３x+6或４x+6或５x+6
三、解答题（共7４分，按步骤得分）
１7．解：（１）设f（x）=ax２+bx+c，由f（0）=１得c=１，故f（x）=ax２+bx+１．∵f（x+１）—f（x）=２x,∴a（x+１）２+b（x+１）+１—（ax２+bx+１）=２x.
即２ax+a+b=２x,所以221
,01
a a a
b b ==⎧⎧∴⎨
⎨
+==-⎩⎩,∴f（x ）=x ２—x+１． ……………6分 （２）由题意得x ２—x+１>２x+m 在[—１,１]上恒成立.即x ２—３x+１—m>0在[—１,１]上恒成立.
设g （x ）= x ２—３x+１—m,其图象的对称轴为直线x=错误!,所以g （x ） 在[—１,１]上递减. 故只需
g （１）>0,即１
２
—３×１+１—m>0,解得m<—
１． ……………１２分
１8． 解：（１）当a ＝２时，A ＝（２，7），B ＝（４，５）∴ A B ＝（４，５）.………
４分
（２）∵ B ＝（２a ，a ２＋１）， 当a ＜
1
3
时，A ＝（３a ＋１，２） ………………………………５分 要使B ⊆A ，必须2231
12a a a ≥+⎧⎨+≤⎩，此时a ＝—１；………………………………………7分
当a ＝
1
3时，A ＝Φ，使B ⊆A 的a 不存在；……………………………………9分 当a ＞1
3
时，A ＝（２，３a ＋１）
要使B ⊆A ，必须222
131
a a a ≥⎧⎨+≤+⎩，此时１≤a ≤３．……………………………………１１分
综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[１，３]∪{—１}……………………………１２分
１9．（本小题满分１２分）
]22222:20(2)(1)021
0421
1,1,||1||1,||16220.22480.02,10a x ax ax ax a x x a a x a a a
x ax a y x ax a x a a a +-=+-=≠∴=-=⎡∈-≤≤∴≥⎣++≤=++∴∆=-=∴=∴解由，得，
显然或分
故或分“只有一个实数满足”即抛物线与轴只有一个交点，或分
命}
{""||10"""|100112p q a a P Q a a a a ≥=∴-<<<<题或为真命题"时或命题或为假命题
的取值范围为或分
２0．解： （１）设任意实数x １<x ２,则f （x １）— f （x ２）=11
22(22
1)(221)x
x x x a a --+⋅--+⋅-
=1
2
1
2
(22)(2
2
)x x x x a ---+-=121
2
122(22)2
x x x x x x a
++--⋅ ……………４分
121212,22,220;
x x x x x x <∴<∴-<120,20x x a a +<∴->.
又12
20x x +>,∴f（x １）— f （x ２）<0,所以f （x ）是增函数. ……………7分
（２）当a=0时,y=f （x ）=２x —１,∴２x =y+１, ∴x=log ２（y+１）,
y=g （x ）= log ２（x+１）. ………………………１２分 ２１．解：（１）显然函数)(x f y =的值域为),22[∞+； ……………３分 （２）若函数
)(x f y =在定义域上是减函数，则任取∈21,x x ]1.0(且21x x <都有
)()(21x f x f > 成立， 即0)
2)((2
121>+
-x x a x x
只要212x x a -<即可， …………………………５分
由∈2
1,x x ]1.0(，故)0,2(221-∈-x x ，所以2-≤a ，
故a 的取值范围是]2,(--∞； …………………………7分 （３）当0≥a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调增，无最小值， 当1=x 时取得最大值a -2；
由（２）得当2-≤a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调减，无最大值， 当
1=x 时取得最小值a -2；
当02<<-a 时，函数)(x f y =在].0(2
2a -上单调减，在]1,[
2
2a -上单调增，无最大值，
当2
2a x -=
时取得最小值a 22-. …………………………１２分
２２．解),0(2)1()(2≠-+++=a b x b ax x f
（１）当a =２，b=—２时， .42)(2
--=x x x f ……………………２分
设x 为其不动点，即.422
x x x =--
则.04222
=--x x )(.2,121x f x x 即=-=∴的不动点是—１，２. …………４分
（２）由x x f =)(得：022
=-++b bx ax . 由已知，此方程有相异二实根，
0>∆x 恒成立，即.0)2(42>--b a b 即0842>+-a ab b 对任意R b ∈恒成立. .2003216.
02<<∴<-∴<∆∴a a a b ……………………8分
（３）设),(),,(2211x x B x x A ，
直线1
212++
=a kx y 是线段AB 的垂直平分线， 1-=∴k 0
记AB 的中点).,(00x x M 由（２）知,20a
b
x -=
.121
22,1
2122++=-∴++=a a b a b a kx y M 上在 ……………………１２分
化简得：2
2
(4212211211
22=
-
=⋅
-
≥+
-
=+-
=a a
a a
a a a
b 当时，等号成立）. 即.4
2
-≥b …………………………………………１４分。