学而思寒假七年级尖子班讲义第2讲实数三大概念

专题二实数的三大概念
目标一理解算术平方根、平方根、立方根的概念目标二掌握开平方、开立方的计算方法目标三熟练运用,a的双重非负性
表二
(2)计算下列各式
例2(1)一个非负数的平方根是2a -1和a -5，则这个非负数是多少?
(2)已知2a -1与-a 2是m的平方根，求m的值。

-= _ ±^44 = _
(3)求下列各数的算术平方根和平方根:
.16
.0.81 - , 0.04 二
.25
练
^256
-.0.81 =
(、、2013)2 =
的平方根为________
=__
(-5)2的算术平方根为_________ ".I)2二一
J900的平方根为_______ 的算术平方根为_______
练(1)(洪山区2015-2016七下期中)一个正数a的平方根是3x —4与2 —2x，则这个正数a是 ______________ (2)已知x -1与-2x 4是k的平方根，求k的值。

题型二双重非负性
算术平方根的双重非负性
梟的双重非负性指的是算术平方根非负
以及被开方数非负
a^O
4a >0
常见算术平方根非负性考查形式
苗+拓=0
梟和血互为相反数
常见被开方数非负性考查形式
梟和J —a 同时出现
例 3
（ 1 若 一 x-1 ... y -3 =0，求
的值。

（2）已知3x -2y -1二- 5x-5，求6x 3y 的平方根
练
若（x 2 y 2）2与,2x y -5互为相反数，求x y 的算术平方根
例4
⑴ 若根式J x -2有意义，则x 应满足 __________
若根式J 5 -X 有意义，则x 应满足 __________
若根式J 3 -x 和J x _3有意义，则x 应满足 ____________ 若根式J i _x _ J x _1有意义，则x 应满足 __________
_ _ 5
⑵已知y —. 2x-3 •、3-2x • 5，求x y
的平方根
2
实用标准文案
竞赛链接
(a,b)共有
（2009联赛）已知a,b 是正整数, 则这样的有序数对
（3）（梅苑中学2015-2016七下期中）
若勺X +^4—x ，贝y 2x +y的平方根为________
x+2
练
（1若（x，y）2 =、x-、. -1-x，求x-y 的值
(2)已知2a —4 +|b+2 + 丿(^3)^ + 4 = 2&，求a + b 的值
练
已知5 -x + Jx -6 = x -4 ,求J x +2的平方根
拓
已知x • y -8 -8 - x - y = •, x • 2y • a •、.、x • y - a，求、、x y a 的算术平方根
模块二立方根知识导航表
正方体体积12764216
8
125
0.00125
正方体边长
表二
根式概念表示举例性质如果一个数x的立方根a的立方根记因为正数的立方根为正
\立
3
等于a，即x =a，那么为梟，读作33 =27
数，
负数的立方根为负
方这个数x叫做a的立方“三次根号所以数，
根
根。

记为x = ^。

求一a”，a是被开方
数，3是根指
V27 = 3
0的立方根为0.
个数的立方根的运算叫开
立方。

数。

例6
(1)求下列各数的立方根
被开方
数0729
8
125
(-3)3
(-门32-26
2
13
0.1
立方根
(2)计算下列各式
3 ^27
3 0.0008 -
3 -512 = V-27的立方根等于_________
3 —3一勺a =__
练
运=_
^64的立方根为_______ Ca3
_§103的立方根等于 ______ -逅的立方根为________
实用标准文案
匸64的立方根为________ 匸8的立方根为________
实用标准文案
（1）（洪山区2015-2016七下期中）求一个数的立方根，有些可以直接求，如= 2，有些数则不能直接求得，如39
已知返16^1.293,^21^^2.785,^2?^=6，运用你发现的规律，求$21600000 =
⑵ ^036= _________ 压= ______________ ^3600= ____________
已知(102.01 =10.1，贝y (1.0201 = _______
已知J1.477 =1.215,』4.77 =3.843,则J0.01477 = ________
练
（汉阳区2015-2016七下期中）观察下列计算过程，猜想立方根
13-1,2^8,3^27,4^64,5^125,6^216,7^343, 8’ =512,9’ =729 。

（1）小智是这样求出19683的立方根的。

先估计19683的立方根十位数为________
，验证得19683
的立方根是_____
（2）请根据（1）中小智的方法，完成如下填空
『117649 = _____ 丁-373248 = _________ “0.531441 = ________ 模块三算术平方根、平方根、立方根综合
实用标准文案
［练］（1） 尔4, 226 , 15三个数的大小关系是 ___________________________________ ⑵
3
21 ______ 317 -23 3 _______ -3.2
题型二综合计算 例9
（1）（武昌七校2015.2016七下期中） ① T 52+ 匹27-②
3^4
1
（2）（二中2015.2016七下期中）
已知3 x -3和3 y 二2互为相反数，求的X y 平方根.
［练］（汉阳区2015-2016七下期中）解方程
公式
ja = a （ a 为任何实数）
（石）=a （a 启0）
若 a 2 >b 2，则 a > b
= a ；
^X = -^X
若 y x +y y=o,则 x +y=o 若 a 3 >
b 3，则 a > b
题型一 比较大小
例8
(1)比较大小
2、)3
4 ；
- ,2 - \ 3
10.11 ______ 1 .10 3.2-1 ________ 2 2
（2） 比较大小
237 ______ 3 2
（2）（江汉区2015-2016七下期中）
（4）（青山区2015-2016七下期中）求下列各式x 的值
3
① X 2 _81=0 輕x_1） _8 = 0
实数三大概念（课后作业）
1.求下列的各数的算术平方根
被开方数
100
9
25
1
49
0.09
0.0256
3
算术平方 根
平方根
2. ,25= _ _ _ (_2)2 = ------- 一 -3是——_的平方根
① 3x 2 =27
匸 2(x_1)2
16=0
疯狂训练
（1）（硚口区2015-2016七下期中）求下列各式x 的值
①(x 2)2 =9 3
②(x -1)3 =64
①.0.04
3
27 ..、
(-2)2
（3）（武珞路2015-2016七下期中）
一 、0.25 = _______
4 的算术平方根是 __________ ___
-81的算术平方根是 _
______
36的平方根是------ ——
4.
比较下列个组数的大小
4 _______ .17 23 7
3.2
(江岸区2015-2016七下期中)比较大小：3 27
5. 填空
(1) 一个数的平方根等于它本身，这个数是 _____________
(2) 一个数的立方根等于它的算术平方根，这个数是 ____________ — (3) 已知一个数的平方根为 a - 2与 2a -11，则这个数是 ____________
⑷ 已知...1.988 =1.410, . 1988 =44.59，则,0.1988 的值是 ________
_____
⑸若 3 2.36 =1.331, 3 23.6 =2.868,3 236 =6.180,贝V 3 23600000 = _______________
6.
解答
(1)已知、x -1 = -3(y -2)2,求x • y 的值。

⑵若 y — 6 -x • .x -26 - 28,求x 2 - y 2的值。

⑶ 已知a 为实数，且满足 200 -a
20仁a,求a-2002的值。

3.
27的平方根是 _________
3 一 216 = ./64的立方根是 _ 121的立方根是
125的立方根是 ____________ 3
-343 = _________
3
125
= .8 —
— 3.81的立方根是 ________ .400的立方根 _________
-
1
.. 30 3 3 3
5
_23 2
」20
_____ __ 2
____ .2 1
⑷已知2a 一1的立方根是3, 3a b 5的平方根是_7,求a 6的值。

7. （洪山区2015-2016七下期中）
①求满足条件X的值：X2-16=0②.（V）2_3_27 _ 25。