平行断面法和不平行断面法
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当两剖面面积相对差＞40%时，则应用公式：
式中：
????P－两剖面间块段的金属储量；
????L－两剖面间的距离；
????P1、P2－两个相邻剖面的线金属量。
3、整个矿体的金属储量，为所有块段金属量之和，即
二、不平行断面法
当矿体用不平行勘探线进行勘探时，或者用平行勘探线的同时，由于矿体走向有变化，而采用了不平行勘探线，这时应用不平行断面法是必要的。这种方法在于求矿体不平行剖面间的矿体体积和储量。
当S1＝S2时，则F＝1，因而 ?。在这种情况下，用近似公式也可得到精确的结果。在S1或S2＝0时则F=2/3，这时V＝L/3·S成为规则角锥体体积公式。现将F值公式作如下之改变：
由上式可见，F值显然取决于剖面面积S1及S2之比的平方根，而不取决于这些面积的绝对值的大小。此外，当S1与S2之值互换时，F值亦不受影响。C·C·依扎克松利用上述关系，并使块段底面积之一，S1或S2等于1，编制了一个F值遇S1/S2＝α的关系表（表1）。
式中：
????? ?－勘探线I上α1b1的长度；
????? ?－勘探线II上α2b2的长度。
不平行断面间块段的总体积V＝V1＋V2。
也可以用线储量法进行，这时需将断面面积S1及S2的相应的由线矿石量Q1、Q2或线金属量P1、P2的值来代替。
应用此种方法计算不够十分准确。但一般在矿床勘探时，勘探线不平行的地段是不多的，或仅有局部的地段的断面的不平行的，对整个矿床的储量影响不大。
当相邻两剖面上矿体之相对面积差 ?＜40%时，一般选用梯形体积公式（图1），其公式为：
式中：
????V－两剖面间矿体体积（立方米）；
????L－两相邻剖面之间距（米）；
????S1S2－两相邻剖面上的矿体面积（平方米）。
图1?相邻剖面间之梯形块段
当相邻两剖面上矿体之相对面积差 ?＞40%时，一般选用截锥体积公式计算体积（图2），其公式为：
（二）佐洛塔列夫法
佐洛塔列夫所提出的全部公式都是以一个剖面的面积之逐渐而均匀地转变为另一个剖面的面积值的剖面旋转法为依据。
如图8所示，当一个均匀的平面图形转动无限小的角度dα时，此图形轨迹所包含的体积等于该图形的面积S与图形重心所画弧长的乘积：
dV＝S·ρ·dα
式中：
????ρ－自图形重心到旋转轴AA′的距离；
????ρdα－当转动断面的平面旋转时，图形重心所画的弧长。
图8?断面平面的旋转定理
A.C.佐洛塔列夫又用这个公式推导出确定两个不平行断面内矿体储量的一些精确的和近似的公式。
精确公式为：
式中：
????α－在勘探工程平面图上所确定的断面之夹角（图9）；
????ρ1与ρ2－由断面交点分别到断面重心S1及S2的距离；
凡在矿床勘探阶段，应用若干勘探剖面把矿床横切截为若干个块段，分别计算这些块段的储量，将各块段的储量合起来即矿体的总储量，这种方法称断面法或剖面法。断面法还可分为垂直断面法、水平断面法及不平行断面法。
一、平行断面法
平行断面法储量计算按以下步骤进行：
（一）首先在各个勘探剖面图上测定矿体的面积；
（二）其次，在两个勘探剖面面积之间计算矿体的体积。为此，必须根据相邻两剖面矿体之相对面积差 ?的大小来分别选择不同的公式进行计算。
断面上各个单元小条带围绕某一旋转轴的静力矩∑nx与断面面积S之比，等于此断面重心到旋转轴的距离x0。
x0＝∑nx/S????（12）
式中：
????n－断面上单位小条带的面积；
????x－自小条带重心到旋转轴的距离；
????x0－自断面面积重心到旋转轴的距离。
在图10的例子中：
图10?用图解解析法在剖面上确定面积重心位置
根据截角锥体公式确定相邻平行剖面间的块段体积时，需确定面积S1和S2，计算S1/S2＝α值。再根据α值曲线图查出F值，故其体积公式为：
表2乃是利用F值曲线图计算块段体积的例子。
表2
剖面号
断面面积
（米2）
断面间距
（米）
修正系数
（F）
断面平均面积
断面间距
（米）
块段体积
（米3）
Ⅰ
Ⅱ
50
1000
20
0.809
0.0250.0200.0170.0140.0100.0070.0050.0030.0020.0020.0010.001
40.050.060.070.0100.0140.0200.0300.0400.0500.0700.01000.0
0.7700.7600.7510.7450.7330.7240.7140.7060.7000.6960.6920.689
图2?相邻剖面间之锥块段
在应用截锥公式，要进行开平方计算，实际计算较繁琐，为了简化计算，有人提出改用校正的梯形公式，其方法如下：
假如使相邻两剖面的间距为L，则这些剖面间块段的体积V大致等于两剖面面积总和之半与某一修正系数F的乘积，即：
修正系数F的大小等于该块段精确体积与近似体积之比：
把F值代入公式 ?中，则得：
不平行断面法常用的有两种：
（一）断面控制距离法
这种方法的实质是沿两个勘探线的每个断面上矿体的面积乘相应的控制距离。计算不平行断面间之块段体积时用作辅助Ⅱ－Ⅱ′两条勘探线不平行，α1、α2及b1、b2为勘探线与矿体边界线的交点，连接α1α2及b1b2的中点c1及α1α2的中点c′1，连接c1?c′1将块段分为两部分，也就是将块段在平面图上的面积分为s′1及s′2两个部分，在勘探线剖面上矿体的截面积s1及s2可以用求积仪或其它方法求出，同时也求出s′1及s′2的面积。这样就可以求出被中线c1c2所分割的这两部分的矿体体积，其公式为：
????S1与S2－两个勘探剖面上的矿体面积。
图9?不平行断面间矿体储量计算
近似公式为：
式中：H1及H2－为从一个断面中心到另一个断面所作的垂线（平面图上）的长度。
当断面夹角α不大，S1与S2或ρ1与ρ2相差不大时，可用近似公式计算。
当断面夹角α相当大，S1与S2或ρ1与ρ2有明显的差别时，则用精确公式计算。
????V1…；Q1…，P1…－各块段的矿体体积、矿石储量及金属量。
在平行断面法中，还有一种“线储量法”，所谓线储量即剖面线上的储量，然而剖面线本身没有宽度，所以它不具有储量，是一种抽象的储量，为便于理解，可以想象为宽一米的勘探线储量（图6）。
图6?勘探线剖面附近一米宽地带的储量
“线储量法”的计算步骤如下：
表1表明，当S1与S2之比值α在0.71～1.4以内时，F值可略而不计，因为误差小于1%，尚未超出储量计算的一般精度范围。
按表1的数据，又编制了α值在0.001到1.0之间的F值曲线图（图3）。
图3?由梯形公式转变为截锥公式的系数F的曲线
在横座标轴下边，上一行是α＞1.0的值，下一行是α＜1.0的指标值，纵座标为F值。
x0＝∑nx/S＝8620.8m3/268㎡＝32.2m
x0＝32.2m就是断面面积的重心到旋转轴的距离，也就是ρ。
三、断面法的应用条件
断面法储量计算在目前应用仍较广泛，只要勘探工程是有系统地大致按勘探线或勘探网布置时均可采用。水平的和缓倾斜的矿体常用垂直钻孔的勘探线进行勘探，因而常用垂直断面法计算储量。而那些急倾斜矿体、矿柱，网脉状矿床常用水平坑道勘探，因而适于用水平断面法计算储量。在勘探砂矿床或侵入岩接触带上的矿床，因矿床的走向经常改变，所以常出现不平行的断面，故时常用不平行断面法计算储量。
表1?
α＜1
α＞1
F值
α＜1
α＞1
F值
0.710.500.330.250.200.170.100.080.070.060.050.040.03
1.42.03.04.05.06.010.012.014.016.020.025.030.0
0.9950.9800.9550.9330.9150.9000.8590.8450.8330.8240.8090.7950.785
我们知道，断面法储量计算实质上是把断面上工程中的品位外延到断面面积上去，接着又把面积上的品位又外延到块段的体积上去。有外延就有误差，所以说断面法储量计算虽说有它计算体积方面的简单的优点，但它存在着品位外延所形成的误差无法克服的缺点，对这一点必须有所认识。
1、测量各剖面的面积，然后根据剖面的平均体重及平均品位计算每个剖面的线金属储量：
式中：
????? ?－某一剖面的线金属储量；
????? ?－某一剖面的矿体面积；
????? ?－某一剖面的矿石平均体重；
????? ?－某一剖面的矿石平均品位。
2、计算相邻剖面间块段的金属量：
当两剖面面积相对差＜40%时，应用以下公式：
不论用精确公式或近似公式，均需确定每一个断面面积的重心。确定断面面积重心的方法是：取一张透明方格纸（方格大小视要求精度而定，例如每边长为0.5cm）蒙在剖面图的面积之上，方格纸的横线与水平线x平行，选一适当位置作座标之原点，使矿体图形在靠近旋转轴的方向的端点x＝0，然后分别对x＝0.5，x＝2.5，……等各纵行数出在图形中的方格数n，记录在图上方，这样所有各数ni之和即为矿体断面的面积，即∑ni＝S。
525
100
42472
当相邻的两剖面中只有一个剖面有面积，而另一剖面上矿体已尖灭，这时根据剖面上矿体面积形状不同，可分别选择楔形（图4）或锥形（图5）公式计算面积。
图4?楔形面积
图5?锥形体积
用楔形公式计算体积的公式为：
用锥形公式计算体积的公式为：
（三）计算各相邻两剖面间块段的矿石储量：
式中：
????Q－块段的矿石储量；
????V－块段的矿石体积；
????? ?－块段矿石平均体重。
（四）计算各相邻剖面间的金属储量：
式中：
????P－块段的金属储量；
????? ?－块段矿石的平均品位。
（五）计算整个矿体的体积、矿石量及金属量。
将所有块段的体积、矿石量、金属量各自相加，即
式中：
????V、Q、P－整个矿体的体积、储量及金属量；
式中：
????P－两剖面间块段的金属储量；
????L－两剖面间的距离；
????P1、P2－两个相邻剖面的线金属量。
3、整个矿体的金属储量，为所有块段金属量之和，即
二、不平行断面法
当矿体用不平行勘探线进行勘探时，或者用平行勘探线的同时，由于矿体走向有变化，而采用了不平行勘探线，这时应用不平行断面法是必要的。这种方法在于求矿体不平行剖面间的矿体体积和储量。
当S1＝S2时，则F＝1，因而 ?。在这种情况下，用近似公式也可得到精确的结果。在S1或S2＝0时则F=2/3，这时V＝L/3·S成为规则角锥体体积公式。现将F值公式作如下之改变：
由上式可见，F值显然取决于剖面面积S1及S2之比的平方根，而不取决于这些面积的绝对值的大小。此外，当S1与S2之值互换时，F值亦不受影响。C·C·依扎克松利用上述关系，并使块段底面积之一，S1或S2等于1，编制了一个F值遇S1/S2＝α的关系表（表1）。
式中：
????? ?－勘探线I上α1b1的长度；
????? ?－勘探线II上α2b2的长度。
不平行断面间块段的总体积V＝V1＋V2。
也可以用线储量法进行，这时需将断面面积S1及S2的相应的由线矿石量Q1、Q2或线金属量P1、P2的值来代替。
应用此种方法计算不够十分准确。但一般在矿床勘探时，勘探线不平行的地段是不多的，或仅有局部的地段的断面的不平行的，对整个矿床的储量影响不大。
当相邻两剖面上矿体之相对面积差 ?＜40%时，一般选用梯形体积公式（图1），其公式为：
式中：
????V－两剖面间矿体体积（立方米）；
????L－两相邻剖面之间距（米）；
????S1S2－两相邻剖面上的矿体面积（平方米）。
图1?相邻剖面间之梯形块段
当相邻两剖面上矿体之相对面积差 ?＞40%时，一般选用截锥体积公式计算体积（图2），其公式为：
（二）佐洛塔列夫法
佐洛塔列夫所提出的全部公式都是以一个剖面的面积之逐渐而均匀地转变为另一个剖面的面积值的剖面旋转法为依据。
如图8所示，当一个均匀的平面图形转动无限小的角度dα时，此图形轨迹所包含的体积等于该图形的面积S与图形重心所画弧长的乘积：
dV＝S·ρ·dα
式中：
????ρ－自图形重心到旋转轴AA′的距离；
????ρdα－当转动断面的平面旋转时，图形重心所画的弧长。
图8?断面平面的旋转定理
A.C.佐洛塔列夫又用这个公式推导出确定两个不平行断面内矿体储量的一些精确的和近似的公式。
精确公式为：
式中：
????α－在勘探工程平面图上所确定的断面之夹角（图9）；
????ρ1与ρ2－由断面交点分别到断面重心S1及S2的距离；
凡在矿床勘探阶段，应用若干勘探剖面把矿床横切截为若干个块段，分别计算这些块段的储量，将各块段的储量合起来即矿体的总储量，这种方法称断面法或剖面法。断面法还可分为垂直断面法、水平断面法及不平行断面法。
一、平行断面法
平行断面法储量计算按以下步骤进行：
（一）首先在各个勘探剖面图上测定矿体的面积；
（二）其次，在两个勘探剖面面积之间计算矿体的体积。为此，必须根据相邻两剖面矿体之相对面积差 ?的大小来分别选择不同的公式进行计算。
断面上各个单元小条带围绕某一旋转轴的静力矩∑nx与断面面积S之比，等于此断面重心到旋转轴的距离x0。
x0＝∑nx/S????（12）
式中：
????n－断面上单位小条带的面积；
????x－自小条带重心到旋转轴的距离；
????x0－自断面面积重心到旋转轴的距离。
在图10的例子中：
图10?用图解解析法在剖面上确定面积重心位置
根据截角锥体公式确定相邻平行剖面间的块段体积时，需确定面积S1和S2，计算S1/S2＝α值。再根据α值曲线图查出F值，故其体积公式为：
表2乃是利用F值曲线图计算块段体积的例子。
表2
剖面号
断面面积
（米2）
断面间距
（米）
修正系数
（F）
断面平均面积
断面间距
（米）
块段体积
（米3）
Ⅰ
Ⅱ
50
1000
20
0.809
0.0250.0200.0170.0140.0100.0070.0050.0030.0020.0020.0010.001
40.050.060.070.0100.0140.0200.0300.0400.0500.0700.01000.0
0.7700.7600.7510.7450.7330.7240.7140.7060.7000.6960.6920.689
图2?相邻剖面间之锥块段
在应用截锥公式，要进行开平方计算，实际计算较繁琐，为了简化计算，有人提出改用校正的梯形公式，其方法如下：
假如使相邻两剖面的间距为L，则这些剖面间块段的体积V大致等于两剖面面积总和之半与某一修正系数F的乘积，即：
修正系数F的大小等于该块段精确体积与近似体积之比：
把F值代入公式 ?中，则得：
不平行断面法常用的有两种：
（一）断面控制距离法
这种方法的实质是沿两个勘探线的每个断面上矿体的面积乘相应的控制距离。计算不平行断面间之块段体积时用作辅助Ⅱ－Ⅱ′两条勘探线不平行，α1、α2及b1、b2为勘探线与矿体边界线的交点，连接α1α2及b1b2的中点c1及α1α2的中点c′1，连接c1?c′1将块段分为两部分，也就是将块段在平面图上的面积分为s′1及s′2两个部分，在勘探线剖面上矿体的截面积s1及s2可以用求积仪或其它方法求出，同时也求出s′1及s′2的面积。这样就可以求出被中线c1c2所分割的这两部分的矿体体积，其公式为：
????S1与S2－两个勘探剖面上的矿体面积。
图9?不平行断面间矿体储量计算
近似公式为：
式中：H1及H2－为从一个断面中心到另一个断面所作的垂线（平面图上）的长度。
当断面夹角α不大，S1与S2或ρ1与ρ2相差不大时，可用近似公式计算。
当断面夹角α相当大，S1与S2或ρ1与ρ2有明显的差别时，则用精确公式计算。
????V1…；Q1…，P1…－各块段的矿体体积、矿石储量及金属量。
在平行断面法中，还有一种“线储量法”，所谓线储量即剖面线上的储量，然而剖面线本身没有宽度，所以它不具有储量，是一种抽象的储量，为便于理解，可以想象为宽一米的勘探线储量（图6）。
图6?勘探线剖面附近一米宽地带的储量
“线储量法”的计算步骤如下：
表1表明，当S1与S2之比值α在0.71～1.4以内时，F值可略而不计，因为误差小于1%，尚未超出储量计算的一般精度范围。
按表1的数据，又编制了α值在0.001到1.0之间的F值曲线图（图3）。
图3?由梯形公式转变为截锥公式的系数F的曲线
在横座标轴下边，上一行是α＞1.0的值，下一行是α＜1.0的指标值，纵座标为F值。
x0＝∑nx/S＝8620.8m3/268㎡＝32.2m
x0＝32.2m就是断面面积的重心到旋转轴的距离，也就是ρ。
三、断面法的应用条件
断面法储量计算在目前应用仍较广泛，只要勘探工程是有系统地大致按勘探线或勘探网布置时均可采用。水平的和缓倾斜的矿体常用垂直钻孔的勘探线进行勘探，因而常用垂直断面法计算储量。而那些急倾斜矿体、矿柱，网脉状矿床常用水平坑道勘探，因而适于用水平断面法计算储量。在勘探砂矿床或侵入岩接触带上的矿床，因矿床的走向经常改变，所以常出现不平行的断面，故时常用不平行断面法计算储量。
表1?
α＜1
α＞1
F值
α＜1
α＞1
F值
0.710.500.330.250.200.170.100.080.070.060.050.040.03
1.42.03.04.05.06.010.012.014.016.020.025.030.0
0.9950.9800.9550.9330.9150.9000.8590.8450.8330.8240.8090.7950.785
我们知道，断面法储量计算实质上是把断面上工程中的品位外延到断面面积上去，接着又把面积上的品位又外延到块段的体积上去。有外延就有误差，所以说断面法储量计算虽说有它计算体积方面的简单的优点，但它存在着品位外延所形成的误差无法克服的缺点，对这一点必须有所认识。
1、测量各剖面的面积，然后根据剖面的平均体重及平均品位计算每个剖面的线金属储量：
式中：
????? ?－某一剖面的线金属储量；
????? ?－某一剖面的矿体面积；
????? ?－某一剖面的矿石平均体重；
????? ?－某一剖面的矿石平均品位。
2、计算相邻剖面间块段的金属量：
当两剖面面积相对差＜40%时，应用以下公式：
不论用精确公式或近似公式，均需确定每一个断面面积的重心。确定断面面积重心的方法是：取一张透明方格纸（方格大小视要求精度而定，例如每边长为0.5cm）蒙在剖面图的面积之上，方格纸的横线与水平线x平行，选一适当位置作座标之原点，使矿体图形在靠近旋转轴的方向的端点x＝0，然后分别对x＝0.5，x＝2.5，……等各纵行数出在图形中的方格数n，记录在图上方，这样所有各数ni之和即为矿体断面的面积，即∑ni＝S。
525
100
42472
当相邻的两剖面中只有一个剖面有面积，而另一剖面上矿体已尖灭，这时根据剖面上矿体面积形状不同，可分别选择楔形（图4）或锥形（图5）公式计算面积。
图4?楔形面积
图5?锥形体积
用楔形公式计算体积的公式为：
用锥形公式计算体积的公式为：
（三）计算各相邻两剖面间块段的矿石储量：
式中：
????Q－块段的矿石储量；
????V－块段的矿石体积；
????? ?－块段矿石平均体重。
（四）计算各相邻剖面间的金属储量：
式中：
????P－块段的金属储量；
????? ?－块段矿石的平均品位。
（五）计算整个矿体的体积、矿石量及金属量。
将所有块段的体积、矿石量、金属量各自相加，即
式中：
????V、Q、P－整个矿体的体积、储量及金属量；