对若干有关圆和球的求质心的方法

Xn

X n1 cos

2n1
X1

X
n

cos 4

cos 8

cos 16

cos
2n

所以可以得到：

Xn
cos 4

cos 8

cos
16
sin
2n
cos
2n
sin
2n
sin

X
n

2n1

2 sin
2n
当n趋向无穷时，扇形可看成三角形，Xc=2r/3.
对若干有关圆和球的求质心的方 法
制作人：0910264 粟波
有关球的求质心的问题
在这个问题中，我将以半球为例，用 多种方法求质心。从这些方法中我们 还能学到求薄球壳的质心，有一定厚 度的球壳的质心，求被平面截得的物 体的之心等。
方法一
建立如图的直角坐标系，我们可以将半圆看成
是由一层层的薄圆片堆积而成，根据对称性，
又有：sin

1 2n


1 2n
所以：

sin
X1

X
n

2n1
2 sin

2n
3r
4
我们知道，质心应该在对称轴上，所以我们只
考虑X方向。
Xc
1
r
x dm
M0
dm y2dx
(r 2 x2 )dx
M 2 r3
3
Xc

3 2 r 3
r 0
(r2x
x3 )dx
3r 8
方法二
同样，我们可以将半球看成有一层层的薄球壳 叠放而成。然后将薄球壳的质量全部等效到其 质心处，然后将一个个质心看成是连续的密度 不均匀的小棒。

r2 x2 r
所以半圆可以看成是有这些半圆环的质心组成的 非均匀小棒。
dm 2r dr
r
r
Xc 0 x dm 0 x 2r dr
M
M
x 2r

Xc 4r
3
方法三
将半圆看左右圆心角很小的扇形拼成，而 圆心角很小的扇形又可以看成三角形，质 心在2r/3处，而所有的止呕心又组成了半 径为2r/3的圆环，圆环的知心就是原半圆 的质心，所以：
Xc
1
r
x dm
M0
dr
dm 2r 2 2r 2dr
dm M '
M 2 r3
3
Xc 3 8
方法三
我们还可以将半圆看成由一个个小锥体组 成，锥体的中西在 3r/4 处，而锥体的质心 又构成了一个半径为 3r/4 的球壳，其质心 在半径的 ½ 处（刚才已证明）。所以
Xc= 2r/3×2/π=4r/3π
方法四：
令半圆绕其直径旋转一周，形成一球， 球的体积等于半圆的面积成一支新绕 过的周长，即：
r 2 2Xc 4r 2
2
3
Xc 4r
3
方法五：
半圆的质心在两四分之一圆的质心连线上，而四分之一圆 的质心在两八分之一圆的质心连线上，以此类推，我们令 二分之一圆的质心到圆心的距离为Xc1,,四分之一圆的质心 到圆心的距离为Xc2,……这样我们从图中可以看出：
r x2
r2 x2 dx
0
M
r r2 x2 dx2
0 M
4r
3
方法二：
将半圆看成由一个个半圆环套在一起形成，我们先计算半圆环的质 心：
θ
dm 2dx
s in
r
Xc 0 x dm
θ
r x 2dx
0 sin
sin y
r Xc 2r
Xc 3 8
接下来我们来解决和圆有关的平面求质 心的问题，同样以半圆为例，用不同的 方法求其质心，用这些方法，我们还可 以解决求任意角的扇形，圆弧，弓形， 圆环一部分的质心等问题
方法一：
将半圆分成一条条的极窄的细条，则有；
dm dx 2y
y r2 x2
r
Xc 0 x dm M
首先，我们来考虑球壳问题：

Xc

1 M

r 0
x
dm
M ' 2 r 2
dm

2yx

dx

s in
X
dm 2rx dx

s in

y r
Xc' r
2
θ
θ d x
这样，我们就可以将半球等小城长度为 X/2的
细棒，X处的线密度等于σ