浙江高三高中数学竞赛测试带答案解析

浙江高三高中数学竞赛测试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.集合}，且,则实数取值范围为（）A．
B．
C．或
D．
2.若则是的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.已知等比数列{}：且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（）A．B．C．D．
4.已知复数为虚数单位），且，则（）
A．B．
C．或D．或
5.已知直线与抛物线交于两点，为的中点，为抛物线上一个动点，若满足
，则下列一定成立的是（）。

A．B．其中是抛物线过的切线C．D．
6.某程序框图如下，当E0.96时，则输出的K=（）
A．20B．22C．D．25
7.若三位数被7整除，且成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（）个。

A．4B．6C．7D．8
8.设函数，则函数的极大值点为（）
A．B．C．D．
9.已知为一次函数，若对实数满足，
则的表达式为（）。

A．
B．
C．
D．
二、填空题
1.若，
则_________________。

2.已知，若当时恒大于零，则的取值范围为_____________ 。

3.数列，则数列中最大项的值为______________。

4.若，满足，则 ,。

5.设直线与曲线有三个不同的交点,且,则直线的方程为
_________________。

6.若则________________________。

7.某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限轴上的整点），其运动规律为
或。

若该动点从原点出发，经过6步运动到（6,2）点，则有
__________________种不同的运动轨迹。

三、解答题
1.已知抛物线，过轴上一点的直线与抛物线交于点两点。

证明，存在唯一一点，使得为常数，并确定点的坐标。

2.设二次函数在[3,4]上至少有一个零点，求的最小值。

3.设满足数列是公差为，首项的等差数列；数列
是公比为首项的等比数列，求证：。

4.设证明。

5.从0,1,2，，10中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”，若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法为“完美填法”。

试问：对图1和图2是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美填法；若不存在，请说明理由。

浙江高三高中数学竞赛测试答案及解析
一、选择题
1.集合}，且,则实数取值范围为（）
A．
B．
C．或
D．
【答案】C
【解析】要使，则或。

解得或。

故选C。

【考点】绝对值不等式的解法，集合的运算。

点评：中档题，绝对值不等式的解法，一般围绕“去绝对值符号”，方法有：平方法、分类讨论法，有时利用绝对值
的“几何性质”，会简洁些。

2.若则是的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若。

当，但。

故选D。

【考点】充要条件的概念
点评：简单题，充要条件的判断问题，往往综合性较强。

一般有“定义法”“等价转化法”“集合关系法”。

3.已知等比数列{}：且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，等比数列{}：且第一项至第八项的几何平均数为9，
所以，，计算得所以，。

选B。

【考点】等比数列的通项公式，几何平均数，等差数列的求和。

点评：中档题，理解几何平均数，利用等比数列的通项公式将各项表示出来。

4.已知复数为虚数单位），且，则（）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【解析】即，所以，，解得，或，即或
，选D。

【考点】复数的代数运算，复数的相等。

点评：简单题，复数的乘法，按多项式运算法则进行，化为-1。

本题解方程组，对计算能力要求较高。

5.已知直线与抛物线交于两点，为的中点，为抛物线上一个动点，若满足
，则下列一定成立的是（）。

A．B．其中是抛物线过的切线
C．D．
【答案】B
【解析】利用平面向量的线性运算，将向量的数量积转化成向量模的平方。

故选B。

【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积，直线与抛物线的位置关系。

点评：中档题，本题综合性较强，综合考查平面向量的线性运算，平面向量的数量积，直线与抛物线的位置关系。

注意理解的意义。

6.某程序框图如下，当E0.96时，则输出的K=（）
A．20B．22C．D．25
【答案】C
【解析】S的初始值为0，步长为1，根据算法得，故选
C。

【考点】程序框图功能识别，“裂项相消法”求和
点评：小综合题，利用程序框图，逐次运算，确定算法功能。

7.若三位数被7整除，且成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（）个。

A．4B．6C．7D．8
【答案】D
【解析】设三位数为
由
所以，所有的三位数为，选D。

【考点】等差数列的通项公式，整除的概念。

点评：中档题，作为一道竞赛题，将整除、数列相结合，有“拔高”的成分，利用分类讨论思想，确定a,b,c,d的各种取值情况。

8.设函数，则函数的极大值点为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当0＜x＜1时，f（x）=x（x-1）2（x-2）3（x-3）4＜0，
当x=1时，f（x）=x（x-1）2（x-2）3（x-3）4=0，
当1＜x＜2时，f（x）=x（x-1）2（x-2）3（x-3）4＜0，
其函数f（x）=x（x-1）2（x-2）3（x-3）4大致如图所示．
结合图象可知，当0＜x＜1时，函数是增，当1＜x＜2时，函数是减函数，
根据函数极值的概念可知，x=1是函数y=f（x）的极大值点．是极小值点，不是极值点。

故选
B．
【考点】极值点的概念及判断
点评：中档题，画出函数的图象，不是件容易的事，因此，通过分析函数图象的大致形态，可以判断极值点。

9.已知为一次函数，若对实数满足，
则的表达式为（）。

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分析函数的图象特征，自变量范围分界点有-1，0，在
时，异号，所以，，选C。

【考点】分段函数的概念，一次函数。

点评：中档题，认识到产生“分段”的原因是“去绝对值符号”，因此，确定“两段”函数之和。

二、填空题
1.若，
则_________________。

【答案】，。

【解析】因为，，所以，
所以，，。

【考点】三角函数同角公式，两角和差的三角函数公式，特殊角的三角函数值。

点评：简单题，求角必定先求角的某种三角函数值，注意已知条件，确定函数名称。

2.已知，若当时恒大于零，则的取值范围为_____________ 。

【答案】
【解析】由得，，当且仅当在取得等号，故。

【考点】不等式恒成立问题，均值定理的应用。

点评：中档题，不等式恒成立问题，通常转化成求函数的最值。

本题通过“分离参数”，创造了应用均值定理的条件。

3.数列，则数列中最大项的值为______________。

【答案】
【解析】研究函数因为，所以，为极大值点，故数列最大项为第三项，
其值为。

【考点】数列的性质，应用导数研究函数的单调性。

点评：中档题，本题将数列问题转化成应用导数研究函数的单调性，体现应用数学知识的灵活性。

4.若，满足，则 ,。

【答案】，
【解析】把等式看成关于的一元二次方程，方程有实数根，
所以，即而
故=0，解得，。

【考点】一元二次方程，一元二次不等式解法。

点评：简单题，将变量之一看作参数，利用一元二次方程有实根，确定得到x,y的一元方程。

5.设直线与曲线有三个不同的交点,且,则直线的方程为
_________________。

【答案】
【解析】因为，直线与曲线有三个不同的交点,
且,所以，曲线关于（0,1）点对称。

设直线方程为，
则解得，。

故所求直线方程为。

【考点】函数的图象和性质，直线方程。

点评：中档题，通过认识函数图像的对称性，灵活的设出方程形式，利用“几何条件”，得到k的方程。

6.若则________________________。

【答案】
【解析】因为，
所以，
整理得，，即，
所以，。

【考点】新定义问题，不等式的性质，简单不等式的解法。

点评：中档题，理解新定义内容是正确解题的关键。

7.某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限轴上的整点），其运动规律为
或。

若该动点从原点出发，经过6步运动到（6,2）点，则有
__________________种不同的运动轨迹。

【答案】9
【解析】根据题意知，该动点从原点出发，第一次运动到K（1，1），第二次从K点运动到I（2，2）或J（2，0），依此类推，最后到达A（6，2），如图所示．
则不同的运动轨迹有：
O→K→I→G→D→B→A；
或O→K→J→H→E→B→A；…
一共有9种不同的运动轨迹．
故答案为：9．
或.
【考点】分类计数原理，简单组合应用问题。

点评：中档题，利用数形结合思想，分析各种运动情况，确定运动途径。

利用组合知识难以理解，但比较简洁。

三、解答题
1.已知抛物线，过轴上一点的直线与抛物线交于点两点。

证明，存在唯一一点，使得为常数，并确定点的坐标。

【答案】时，为定值，此时。

【解析】设（），过点直线方程为，交抛物线于联立方程组
由韦达定理得…5分
使用， 7分
即， 12分
所以，时，为定值，此时。

17分
【考点】直线与抛物线的位置关系，两点间的距离公式。

点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线位置关系问题，往往通过联立方程组，应用韦达定理，简化解题过程。

2.设二次函数在[3,4]上至少有一个零点，求的最小值。

【答案】的最小值为。

【解析】解法1 由已知得，设为二次函数在[3,4]上的零点，则有，
变形， 5分
于是， 12分
因为是减函数，上述式子在时取等号，
故的最小值为。

17分
解法2 把等式看成关于的直线方程，
利用直线上一点（）到原点的距离大于原点到直线的距离，
即（以下同上）。

【考点】函数零点的概念，二次函数的图象和性质，“对号函数”的单调性。

点评：中档题，根据函数零点所在范围，确定得到关于零点t的函数，转化成“对号函数”问题求解，对转化与化归思想要求较高。

3.设满足数列是公差为，首项的等差数列；数列
是公比为首项的等比数列，求证：。

【答案】用数学归纳法证明。

【解析】首先，， 2分。

4分
6分
用归纳法证明。

由于，即i=1成立。

8分
假设成立，
则。

14分
所以，。

归纳证明，
首先，假设成立，
则。

17分
故命题成立。

【考点】等差数列、等比数列的通项公式，数列不等式，数学归纳法。

点评：难题，本题综合性较强，综合考查等差数列、等比数列的通项公式，数列不等式，数学归纳法等，在不等式的证明过程中，两次使用数学归纳法，一般来说较难想到。

4.设证明。

【答案】原命题等价于，利用分析法。

【解析】原命题等价于， 10分
又 20分
故只需要证明成立。

25分
利用已知条件，这是显然的。

【考点】不等式的性质，不等式的证明。

点评：中档题，不等式的证明方法有，比较法、分析法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法等。

熟练掌握不等式的性质是关键。

5.从0,1,2，，10中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”，若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法为“完美填法”。

试问：对图1和图2是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美填法；若不存在，请说明理由。

【答案】对图1，上述填法即为完美（答案不唯一）。

对于图2不存在完美填法。

【解析】对图1，上述填法即为完美（答案不唯一）。

10分
对于图2不存在完美填法。

因为图中一共有10条连线，因此各连线上两数之差的绝对值恰好为，1,2,3，，
10， 15分
其和为奇数。

20分
另一方面，图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条。

即每一个圆圈内德数在上述S的表达式中出现偶数次。

因此S应为偶数，矛盾。

25分
所以，不存在完美填法。

【考点】新定义问题，实数绝对值的性质。

点评：难题，理解新定义内容是正确解题的关键。

对图表的识别能力及转化与化归思想要求较高。